人教八上培优练：第15课 乘法公式（含解析）

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第15课 乘法公式
题组A 基础过关练
1．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．下列乘法中，能运用完全平方公式进行运算的是（ ）
A．(x+a)(x-a) B．(b+m)(m-b) C．(-x-b)(x-b) D．(a+b)(-a-b)
3．如果，那么a、b的值分别为（ ）
A．2；4 B．5；-25 C．-2；25 D．-5；25
4．若2b﹣a＝﹣2，a+2b＝5．则a2﹣4b2＝_____．
5．已知，则__________．
6．计算：_______________________
7．若代数式是一个完全平方式，则__．
8．如图，有两个边长分别为a，b的正方形A，B（a＞b＞0），现将B放在A内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．
（1）若a＝5，b＝3则图甲阴影部分面积为______；
（2）若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为m和n，则正方形A，B的面积之和为______（用含m，n的代数式表示）．
9．已知，．求：（1）的值；（2）的值．
10．先化简，再求值：（m﹣4n）2﹣4n（3n﹣2m）﹣3（﹣2n+3m）（3m+2n），
其中13m2﹣8n2﹣6＝0．
11．运用整式乘法公式简便计算：．
题组B 能力提升练
1．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
2．如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（ ）
A． B．
C． D．
3．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用如图1可以得到，那么利用如图2所得到的数学等式是（ ）.
A． B．
C． D．
4．无论，为何值，代数式的值总是（ ）
A．非负数 B． C．正数 D．负数
5．代数式的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则 ________________.
9．根据，，，…的规律，则可以得出的末位数字是______．
10．探究应用：
（1）计算：
①； ②；
（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你能发现一个新的乘法公式：______（请用含a，b的式子表示）
（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
（4）直接用公式写出计算结果：______．
11．已知，求代数式的值．
12．阅读材料：
例题：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值．
解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，
∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0，
∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0，
∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0，
∴a＝1，b＝．
参照上面材料，解决下列问题：
（1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值；
（2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值．
13.如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成4个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积；
方法1：______； 方法2：______；
（2）由（1）写出，，mn这三个代数式之间的等量关系：______；
（3）根据（2）中得到的等量关系，解答问题：若，，求．
14．【知识生成】通过第九章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：
（1）写出图1中所表示的数学等式_________．
（2）如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是________．
（3）【知识应用】若x+y＝7，xy＝，求x﹣y的值；
（4）【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A，B的面积之和_______．
题组C 培优拔尖练
1．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…… ……
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ）
A．2022 B． C． D．4042
2．已知是一个有理数的平方，则不能为（ ）
A． B． C． D．
3．已知（m﹣53）（m﹣47）＝25，则（m﹣53）2+（m﹣47）2的值为（ ）
A．136 B．86 C．36 D．50
4．已知，则的值是___________．
5．当k＝_____时，100－kxy+49是一个完全平方式．
6．已知关于x的式子－x2＋4x，当x＝______时，式子有最_____值，这个值是______．
7．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：_________
A． B． C． D．
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：，，求的值；
②计算：．
8．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，再按图b的形状拼成一个正方形.
（1）请用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积
方法1：_________________；方法2：_________________.
（2）观察图b，写出下面三个式子，，之间的等量关系_________;
（3）根据(2)中的等量关系，解决以下问题：
①已知，，则________；
②已知， ，求的值．(写出解答过程)
9．若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若满足，求的值为______；
（2）若满足，则______；
（3）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是35，分别以、作正方形，求阴影部分的面积．
10．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：
（1）写出图中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
（3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为长方形，那么他总共需要多少张纸片？
11．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到三者之间的等量关系式：________﹔
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，
如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：．
利用上面所得的结论解答下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
题组A 基础过关练
1．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据平方差公式计算即可得到答案
【详解】解：∵，∴，∴．故选B．
【点睛】此题考查平方差公式，熟记公式并熟练应用是解题的关键．
2．下列乘法中，能运用完全平方公式进行运算的是（ ）
A．(x+a)(x-a) B．(b+m)(m-b) C．(-x-b)(x-b) D．(a+b)(-a-b)
【答案】D
【分析】根据完全平方公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中两项完全相同．
【解析】解：A、B、C、符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
D，后边提取负号得：-（a+b）（a+b），故能运用完全平方公式进行运算．故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式的结构，解题的关键是注意两个二项式中两项完全相．
3．如果，那么a、b的值分别为（ ）
A．2；4 B．5；-25 C．-2；25 D．-5；25
【答案】D
【分析】已知等式左边利用完全平方公式展开，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
【解析】已知等式整理得：x2+2ax+a2=x2-10x+b，可得2a=-10，a2=b，解得：a=-5，b=25，故选D．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．若2b﹣a＝﹣2，a+2b＝5．则a2﹣4b2＝_____．
【答案】10
【分析】从结论入手，用平方差公式进行因式分解，再对第一个条件进行变形即可求出答案．
【详解】解：∵2b﹣a＝﹣2，∴a﹣2b＝2，∴a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝5×2＝10．故答案为：10．
【点睛】此题考查了平法差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
5．已知，则__________．
【答案】2
【分析】利用完全平方公式化简，然后将代入计算即可得出结果。
【解析】解：
当时，原式．故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用和化简求值，能熟练运用完全平方公式是解题的关键．
6．计算：_______________________
【答案】
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
7．若代数式是一个完全平方式，则__．
【答案】±10
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】解：∵代数式是一个完全平方式，
∴，
∴k=±10．
故答案为：±10．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
8．如图，有两个边长分别为a，b的正方形A，B（a＞b＞0），现将B放在A内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．
（1）若a＝5，b＝3则图甲阴影部分面积为______；
（2）若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为m和n，则正方形A，B的面积之和为______（用含m，n的代数式表示）．
【答案】 4 m＋n##n+m
【分析】（1）图甲中阴影部分是边长为a-b的正方形，根据面积公式可得答案；
（2）先求出图乙中阴影部分的面积，可得，2ab=n，利用=求解即可．
【详解】解：（1）图甲中阴影部分是边长为a-b的正方形，因此面积为，
当a＝5，b＝3时，=．
故答案为：4；
（2）∵图乙中阴影部分的面积可以看作是从边长为（a+b）的正方形面积中减去两个边长分别为a、b的正方形面积，即，
∴2ab=n，
由（1）知，=m，
∴=
= m＋n，
即正方形A，B的面积之和为m＋n，
故答案为：m＋n．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，由面积之间的关系得出关系式是正确解答的关键．
9．已知，．求：
(1)的值； (2)的值．
【答案】(1)14
(2)12
【分析】（1）根据求解即可；
（2）根据求解即可
（1）
解：∵，
∴
=．
（2）
解：∵，
∴
=．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
10．先化简，再求值：（m﹣4n）2﹣4n（3n﹣2m）﹣3（﹣2n+3m）
（3m+2n），其中13m2﹣8n2﹣6＝0．
【答案】﹣26m2+16n2，－12
【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再把已知整体代入得出答案．
【详解】解：原式＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣3（9m2﹣4n2）
＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣27m2+12n2＝﹣26m2+16n2，
∵13m2﹣8n2﹣6＝0，∴13m2﹣8n2＝6，∴原式＝﹣2（13m2﹣8n2）＝﹣2×6＝﹣12．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
11．运用整式乘法公式简便计算：．
【答案】1
【分析】把原式第二部分变形为平方差公式计算即可得到解答．
【详解】原式=
．
【点睛】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的各种变式是解题关键．
题组B 能力提升练
1．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】图甲中根据阴影部分面积等于大正方形减去小正方的面积，图乙中直接求长方形的面积即可，根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可求解．
【详解】解：图甲阴影部分的面积为，图乙中阴影部分的面积等于
两个图形中阴影部分的面积相等，
故选C．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，正确的求出阴影部分面积是解题的关键．
2．如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．
【详解】解：左边图形的阴影部分的面积=a2-b2
右边的图形的面积 =（a+b）（a-b）．
∴， 故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式．掌握利用图形面积证明代数恒等式是解本题的关键．
3．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用如图1可以得到，那么利用如图2所得到的数学等式是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由图2可知，正方形的面积有两种求法,分别求解，即可得到等式.
【解析】图2的正方形面积第一种求法为；第二种求法是把它分割成9个图形的面积之和，为 故选B.
【点睛】此题主要考查乘法公式的几何验证，解题的关键是根据图形的面积求解.
4．无论，为何值，代数式的值总是（ ）
A．非负数 B． C．正数 D．负数
【答案】C
【分析】把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．
【详解】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+4b+4）+1＝（a﹣1）2+（b+2）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，∴（a﹣1）2+（b+2）2+1＞0，即原式的值总是正数．故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方式的应用，对代数式进行正确变形是解题的关键．
5．代数式的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．
【解析】代数式
∵∴即代数式故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．
6．如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，利用完全平方公式可求解．
【详解】设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0）
∴a2＋4b2＋xab是一个完全平方式，∴x为4，故选C
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．
7．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用平方差公式计算进而得出答案．
【详解】解：，
．故选：D．
【点睛】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．
8．若，则 ________________.
【答案】8
【分析】先把可化为 ，再将化为，然后代入即可解答。
【解析】解：∵可化为，化为
∴原式==32-1=8
【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键在于对等式的变形和完全平方公式的灵活运用。
9．根据，，，…的规律，则可以得出的末位数字是______．
【答案】7
【分析】先根据规律可得，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律即可得．
【详解】解：由题中的规律可知，，
将代入得：，
则，
因为，，，，，，
所以的末位数字是按为一个循环的，
因为，
所以的末位数字与的末位数字相同，即为7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了与多项式乘法相关的规律、数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
10．探究应用：
(1)计算：
①；
②；
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你能发现一个新的乘法公式：______（请用含a，b的式子表示）
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
(4)直接用公式写出计算结果：______．
【答案】(1)；
(2)
(3)C
(4)
【分析】（1）按多项式的乘法法则进行展开后，合并同类项即可得；
（2）根据（1）中的计算进行总结即可；
（3）根据（2）中总结的公式特点进行判断即可；
（4）利用（2）中的公式进行计算即可．
（1）
解：
；
．
（2）
解：如中，，，，
∴发现的公式为：．
故答案为：
（3）
解：A、，不符合（2）中公式规律，故不符合题意；
B、，不符合（2）中公式规律，故不符合题意；
C、，符合（2）中公式规律，故符合题意；
D、，不符合（2）中公式规律，故不符合题意．
故选：C
（4）
解：根据公式，原式．
故答案为：
【点睛】本题考查了多项式乘多项式及探索规律题，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
11．已知，求代数式的值．
【答案】12
【分析】将原式乘2，即可分成3个完全平方式，代入已知数据可求解．
【解析】原式==
=
原式
【点睛】本题考查求代数式的值，利用整体代入思想，把某代数式看作一个“整体”，即当成一个新的字母，再求关于这个新字母的代数式的值，运用整体思想的关键是找准被看作整体的代数式．
12．阅读材料：
例题：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值．
解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，
∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0，
∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0，
∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0，
∴a＝1，b＝．
参照上面材料，解决下列问题：
（1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值；
（2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值．
【答案】（1）x＝﹣4，y＝6；（2）
【分析】（1）先变形出完全平方公式，利用完全平方数的非负性即可得出解；
（2）先变形出完全平方公式，利用完全平方数的非负性即可得出解.
【详解】解：（1）∵x2+y2+8x﹣12y+52＝0，∴（x2+8x+16）+（y2﹣12y+36）＝0，
∴（x+4）2+（y﹣6）2＝0，∴x+4＝0，y﹣6＝0，
解得，x＝﹣4，y＝6，故答案为：x＝﹣4，y＝6；
（2）2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，（x2+4y2+4xy）+（x2﹣2x+1）＝0，（x+2y）2+（x﹣1）2＝0，
则 ，解得x+y＝1﹣＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形以及完全平方数的非负性的应用，掌握完全平方数的非负性是解题的关键.
13.如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成4个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积；
方法1：______； 方法2：______；
(2)由（1）写出，，mn这三个代数式之间的等量关系：______；
(3)根据（2）中得到的等量关系，解答问题：若，，求．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）一种方法是先表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；另一种方法是先用m、n表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示之．
（2）(m+n)2，(m n)2，mn分别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积-四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系．
（3）由（2）得出的关系式变形即可得结果．
（1）
解：方法1：由图形可知，大正方形面积减去四个小长方形面积来表示即为阴影部分面积，大正方形边长为，则大正方形面积为，所以阴影部分面积为；
方法2：阴影部分为正方形，边长为，故面积可表示为；
故答案为：；．
（2）
∵与都表示同一个图形面积，
∴－4．
故答案为：－4．
（3）
∵2a+b=6，ab=4，
∴
【点睛】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．
14．【知识生成】通过第九章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：
(1)写出图1中所表示的数学等式_________．
(2)如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是________．
(3)【知识应用】若x+y＝7，xy＝，求x﹣y的值；
(4)【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A，B的面积之和_______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)13
【分析】（1）根据大正方形面积=两个边长分别为a、b的小正方形面积+2个长方形面积进行求解即可；
（2）根据空白部分的面积=大正方形面积-4个长方形面积进行求解即可；
（3）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图甲和图乙的阴影部分面积求出，，据此求解即可．
（1）
解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）
解：∵，，
故答案为：；
（3）
解：∵，
∴，
∴，
∴；
（4）
解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由题意得：，，
∴，
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意熟知完全平方公式是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…… ……
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ）
A．2022 B． C． D．4042
【答案】B
【分析】首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
【详解】解：由题意：，…，
…，
可知，展开式中第二项为含项，
∴展开式中含项的系数是﹣4044．
故选B．
【点睛】本题考查杨辉三角，解题的关键是灵活运用杨辉三角的规律解决问题．
2．已知是一个有理数的平方，则不能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．
【解析】2n是乘积二倍项时，2n+218+1=218+2 29+1=（29+1）2，此时n=9+1=10，
218是乘积二倍项时，2n+218+1=2n+2 217+1=（217+1）2，此时n=2×17=34，
1是乘积二倍项时，2n+218+1=（29）2+2 29 2-10+（2-10）2=（29+2-10）2，此时n=-20，
综上所述，n可以取到的数是10、34、-20，不能取到的数是36．故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．
3．已知（m﹣53）（m﹣47）＝25，则（m﹣53）2+（m﹣47）2的值为（　　）
A．136 B．86 C．36 D．50
【答案】B
【分析】根据完全平方公式进行变形，可得出答案．
【详解】解：设a=m-53，b=m-47，则ab=25，a-b=-6，
∴a2+b2=（a-b）2+2ab=（-6）2+50=86，∴（m-53）2+（m-47）2=86，故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
4．已知，则的值是___________．
【答案】62
【分析】将已知等式两边平方，化简可得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：62．
【点睛】本题考查了分式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式．
5．当k＝_____时，100－kxy+49是一个完全平方式．
【答案】±140
【分析】利用完全平方公式的结构特征求解即可．
【详解】解：∵100－kxy+49＝是一个完全平方式，
∴k＝±140，
故答案为：±140．
【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式中和的平方等于平方和加乘积的二倍，差的平方等于平方和减乘积的二倍．
6．已知关于x的式子－x2＋4x，当x＝______时，式子有最_____值，这个值是______．
【答案】2 大 4
【分析】先把配成完全平方式与一个常数和的形式，然后根据任何数的平方都是非负数即可求解．
【详解】解：，
∵，∴，∴
∴当时，式子有最大值，这个值为4；故答案为2，大，4；
【点睛】本题考查了利用完全平方公式求代数式的最值，解题的关键是掌握利用平方法对代数式进行变形，
并掌握的性质求最值，
7．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：_________
A． B．
C． D．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：，，求的值；
②计算：．
【答案】(1)B
(2)①7 ；②
【分析】(1)分别表示两个图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；
(2)①利用平方差公式，整体代入即可得出答案；②利用平方差公式转化为分数的乘积形式，再根据规律可得出答案．
（1）
解：图中两个阴影部分的面积分别为：a2 b2和(a+b)(a b)，
∴a2 b2=(a+b)(a b)，
故选：B；
（2）
解：①∵，，，
∴，
∴；
②
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景和应用，利用平方差公式将代数式进行适当的变形，从而达到简便运算的目的是解决本题的关键．
8．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，再按图b的形状拼成一个正方形.
(1)请用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积
方法1：_________________；方法2：_________________.
(2)观察图b，写出下面三个式子，，之间的等量关系_________;
(3)根据(2)中的等量关系，解决以下问题：
①已知，，则________；
②已知， ，求的值．(写出解答过程)
【答案】(1)或
(2)=
(3)①±1；②3
【分析】（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长，可以直接利用正方形的面积公式得到阴影部分面积；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；
（2）利用（1）中图b中的阴影部分的正方形面积，得到=；
（3）①根据（2）的结论得到，然后把，，代入计算即可．②根据（2）的结论得到，代入即可求解．
（1）
解：方法1：图b中阴影部分是正方形，边长为，面积为；
方法2：图b中阴影部分的面积＝大正方形的面积－4个长为，宽为的面积，
即图b中阴影部分的面积为，
故答案为：或
（2）
解：根据图b中阴影部分的面积的两种不同表示方法可得
=．
故答案为：=．
（3）
解：①由（2）得，
∵，，
∴，
∴，解得；
故答案为：
②∵，，
∴
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式．解决问题的关键是利用整体代入的方法求代数式的值．
9．若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若满足，求的值为______；
(2)若满足，则______；
(3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是35，分别以、作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)12
(2)1
(3)24
【分析】（1）根据题目提供的方法进行计算即可；
（2）设m=7-x，n=x-4，可得m+n=（7-x）+（x-4）=3，，由=mn=-代入计算即可；
（3）由题意得正方形GFDH的边长为x-3，正方形MFRN的边长为x-1，（x-3）（x-1）=35，设p=x-1，q=x-3，则p-q=x-1-x+3=2，pq=（x-1）（x-3）=35，根据求出p+q，再利用平方差公式求出的值即可．
（1）
解：设a=5-x，b=x-1，a+b=（5-x）+（x-1）=4，ab=，
所以．
故答案为12．
（2）
解：设m=7-x，n=x-4，则m+n=（7-x）+（x-4）=3，，
所以=mn
=-
=-（7-9）
=1．
故答案为1．
（3）
解：由题意得，正方形GFDH的边长为x-3，正方形MFRN的边长为x-1，由于长方形EMFD的面积是35，即（x-3）（x-1）=35，
设p=x-1，q=x-3，则p-q=x-1-x+3=2，pq=（x-1）（x-3）=35，
所以
=4+4×35
=144，
即p+q=12（负值舍去），
所以阴影部分的面积为
=（p+q）（p-q）
=12×2
=24，
即阴影部分的面积为24．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
10．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：
（1）写出图中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；（3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么他总共需要多少张纸片？
【答案】（1）；（2）50；（3）143.
【分析】（1）直接求得正方形的面积，再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可.
（2）将，代入（1）中得到的式子，然后计算即可；
（3）长方形的面积，然后运算多项式乘多项式，从而求得x、y、z的值，代入即可求解.
【解析】解：（1）
（2）由（1）可知：
（3）根据题意得，
所以，，所以答：小明总共需要张纸。
【点睛】本题主要考查整式的运算，难度较大，熟练掌握整式的运算以及代数式求值是解题关键.
11．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到三者之间的等量关系式：________﹔
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，
如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：．
利用上面所得的结论解答下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】[知识生成]（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]（1）25；（2）90
【分析】[知识生成]利用面积相等推导公式（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]利用体积相等推导；
（1）应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可；
（2）应用知识生成的公式，进行变形，由知识迁移的等式可得结论．
【详解】[知识生成]
方法一：已知边长直接求面积为（a-b）2；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴面积为（a+b）2-4ab，
∴由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；
故答案为：（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]
（1）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，
可得（x-y）2=（x+y）2-4xy，
∵x+y=6，xy=，
∴（x-y）2=62-4×，
∴（x-y）2=25，
（2）∵a+b=6，ab=7，
∴a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）=216-3×7×6=90．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题关键．
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