人教八上培优练：第18课 分式的运算（含解析）

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第18课 分式的运算
题组A 基础过关练
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．0
2.计算的结果为（ ）
A． B．m C． D．
3．计算：，结果为（ ）
A．1 B． C． D．
4．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．2010年，国外科学家成功制造出世界上最小的晶体管，只有，请用科学记数法表示它的长度（ ）
A． B． C． D．
6．某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（ ）册．
A． B． C． D．
7．计算：＝____________________．
8．计算：________．
9．计算：
（1）； （2）； （3）．
10．先化简，再求值：，其中x＝3．
11．先化简，再求值：，其中．
题组B 能力提升练
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（ ）
A．1 B．x C． D．4
4．一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（ ）
A． B． C． D．
5．学完分式运算后，老师出了一道题：化简．
小明的做法是：原式；
小亮的做法是：原式；
小芳的做法是：原式．
对于这三名同学的做法，你的判断是（ ）
A．小明的做法正确 B．小亮的做法正确
C．小芳的做法正确 D．三名同学的做法都不正确
6．已知一种细胞的直径约为2.13×cm，请问2.13×这个数原来的数是 _____．
7．若，则_________，_________．
8．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学： = 第一步 = 第二步 = 第三步 乙同学： = 第一步 = 第二步 = 第三步
老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
（1）请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______；
（2）请重新写出完成此题的正确解答过程：
9．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：“当、、时，求代数式的值．”小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．
10．先阅读后思考：
克糖水中有克糖，且，则糖与糖水的质量比为，如果再加克糖，则糖与糖水的质量比为，生活经验告诉我们：添加糖后，糖水会更甜，于是有，趣称“糖水不等式”．
请你思考：若能从克糖水中提炼出克糖，则糖水会变得没有原来甜，你能得出另外的“糖水不等式”吗？
题组C 培优拔尖练
1．设，，则，的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．已，则的值是__________．
3．一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，水流速度是x千米/时，A、B两地距离为S千米，则该船从A港出发到返回A港共用多少时间？______．（只需列式表示，不必化简）
4．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4．
若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8．
（1）求a，b的值；
（2）若T（m，n）＝0（n≠﹣2），①用含n的代数式表示m；②若m、n均取整数，求m、n的值；③当n取s、t时，m对应的值为c、d．当t＜s＜﹣2时，试比较c、d的大小．
5．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了550kg．设“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为．
（1） ； ．（用含a的式子表示）
（2）求证：．
（3）求的值．
（4）当a＝49时，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
6．“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元/千克，种糖的单价为元/千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由，两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克种糖和10千克种糖混合而成；乙种什锦糖由100元种糖和100元种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：
（1）小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为和（用、的代数式表示）；
（2）为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将与进行作差比较，即计算的差与0比较来确定大小；
（3）经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由．
题组A 基础过关练
1．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】根据分式的乘法运算法则来求解．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式乘法的运算法则，理解约分是解答关键．
2.计算的结果为（ ）
A． B．m C． D．
【答案】A
【分析】直接进行分式的除法运算，把除法转为乘法后，最后要注意将结果进行约分．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键．
3．计算：，结果为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同分母分式相加减法则计算，即可求解．
【详解】解：
故选：A
【点睛】本题主要考查了同分母分式相加减，熟练掌握同分母分式相加减法则是解题的关键．
4．化简 的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据异分母分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了异分母分式相减，解题的关键是对分式进行通分，将异分母分式变为同分母分式．
5．2010年，国外科学家成功制造出世界上最小的晶体管，只有，请用科学记数法表示它的长度（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：．
故选D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．
6．某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（ ）册．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数量＝销售额÷单价，从而可列式求解．
【详解】解：这种图书的库存量是：（册），故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的应用，解答的关键是理解清楚题意，得到相应的等量关系．
7．计算：＝____________________．
【答案】
【分析】先把除法转变为乘法，再根据乘法法则计算．
【详解】解：
=
=．
故答案案为．
【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．计算：________．
【答案】##-0.5
【分析】先算乘方，负整数指数幂和零指数幂，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
；
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的乘方运算，负整数指数幂和零指数幂．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
9．计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1) (2)(3)
【分析】（1）根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变，进行约分即可；
（2）根据分式的加减法运算法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，进行计算即可；
（3）根据分式的加减法运算法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，即可得出结果．
（1）
解：；
（2）
解：；
（3）
解：
．
【点睛】本题考查了分式的基本性质、分式的加减法，解本题的关键在熟练掌握分式的加减法法则．
10．先化简，再求值：，其中x＝3．
【答案】，3．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
【详解】解：
＝
＝
＝，
当x＝3时，原式＝＝3．
【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
11．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先将括号内的通分加减，再根据除以不为零的数等于乘以这个数的倒数，最后约分化简即可，把的值代入即可求解．
【详解】解：原式
，
将代入，得．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握乘法公式在分式中的运算是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质结合乘法公式化简即可．
【详解】解：，故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，乘法公式，熟知分式的基本性质是解题的关键．
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂的运算进行计算即可，同时将除法转化为乘法，进而根据分式的性质计算即可
【详解】故选B
【点睛】本题考查了分式的性质，幂的运算，正确的计算是解题的关键．
3．若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（ ）
A．1 B．x C． D．4
【答案】C
【分析】将1，x，-x，4，逐一代替“○”，分解因式后可以约分化简的不合题意，不可以约分化简的符合题意．
【详解】A．，可以进行约分化简，“○”可以是1，不合题意；
B．，可以进行约分化简，“○”可以是x，不合题意；
C．，不可以进行约分化简，“○”不可以是-x，合题意；
D．， 可以进行约分化简，“○”可以是4，不合题意．故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的乘法，解决问题的关键是熟练掌握分解因式，约分化简．
4．一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（　 　 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】甲、乙合作完成工程的时间=工作总量÷甲乙工效之和，没有工作总量，可设其为1，所以甲、乙合做此项工程所需的时间为1÷（）=小时．
【详解】设工作量为1，由甲1小时完成 ，乙1小时完成，
因此甲、乙合作此项工程所需的时间为1÷（）=小时，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用列代数式（分式），分式的加减乘除运算，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量与已知量间的关系．
5．学完分式运算后，老师出了一道题：化简．
小明的做法是：原式；
小亮的做法是：原式；
小芳的做法是：原式．
对于这三名同学的做法，你的判断是（ ）
A．小明的做法正确 B．小亮的做法正确
C．小芳的做法正确 D．三名同学的做法都不正确
【答案】C
【分析】小明的做法错误，原因是在把分子相减时，去括号没有改变符号，而且选择的方法也不是很合适，小亮的做法错误，分式的加减运算不能去分母，应该先通分，小芳的做法是正确的，选择的方法是合适的，从而可得答案．
【详解】解：∵
∴小明与小亮的做法错误，小芳的做法正确，
故选C．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握“异分母分式的加减运算的运算法则”是解本题的关键．
6．已知一种细胞的直径约为2.13×cm，请问2.13×这个数原来的数是 _____．
【答案】
【分析】利用绝对值小于1的数的科学记数法的表示方法的逆运算求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】题目考查绝对值小于1的数的科学记数法的表示方法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
7．若，则_________，_________．
【答案】 2 1
【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案．
【详解】解：
∴A=2，B=1
故答案为：2，1．
【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．
8．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学： = 第一步 = 第二步 = 第三步 乙同学： = 第一步 = 第二步 = 第三步
老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______；
(2)请重新写出完成此题的正确解答过程：
【答案】(1)甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；
(2)
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得．
（1）
我选择甲同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是通分时第一个分式的分子少乘了x-1；
或我选择乙同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是直接去掉分母；
故答案为：甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；
（2）
(选甲为例）
=
=
=
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
9．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：“当、、时，求代数式的值．”小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．
【答案】当时，原式；当时，原式；当时，原式
【分析】根据分式的混合运算法则化简，然后代入求值即可．
【详解】原式＝＝＝
＝＝＝，
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的混合运算法则是解本题的关键．
10．先阅读后思考：
克糖水中有克糖，且，则糖与糖水的质量比为，如果再加克糖，则糖与糖水的质量比为，生活经验告诉我们：添加糖后，糖水会更甜，于是有，趣称“糖水不等式”．
请你思考：若能从克糖水中提炼出克糖，则糖水会变得没有原来甜，你能得出另外的“糖水不等式”吗？
【答案】
【分析】根据已知条件得出从克糖水中提炼出克糖，则糖与糖水得质量比为，再根据糖水会变得没有原来甜得出不等式即可．
【详解】解：从克糖水中提炼出克糖，则糖与糖水的质量比为．
糖水会变得没有原来甜，
．
题组C 培优拔尖练
1．设，，则，的关系是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断，的关系，可以计算的结果，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，
，
∴，的关系是互为相反数，
故选：．
【点睛】本题主要考查分式的加减混合运算，掌握分式加减法法则是解题的关键．
2．已，则的值是__________．
【答案】4
【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于、、的方程组，求出方程组的解，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
解得，，
．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于、、的方程组是解题的关键．
3．一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，水流速度是x千米/时，A、B两地距离为S千米，则该船从A港出发到返回A港共用多少时间？______．（只需列式表示，不必化简）
【答案】时
【分析】根据题意得：船顺流航行的速度为千米/时，逆流航行的速度为千米/时，可得到顺流航行和逆流航行的时间，即可求解．
【详解】解：根据题意得：船顺流航行的速度为千米/时，逆流航行的速度为千米/时，
所以该船从A港出发到返回A港共用的时间为时．
故答案为： 时
【点睛】本题考查列分式表示实际问题，理解题意，掌握列分式的基本规则是解题关键．
4．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4．若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8．(1)求a，b的值；(2)若T（m，n）＝0（n≠﹣2），①用含n的代数式表示m；②若m、n均取整数，求m、n的值；③当n取s、t时，m对应的值为c、d．当t＜s＜﹣2时，试比较c、d的大小．
【答案】(1)的值为1，的值为2
(2)①；②或或或或或；③
【分析】（1）根据新运算的定义和可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得；
（2）①先根据和（1）的结论即可得；
②根据（2）①可得，再根据均取整数进行分析即可得；
③先求出，，再根据分式的减法法则可得，然后根据即可得．
（1）
解：，
，
解得，
即的值为1，的值为2．
（2）
解：①由（1）可知，，
，
，
；
②由（2）①可知，，
取整数，
是整数，
又也是整数，
的所有可能的取值为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，或或或或或；
③由题意得：，，
则
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、分式减法的应用，理解新运算的定义是解题关键．
5．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了550kg．设“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为．
(1) ； ．（用含a的式子表示）
(2)求证：．
(3)求的值．
(4)当a＝49时，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
(4)高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍
【分析】（1）利用小麦的产量分别除以“丰收1号”、“丰收2号”的面积即可得；
（2）根据分式的减法法则计算，利用偶次方的非负性即可得证；
（3）根据分式的除法法则进行计算即可得；
（4）先求出时，的值，再根据（2）的结论即可得．
（1）
解：由题意得：，，
故答案为：，．
（2）
证明：
，
∵，
∴，
∴，
即．
（3）
解：
．
（4）
解：当时，，
∵，
，
，
∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
【点睛】本题考查了列代数式、分式的减法与除法的实际应用等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
6．课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元/千克，种糖的单价为元/千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由，两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克种糖和10千克种糖混合而成；乙种什锦糖由100元种糖和100元种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：
(1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为和（用、的代数式表示）；
(2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将与进行作差比较，即计算的差与0比较来确定大小；
(3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由．
【答案】(1)，
(2)甲糖的单价较高，理由见解析
(3)方式二更合算
【分析】（1）根据单价=总价÷数量分别求出甲糖单价和乙糖单价；
（2）根据作差法比较大小即可求解；
（3）由探究的结果进行分析即可．
（1）
解：甲糖单价为：=（元），
乙糖单价为：=（元）；
（2）
∵甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成，
∴，
∴甲糖的单价较高．
（3）
由探究可知方式一相当于甲种什锦糖，方式二相当于乙种什锦糖，
故选择方式二更合算．
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