上海市虹口区2016届九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

虹口2015学年第一学期期终教学质量监控测试
初三数学　试卷
（满分150分，考试时间100分钟） 　 2016.1
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]
1．已知为锐角，如果，那么等于
A．； B．； C．； D．不确定．
【考点】特殊角的三角函数值 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
为锐角，，则=45°，故选B
【答案】B
2．把二次函数化成的形式是
A．； B．； C．； D.．
【考点】二次函数的概念及表示方法 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
原式=，故选D
【答案】D
3．若将抛物线平移，得到新抛物线，则下列平移方法中，正确的是
A．向左平移3个单位； B．向右平移3个单位；
C．向上平移3个单位； D．向下平移3个单位．
【考点】二次函数图像的平移 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
对称轴为x=0，顶点坐标(0，0);平移后对称轴x=-3，顶点(-3，0);可知为向左平移3个单位，故选A
【答案】A
4．若坡面与水平面的夹角为，则坡度i与坡角之间的关系是
A．； B．； C．； D．．
【考点】锐角三角函数 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
坡度定义为坡角的正切值，则，故选D
【答案】D
5．如图，□ABCD对角线AC与BD相交于点O，如果，，那么下列选项中，与向量相等的向量是
A．； B．； C．； D．．
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【考点】对角线
【试题解析】
在□ABCD中，=，故选C
【答案】C
6．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），若△CDE与
△ABC相似，则点E的坐标不可能是
A．（4，2）； B．（6，0）； C．（6，4）； D．（6，5）．
【考点】相似三角形判定及性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
图中△ABC为直角三角形，且BC=3，AC=6;A选项△ECD为直角三角形，CD=2，CE=1，，故△CDE与△ABC相似;B选项Rt△CDE中，CD=2，DE=1，，故△CDE与△ABC相似;C选项Rt△CDE中，CD=2，DE=3，，故△CDE与△ABC不相似;D选项Rt△CDE中，CD=2，DE=4，，故△CDE与△ABC相似;故选C
【答案】C
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．若，则的值是 ▲ ．
【考点】比例线段的相关概念及性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
=
【答案】
8. 计算：= ▲ ．
【考点】函数
【试题解析】
=
【答案】
9．二次函数的图像的对称轴是直线 ▲ ．
【考点】二次函数图像与a,b,c的关系 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
的对称轴为.
【答案】
10. 如果抛物线经过原点，那么= ▲ ．
【考点】二次函数表达式的确定 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
将原点(0，0)代入抛物线解析式，得-1+m=0，解得m=1.
【答案】1
11．已知点、为二次函数图像上的两点，若，则
▲ ．（填“>”、“<”或“=”）
【考点】二次函数的图像及其性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
开口向上，对称轴为x=1，则当x＜1时，y随x的增大而减小;因为，所以y1＞y2
【答案】
12．用“描点法”画二次函数的图像时，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 …
根据表格上的信息回答问题：当时，= ▲ ．
【考点】二次函数的图像及其性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
观察表格中数据可以看出，当x=-1与x=1时y值相等，可得该二次函数的对称轴为，所以x=2时y值与x=-2时y值相等，查表为-11
【答案】－11
13．如果两个相似三角形的周长的比为，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应
角平分线的比为 ▲ ．
【考点】相似三角形判定及性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )比例线段的相关概念及性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
令两相似三角形分别为△ABC与△A’B’C’，其中△ABC周长较小，相似比为k，则由题意可得：，即两三角形的相似比为1:4;又相似三角形对应的角平分线比等于相似比，故角平分线之比为1:4
【答案】1：4
14． 如图，在□ABCD中，E是边BC上的点，分别联结AE、BD相交于点O，若AD=5，，则= ▲ ．
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【考点】相似三角形判定及性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )比例线段的相关概念及性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
如图，过C点作CF//AE交AD与点F，则可知在□ABCD中BO=DG,又已知，则;又AE//CF，故;又BC=AD=5，所以
【答案】2
15．如图，正方形DEFG的边EF在△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上.若△ABC的边BC长为40厘米，高AH为30厘米，则正方形DEFG的边长为 ▲ 厘米．
【考点】三角形的面积 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )梯形的有关概念和性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
令正方形边长为a，则由图可知：S△ABC=S梯形DGCB+S△ADG，代入数值得方程为，解得a=，即正方形DEFG的边长为厘米.
【答案】
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，若点G是△ABC的重心，，BC=4，则CG= ▲ ．
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【考点】相似三角形判定及性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )三角形的内心、外心和重心 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
如图，延长CG交AB于D，连接AG延长交BF于E，过D点作DF//AE;在Rt△ABC中，D为斜边中点，则AD=CD=DB，.所以∠BCG=∠B，即cos∠B=，AB=BC×=6，故CD=3;又在△ABE中，DF//AE，D为AB中点，则可得F为BE中点，即EF=BE=CE;又在△CDF中，GE//DF，EF=CE，所以DG=CG=CD=1，CG=2
【答案】2
17．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，，则CD= ▲ ．
【考点】直角三角形与勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
如图，延长AD、BC交于点E;AB=3，，得BE=4，又BC=2，所以EC=2;由题意可得tan∠ECD=tan∠A=，令CD=a，则DE=a;在△CDE中，根据勾股定理得，解得a=，所以CD=
【答案】
18．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点E是边BC的中点，联结AE，若将△ABE沿
AE翻折，点B落在点F处，联结FC，则= ▲ ．
【考点】解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )图形的翻折 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
由题知△ABE≌△AFE，∠AEB=∠AEF，所以∠AEB+∠AEF+∠FEC=2∠AEB+∠FEC=180°;又E为BC中点，EC=BE=EF，得∠ECF=∠EFC，所以在△EFC中，∠ECF+∠EFC+∠FEC=2∠ECF+∠FEC=180°;所以∠ECF=∠BEA，cos∠ECF=cos∠BEA=
【答案】
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：
【考点】特殊角的三角函数值 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
原式= =1
【答案】1
20．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）
已知一个二次函数的图像经过A(0，-3)、B(2，-3)、C(-1，0)三点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数图像平移，使顶点移到点P(0，-3)的位置，求所得新抛物线的表达式．
【考点】二次函数图像的平移 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )二次函数表达式的确定 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
解：（1）设所求二次函数的解析式为：，由题意得：
解得：
∴这个二次函数的解析式为
（2）∵新抛物线是由二次函数的图像平移所得
∴a=1
又∵顶点坐标是（0，-3）
∴
【答案】（1）（2）
21．（本题满分10分）
如图，//////，AB=12，CD=6，DE∶EG∶GA=3∶4∶5．
求EF和GH的长．
【考点】比例线段的相关概念及性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
过点D作CB的平行线，分别交EF、GH、AB于点I、J、K
∵DC∥AB ∴KB=DC=6
∴AK=6
∵EF∥AB
∴
∵DE∶EG∶GA=3∶4∶5
∴
∴
∴
同理:
∴
∴
【答案】EF;GH
22．（本题满分10分）
如图，已知楼AB高36米，从楼顶A处测得旗 ( http: / / www.21cnjy.com )杆顶C的俯角为60°，又从该楼离地面6米的一窗口E处测得旗杆顶C的仰角为45°，求该旗杆CD的高．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的实际应用 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
过点C作CG⊥AE，垂足为点G
由题意得∠CEF=45°=∠CEG，∠ACG=60°
设CG=x，
在Rt△ACG中，
在Rt△ECG中，
∵AG+EG=AE
∴
解得：
又可求得：CF=EG=
∴答：该旗杆CD的高为（）米．　　　　　　　　　　　
【答案】
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23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）
如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，∠BAE=∠CBD=∠DAC．
（1）求证：；
（2）求证：∠AED +∠ADC=180°．
【考点】二次函数与一次函数综合 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )二次函数与几何综合 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )二次函数表达式的确定 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
（1）∵当时，，∴C（0,3）
在Rt△COB中，∵ ∴ ∴
∴点B（6，0）
把A（2，0）、B(6，0)分别代入，得：
得
解得：
∴该抛物线表达式为
（2）∵
∴顶点D（4，-1）
∴
（3）点E的坐标是（10,8）或（16,35）
【答案】（1）（2）8（3）（10,8）或（16,35）
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24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴分别交于点A(2，0)、点B（点B在点A的右侧），与轴交于点C，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；
（3）设抛物线上的点E在第一象限，△BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标．
【考点】相似三角形判定及性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )比例线段的相关概念及性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "http: / / www. / shiti / _blank )
【试题解析】
（1）在□ABCD中，AD=BC， AD∥BC
∴
∵ x=1，即 ∴
∴ AD=AB，AG=BE
∵ E为BC的中点 ∴
∴ 即
（2）∵
∴ 不妨设AB=1，则AD=x，
∵ AD∥BC ∴
∴ ，
∵ GH∥AE ∴ ∠ DGH=∠DAE
∵ AD∥BC ∴ ∠ DAE=∠AEB
∴ ∠DGH=∠AEB
在□ABCD中，∠D=∠ABE
∴△GDH ∽△EBA
∴
∴ ∴
（3）① 当点H在边DC上时，
∵ DH=3HC ∴ ∴
∵△GDH ∽ △EBA ∴
∴ 解得
②当H在DC的延长线上时，
∵ DH=3HC ∴ ∴
∵△GDH ∽ △EBA ∴
∴ 解得
综上所述，可知的值为或
【答案】（1）（2）（3）或
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25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）
如图，在□ABCD中，E为边BC的中点，F为线段AE上一点，联结BF并延长交边AD于点G，过点G作AE的平行线，交射线DC于点H.设．
（1）当时，求的值；
（2）设，求关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当时，求x的值.
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【试题解析】
（1）∵∠BAE=∠DAC ∴∠BAE+∠EAC =∠DAC+∠EAC
即∠BAC=∠EAD
∵∠ABC=∠ABE +∠CBD ∠AED=∠ABE +∠BAE
∵∠CBD=∠BAE
∴∠ABC=∠AED
∴△ABC∽△AED
∴ ∴
（2）∵△ABC∽△AED
∴ 即
∵∠BAE=∠DAC
∴△ABE∽△ACD
∴∠AEB=∠ADC
∵∠AED +∠AEB =180°
∴∠AED+∠ADC=180°
【答案】见解析
G
C
A
E
D
B
第21题图
F
H