人教八上培优练：第17课 分式（含解析）

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第17课 分式
题组A 基础过关练
1．代数式的家中来了几位客人：，，，，，其中属于分式家族成员的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列运算中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
4．根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
5．若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
7．分式的最简公分母是（ ）
A．xy B． C． D．
8．小明计算了四个分式，其中有一个结果忘记了约分，是下面中的（ ）
A． B． C． D．
9．在计算通分时，分母确定为（ ）
A． B． C． D．
10．若代数式的值为0，则x=______；当b=______时，分式无意义．
11．当时，分式无意义；当时分式的值为，则的值是______ ．
题组B 能力提升练
1．若表示一个整数，则整数可取值共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2.根据分式的基本性质填空：，括号内应填（ ）
A． B． C． D．
3．若分式中x、y均扩大为原来的2倍，分式的值也可扩大2倍，则M可以是（ ）
A．x-y B．x+2y C． D．xy
4．关于分式的判断，下列说法正确的是（ ）
A．当x＝2时，分式的值为零 B．当x＝﹣1时，分式无意义
C．当x≠2时，分式有意义 D．无论x为何值，分式的值总为负数
5．若是整数，则使分式的值为整数的值有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若成立，则a的取值范围是_______
7．写出一个分式，使它符合下列条件：①含有字母，②无论取何值分式都有意义；③当时，分式的值为，这个分式时以是__________．（只写一个)
8．一列数：，…，它们按一定的规律排列，则第n个数(n为正整数)为_______．
9．已知，x取哪些值时：
（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义．
10．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请写出第5个等式________；
（2）请写出第个等式，并证明．
题组C 培优拔尖练
1．不论x取何值时，下列分式总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．分式的值为负数的条件是（ ）
A． B．且 C．且 D．，且
3．若分式是最简分式，则△表示的是（ ）
A． B． C． D．
4．将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（ ）
A． B． C． D．
5．已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；
（即，）
第二次操作：将，作和，结果记为：作差，结果记为；
（即，）
第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；
（即，）…（依此类推）
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：．
①；②当时，；③若，则；
④在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值：
⑤在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，；
以上结论正确的个数有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
6．分式的值为0 ，分式无意义，则______________
7．使代数式的值为整数的全体自然数的和是______ ．
8．已知无论x取何实数，分式 总有意义，求m的取值范围．
小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．解：
（1）请将小明对此题 = = 的解题过程补充完整；
（2）利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围．
9．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按上述规律，回答以下问题：
（1）写出第6个等式：_______________________________________________；
（2）写出你猜想的第个等式：_____________________________________（用含的等式表示），并证明．
10．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成1（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．
解决下列问题：
（1）分式是__（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式__形式；
（2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
（3）若分式的值为m，则m的取值范围是____（直接写出结果）．
题组A 基础过关练
1．代数式的家中来了几位客人：，，，，，其中属于分式家族成员的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据分式的定义：形如，A、B都是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，即可一一判定．
【详解】解： ，， ，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；
，，的分母中含有字母，因此是分式．
故分式有3个，故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
2．下列运算中，错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质，分子、分母、分式本身的符号中，改变其中两个符号，分式的值不变，对每一项进行分析即可．
【详解】解：A、，故本选项错误；B、，故本选项正确；
C、，故本选项正确；D、，故本选项正确．故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质：无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．
3．把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质求解即可．
【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得：
==，故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解答的关键是熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
4．根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的性质直接化简即可．
【详解】解：，故选：C．
【点睛】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质进行化简是解题关键．
5．若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别写出、都扩大3倍后的分式，再化简与原式比较，即可选择．
【详解】当、都扩大3倍时，
A、，故A错误．
B、，故B错误．
C、，故C错误．
D、，故D正确．故选D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题关键是熟练化简分式．
6．下列分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分子，分母没有公因式的分式是最简分式，根据最简分式的含义逐一分析判断即可．
【详解】解：A． 是最简分式，故A符合题意；
B．，不是最简分式，故B不符合题意；
C．，不是最简分式，故C不符合题意；
D．，不是最简分式，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式的约分，最简分式的含义，掌握“最简分式的含义”是解本题的关键．
7．分式的最简公分母是（　　）
A．xy B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，据此进行判断即可．
【详解】解：分式的最简公分母是，故选：C．
【点睛】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解本题的关键．
8．小明计算了四个分式，其中有一个结果忘记了约分，是下面中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察各分式，找出分子分母含有公因式的即可．
【详解】解：A、原式为最简分式，不符合题意；
B、原式为最简分式，不符合题意；
C、原式为最简分式，不符合题意；
D、原式==x-y，符合题意．故选：D．
【点睛】此题考查了约分，约分的关键是找出分子分母的公因式．
9．在计算通分时，分母确定为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将分母因式分解，进而确定公分母即可．
【详解】，
计算通分时，分母确定为．
故选B
【点睛】本题考查了找最简公分母，先将分母因式分解是解题的关键．
10．若代数式的值为0，则x=______；当b=______时，分式无意义．
【答案】
【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，即可求出x的值；根据分式无意义的条件：分母为0，即可求出b的值．
【详解】解：∵代数式的值为0，
∴，解得，
∵分式无意义，
∴，解得，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件及分式无意义的条件，注意分式值为0的条件一定要满足分母不0，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
11．当时，分式无意义；当时分式的值为，则的值是______ ．
【答案】1
【分析】根据分式无意义即分母为，分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为；（2）分母不为进行解答即可．
【详解】解：分式无意义时，，
分式 为时，，
当，时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式无意义和分式为的条件，掌握分式无意义即分母为，分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为；（2）分母不为是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．若表示一个整数，则整数可取值共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】由x是整数，也表示一个整数，可知x+1为4的约数，即x+1=±1，±2，±4，从而得出结果．
【详解】解：∵x是整数，也表示一个整数，
∴x+1为4的约数，即x+1=±1，±2，±4，
∴x=-2，0，-3，1，-5，3．则整数x可取值共有6个．故选：D．
【点睛】本题考查了此题首先要根据分式值是整数的条件，能够根据已知条件分析出x+1为4的约数，是解决本题的关键．
2.根据分式的基本性质填空：，括号内应填（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把分式的分母与分子同时除以(x+1)即可得出结论．
【详解】解：∵分式的分母与分子同时除以(x+1)得，，∴括号内应填x-1．故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解答此题的关键．
3．若分式中x、y均扩大为原来的2倍，分式的值也可扩大2倍，则M可以是（ ）
A．x-y B．x+2y C． D．xy
【答案】D
【分析】根据题意可逐一进行判断选项．
【详解】解：A、当时，且x、y均扩大为原来的2倍，则，与原来分式的值相等，故不符合题意；
B、当时，且x、y均扩大为原来的2倍，则，与原来分式的值相等，故不符合题意；
C、当时，且x、y均扩大为原来的2倍，则，，故不符合题意；
D、当时，且x、y均扩大为原来的2倍，则，是原来分式的值2倍，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
4．关于分式的判断，下列说法正确的是（　　）
A．当x＝2时，分式的值为零 B．当x＝﹣1时，分式无意义
C．当x≠2时，分式有意义 D．无论x为何值，分式的值总为负数
【答案】C
【分析】利用分式有无意义、值为0的条件，逐个判断得结论．
【详解】解：当x=2时，分式无意义，故说法错误；
当x=-1时，分式的值为0，故说法错误；
当x≠2时，分式有意义，故说法正确；
当x=3时，分式的值不为负数，故说法错误．故选：C．
【点睛】本题考查了分式有无意义及值为0的条件．当分式的分母为0时，分式无意义；当分式的分子为0，分母不为0时分式的值为0；当分式的分母不为0时，分式总有意义．
5．若是整数，则使分式的值为整数的值有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先将假分式分离可得出，根据题意只需是6的整数约数即可．
【详解】解：
由题意可知，是6的整数约数，∴
解得： ，
其中x的值为整数有：共4个．故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到，从而使问题简单．
6．若成立，则a的取值范围是______________
【答案】
【分析】根据分式的分母不能为零，得出，，再把给出的式子进行整理，即可得出a的取值范围．
【详解】解：∵分式的分母不能为零，
∴，，
即，，
7．写出一个分式，使它符合下列条件：①含有字母，②无论取何值分式都有意义；③当时，分式的值为，这个分式时以是__________．（只写一个)
【答案】
【分析】依据分式的分母不为零以及分式的定义解答即可．
【详解】符合条件一个分式可以为：．答案不唯一故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件、分式的定义、分式的值，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．一列数：，…，它们按一定的规律排列，则第n个数(n为正整数)为_______．
【答案】
【分析】观察可知，分子用n表示，则分母用n2+1表示，从而可求解．
【详解】第1个数为：，
第2个数为：，
第3个数为：，
第4个数为：，
第5个数为：，……
第n个数为：．故答案为：．
【点睛】本题是一道有关数字的变化规律题，解题的关键是由所给的数字总结出存在的规律．
9．已知，x取哪些值时：
(1)y的值是正数；(2)y的值是负数；(3)y的值是零；(4)分式无意义．
【答案】(1)
(2)x＜或x＞2
(3)x＝2
(4)x＝
【分析】（1）分式的值为正数，则分子、分母同号，列不等式组求解；
（2）分式的值是负数，则分子、分母异号，列不等式组求解；
（3）分式的值为0，则分子为0，分母不等于0；
（4）分式无意义，则分母等于0．
（1）
根据题意，得
或，
解得；
（2）
根据题意，得
或，
解得x＜或x＞2；
（3）
根据题意，得
，
解得x＝2；
（4）
根据题意，得
3﹣4x＝0，
x＝．
【点睛】本题考查了分数的取值范围，分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分式有意义，则分母不等于0；分式无意义，则分母等于0；分式的值为正数，则分子、分母同号；分式的值为负数，则分子、分母异号．
10．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出第5个等式________；
(2)请写出第个等式，并证明．
【答案】(1)
(2)第个等式为，证明见解析
【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可；
（2）根据规律写出代数式然后证明即可．
（1）
解：根据已知规律，第5个等式为，
故答案为：；
（2）
解：根据题意，第个等式为，
证明：右边
=左边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查规律探索问题，从特殊的、简单的问题推理到普通的、复杂的问题，从中归纳问题的规律，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养．
题组C 培优拔尖练
1．不论x取何值时，下列分式总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式有意义时，分式的分母不等于0逐项验证即可．
【详解】解：A、x＝0时，分母等于0，分式无意义，故本选项错误；
B、x＝ 2时，分母等于0，分式无意义，故本选项错误；
C、x＝ 2时，分母等于0，分式无意义，故本选项错误；
D、x为任意实数，，分式总有意义，故本选项正确．故选：D．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
2．分式的值为负数的条件是（ ）
A． B．且 C．且 D．，且
【答案】D
【分析】根据乘法公式，化简分式，分式的值要为负数，则分子、分母为异号，即可求出答案．
【详解】解：，
因为分式的值为负数，
∴ 或者∴ 且 故选： ．
【点睛】本题考查分式的化简，分式的取值与分子、分母的关系，且分母不能为零，理解和掌握分式取值与分子、分母的关系是解题的关键．
3．若分式是最简分式，则△表示的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将各选项因式分解，利用最简分式的意义（一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式）进行分析解答．
【详解】解：A. ，B. ，C. ，D. ，
因为，且分式是最简分式，
∴△中不含或
故选D．
【点睛】此题考查最简分式的意义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可．
4．将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据最简公分母是，将分式变为，分子和分母都乘以，即可得出答案．
【详解】．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的通分，确定最简公分母是通分的关键．
5．已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；
（即，）
第二次操作：将，作和，结果记为：作差，结果记为；
（即，）
第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；
（即，）…（依此类推）
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：．
①；②当时，；③若，则；
④在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值：
⑤在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，；
以上结论正确的个数有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】通过计算确定第2n个式子的变化规律和第2n-1个式子的变化规律，然后确定一般形式，进行判定即可．
【详解】解： ， ，
，，
，
，
，，……
当2n-1为奇数时（1除外）， ，，
当2n为偶数时， ，，
∵，故①正确；
当x=1时，M2+M4+M6+M8==30 ，故②错误；
，解得x=1或-2，故③错误；
当n=2k-2时，=x，x不是定值，故④错误；由规律知，⑤正确；故选：D．
【点睛】本题考查分式的化简以及探究式子的规律，解决问题的关键是确定式子的变化规律．
6．分式的值为0 ，分式无意义，则______________
【答案】
【分析】根据分式为0和分式无意义的条件列式求出x、y的值，代入计算即可．
【详解】解：由题意得：且，，
解得：，，则，故答案为：．
【点睛】本题考查分式为0的条件和分式无意义的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．
7．使代数式的值为整数的全体自然数的和是______ ．
【答案】22
【分析】将原式分解为，得到使得原式的值为整数的自然数分别为、、、、、，求的其和即可．
【详解】解：原式，
∴能被12整除，则
使得代数式的值为整数的全体自然数分别为、、、、、，
全体自然数的和是．
故答案为．
【点睛】本题考查了分式的化简与变形的知识，解决本题的关键是对原分式进行正确的分解与变形．
8．已知无论x取何实数，分式 总有意义，求m的取值范围．
小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．解：
(1)请将小明对此题 = = 的解题过程补充完整；
(2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围．
【答案】(1)补全过程见解析
(2)
【分析】（1）根据分式有意义的条件可知，分式 总有意义，就是分母不为零，即只需要即可，根据求解即可得到结论；
（2）根据（1）的解题过程即可同理求解得到无论x取何实数，分式都有意义时m的取值范围．
（1）
解：
=
=
，
根据无论x取何实数，分式 总有意义，
只要当，即可满足题意，
；
（2）
解：由（1）可知
，
，
根据无论x取何实数，分式 总有意义，
只要当，即可满足题意，
．
【点睛】本题考查分式有意义条件的综合应用，涉及到配方及不等式的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
9．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按上述规律，回答以下问题：
(1)写出第6个等式：_______________________________________________；
(2)写出你猜想的第个等式：_____________________________________（用含的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)；证明见解析
【分析】（1）依次观察每个等式，可以发现规律：，按照此规律即可求解；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
(1)
解：第6个等式：；
故答案为：．
(2)
解：第个等式：；
证明：右边
左边，
∴等式成立．
故答案为：．
【点睛】此题考查了数字的规律变化，解题的关键是通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．
10．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成1（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．
解决下列问题：
(1)分式是__（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式__形式；
(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
(3)若分式的值为m，则m的取值范围是____（直接写出结果）．
【答案】(1)真分式，
(2)或或或
(3)
【分析】（1）根据分子的次数小于分母的次数可得第一空的答案，再把分子化为 逆用分式的加减法运算可得第二空的答案；
（2）先把原分式化为再结合为整数，为整数，可得或或或从而可得答案；
（3）先把原分式化为再结合从而可得答案．
（1）解：根据新定义可得：是真分式，故答案为：真分式，
（2）∵且为整数，为整数，∴或或或 解得：或或或
（3）∵而 ∴ ∴ ∴ 所以
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