人教八上培优练：第19课 分式方程及应用（含解析）

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第19课 分式方程及应用
题组A 基础过关练
1．下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．把分式方程的两边同时乘以，约去分母，得（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或或
4．，两地相距千米，一辆大汽车从地开出小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．某公司为尽快给医院供应一批医用防护服，原计划x天生产1200防护服，由于采用新技术，每天增加生产30套，因此提前2天完成任务，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
6．方程的解昰___________．
7．如果方程的解是正数，那么的取值范围为______．
8．若解关于x的方程＝+2时产生了增根，则m＝_____．
9．解方程：
（1） （2）
10．某山区突发森林大火，在这场与山火的拉锯战中，“以火灭火”的方式助力了阶段性胜利时刻的到来．浴火后的山区，一半青山一半黄，为了还山区一抹绿，志愿者协会组织开展“迎国庆植树活动”，计划种植黄桷树和香樟这两种树．
（1）该协会计划种植黄桷树和香樟共5000棵，其中黄桷树的数量比香樟的数量的2倍少1000棵，求计划种植黄桷树多少棵？
（2）在实际种植过程中，为了加快进度，将参与活动的志愿者分成甲、乙两组，甲组负责种植香樟，乙组负责种植黄桷树，其中乙组每小时种植的树苗比甲组多50棵，最终两个小组同时完成任务，求乙组每小时种植的数量．
题组B 能力提升练
1．方程的解为（ ）
A． B． C． D．原分式方程无解
2．将的分母化为整数，得（ ）
A． B．
C． D．
3．已知关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．关于的分式方程有解，则字母的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．且
5．已知关于的分式方程的解为负数，求m的取值范围．
6．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A．= B．=
C．= D．=
7．若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（ ）
A．7 B．11 C．12 D．13
8．某中学组织学生去离学校的东山农场，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，若先遣队比大队早到了，设大队的速度为，可得方程为_____________．
9．某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．
（1）第一批笔记本每本进价多少元？
（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？
10．某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
11．某市文化宫学习十九大有关优先发展教育的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）求文化官第一批购进书包的单价是多少？
（2）商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？
题组C 培优拔尖练
1．已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于x的分式方程的解满足2＜x＜5，则k的取值范围是（ ）
A．﹣7＜k＜14 B．﹣7＜k＜14且k≠0 C．﹣14＜k＜7且k≠0 D．﹣14＜k＜7
3．若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
4．“遥知涟水蟹，九月已经霜，巨实黄金重，舒肥白玉香”，金秋时节，是吃螃蟹的最佳季节．某螃蟹经销商出售梭子蟹、青蟹、大闸蟹三种产品．10月1日，梭子蟹、青蟹的销量之比为，青蟹、大闸蟹的销量之比为，梭子蟹、青蟹的单价之比为，大闸蟹的单价比青餐高．10月8日，随着假期结束，梭子蟹、青蟹的购买热度与10月1日相比有所下降，单价也有所变化，梭子蟹下降的销量占当天三种螃蟹总销量的，梭子蟹、青蟹的销量之比为．10月8日，大闸蟹因为单价降低50%，销量反而有所增长，结果发现，10月8日大闸蟹的销售额恰好等于10月1日大闸蟹的销售额，梭子蟹和青蟹在10月8日的总销售额之比为，梭子蟹两天的总销售额与青蟹两天的总销售额之比为，则10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为___________．
5．观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是_____．
6．已知，关于的分式方程．
（1）当，时，求分式方程的解；
（2）当时，求为何值时分式方程无解；
（3）若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值．
7．已知关于x的分式方程
（1）已知m=4，求方程的解； （2）若该分式方程无解，试求m的值．
8.某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有座和座两种型号的客车可供租用，已知60座的客车每辆每天的租金比座的贵元．
（1）会务组第一天在这家公司租了辆座和辆座的客车，一天的租金为元，求座和座的客车每辆每天的租金各是多少元？
（2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案，方案：若只租用座的客车，会有一辆客车空出个座位；方案：若只租用座客车，正好坐满且比只租用座的客车少用两辆。①请计算方案的费用； ②如果你是会务组负责人，从经济角度考虑，还有其他方案吗？
9．某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为360m的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用32天完成这一任务．(1)求原计划每天铺设路面的长度；(2)若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？并说明理由．
题组A 基础过关练
1．下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据分式方程的定义，即可判断．
【详解】解：①是关于y的分式方程；②是关于x的分式方程；③是关于x的整式方程；④是关于x的整式方程；
所以关于x的分式方程共有1个，故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
2．把分式方程的两边同时乘以，约去分母，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方程两边同时乘以进行化简即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：；故选D．
【点睛】本题考查分式方程去分母．在去分母的时候，注意常数项不要漏乘．
3．已知关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或或
【答案】D
【分析】先求出分式方程的解，无解时，解中的分母为0或解等于±2即可.
【解析】解：由得x=
∵分式方程无解 ∴=±2或m+4=0∴m=0或m=-8或∴或或故答案为D.
【点睛】本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解有意义是本题的易错点.
4．，两地相距千米，一辆大汽车从地开出小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，根据题意可得，同样走千米，小汽车比大汽车少用小时，据此列方程．
【详解】解：设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，
由题意得，．故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
5．某公司为尽快给医院供应一批医用防护服，原计划x天生产1200防护服，由于采用新技术，每天增加生产30套，因此提前2天完成任务，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据工作效率=工作总量÷时间结合采用新技术后每天多生产30套，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得：，故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．方程的解昰___________．
【答案】
【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可.
【详解】解：
去分母得：
整理得：
解得：
经检验：是原方程的根，
∴ 原方程的根为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式方程的解法,掌握“分式方程的解法与步骤”是解本题的关键.
7．如果方程的解是正数，那么的取值范围为______．
【答案】且
【分析】先将分式方程的解用关于k的代数式表示出来，再结合题意和分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：
，
∵该分式方程解为正数和使分式有意义的条件，
∴且，
∴且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分时方程的解，解决本题的关键是注意分式有意义的条件．
8．若解关于x的方程＝+2时产生了增根，则m＝_____．
【答案】﹣1．
【分析】先将分式化成化为整式方程，求得x，然后令x=2，即可求得m的值即可
【解析】解：原式去分母得：x﹣1＝﹣m+2x﹣4，解得：x＝m+3，
由分式方程有增根，得到x＝2，则有m+3＝2，解得：m＝﹣1，故答案为﹣1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，求出用m表示的分式方程的解是解答本题的关键．
9．解方程：
(1) (2)
【答案】(1)；(2)无解．
【分析】分式方程去分母即可转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验后即可得到分式方程的解．
【详解】（1）方程两边同时乘以 得：
，
解得：，
检验：当时，
所以分式方程的解为；
（2）方程两边同时乘以 得：
，
解得：，
检验：当时，
所以原分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定要注意验根．
10．某山区突发森林大火，在这场与山火的拉锯战中，“以火灭火”的方式助力了阶段性胜利时刻的到来．浴火后的山区，一半青山一半黄，为了还山区一抹绿，志愿者协会组织开展“迎国庆植树活动”，计划种植黄桷树和香樟这两种树．
(1)该协会计划种植黄桷树和香樟共5000棵，其中黄桷树的数量比香樟的数量的2倍少1000棵，求计划种植黄桷树多少棵？
(2)在实际种植过程中，为了加快进度，将参与活动的志愿者分成甲、乙两组，甲组负责种植香樟，乙组负责种植黄桷树，其中乙组每小时种植的树苗比甲组多50棵，最终两个小组同时完成任务，求乙组每小时种植的数量．
【答案】(1)3000棵 (2)150棵
【分析】（1）设计划种植香樟x棵，则计划种植黄桷树棵，根据种植总数是5000列方程求解即可；（2）设乙组每小时种植的数量为y棵，则甲每小时种植的数量为棵，根据两个小组同时完成任务即用时相等列方程求解即可．
【详解】（1）解：设计划种植香樟x棵，则计划种植黄桷树棵，
则有：，解得：，
∴
答：计划种植黄桷树3000棵．
（2）设乙组每小时种植的数量为y棵，则甲每小时种植的数量为棵，
则有，解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
答：乙组每小时种植的数量为150棵．
【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，找出题中的数量关系并用它列出方程是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．方程的解为（ ）
A． B． C． D．原分式方程无解
【答案】D
【分析】利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验解分式方程即可．
【详解】解：
分式两边同乘得： ，
移项合并同类项得：，
检验：当，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解；
故选D．
【点睛】本题考查解分式方程，注意使最简公分母为0的x的值，是方程的增根，要舍掉．
2．将的分母化为整数，得（　　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质求解．　　
【详解】解：将的分母化为整数，可得．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．
3．已知关于x的方程无解，则m的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=3，据此即可求解．
【详解】解：去分母得：x-1=m，解得：x=m+1，
根据题意得：m+1=3，解得：m=2，故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
4．关于的分式方程有解，则字母的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．且
【答案】D
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程有解”，即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范围．
【详解】解：，去分母得：5（x-2）=ax，去括号得：5x-10=ax，移项，合并同类项得：（5-a）x=10，
∵关于x的分式方程有解，∴5-a≠0，x≠0且x≠2，即a≠5，系数化为1得：，
∴且，即a≠5，a≠0，
综上所述：关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0，故选：D．
【点睛】此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式．另外，解答本题时，容易漏掉5-a≠0，这应引起同学们的足够重视．
5．已知关于的分式方程的解为负数，求m的取值范围．
【答案】m>1且m≠2
【分析】将m当成常数，解分式方程，再根据分式方程解的情况，列不等式求解即可．
【详解】，
解：，
，
，
∵方程的解为负数
∴1-m＜0
∴ m>1
∵ x≠-1
∴ m≠2
∴ m>1且m≠2
故答案为：m>1且m≠2．
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求参数的取值范围：将参数当成常数正确的解出分式方程的根是解题的关键，在求参数的值时，要注意分式的分母不能为0．
6．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（　　）
A．= B．= C．= D．=
【答案】A
分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
【解析】设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：=．
故选A．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
7．若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（　　）
A．7 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【分析】根据分式方程的解为整数解，即可得出a＝﹣1，1，2，4，7，据此计算即可．
【详解】解：解分式方程﹣2＝，得：x＝，
∵分式方程的解为整数，且x≠2，
∴当a＝﹣1时，x＝-1；
当a＝1时，x＝-2；
当a＝2时，x＝-4；
当a＝4时，x＝4；
当a＝5时，x＝2（不符合题意，故舍去）；
当a＝7时，x＝1；
故符合条件的所有a之和为：﹣1+1+2+4+7＝13．故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
8．某中学组织学生去离学校的东山农场，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，若先遣队比大队早到了，设大队的速度为，可得方程为_____________．
【答案】
【分析】设大队的速度为xkm/h，则先遣队的速度为1.2xkm/h，根据先遣队比大队早到0.5h列出分式方程求解即可．
【详解】解：设大队的速度为xkm/h，则先遣队的速度为1.2xkm/h，
根据题意得：，故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．
9．某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．（1）第一批笔记本每本进价多少元？（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？
【答案】（1）第一批笔记本每本进价为8元；（2）剩余的笔记本每本最低打七五折．
【分析】（1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元，则第一批购进本，第二批购进本，结合第二批的数量等于第一批的2倍，列方程，解方程即可；
（2）由（1）得第二批购进60本，设剩余的笔记本每本最低打折，由第二批笔记本的销售总利润不少于48元，列不等式，再解不等式可得答案.
【详解】解：（1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元
由题意得：解之得： 经检验为原方程的解
答：第一批笔记本每本进价为8元．
（2）设剩余的笔记本每本最低打折，而第二批购进本，
由题意得：解之得：
答：剩余的笔记本每本最低打七五折
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟悉购买数量等于购买总金额除以单价，每本笔记本的利润乘以销售的数量等于总利润是解本题的关键.
10．某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
【答案】(1)A种商品每件进价50元，B种商品每件进价30元；(2)商店共有5种进货方案
【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同，列分式方程，解出可得结论；
（2）设购买A种商品a件，根据用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，列不等式组，解出取正整数可得结论．
【解析】 (1)设A种商品每件进价x元，则B种商品每件进价元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，（元），
答：A种商品每件进价50元，B种商品每件进价30元．
(2)设购买A种商品a件，则B种商件，
由题意得：，解得，，
∵a为整数，∴、15、16、17、18，∴商店共有5种进货方案．
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程可不等式组求解，分式方程要注意检验．
11．某市文化宫学习十九大有关优先发展教育的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
(1)求文化官第一批购进书包的单价是多少？
(2)商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？
【答案】（1）第一批购进书包的单价为80元（2）商店共盈利1350元
分析：（1）设第一批购进书包的单价为x元，则可以表示出第二批书包的单价为（x+4）元；
根据购进第一批和第二批书包的成本，可分别表示出购进第一批与第二批书包的数量；
利用等量关系“第二批所购数量是第一批购进数量的3倍”列方程解答即可，注意分式方程要验根；
（2）用每批书的数量乘以每本书的利润，再把两批书的利润相加.
【解析】 (1) 设第一批购进书包的单价为x元.依题意,得,
整理,得20(x+4)=21x, 解得x=80.
检验：当x=80时，x(x+4)≠0∴x=80是原分式方程的解.
答:第一批购进书包的单价为80元.
(2) =300+1050=1350
答:商店共盈利1350元.
点睛：列分式方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③找出能够表示题目全部含x的相等关系，列出分式方程；④解分式方程；⑤验根；⑥写出答案.本题第（1）问，即是根据“第二批所购数量是第一批购进数量的3倍”列方程解答的.
题组C 培优拔尖练
1．已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：，
∴，∴，∴，
∵解为非正数，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．
2．已知关于x的分式方程的解满足2＜x＜5，则k的取值范围是（ ）
A．﹣7＜k＜14 B．﹣7＜k＜14且k≠0 C．﹣14＜k＜7且k≠0 D．﹣14＜k＜7
【答案】C
【分析】先解分式方程，然后根据分式方程的解满足2＜x＜5和分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵分式方程的解满足2＜x＜5，∴，解得且，故选C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，分式方程的解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【分析】先解不等式组，然后根据一元一次不等式组无解确定的取值范围，最后根据分式方程的解为正数确定的值即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
解得：，
，
去分母得：，
解得：且，
∴或或或或，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
4．“遥知涟水蟹，九月已经霜，巨实黄金重，舒肥白玉香”，金秋时节，是吃螃蟹的最佳季节．某螃蟹经销商出售梭子蟹、青蟹、大闸蟹三种产品．10月1日，梭子蟹、青蟹的销量之比为，青蟹、大闸蟹的销量之比为，梭子蟹、青蟹的单价之比为，大闸蟹的单价比青餐高．10月8日，随着假期结束，梭子蟹、青蟹的购买热度与10月1日相比有所下降，单价也有所变化，梭子蟹下降的销量占当天三种螃蟹总销量的，梭子蟹、青蟹的销量之比为．10月8日，大闸蟹因为单价降低50%，销量反而有所增长，结果发现，10月8日大闸蟹的销售额恰好等于10月1日大闸蟹的销售额，梭子蟹和青蟹在10月8日的总销售额之比为，梭子蟹两天的总销售额与青蟹两天的总销售额之比为，则10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为___________．
【答案】
【分析】设10月1日，大闸蟹的销量为，则青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，设梭子蟹的单价为，则青蟹的单价为，大闸蟹的单价为，则10月1日，大闸蟹的销售额为，青蟹的销售额为，梭子蟹的销售额为，由题意得：10月8日，大闸蟹单价降低50%，即，设10月8日，大闸蟹的销量为m，可得在10月8日，大闸蟹的销量为，设10月8日，青蟹的销量为，则梭子蟹的销量为，即10月8日，青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，设10月8日，梭子蟹的单价为M，青蟹的单价为N，由题意得：，即10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为，则问题随之得解．
【详解】∵10月1日，梭子蟹、青蟹的销量之比为，青蟹、大闸蟹的销量之比为，
∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大闸蟹的销量之比为，
∵10月1日，梭子蟹、青蟹的单价之比为，大闸蟹的单价比青餐高，
∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大闸蟹的单价之比为，
设10月1日，大闸蟹的销量为，则青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，
设梭子蟹的单价为，则青蟹的单价为，大闸蟹的单价为，
则10月1日，大闸蟹的销售额为，青蟹的销售额为，梭子蟹的销售额为，
由题意得：10月8日，大闸蟹单价降低50%，即，
设10月8日，大闸蟹的销量为m，
由题意得：，解得，即在10月8日，大闸蟹的销量为，
设10月8日，青蟹的销量为，则梭子蟹的销量为，
由题意得：，解得，则，
即10月8日，青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，
设10月8日，梭子蟹的单价为M，青蟹的单价为N，
则在10月8日梭子蟹的总销售额为，青蟹的总销售额为，由题意得：，解得：，
即10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为，故答案为：．
【点睛】本题考查应用类问题，重点是假设未知数，解题的关键是厘清题中给出的众多的量之间的关系．
5．观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是_____．
【答案】x=n+4或x=n+5
【分析】根据方程变形后，归纳总结得到一般性规律，求出所求方程的解即可．
【详解】解：，解得：或；，解得：或；
，解得：或；得到规律，的解为：或；
所求方程整理得：，根据规律得：或，
解得：x=n+4或x=n+5故答案为：x=n+4或x=n+5
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清楚题中的规律是解本题的关键．
6．已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；(2)当时，求为何值时分式方程无解；
(3)若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)3、29、55、185
【分析】（1）将和的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值，使分式方程无解即可；
（3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数确定的取值．
（1）
解：把，代入分式方程中，得
方程两边同时乘以，
∴，
检验：把代入≠0，
所以原分式方程的解是．
答：分式方程的解是．
（2）
把代入分式方程得
方程两边同时乘以，
①当时，即，方程无解；
②当时，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，．
综上所述，或时，分式方程无解．
（3）
把代入分式方程，得：
方程两边同时乘以，
整理得：
∴
，且为正整数，为整数
必为195的因数，
∵195=3×5×13
的因数有1、3、5、13、15、39、65、195
但1、3、5 小于11，不合题意，故可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解为3、5、13、15、17
由于为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，只可以取3、29、55、185
所以满足条件的可取3、29、55、185这四个数．
【点睛】此题考查了分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提，其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
7．已知关于x的分式方程
(1)已知m=4，求方程的解；(2)若该分式方程无解，试求m的值．
【答案】(1)x＝ 1
(2)m＝ 1或 6或．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将m＝2代入计算即可求出x的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到m＋1＝0或（x＋2）（x 1）＝0，解m＋1＝0可求得一个m的值，将x＝ 2或x＝1代入整式方程即可求出另外两个m的值．
（1）
解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x 1，
整理得：（m＋1）x＝ 5．
当m＝4时，（4＋1）x＝ 5，
解得：x＝ 1
经检验：x＝ 1是原方程的解．
（2）
解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x 1，
整理得：（m＋1）x＝ 5．
∴
∵分式方程无解，
∴m＋1＝0或（x＋2）（x 1）＝0，
当m＋1＝0时，m＝ 1；
当（x＋2）（x 1）＝0时，x＝ 2或x＝1．
当x＝ 2时m＝；
当x＝1时m＝ 6，
∴m＝ 1或 6或时该分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
8.某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有座和座两种型号的客车可供租用，已知60座的客车每辆每天的租金比座的贵元．（1）会务组第一天在这家公司租了辆座和辆座的客车，一天的租金为元，求座和座的客车每辆每天的租金各是多少元？（2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案，方案：若只租用座的客车，会有一辆客车空出个座位；方案：若只租用座客车，正好坐满且比只租用座的客车少用两辆。①请计算方案的费用； ②如果你是会务组负责人，从经济角度考虑，还有其他方案吗？
【答案】（1）45座的客车每辆每天的租金为200元， 60座的客车每辆每天的租金为300元；（2）①方案1的费用为1200元，方案2的费用为1200元；②有，方案为：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆
【分析】（1）设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每天的租金为（x+100）元，根据题意可得等量关系：2辆60座的一天的租金+5辆45座的一天的客车的租金=一天的租金为1600元；根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）①设参会人员为y人，由题意列出方程，得出y=240，即可求出方案1、2的费用；
②方案3：共240人，租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，求出费用=1100元，即可得出结论．
【解析】解：（1）设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每天的租金为（x+100）元，
则：2（x+100）+5x=1600，解得：x=200，∴x+100=300，
答：45座的客车每辆每天的租金为200元， 60座的客车每辆每天的租金为300元；
（2）设参会人员为y人，由题意得：，解得：y=240，
①方案1的费用：（240+30）÷45×200=1200（元），方案2的费用：240÷60×300=1200（元），
②有方案3：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，理由如下：
共240人，租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，
费用：4×200+300=1100（元）＜1200元，∴最终租车方案为：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用；根据题意列出方程是解题的关键．
9．某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为360m的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用32天完成这一任务．(1)求原计划每天铺设路面的长度；(2)若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？并说明理由．
【答案】(1)原计划每天铺设管道的长度为 (2)够；理由见解析
【分析】（1）设原计划每天铺设管道的长度为，则增加后每天的工作效率为，找出等量关系：铺设的时间铺设的时间天，列方程求解即可；
（2）分别得到两种不同的工作效率所用的时间，进一步得到各自需要的工资，相加即可求解．
（1）
解：设原计划每天铺设管道，则后来的工作效率为，
根据题意，得，
解得：，
经检验：是原分式方程的解．
答：原计划每天铺设管道的长度为．
（2）解：够；
理由：，
（元,
．
现市政部门为完成整个工程所准备的流动资金够支付工人工资．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：工作时间工作量工作效率，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．
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