人教八上培优练：第13课 等腰三角形（含解析）

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第13课 等腰三角形
题组A 基础过关练
1．下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合；②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；③等腰三角形一定是锐角三角形；④等腰三角形两个底角相等；⑤等腰三角形是轴对称图形．其中真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．习题课上， 张老师和同学们一起探究一个问题∶ “如图， 在 中， 分别 是 上的点， 与 相交于点 ， 添加下列哪个条件能判定 是等腰三角形？"请你判断正确的条件应为（ ）
A． B． C． D．
4．等腰三角形一边上的高等于这条边的一半，那么顶角是（ ）
A．45° B．30°或90° C．90°或150° D．30°或90°或150°
5．如图，是某生产线的横截面示意图，MN表示长度为20米的笔直传送带，在MN的中点正上方3米处，有一个专用消毒喷头，（喷头大小、长度均忽略不计），喷头位置用点p表示，此时MN上有一个边长为2米的正方形盒子ABCD，则在盒子随传送带从点M移动到点N的过程中，以C、D、P三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．如图，在中，点D为边上一点，给出如下关系：①平分；②于D；③D为中点．甲说：如果①②同时成立，可证明；乙说：如果②③同时成立，可证明；丙说：如果①③同时成立，可证明．则正确的说法是（ ）
A．甲、乙正确，丙错误 B．甲正确，乙、丙错误 C．乙正确，甲、丙错误 D．甲、乙、丙都正确
7．如图，在中，，于点，若，则______．
8．顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．
9．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
10．如图，等边中，为的中点，过点作于点，过点作于点，若，则线段的长为____．
11．如图，在中，，D为BC边上一点，，，求的度数．
12．如图，点D在BC上，AC、DE交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）求证：∠C＝∠E；（2）若∠BAD＝20°，求∠CDF的度数．
13．如图，在△ABC中，，，点D、E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB．求证：为等边三角形．
题组B 能力提升练
1．下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
2．如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
3．如图，已知和都是等边三角形，且 、、三点共线．与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
4．如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________．
6．如图，在中，，，，，是的平分线，若点、分别是和上的动点，则的最小值是______．
7．如图，在中，，于点D，于点E．AD交B于点F，点G为BC边的中点，作交直线FG于点H．
（1）如图1，当，时，______，______．（2）如图2，当时，试探索AF与BH的数量关系，并证明．(3)如图3，当时，（2）中AF与BH的数量关系______成立（填“仍然”或“不再”）．请说明理由．
8．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若BQ⊥AD于Q，PQ＝6，PE＝2，求AD的长．
9．如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝8，M为AC中点，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE、DE、ME．（1）求证：CD＋CE＝CA；
（2）求出点M到CE所在直线的距离；（3）当ME＝时，求CE的值．
10．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
（1）问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
（2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图1 图2
题组C 培优拔尖练
1．如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（ ）
①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
2．如图，点在一条直线上，分别以，为边作等边三角形、，连接、，分别交、于点，相交于点．则下列说法：①；；③；④；⑤连接，则平分．其中正确的说法个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于E、F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点，连接CM、DM．在点M的运动过程中，△CDM的周长存在最______值（填入“大”或“小”），最值为______．
4．如图，在中，，点P在的平分线上，将沿对折，使点B恰好落在边上的点D处，连接，若，则______．
5．如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是_______．
6．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有_________
7．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，AD=CE，连接BD，AE，点M、N分别在线段BE、BD上，满足BM=BN，MN=ME，若∠DBC：∠BEN=8：7，则∠AEN的度数为_______．
8．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
9．如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH∠BC于点H，交BO于点P．
（1）求线段OP的长度；
（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段A延长线于N点，则S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
10．（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是　 　；BE＋BF与的BC数量关系是　 　；（写出结论即可，不必证明）
（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE＋BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；
（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是　 　．（直接写出结论即可）
11．已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在射线BF上，连接CE．
（1）如图1，BD与CE是否相等？请说明理由；
（2）如图1，求∠BCE的度数；
（3）如图2，当D在BC延长线上时，连接BE，△ABE、△CDE与△ADE的面积有怎样的关系？并说明理由．
题组A 基础过关练
1．下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合；②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；③等腰三角形一定是锐角三角形；④等腰三角形两个底角相等；⑤等腰三角形是轴对称图形．其中真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，即可判断①；根据等腰三角形三线合一的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可判断②；根据等腰三角形的分类，即可判断③；根据等腰三角形的性质，即可判断④；根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对称，两边的图形能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，即可判断⑤等腰三角形一定是轴对称图形．
【详解】解：①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高线三线重合，故该项错误；
②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，故该项正确；
③等腰三角形不一定是锐角三角形，故该项错误；④等腰三角形两个底角相等，故该项正确；
⑤等腰三角形是轴对称图形，故该项正确．综上可得：②、④、⑤正确故选：B
【点睛】本题考查了真假命题的判断、角平分线的性质、轴对称图形的定义、等腰三角形的性质与分类，熟练掌握相关定义与性质是解本题的关键．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据作图过程可得BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
根据作图过程可知：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故选项C成立；
∵∠BDC=∠ACB=72°，∴BD=BC，故选项A成立；∵∠ABD=∠A=36°，∴AD=BD，故选项B成立；
没有条件能证明CD=AD，故选项D不成立；故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
3．习题课上， 张老师和同学们一起探究一个问题∶ “如图， 在 中， 分别 是 上的点， 与 相交于点 ， 添加下列哪个条件能判定 是等腰三角形？"请你判断正确的条件应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】添加，，∠BEO=∠BOE，不能判断三角形全等，故A，B，D选项不正确，
若添加条件：∠BEO=∠CDO
∵在△EBO和△DCO中，，∴△EBO≌△DCO（AAS），∴∠EBO=∠DCO，
∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；故选C
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，掌握以上知识是解题的关键，
4．等腰三角形一边上的高等于这条边的一半，那么顶角是（ ）
A．45° B．30°或90°
C．90°或150° D．30°或90°或150°
【答案】D
【分析】分三种情形①BD是腰上的高．②AD是底边上的高，③△ABC是钝角三角形．分别求解即可．
【详解】解：①如图中，
∵AB=AC，BD⊥AC，BD=AC=AB，∴∠A=30°；
②如图中，
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∵AD=BC，∴AD=DB=DC，
∴∠DAB=∠DAC=45°，∴∠BAC=90°；
③如图，
AB=AC，BD⊥AC，BD=AB，则∠BAD=30°，∠BAC=150°，
∴等腰三角形的顶角为30°或90°或150°．故选：D．
【点睛】本题考查了含30度的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
5．如图，是某生产线的横截面示意图，MN表示长度为20米的笔直传送带，在MN的中点正上方3米处，有一个专用消毒喷头，（喷头大小、长度均忽略不计），喷头位置用点p表示，此时MN上有一个边长为2米的正方形盒子ABCD，则在盒子随传送带从点M移动到点N的过程中，以C、D、P三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质分情况讨论即可．
【详解】解：∵四边形为正方形∴，
∵，在中点，∴，
∴①当正方形在上，时，为等腰三角形；
②当正方形在 上，时，为等腰三角形；
③当过正方形边中点上时，，为等腰三角形；
④当正方形在上，时，为等腰三角形；
⑤当正方形在上，时，为等腰三角形；
综上所述，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有5个．故选：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正确理解题意、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6．如图，在中，点D为边上一点，给出如下关系：①平分；②于D；③D为中点．甲说：如果①②同时成立，可证明；乙说：如果②③同时成立，可证明；丙说：如果①③同时成立，可证明．则正确的说法是（ ）
A．甲、乙正确，丙错误 B．甲正确，乙、丙错误 C．乙正确，甲、丙错误 D．甲、乙、丙都正确
【答案】D
【分析】通过①②可证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得判断甲的说法；通过②③可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可得判断乙的说法；延长至点，使，连接，先证出，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可判断丙的说法．
【详解】解：当①②同时成立时，
平分，，
，，
在和中，，
，，即甲的说法正确；
当②③同时成立时，则垂直平分，，即乙的说法正确；
当①③同时成立时，如图，延长至点，使，连接，
为中点，，在和中，，
，，
平分，，，
，，即丙的说法正确；
综上，甲、乙、丙都正确，故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，较难的是证明丙的说法，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
7．如图，在中，，于点，若，则______．
【答案】3
【分析】根据等腰三角形的性质可知是的中点，即可求出的长．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
8．顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．
【答案】
【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可．
【详解】解：设BE与AC、AD交于M、N，
ABCDE是正五边形，内角和为，每一个内角为，
∴∠ABC＝∠BAE＝∠AED＝∠BCD＝∠CDE＝108°，
∵AB＝BC＝AE＝ED，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∠EAD＝∠ADE＝36°，
∴∠CAD＝36°，∠ACD＝∠ADC＝72°，∴AC＝AD，∴△ACD是黄金三角形，
同理可求：∠BAN＝∠ANB＝∠AME＝∠EAM＝72°，∠CBM＝∠BMC＝∠DNE＝∠DEN＝72°，
∴△AMN、△DEN、△EAM、△CMB，△ABN也是黄金三角形．
则图中黄金三角形的个数有6个．故答案为：6．
【点睛】此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义．注意：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形．
9．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
【答案】6
【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．故答案为6．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
10．如图，等边中，为的中点，过点作于点，过点作于点，若，则线段的长为____．
【答案】7.5
【分析】根据等边三角形的性质得出，再根据直角三角形的性质求出，由题意求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：是等边三角形，，，
，，，
，，，，
在中，，
，，故答案为：7.5．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
11．如图，在中，，D为BC边上一点，，，求的度数．
【答案】∠DAC＝74°
【分析】根据等边对等角可得∠C＝∠B＝32°，然后根据三角形的内角和定理，即可求出∠BAC，从而求出∠DAC的度数．
【详解】解：∵AB＝AC，∠B＝32°，∴∠C＝∠B＝32°，
∴∠BAC＝180°﹣32°﹣32°＝116°，
∵∠DAB＝42°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝116°﹣42°＝74°．
【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，掌握等边对等角和三角形的内角和等于180°是解决此题的关键．
12．如图，点D在BC上，AC、DE交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）求证：∠C＝∠E；（2）若∠BAD＝20°，求∠CDF的度数．
【答案】（1）见解析；（2）20°
【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△ADE，则∠C＝∠E，此题得证；
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到∠ADE＝∠B，由等腰△ABD的性质和三角形内角和定理求得∠ADB＝80°；最后根据邻补角的定义解答．
【解析】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE．
在△ABC与△ADE中，,∴△ABC≌△ADE（SAS）．∴∠C＝∠E；
（2）由（1）知，△ABC≌△ADE，则∠ADE＝∠B．
∵∠BAD＝20°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝80°．∴∠ADE＝80°．
∴∠CDF＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝20°．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解题的关键是根据题目条件结合性质定理进行证明求解．
13．如图，在△ABC中，，，点D、E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB．求证：为等边三角形．
【答案】证明见解析．
【分析】根据等腰三角形性质求出，再根据，，和三角形的内角和定理，证明，得到，即可证明为等边三角形．
【详解】证明：∵，，∴，
∵，，∴，即，
∴，∴为等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据等边三角形的判定判断．
【解析】两个角为 60°，则第三个角也是 60 °，则其是等边三角形，故正确；
② 这是等边三角形的判定 2 ，故正确； ③ 三角形内角和为180°，三个角都相等，即三个角的度数都为60°，则其是等边三角形，故正确；④ 这是等边三角形定义，故正确．
【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的判定，解题关键是熟记等边三角形性质和定义进行解答.
2．如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可．
【详解】解：过作交于，，是等边三角形，
，，，，
是等边三角形，，，，
，，，
在和中，，，
，，，
，，故选：C．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
3．如图，已知和都是等边三角形，且 、、三点共线．与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质对各结论逐项分析即可判定．
【解析】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形。∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，则①正确；
②∵∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCD=60°∴△DCE是等边三角形
∴∠EDC=60°=∠BCD ∴BC//DE ∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+ ∠DEO=∠DEC=60°，②正确；
③∵∠DCP=60°=∠ECQ 在△CDP和△CEQ中，∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠DCP=∠ECQ
∴△CDP≌△CEQ（ASA）∴CР=CQ∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴△PC2是等边三角形，③正确；
④∠CPQ=∠CQP=60°∴∠QPC=∠BCA∴PQ//AE，④正确；
⑤同④得△ACP≌△BCQ（ASA）∴AP=BQ，⑤正确．故答案为A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
4．如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得．
【详解】解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点．
则符合条件的点共有5个，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题关键．
5．已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________．
【答案】100°，70°，40°或者10°
【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．
【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，
∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，
（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；
（2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；
（3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；
第二种请况：BC=CD时，如图，
∵∠B=20°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，
∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；
第三种情况：BC=BD时，如图，
∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，
∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；
综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．
6．如图，在中，，，，，是的平分线，若点、分别是和上的动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】由题意可以把Q反射到AB的Q点，如此PC+PQ的最小值问题即变为C与线段AB上某一点O的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解．
【详解】解：如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时，
CO=PC+PO=PC+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，
∵当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，
∴PC+PQ的最小值即为CM的长度，
∵，
∴CM=，即PC+PQ的最小值为 ，故答案为．
【点睛】本题考查线段和最小的问题，通过轴反射把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．
7．如图，在中，，于点D，于点E．AD交B于点F，点G为BC边的中点，作交直线FG于点H．
(1)如图1，当，时，______，______．(2)如图2，当时，试探索AF与BH的数量关系，并证明．(3)如图3，当时，（2）中AF与BH的数量关系______成立（填“仍然”或“不再”）．请说明理由．
【答案】(1)3；3(2)BH＝CF，见解析(3)仍然，见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AF＝CF＝BF＝3，再说明BF＝BH，可得答案；
（2）连接CF，首先利用ASA证明△ADC≌△BDF，得DF＝DC，则∠DCF＝45°，再证明△CGF≌△BGH，得BH＝CF，从而证明结论；
（3）连接CF，先证明CFBH，得到∠H＝∠CFG，再证明△CGF≌△BGH（AAS），从而解决问题．
（1）解：如图1，∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∠CBE＝30°，∴AF＝CF＝3，
∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，∴∠HBC＝∠ABH－∠ABC＝30°，
∵AD⊥BC，∴∠BDH＝∠BDF＝90°，AD垂直平分BC，
∴∠H＝90°－∠HBC＝60°，∠BFH＝90°－∠CBE＝60°，BF＝CF＝AF＝3，
∴∠H＝∠BFH＝60°，∴BH＝BF，∴BF＝BH＝CF＝3，故答案为：3，3；
（2）AF＝BH，理由如下：连接CF，如图2，
∵∠ABD＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADC＝∠BDF＝90°，
∵BE⊥AC，∴∠AEF＝∠BDF＝∠ADC＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，∴∠EAF＝∠DBF，∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴DF＝DC，∴∠DCF＝45°，∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，
∴∠HBG＝∠ABH －∠ABD＝45°，∴∠HBG＝∠FCD，
∵点G为BC边的中点，∴CG＝BG，
∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（ASA），∴BH＝CF，
∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，∴AF＝BH；
（3）仍然，证明如下：连接CF，如图3，
∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E．由三角形三条高交于一点，得CF⊥AB．
∵BH⊥AB，∴CFBH．∴∠H＝∠CFG，
∵点G为BC边的中点，∴CG＝BG，
∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（AAS），∴BH＝CF，
∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，∴AF＝BH；故答案为：仍然．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、证明△CGF≌△BGH是解题的关键．
8已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．
(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BPQ的度数；(3)若BQ⊥AD于Q，PQ＝6，PE＝2，求AD的长．
【答案】(1)证明见详解；(2)60°；(3)14．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质，即可求得∠BPQ=60°；
（3）利用（2）的结果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ=BP=12，则易求BE=BP+PE=14，进而得出AD的长．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP，即∠BPQ=∠BAC=60°；
（3）∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=12，∴BE=BP+PE=12+2=14，∵△ABE≌△CAD，∴BE=AD=14．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中求证△ABE≌△CAD是解题的关键．
9．如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝8，M为AC中点，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE、DE、ME．（1）求证：CD＋CE＝CA；
（2）求出点M到CE所在直线的距离；（3）当ME＝时，求CE的值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）或；
【分析】（1）依据可证明，可得，即可； （2）过点作，由（1）知，利用直角三角形的性质，即可求解；（3）过点作，讨论点，在线段上还是的延长线上，通过直角三角形的性质，即可求解；
【详解】（1）由题知，为等边三角形，∴；
又，逆时针旋转；由旋转的性质可知：；，∴；
在和中，，∴ ，∴
∴∴；
（2）过点作，
由（1）知，∴，
又为的中点，∴；在中，，∴ ；
∴ ；∴ ；∴到所在直线的距离为；
（3）过点作，
由（2）知，，；在中，，；∴ ；
当点落在线段上时，；
当点落在线段的延长线时，；∴的值为或；
【点睛】本题主要考查全等三角形证明、等边三角形和直角三角形的性质，关键在寻找相关条件作辅助线；
10．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图1 图2
【答案】(1)见解析(2)；
【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．
(1)证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，∴，，，
∴，∴．
在和中，，∴，∴．
(2)解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，∴，，
∵是等腰直角三角形，∴，
∴，∴，
∴．
∵，，∴．
∵，∴，∴．∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（ ）
①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】如图，连接AC，由△ABD是等边三角形得AB=AD，从而得点A、CD都在线段BD的垂直平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，即可判断②正确，三角形的外角性质得∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，从而判断③错误，先找到CE=AE，又由△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，得AD=AB=8，EF=DE=2，从而有CF=CE-EF=4，即可判断④正确．
【详解】解：如图，连接AC，
∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，
∵，∴点A、C都在线段BD的垂直平分线上，
∴连接AC，则AC垂直平分线段BD，故①正确，
∵，∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，
∴△DEF是等边三角形，故②正确，
∵BC=BD，，∴∠CDB=∠CBD=40°，
∵∠DFE=60°，∴∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③错误，
∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°，∴∠CAB=∠CAD=30°，
∵AB//CE，∴∠ACE=∠CAB=∠CAD，∴CE=AE，
∵△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，∴AD=AB=8，EF=DE=2，
∴CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=8-2-2=4，故④正确，故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
2．如图，点在一条直线上，分别以，为边作等边三角形、，连接、，分别交、于点，相交于点．则下列说法：①；；③；④；⑤连接，则平分．其中正确的说法个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据SAS先证，可得①正确；再根据AAS证，得②正确；由全等三角形的对应边相等得AD=BE，AM=BN，从而可得DM=EN，所以③正确；再由全等三角形的对应角相等及对顶角相等得∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD，得证∠BOM=∠ACB=60°，∠AOE=120°,④正确；连接OC，过点C作CH⊥AB于点H，作CF⊥BE于点F，由全等三角形的对应高相等得CH=CF，从而由角平分线的判定证得平分，得⑤正确．
【详解】解：∵△ABC与△DCE是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∴(SAS)∴AD=BE，故①正确；
∵，∴∠DAC=∠EBC，又∵∠ACB=∠BCD=60°，AC=BC，∴，故②正确；
∵，∴AM=BN，∴AD-AM=BE-BN即DM=EN故③正确；
∵∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD∴∠BOM=∠ACB=60°∴∠AOE=120°故④正确；
如图，连接OC，过点C作CH⊥AB于点H，作CF⊥BE于点F，
∵，∴CH=CF，∴平分，故⑤正确；故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形．
3．如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于E、F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点，连接CM、DM．在点M的运动过程中，△CDM的周长存在最______值（填入“大”或“小”），最值为______．
【答案】 小 11
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接AD，MA，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，∴，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，
∴MA=MC，∴MC+DM=MA+DM≥AD，∴MC+DM有最小值，∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短为：，故答案为：小，11．
【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键．
4．如图，在中，，点P在的平分线上，将沿对折，使点B恰好落在边上的点D处，连接，若，则______．
【答案】
【分析】根据等腰三角形底角相等、角平分线的性质和折叠的性质，证得，从而得到，，进一步证明，再根据得到，推算出，再根据三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：如下图所所示，连接，
∵点P在的平分线上，∴，∵，∴,
∵折叠，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，
∵，∴，∵，
∵ ,∴,∴,
∴,∴,
∵∴,∴．
【点睛】本题考查等腰三角形、角平分线、全等三角形、三角形内角和定理和三角形外角定理，解题的关键是证明．
5．如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是_______．
【答案】10°或80°或20°或140°
【分析】分三种情形：，，分别求解即可解决问题．
【详解】解：如图，
在中，，
①当时，，，
②当时，，③当时，，
综上所述，满足条件的的值为或或或．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
6．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有_________
【答案】②③⑤
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【详解】解：∵∠B、∠C的角平分线交于点F，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
设∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β，∵，∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β，
∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴DB＝DF，EF＝EC，
∴△BDF与△CEF为等腰三角形，∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，故②正确；
∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，故③正确；
只有当△ABC是等腰三角形时，即∠ABC=∠ACB，则∠FBC=∠FCB，∠ADE=∠AED，则BF＝CF，AD=AE，根据现有条件无法证明BF=CF，并且无法证明∠ADE=∠A或∠AED=∠A，即无法证明△ADE为等腰三角形，故①、④错误；∵∠A＝80°，∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°，
∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正确．故答案为②③⑤．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定及角平分线的定义及平行线的性质，三角形内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
7．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，AD=CE，连接BD，AE，点M、N分别在线段BE、BD上，满足BM=BN，MN=ME，若∠DBC：∠BEN=8：7，则∠AEN的度数为_______．
【答案】45°
【分析】由三角形ABC为等边三角形，得到AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，再由AD=CE，利用SAS得出三角形ACE与三角形BAD全等，得到∠EAC=∠ABD，由∠BGE为三角形ABG的外角，利用外角性质得到∠BGE=60°，设∠DBC=8x，∠BEN=7x，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出14x+14x+8x=180°，得出x的值，利用三角形外角的性质即可得出答案；
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，
在△ACE和△BAD中，∴△ACE≌△BAD（SAS），
∴∠CAE=∠ABD；∴∠BGE=∠ABD+∠BAE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°，
∵∠DBC：∠BEN=8：7，设∠DBC=8x，∠BEN=7x，
∵MN=ME，∴∠MNE=∠BEN=7x，∴∠BMN=14x，
∵BM=BN，∴∠BMN=∠BNM =14x，在△BMN中，14x+14x+8x=180°，∴x=5°
∵∠BNE=∠BGE+∠AEN=∠BNM+∠MNE=21x=105°，∴∠AEN=105°-60°=45°；故答案为：45°
【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠BEG=60°和利用方程的数学思想．
8．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
【答案】80
【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．
【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，
∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，
∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．
【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．
9．如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH∠BC于点H，交BO于点P．（1）求线段OP的长度；（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段A延长线于N点，则S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）不改变，
【分析】（1）证△OAP≌△OBC（ASA），即可得出OP=OC=1；（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，证△COM≌△PON（AAS），得出OM=ON．得出HO平分∠CHA，即可得出结论；
（3）连接OD，由等腰直角三角形的性质得出OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD，则∠OAD=45°，证出∠DAN=∠MOD．证△ODM≌△ADN（ASA），得S△ODM=S△ADN，进而得出答案．
【详解】解：（1）∵BO⊥AC，AH⊥BC，∴∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，
∴∠OAP+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，，
∴△OAP≌△OBC（ASA），∴OP＝OC＝1；
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图1所示：
在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
在△COM与△PON中，，∴△COM≌△PON（AAS），∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，∴HO平分∠CHA，∴∠OHP=∠AHC＝45°；
（3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于．理由如下：连接OD，如图2所示：
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，∴∠DAN＝135°＝∠DOM．
∵MD⊥ND，即∠MDN＝90°，∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．
在△ODM和△ADN中，，∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN，∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD=S△AOB=×AO BO=××3×3=．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
10．（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是　 　；BE＋BF与的BC数量关系是　 　；（写出结论即可，不必证明）
（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE＋BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；
（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是　 　．（直接写出结论即可）
【答案】（1）DE=DF，BE+BF=BC；（2）DE=DF，BE+BF=BC；（3）DE=DF，BF-BE=BC
【分析】（1）点与点重合，即，因为，所以可得出三者之间的关系；
（2）过作交于点，证明，DE=DF，ME=CF，即可得到结果；
（3）取中点，连接，证明△END≌△FCD，得到DE=DF，从而判断BE、BF、BC的关系．
【详解】解：（1）等边中，点为的中点，，
，，；
（2）；．过作交于点，
则，，是等边三角形，
则，，则，即：，
在和中，，，
，，∴；
（3）取中点，连接，如图所示
，，，
，，
，，．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．
11．已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在射线BF上，连接CE．
（1）如图1，BD与CE是否相等？请说明理由；（2）如图1，求∠BCE的度数；（3）如图2，当D在BC延长线上时，连接BE，△ABE、△CDE与△ADE的面积有怎样的关系？并说明理由．
【答案】（1）BD=CE，理由见解析；（2）∠BCE=120°；（3）S△ABE+S△CDE=S△ADE；理由见解析．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，根据角的和差关系可得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可得结论；
（2）根据等边三角形的性质可得∠B=∠ACB=60°，根据全等三角形的性质可得∠ACE=∠B=60°，根据角的和差关系即可得答案；（3）根据角的和差关系可得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证明△ABD≌△ACE，可得S△ABD=S△ACE，可得∠ABC=∠ACE=60°，根据平角定义可得∠ECD=60°，可得AB//CE，根据平行线间的距离相等可得S△ABE=S△ABC，根据图形面积的和差关系即可得出S△ADE=S△ABE+S△CDE．
【详解】（1）BD=CE，理由如下：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，∠CAE+∠DAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．
（2）△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，
∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE=∠B=60°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°．
（3）S△ABE+S△CDE=S△ADE，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，
∴S△ABD=S△ACE，∠ABC=∠ACE=60°，∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=60°，
∴∠ABC=∠ECD，∴AB//CE，∴S△ABE=S△ABC，
∵S△ACE+S△CDE=S△ADE+S△ACD，∴S△ABD+S△CDE=S△ADE+S△ACD，
∴S△ABC+S△ACD+S△CDE=S△ADE+S△ACD，∴S△ABE+S△CDE=S△ADE．
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