2024-2025学年上海市普陀区桃浦中学高三（上）段考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年上海市普陀区桃浦中学高三（上）段考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知：，：若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.某高中共有学生人，其中高一、高二、高三的学生人数比为：：，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为的样本，则高三年级应该抽取人．
A. B. C. D.
3.已知，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“集合”给出下列个集合：
其中所有“集合”的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.设集合，，则 ______．
6.不等式的解集是______．
7.数列，，，，的一个通项公式可能是 ______．
8.函数的最大值等于______．
9.函数的最小正周期为______．
10.若复数满足是虚数单位，则______．
11.直线，：，则直线与的夹角为______．
12.的二项展开式中的常数项是______用数值作答．
13.圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为，半径为，则该圆锥的体积为 ．
14.从名志愿者中选出名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作每项人，其中甲不参加测温的分配方案有______种．结果用数值表示
15.在中，，且在方向上的数量投影是，则的最小值为______．
16.设，函数的图像与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，，，，则的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设集合，．
若，试判定集合与的关系；
若，求实数的取值集合．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，求：
的面积；
异面直线与所成角的大小．
19.本小题分
在中，角，，所对的边长分别为，，，向量，，且．
求角；
若，求的面积的最大值．
20.本小题分
已知椭圆：，，，，，这四点中恰有三点在椭圆上．
求椭圆的方程；
点是椭圆上的一个动点，求面积的最大值；
过的直线交椭圆于、两点，设直线的斜率，在轴上是否存在一点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知函数．
求函数的定义域，并判断的奇偶性；
如果当时，的值域是，求与的值；
对任意的，，是否存在，使得，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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6.，
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11.
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13.
14.
15.
16.
17.解：由得或，故A，
当由得，
．
当时，满足，此时；
当，即时，集合，由得，
．
综上所述，实数的取值集合为．
18.解：在四棱锥中，底面，
则，
由于底面是矩形，
即有，
则平面，
即有，
由，，，
由勾股定理可得．
则有；
连接，．
由，则即为异面直线和所成的角．
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
由于，
则，
在三角形中，，，
即有．
则有．
即有异面直线与所成角为．
19.解：，，
，，
又，，
，．
，，
，即，
，即，当且仅当时等号成立．
，当时，．
20.解：由，两点关于轴对称，因此，两点必然在椭圆上，，
若点在椭圆上，则，得出，矛盾，因此点不在椭圆上，
点在椭圆上，，解得，
．
椭圆的方程为：．
，，
直线的方程为：．
设与椭圆相切的直线方程为：，
代入椭圆方程可得：，
化为：，
令，解得，
取，此时与椭圆相切的直线方程为：，
与直线的距离，
面积的最大值．
设，，
假设在轴上存在一点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形．
直线的方程为：，，
代入椭圆方程可得：，
，
，
线段的中点，
线段的垂直平分线的方程为：，
令，则，当且仅当时取等号．
又，则，
．
因此在轴上存在一点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形，其中．
21.解：要使原函数有意义，则，解得，
所以，函数的定义域
是定义域内的奇函数．
证明：对任意，有
所以函数是奇函数．
另证：对任意，
所以函数是奇函数．
由知，函数在上单调递减，
因为，所以在上是增函数
又因为时，的值域是，所以
且在的值域是，
故且结合图象易得
由得：，解得或舍去．
所以，
假设存在使得
即
则，
解得，
下面证明．
证明：法一、
由．
，，，，
，即，．
所以存在，使得
法二、
要证明，即证，也即．
，，，，
．
所以存在，使得
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