山东省潍坊市2024年中考数学试卷

山东省潍坊市2024年中考数学试卷
1．（2024·潍坊）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024·潍坊）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（　　）
A．1.267×105 B．1.267×106 C．1.267×107 D．126.7×104
3．（2024·潍坊）某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·潍坊）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：
由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（　　）
A．100min，50℃ B．120min，50℃
C．100min，55℃ D．120min，55℃
5．（2024·潍坊）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（　　）
A．60° B．55° C．50° D．45°
6．（2024·潍坊）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
7．（2024·潍坊）下列命题是真命题的有（　　）
A．若a＝b，则ac＝bc B．若a＞b，则ac＞bc
C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数
8．（2024·潍坊）如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（　　）
A．体积为π B．母线长为1
C．侧面积为 D．侧面展开图的周长为
9．（2024·潍坊）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0）．下列结论正确的有（　　）
A．a﹣b+c＞0
B．该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣3，0）
C．若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该抛物线上，则y1＜y2
D．对任意实数n，不等式an2+bn≤a+b总成立
10．（2024·潍坊）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC，连接CO并延长交⊙O于点D．分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M．直线OM交BC于点E，连接AE，下列结论一定正确的是（　　）
A． B．AB＝OE
C．∠AOD＝∠BAC D．四边形AOCE为菱形
11．（2024·潍坊）请写出同时满足以下两个条件的一个函数：　 　．
①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴正半轴相交．
12．（2024·潍坊）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则点C'的坐标为 　 　．
13．（2024·潍坊）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是　 　．
14．（2024·潍坊）将连续的正整数排成如图所示的数表．记a（i，j）为数表中第i行第j列位置的数字，如a（1，2）＝4，a（3，2）＝8，a（5，4）＝22．若a（m，n）＝2024，则m＝　 　，n＝　 　．
15．（2024·潍坊）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
16．（2024·潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
（1）△AEH≌△CFG；
（2）四边形EGFH为平行四边形．
17．（2024·潍坊）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点P作y轴的平行线，交的图象于点Q．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△OPQ的面积．
18．（2024·潍坊）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
（1）【数据描述】
如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答下列问题．
①平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
②求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．
（2）【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答下列问题．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家 a 3 3.5 1.05
乙商家 4 b 1.24
①直接写出表中a和b的值，并求的值；
②小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
19．（2024·潍坊）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：P＝10x．预计该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：，其中0≤x≤9．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y（万元）．
（1）若y＝148万元，求该商场建造的隔热层厚度；
（2）已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元），且t＝y+x2，当172≤t≤192时，求隔热层厚度x（cm）的取值范围．
20．（2024·潍坊）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝1，，求⊙O的直径．
21．（2024·潍坊）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量y（单位：kW h 10﹣1 m﹣2 d﹣1）和太阳能板与水平地面的夹角x°（0≤x≤90）进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？
（3）图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），∠AGD为太阳能板AB与水平地面GD的夹角，CD为支撑杆．已知AB＝2m，C是AB的中点，CD⊥GD．在GD延长线上选取一点M，在D，M两点间选取一点E，测得EM＝4m，在M，E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为30°，45°，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆CD的长．（精确到0.1m，参考数据：，）
22．（2024·潍坊）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面．喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ＝　 　．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；…，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．已知AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x（m），⊙O1的面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
（4）【问题解决】
该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1？（直接写出结果即可）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误
B、 不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误
C、 是轴对称图形，是中心对称图形，故C正确
D、 是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误
故答案为：C.
【分析】把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形，故A，C，D是轴对称图形，把一个图形绕着某个点旋转180°后，能够与自身重合，这样的图形是中心对称图形，故B，C是中心对称图形，因此C既是 轴对称图形也是中心对称图形 .
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】
解：126.7万= 1.267×106
故答案为：B.
【分析】绝对值大于10的科学记数法可表示为：，其中，1≤a＜10，n取原数的整数位数减1.
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】
解：该几何体的主视图为：
故答案为：D.
【分析】主视图反映的是一个几何体前面的形状，它是从几何体的前面向后投射时，在正面投影面上得到的视图.
4．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可知：在120min时提取率最高， 50℃ 时提取率最高
故答案为：B.
【分析】 最佳的提取时间和提取温度 取决于提取率，由图可知：在120min时提取率最高， 50℃ 时提取率最高，故最佳的提取时间和提取温度 ：120min，50℃ .
5．【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：过点EH∥AB
∴∠BEH=∠α=15°
∵β=45°
∴∠FEH=180°-45°-15°= 120°
∵AB∥FG
∴FG∥EH
∴∠FEH+∠EFG=180°
∴∠EFG=180°-∠FEH=180°-120°=60°
故答案为：A.
【分析】先根据EH∥AB，得出：∠BEH=∠α=15°，再计算∠FEH=180°-45°-15°= 120°，再根据FG∥EH，得到：∠FEH+∠EFG=180°，从而计算∠EFG的度数.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意知：a=1，b=-m，
∴
∵m﹣2n＝3
∴△=9-4=5>0
因此有两个不相等的实数根
故答案为：C.
【分析】先写出a，b，c的值，再计算△，再把m﹣2n＝3 代入即可.
7．【答案】A,C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】
解：A、 若a＝b，则ac＝bc ，故A正确
B、 若a＞b，当c>0则ac＞bc ，故B错误
C、 两个有理数的积仍为有理数 ，故C正确
D、 两个无理数的积可能为有理数 ，故D错误
故答案为：AC.
【分析】A、根据等式的基本性质，等式两边同时乘以同一个数或整式，结果仍为等式
B、不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变
C、两个有理数的积仍为有理数
D、两个无理数的积可能为有理数 ，如：.
8．【答案】B,C
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：A、，故A错误
B、l=h=1，故B正确
C、，故C正确
D、，故D错误
故答案为：BC.
【分析】A、圆柱的体积为：底面积×高；B、圆柱的母线等于圆柱的高；C、侧面积为：；D、侧面周长等于矩形的周长，即：.
9．【答案】A,C,D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
A、∵ 抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1， 与x轴的一个交点坐标是（4，0）
∴另一个交点为（-2，0）
∴当x=-1时，y>0
∴a-b+c>0，故A正确
B、由A可知：另一个交点为（-2，0） ，故B错误
C、∵，且a<0
∴y1＜y2
D、由图可知：当x=1时，y有最大值为：a+b+c
当x=n时，y=an 2+bn +c
∴an 2+bn +c∴an 2+bn 故D正确
故答案为：ACD.
【分析】A、把x=-1，代入得出a-b+c，再结合图象观察点（-1，a-b+c）位置即可
B、先根据抛物线的对称轴和抛物线与x轴的一个交点为（4，0），则得出另一个交点（-2，0）
C、先计算两个点到对称轴的距离，再根据距离远近进行判段即可
D、由图可知：当x=1时，y有最大值=a+b+c，把x=n时，y=an 2+bn +c，则：an 2+bn +c10．【答案】A,B,D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；菱形的判定；圆的综合题；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：
A、∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA
∵AO∥BC
∴∠ACB=∠OAC
∴∠ACB=∠OCA
∴，故A正确
B、如图，设OE与AC交于点F，连接AD
由A可知：∠ACB=∠OCA，∠OFC=∠EFC=90°，CF=CF
∴△OCF≌△ECF(ASA)
∴OC=CE
由作图可知：OM垂直平分AC
∴OA=OC，AE=CE
∴OA=OC=AE=CE
∴ 四边形AOCE 为菱形
AE=OC，AE∥OC
∴OD=AE
∴四边形AEOD为平行四边形
∴OE=AD
∵
∴AB=AD
∴OE=AB，故B正确
C、由B可知：AE∥OC
∴∠AOD=∠OAE，故C错误
D、由B可知： 四边形AOCE为菱形 ，故D正确
故答案为：ABD.
【分析】A、根据OA=OC，得出∠OAC=∠OCA，再根据平行线性质得出：∠ACB=∠OAC，因此∠ACB=∠OCA，故.
B、先证明△OCF≌△ECF(SAS)，再根据作图得出OM垂直平分AC，即可得到OA=OC=AE=CE，推出：四边形AOCE 为菱形，最后证明四边形AEOD为平行四边形即可.
C、由B可知：AE∥OC可得：∠AOD=∠OAE
D、由B可知： 四边形AOCE 为菱形.
11．【答案】y＝﹣2x+1
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y 随着x的增大而减小
∴k>0
∵函数图象与y轴正半轴相交
∴b>0
∴y＝﹣2x+1
故答案为：y＝﹣2x+1.
【分析】当k>0时，y 随着x的增大而减小，当b>0时，函数图象与y轴正半轴相交.
12．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
13．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
共有6种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝；
其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有2种结果，因此每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是
故答案为：.
【分析】先列举出所有结果，共有6种，而 每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配 的结果有2种，再根据概率公式：代入计算即可.
14．【答案】45；2
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：
由图可知：当k为奇数时，第k行第1列就是
当k为偶数时，第1行第k列就是
∵
∴2025在第45行第1列
∴2024在在第45行第2列
∴m=45，n=2
故答案为：45，2.
【分析】先观察数的排列规律，找出规律：当k为奇数时，第k行第1列就是；当k为偶数时，第1行第k列就是，然后再把2024转化为452-1，即可找到m，n的值.
15．【答案】（1）＝﹣2+（2﹣1）﹣2﹣3
＝﹣2+4﹣3
＝﹣1
（2）
＝a﹣2
当时，
原式．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】(1)分别把代入计算即可.
（2）把括号里的先通分，再把括号外的除法转化为乘法，分子分母需要进行因式分解的要进行因式分解，把原式化为最简，最后再把a是值代入即可.
16．【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠EAH＝∠FCG，
由折叠可得，AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，
∴CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，
∴AH＝CG，
在△AEH和△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA）；
（2）由（1）知∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EGFH为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
17．【答案】（1）把代入得，，
∴m＝﹣3，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）把代入得，，
∴，
∵PQ∥y轴，
∴点Q的横坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式中，求出点A的坐标，然后再把点A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k.
（2）先求出点P的坐标，因为PQ∥y轴，可以得到点Q的横坐标与点P的横坐标相同，且为，把x=代入反比例函数中，求出点Q的坐标，从而算出PQ，再根据三角形的面积公式求解即可.
18．【答案】（1）解：①由题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%＝30个评价分值，
从乙商家抽取了3÷15%＝20个评价分值，
∴甲商家4分的评价分值个数为30﹣2﹣1﹣12﹣5＝10个，
乙商家4分的评价分值个数为20﹣1﹣3﹣3﹣4＝9个，
补全条形统计图如下：
②；
（2）①∵甲商家共有30个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数，
∴，
由条形统计图可知，乙商家4分的个数最多，
∴众数b＝4，
乙商家平均数；
②小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】（1） ① 先根据公式：样本的总数=某项的频数÷该项的百分数，算出甲乙两甲抽取的总评价分值，再计算评价分值为4的甲乙两家的个数，再补全统计图即可.
②圆心角等于评价分值为4的百分率×360°即可.
（2）①当数据的个数为偶数个时，先把数据进行排序，第15个数和第16个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，根据众数的定义，可以得出众数，再根据加权平均数公式求解平均数即可.
（2）根据中位数，众数 和平均数进行分析，只要符合题意即可.
19．【答案】（1）由题意得：，
整理得y＝﹣x2+4x+160，
当y＝148时，则﹣x2+4x+160＝148，
解得：x1＝6，x2＝﹣2．
∵0≤x≤9，
∴x2＝﹣2不符合题意，舍去，
答：该商场建造的隔热层厚度为6cm．
（2）由（1）得y＝﹣x2+4x+160，
∵t＝y+x2，
∴t＝﹣x2+4x+160+x2＝4x+160（172≤t≤192）．
∵4＞0，
∴t随x的增大而增大，
当t＝172时，4x+160＝172，
解得x＝3；
当t＝192时，4x+160＝192，
解得x＝8；
答：x的取值范围为3≤x≤8．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）先根据题意写出y与x的关系式，再令y=148，列出方程﹣x2+4x+160＝148，解出x，最后再根据0≤x≤9，进行取舍即可.
（2）先写出t关于x的关系式，得出t=4x+160，再根据一次函数的增减性和t的取值范围，求出t的最大值和最小值即可.
20．【答案】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线.
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
即∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°，
∴∠DAB+∠ABC+∠DBC＝∠EAD+∠ADC+∠CDE，
∵∠BAD＝∠EAD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠DBC＝∠CDE，
∵∠DBC＝∠CAD，∠DCB＝∠BAD，∠CAD＝∠BAD，
∴∠CDE＝∠DBC＝∠DCB＝∠BAD，
∴BD＝CD，，
在Rt△CDE中，，
∴CD＝3CE＝3×1＝3，
∴BD＝3，
在Rt△ABD中，，
∴AB＝3BD＝3×3＝9，
即⊙O的直径为9．
【知识点】切线的判定；已知正弦值求边长；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由角平分线可得：∠BAD＝∠EAD，再根据同圆的半径相等，得到：∠OAD＝∠ODA，因此∠ODA＝∠EAD，所以OD∥AC，又因为OD⊥DE，故可得：OD⊥DE，结合切线的判定即可得证.
（2）由AB是⊙O的直径，得到∠ADB＝90°，因此∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°，又因为∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°，可得：∠DBC＝∠CDE，再根据同弧所对的圆周角相等，可证：∠DBC＝∠CAD=∠BAD，又因为AD平分∠BAC，可得，即：CD=BD，再根据求出CD ，即可求出BD的长，同理求出AB即可.
21．【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，
将（0，40），（10，45），（30，49）代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：
∵a<0， 0≤x ≤90
∴当x=30时，日平均太阳辐射量最大
故太阳能板与水平地面的夹角为30度时，日平均太阳辐射量最大.
（3），
延长NF与过点A作AH⊥GM的线交于点H，令FH＝a，
∴AH＝a，AN＝2AH＝2a，
∴，
∵HN＝HF+FN＝4+a，
∴，
∴，
∴，
延长AN交GM与J点，
∵∠AJG＝∠AGJ，
∴AJ＝AG，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）设设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c
把（0，40），（10，45），（30，49）代入得：解得：即可.
（2）先根据求出抛物线的对称轴为直线x=30，又因为开口方向向下，故当x=30时，日平均太阳辐射量最大.
（3）令FH＝a，则可得：AH=FH=a，，AN=2a，又因为HN=a+4，可列方程：，解出，故，再求出，即，又因为C为AB的中点，AC=1，故，再根据30°角的余弦，求出CD即可.
22．【答案】（1）0.785
（2）解：不能，理由如下：
对于任意的n，喷洒面积，而草坪面积始终为324m2．
因此，无论n取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接EF，
要使喷洒覆盖率ρ＝1，即要求，其中s为草坪面积，k为喷洒面积．
∴⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4都经过正方形的中心点O，
在Rt△AEF中，EF＝2r，AE＝x，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AF＝18﹣x，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，
∴4r2＝x2+（18﹣x）2，
∴
∴当x＝9时，y取得最小值，此时4r2＝92+92，
解得：．
（4）解：由（3）可得，当⊙O1的面积最小时，此时圆为边长为9m的正方形的外接圆，
则当时，圆的内接正方形的边长为，
而草坪的边长为18m，，即将草坪分为9个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，
∴至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵喷洒的圆面积k=π r2=πx92=81π(m2)，正方形草坪的面积S =a2=182=324(m2)
∴
故答案为：0.785.
【分析】
（1）先计算半径为9的圆的面积k，再计算边长为18的正方形面积s，计算结果代入公式即可.
（2）同（1）先计算半径为的圆的总面积，而正方形的面积为324，再代入公式进行计算即可.
（3）由图可知，四个圆的半径相等，故EF=2r，再根据勾股定理：AE2+AF2＝EF2，列出：4r2＝x2+（18﹣x）2，再根据圆的面积公式：，又因为a>0，因此当x＝9时，y取得最小值，此时4r2＝92+92，解得r即可.
（4）首先，我们考虑一个喷洒装置能覆盖的正方形区域。一个半径为的圆的直径是，因此它能完全覆盖一个边长为6的正方形。为了覆盖一个边长为18m的正方形，我们可以将大正方形分成边长为6的小正方形，然后在每个小正方形的中心放置一个喷洒装置，而大正方形的边长与小正方形的边长之比是：18÷6=3，即将草坪分为9个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少.
1 / 1山东省潍坊市2024年中考数学试卷
1．（2024·潍坊）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误
B、 不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误
C、 是轴对称图形，是中心对称图形，故C正确
D、 是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误
故答案为：C.
【分析】把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形，故A，C，D是轴对称图形，把一个图形绕着某个点旋转180°后，能够与自身重合，这样的图形是中心对称图形，故B，C是中心对称图形，因此C既是 轴对称图形也是中心对称图形 .
2．（2024·潍坊）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（　　）
A．1.267×105 B．1.267×106 C．1.267×107 D．126.7×104
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】
解：126.7万= 1.267×106
故答案为：B.
【分析】绝对值大于10的科学记数法可表示为：，其中，1≤a＜10，n取原数的整数位数减1.
3．（2024·潍坊）某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】
解：该几何体的主视图为：
故答案为：D.
【分析】主视图反映的是一个几何体前面的形状，它是从几何体的前面向后投射时，在正面投影面上得到的视图.
4．（2024·潍坊）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：
由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（　　）
A．100min，50℃ B．120min，50℃
C．100min，55℃ D．120min，55℃
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可知：在120min时提取率最高， 50℃ 时提取率最高
故答案为：B.
【分析】 最佳的提取时间和提取温度 取决于提取率，由图可知：在120min时提取率最高， 50℃ 时提取率最高，故最佳的提取时间和提取温度 ：120min，50℃ .
5．（2024·潍坊）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（　　）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：过点EH∥AB
∴∠BEH=∠α=15°
∵β=45°
∴∠FEH=180°-45°-15°= 120°
∵AB∥FG
∴FG∥EH
∴∠FEH+∠EFG=180°
∴∠EFG=180°-∠FEH=180°-120°=60°
故答案为：A.
【分析】先根据EH∥AB，得出：∠BEH=∠α=15°，再计算∠FEH=180°-45°-15°= 120°，再根据FG∥EH，得到：∠FEH+∠EFG=180°，从而计算∠EFG的度数.
6．（2024·潍坊）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意知：a=1，b=-m，
∴
∵m﹣2n＝3
∴△=9-4=5>0
因此有两个不相等的实数根
故答案为：C.
【分析】先写出a，b，c的值，再计算△，再把m﹣2n＝3 代入即可.
7．（2024·潍坊）下列命题是真命题的有（　　）
A．若a＝b，则ac＝bc B．若a＞b，则ac＞bc
C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数
【答案】A,C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】
解：A、 若a＝b，则ac＝bc ，故A正确
B、 若a＞b，当c>0则ac＞bc ，故B错误
C、 两个有理数的积仍为有理数 ，故C正确
D、 两个无理数的积可能为有理数 ，故D错误
故答案为：AC.
【分析】A、根据等式的基本性质，等式两边同时乘以同一个数或整式，结果仍为等式
B、不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变
C、两个有理数的积仍为有理数
D、两个无理数的积可能为有理数 ，如：.
8．（2024·潍坊）如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（　　）
A．体积为π B．母线长为1
C．侧面积为 D．侧面展开图的周长为
【答案】B,C
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：A、，故A错误
B、l=h=1，故B正确
C、，故C正确
D、，故D错误
故答案为：BC.
【分析】A、圆柱的体积为：底面积×高；B、圆柱的母线等于圆柱的高；C、侧面积为：；D、侧面周长等于矩形的周长，即：.
9．（2024·潍坊）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0）．下列结论正确的有（　　）
A．a﹣b+c＞0
B．该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣3，0）
C．若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该抛物线上，则y1＜y2
D．对任意实数n，不等式an2+bn≤a+b总成立
【答案】A,C,D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
A、∵ 抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1， 与x轴的一个交点坐标是（4，0）
∴另一个交点为（-2，0）
∴当x=-1时，y>0
∴a-b+c>0，故A正确
B、由A可知：另一个交点为（-2，0） ，故B错误
C、∵，且a<0
∴y1＜y2
D、由图可知：当x=1时，y有最大值为：a+b+c
当x=n时，y=an 2+bn +c
∴an 2+bn +c∴an 2+bn 故D正确
故答案为：ACD.
【分析】A、把x=-1，代入得出a-b+c，再结合图象观察点（-1，a-b+c）位置即可
B、先根据抛物线的对称轴和抛物线与x轴的一个交点为（4，0），则得出另一个交点（-2，0）
C、先计算两个点到对称轴的距离，再根据距离远近进行判段即可
D、由图可知：当x=1时，y有最大值=a+b+c，把x=n时，y=an 2+bn +c，则：an 2+bn +c10．（2024·潍坊）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC，连接CO并延长交⊙O于点D．分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M．直线OM交BC于点E，连接AE，下列结论一定正确的是（　　）
A． B．AB＝OE
C．∠AOD＝∠BAC D．四边形AOCE为菱形
【答案】A,B,D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；菱形的判定；圆的综合题；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：
A、∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA
∵AO∥BC
∴∠ACB=∠OAC
∴∠ACB=∠OCA
∴，故A正确
B、如图，设OE与AC交于点F，连接AD
由A可知：∠ACB=∠OCA，∠OFC=∠EFC=90°，CF=CF
∴△OCF≌△ECF(ASA)
∴OC=CE
由作图可知：OM垂直平分AC
∴OA=OC，AE=CE
∴OA=OC=AE=CE
∴ 四边形AOCE 为菱形
AE=OC，AE∥OC
∴OD=AE
∴四边形AEOD为平行四边形
∴OE=AD
∵
∴AB=AD
∴OE=AB，故B正确
C、由B可知：AE∥OC
∴∠AOD=∠OAE，故C错误
D、由B可知： 四边形AOCE为菱形 ，故D正确
故答案为：ABD.
【分析】A、根据OA=OC，得出∠OAC=∠OCA，再根据平行线性质得出：∠ACB=∠OAC，因此∠ACB=∠OCA，故.
B、先证明△OCF≌△ECF(SAS)，再根据作图得出OM垂直平分AC，即可得到OA=OC=AE=CE，推出：四边形AOCE 为菱形，最后证明四边形AEOD为平行四边形即可.
C、由B可知：AE∥OC可得：∠AOD=∠OAE
D、由B可知： 四边形AOCE 为菱形.
11．（2024·潍坊）请写出同时满足以下两个条件的一个函数：　 　．
①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴正半轴相交．
【答案】y＝﹣2x+1
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y 随着x的增大而减小
∴k>0
∵函数图象与y轴正半轴相交
∴b>0
∴y＝﹣2x+1
故答案为：y＝﹣2x+1.
【分析】当k>0时，y 随着x的增大而减小，当b>0时，函数图象与y轴正半轴相交.
12．（2024·潍坊）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则点C'的坐标为 　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
13．（2024·潍坊）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
共有6种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝；
其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有2种结果，因此每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是
故答案为：.
【分析】先列举出所有结果，共有6种，而 每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配 的结果有2种，再根据概率公式：代入计算即可.
14．（2024·潍坊）将连续的正整数排成如图所示的数表．记a（i，j）为数表中第i行第j列位置的数字，如a（1，2）＝4，a（3，2）＝8，a（5，4）＝22．若a（m，n）＝2024，则m＝　 　，n＝　 　．
【答案】45；2
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：
由图可知：当k为奇数时，第k行第1列就是
当k为偶数时，第1行第k列就是
∵
∴2025在第45行第1列
∴2024在在第45行第2列
∴m=45，n=2
故答案为：45，2.
【分析】先观察数的排列规律，找出规律：当k为奇数时，第k行第1列就是；当k为偶数时，第1行第k列就是，然后再把2024转化为452-1，即可找到m，n的值.
15．（2024·潍坊）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）＝﹣2+（2﹣1）﹣2﹣3
＝﹣2+4﹣3
＝﹣1
（2）
＝a﹣2
当时，
原式．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】(1)分别把代入计算即可.
（2）把括号里的先通分，再把括号外的除法转化为乘法，分子分母需要进行因式分解的要进行因式分解，把原式化为最简，最后再把a是值代入即可.
16．（2024·潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
（1）△AEH≌△CFG；
（2）四边形EGFH为平行四边形．
【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠EAH＝∠FCG，
由折叠可得，AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，
∴CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，
∴AH＝CG，
在△AEH和△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA）；
（2）由（1）知∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EGFH为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
17．（2024·潍坊）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点P作y轴的平行线，交的图象于点Q．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△OPQ的面积．
【答案】（1）把代入得，，
∴m＝﹣3，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）把代入得，，
∴，
∵PQ∥y轴，
∴点Q的横坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式中，求出点A的坐标，然后再把点A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k.
（2）先求出点P的坐标，因为PQ∥y轴，可以得到点Q的横坐标与点P的横坐标相同，且为，把x=代入反比例函数中，求出点Q的坐标，从而算出PQ，再根据三角形的面积公式求解即可.
18．（2024·潍坊）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
（1）【数据描述】
如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答下列问题．
①平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
②求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．
（2）【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答下列问题．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家 a 3 3.5 1.05
乙商家 4 b 1.24
①直接写出表中a和b的值，并求的值；
②小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
【答案】（1）解：①由题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%＝30个评价分值，
从乙商家抽取了3÷15%＝20个评价分值，
∴甲商家4分的评价分值个数为30﹣2﹣1﹣12﹣5＝10个，
乙商家4分的评价分值个数为20﹣1﹣3﹣3﹣4＝9个，
补全条形统计图如下：
②；
（2）①∵甲商家共有30个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数，
∴，
由条形统计图可知，乙商家4分的个数最多，
∴众数b＝4，
乙商家平均数；
②小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】（1） ① 先根据公式：样本的总数=某项的频数÷该项的百分数，算出甲乙两甲抽取的总评价分值，再计算评价分值为4的甲乙两家的个数，再补全统计图即可.
②圆心角等于评价分值为4的百分率×360°即可.
（2）①当数据的个数为偶数个时，先把数据进行排序，第15个数和第16个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，根据众数的定义，可以得出众数，再根据加权平均数公式求解平均数即可.
（2）根据中位数，众数 和平均数进行分析，只要符合题意即可.
19．（2024·潍坊）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：P＝10x．预计该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：，其中0≤x≤9．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y（万元）．
（1）若y＝148万元，求该商场建造的隔热层厚度；
（2）已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元），且t＝y+x2，当172≤t≤192时，求隔热层厚度x（cm）的取值范围．
【答案】（1）由题意得：，
整理得y＝﹣x2+4x+160，
当y＝148时，则﹣x2+4x+160＝148，
解得：x1＝6，x2＝﹣2．
∵0≤x≤9，
∴x2＝﹣2不符合题意，舍去，
答：该商场建造的隔热层厚度为6cm．
（2）由（1）得y＝﹣x2+4x+160，
∵t＝y+x2，
∴t＝﹣x2+4x+160+x2＝4x+160（172≤t≤192）．
∵4＞0，
∴t随x的增大而增大，
当t＝172时，4x+160＝172，
解得x＝3；
当t＝192时，4x+160＝192，
解得x＝8；
答：x的取值范围为3≤x≤8．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）先根据题意写出y与x的关系式，再令y=148，列出方程﹣x2+4x+160＝148，解出x，最后再根据0≤x≤9，进行取舍即可.
（2）先写出t关于x的关系式，得出t=4x+160，再根据一次函数的增减性和t的取值范围，求出t的最大值和最小值即可.
20．（2024·潍坊）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝1，，求⊙O的直径．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线.
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
即∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°，
∴∠DAB+∠ABC+∠DBC＝∠EAD+∠ADC+∠CDE，
∵∠BAD＝∠EAD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠DBC＝∠CDE，
∵∠DBC＝∠CAD，∠DCB＝∠BAD，∠CAD＝∠BAD，
∴∠CDE＝∠DBC＝∠DCB＝∠BAD，
∴BD＝CD，，
在Rt△CDE中，，
∴CD＝3CE＝3×1＝3，
∴BD＝3，
在Rt△ABD中，，
∴AB＝3BD＝3×3＝9，
即⊙O的直径为9．
【知识点】切线的判定；已知正弦值求边长；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由角平分线可得：∠BAD＝∠EAD，再根据同圆的半径相等，得到：∠OAD＝∠ODA，因此∠ODA＝∠EAD，所以OD∥AC，又因为OD⊥DE，故可得：OD⊥DE，结合切线的判定即可得证.
（2）由AB是⊙O的直径，得到∠ADB＝90°，因此∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°，又因为∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°，可得：∠DBC＝∠CDE，再根据同弧所对的圆周角相等，可证：∠DBC＝∠CAD=∠BAD，又因为AD平分∠BAC，可得，即：CD=BD，再根据求出CD ，即可求出BD的长，同理求出AB即可.
21．（2024·潍坊）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量y（单位：kW h 10﹣1 m﹣2 d﹣1）和太阳能板与水平地面的夹角x°（0≤x≤90）进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？
（3）图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），∠AGD为太阳能板AB与水平地面GD的夹角，CD为支撑杆．已知AB＝2m，C是AB的中点，CD⊥GD．在GD延长线上选取一点M，在D，M两点间选取一点E，测得EM＝4m，在M，E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为30°，45°，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆CD的长．（精确到0.1m，参考数据：，）
【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，
将（0，40），（10，45），（30，49）代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：
∵a<0， 0≤x ≤90
∴当x=30时，日平均太阳辐射量最大
故太阳能板与水平地面的夹角为30度时，日平均太阳辐射量最大.
（3），
延长NF与过点A作AH⊥GM的线交于点H，令FH＝a，
∴AH＝a，AN＝2AH＝2a，
∴，
∵HN＝HF+FN＝4+a，
∴，
∴，
∴，
延长AN交GM与J点，
∵∠AJG＝∠AGJ，
∴AJ＝AG，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）设设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c
把（0，40），（10，45），（30，49）代入得：解得：即可.
（2）先根据求出抛物线的对称轴为直线x=30，又因为开口方向向下，故当x=30时，日平均太阳辐射量最大.
（3）令FH＝a，则可得：AH=FH=a，，AN=2a，又因为HN=a+4，可列方程：，解出，故，再求出，即，又因为C为AB的中点，AC=1，故，再根据30°角的余弦，求出CD即可.
22．（2024·潍坊）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面．喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ＝　 　．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；…，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．已知AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x（m），⊙O1的面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
（4）【问题解决】
该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1？（直接写出结果即可）
【答案】（1）0.785
（2）解：不能，理由如下：
对于任意的n，喷洒面积，而草坪面积始终为324m2．
因此，无论n取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接EF，
要使喷洒覆盖率ρ＝1，即要求，其中s为草坪面积，k为喷洒面积．
∴⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4都经过正方形的中心点O，
在Rt△AEF中，EF＝2r，AE＝x，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AF＝18﹣x，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，
∴4r2＝x2+（18﹣x）2，
∴
∴当x＝9时，y取得最小值，此时4r2＝92+92，
解得：．
（4）解：由（3）可得，当⊙O1的面积最小时，此时圆为边长为9m的正方形的外接圆，
则当时，圆的内接正方形的边长为，
而草坪的边长为18m，，即将草坪分为9个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，
∴至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵喷洒的圆面积k=π r2=πx92=81π(m2)，正方形草坪的面积S =a2=182=324(m2)
∴
故答案为：0.785.
【分析】
（1）先计算半径为9的圆的面积k，再计算边长为18的正方形面积s，计算结果代入公式即可.
（2）同（1）先计算半径为的圆的总面积，而正方形的面积为324，再代入公式进行计算即可.
（3）由图可知，四个圆的半径相等，故EF=2r，再根据勾股定理：AE2+AF2＝EF2，列出：4r2＝x2+（18﹣x）2，再根据圆的面积公式：，又因为a>0，因此当x＝9时，y取得最小值，此时4r2＝92+92，解得r即可.
（4）首先，我们考虑一个喷洒装置能覆盖的正方形区域。一个半径为的圆的直径是，因此它能完全覆盖一个边长为6的正方形。为了覆盖一个边长为18m的正方形，我们可以将大正方形分成边长为6的小正方形，然后在每个小正方形的中心放置一个喷洒装置，而大正方形的边长与小正方形的边长之比是：18÷6=3，即将草坪分为9个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少.
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