人教八上培优练：第01课 与三角形有关的线段（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教八上培优练：第01课 与三角形有关的线段（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 998.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-26 12:20:20 | ||
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文档简介
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第01课 与三角形有关的线段
题组A 基础过关练
1．下列尺规作图，能判断是的边上的高是（ ）
A． B．
C． D．
2．在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．某一边的垂直平分线
3．如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
4. 在中，若，，则第三边的取值可能是（ ）
A．3． B．5 C．9 D．10
5. 给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
6. △ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则∠BAC=___________．
7.如图，在中，、分别是边上的中线与高，，的面积为25，则的长为________．
8．如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是三角形具有______性．
9．请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．
求证：BD∥EF．
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（______________）
∵BC∥ED（________）
∴∠AED=________（________________）
∴∠AED=∠ABC
∴∠1=________
∴BD∥EF（________________）．
10．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．
（1）画出向右平移6个单位后得到的
（2）图中与的关系是：________．
（3）画出的中线AE和的角平分线BF．
（4）的面积为________．
题组B 能力提升练
1．如图，在中，已知，点是的中点，且的面积为9cm2，则的面积为（ ）
A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
2．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
3．若一个三角形的三边长之比为3：5：7．则这个三角形三边上的高之比为（ ）
A．3：5：7 B．7：5：3 C．35：21：15 D．6：5：4
4．如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2021次后得到的△A2021B2021C2021的面积为_________．
5．已知a，b，c是的三边长，则______．
6.如图，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20（1）画出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的长．
7．在△ABC中，BC＝8，AB＝1；（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为17，求△BCD的周长．
8.如图，O是△ABC内的一点，连结OB，OC，求证：AB+AC＞OB+OC．
题组C 培优拔尖练
1.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，点为的重心，则的值是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
3．如图，△ABC中，点F在边AB上，点D为BC的中点，连接AD、CF相交于点E，若，，则（ ）
A． B．6 C． D．
4．数轴上－6，－3与6表示的点分别为M、A、N，点B为线段AN上一点，分别以A、B为中心旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代表的数可能为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．3
5．如图，△ABC的面积是24，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．9 B．9.5 C．10.5 D．10
6．一块三角形空地ABC，三边长分别为20m、30m、40m，李老伯将这块空地分成甲、乙两个部分，分割线为AD，要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，则CD长的取值范围是_____ ．
7．如图，△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．如果BC=5，AC=12，AB=13，则CE+EF的最小值为______．
8．如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边的中线，若△ABC的面积是24，AE＝3，则点B到直线AD的距离为________．
9．已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若，，则DE的长为______．
题组A 基础过关练
1．下列尺规作图，能判断是的边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，能满足此条件的AD即为所求，依次判断即可．
【详解】解：A. 所作图BC的垂线未过点A，故此项错误；
B.所作图过点A作BC的垂线，垂足为D，故此项正确；
C.所作过点A作的线AD不垂直BC，故此项错误；
D.所作图仅为过点A的AB边上的垂线，不符合题意，故此项错误；故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的高的作法，解题的关键是掌握几何图形的性质和基本作图方法．
2．在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．某一边的垂直平分线
【答案】A
【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的性质和垂直平分线的性质即可判断．
【详解】解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，故选：A．
【点睛】本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本概念．
3．如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
【答案】C
【分析】根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．求解即可．
【详解】解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；
B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；
C、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；
D、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键．
4. 在中，若，，则第三边的取值可能是（ ）
A．3． B．5 C．9 D．10
【答案】B
【分析】根据三角形的三边不等关系：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和，解答即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得6-3＜BC＜6+3，即3＜BC＜9．符合条件的条件是BC=5，
故选：B．
【点睛】此题考查了求三角形第三边的范围，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
5. 给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断
【详解】（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确
（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误
（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确
综上所述，正确的结论2个 故选B
【点睛】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形
6. △ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则∠BAC=___________．
【答案】70°或30°
【分析】根据AD的不同位置，分两种情况进行讨论：AD在△ABC的内部，AD在△ABC的外部，分别求得∠BAC的度数．
【解析】①如图，当AD在△ABC的内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+20°=70°．
②如图，当AD在△ABC的外部时，∠BAC=∠BAD -∠CAD=50°-20°=30°．故答案为：70°或30°．
【点睛】本题主要考查了三角形高的位置情况，充分考虑三角形的高在三角形的内部或外部进行分类讨论是解题的关键．
7.如图，在中，、分别是边上的中线与高，，的面积为25，则的长为________．
【答案】
【分析】由三角形的面积为： 求解 再利用三角形的中线的概念求解即可得到答案．
【详解】解： 、分别是边上的中线与高，
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的中线，高的含义，三角形的面积，掌握以上知识是解题的关键．
8．如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是三角形具有______性．
【答案】稳定
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，其中的数学道理是三角形具有稳定性，故答案为：稳定．
【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，熟知相关性质是解题的关键．
9．请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．
求证：BD∥EF．
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（______________）
∵BC∥ED（________）
∴∠AED=________（________________）
∴∠AED=∠ABC
∴∠1=________
∴BD∥EF（________________）．
【答案】角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行
【分析】根据角平分线的定义得出∠1=∠AED，∠2=∠ABC，根据平行线的性质定理得出∠AED=∠ABC，求出∠1=∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．
【详解】证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（角平分线的定义）
∵BC∥ED（已知）
∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）
∴∠AED=∠ABC
∴∠1=∠2
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键．
0如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．(1)画出向右平移6个单位后得到的(2)图中与的关系是：________．
(3)画出的中线AE和的角平分线BF．(4)的面积为________．
【答案】(1)见解析(2)平行且相等(3)见解析(4)4
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C向右平移6个单位后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平移的性质解答即可；（3）找出BC的中点E，连接AE即可，过点B竖直方向的格线正好平分∠ABC，此格线与AC的交点为F，连接BF即可；
（4）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个三角形的面积，列式计算即可得解．
(1)如下图所示：即为所求作的三角形；
(2)根据平移的性质得出，AC与A1C1的关系是：平行且相等；故答案为：平行且相等；
(3)如下图所示：AE、BF即为所求作的线段；
(4)．故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，（1）中得出各对应点位置是解题关键；（2）掌握平移的性质是解题关键；（3）理解中线和角平分线的定义是解题关键；（3）掌握割补法是解题关键．
题组B 能力提升练
1．如图，在中，已知，点是的中点，且的面积为9cm2，则的面积为（ ）
A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
【答案】C
【分析】根据线段中点的概念、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：∵点E是AB的中点，∴△AED的面积=△ABD的面积，
∵S△ABD：S△ACD=2：1，∴△ABD的面积=△ABC的面积×
∴△AED的面积=3cm2，故选：C．
【点睛】本题考查三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
2．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【分析】据重心的定义：三角形中各边中线的交点为三角形的重心，结合图形，可知D点为△ABC的重心．
【详解】如图所示，根据图形可知AN=BN，BM=CM，∴AM，CN为△ABC的中线，
∵AM，CN交于点D，∴D点为△ABC的重心．故选：A．
【点睛】本题主要考查的是三角形重心的定义，属于基础题型．
3．若一个三角形的三边长之比为3：5：7．则这个三角形三边上的高之比为（ ）
A．3：5：7 B．7：5：3 C．35：21：15 D．6：5：4
【答案】C
【分析】首先根据三角形的面积计算出各边上的高的比．
【解析】因为边长之比满足3：5：7，设三边分别为3x、5x、7x，设三边上的高为a，b，c，
由题意得：故这个三角形三边上的高之比为：．故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积的公式计算．
4．如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2021次后得到的△A2021B2021C2021的面积为_________．
【答案】
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A1B1C1的面积是△ABC的面积的7倍，依此规律可得结论．
【详解】解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，
△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，
所以，,同理，
依此类推，△A2021B2021C2021的面积为=72021S△ABC，
∵△ABC的面积为1，∴△A2021B2021C2021的面积=72021．故答案为：72021．
【点睛】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．
5．已知a，b，c是的三边长，则______．
【答案】
【分析】根据三角形三边关系定理，确定绝对值中式子的符号后化简即可．
【详解】∵a，b，c是的三边长，∴a+c＞b，b+c＞a，
∴==，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
6.如图，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20
（1）画出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据三角形高的定义画图；（2）利用面积法进行计算，即可得到答案；
【详解】解：（1）如图：
（2）∵S△ABC=AD BC=CE AB，∴CE=；
【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的面积．
7．在△ABC中，BC＝8，AB＝1；（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为17，求△BCD的周长．
【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到AD＝CD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整数，∴AC＝8；
（2）∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为17，∴AB+AD+BD＝17，∵AB＝1，∴AD+BD＝16，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+16＝24．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
8如图，O是△ABC内的一点，连结OB，OC，求证：AB+AC＞OB+OC．
【分析】根据三角形的三边关系证得AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，从而得到AB+AD+CD＞OB+OC，进而得到AB+AC＞OB+OC．
【解答】证明：如图，延长BO交AC于点D，
∵AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，∴AB+AD+CD＞OB+OC，即：AB+AC＞OB+OC．
【点评】本题考出了三角形的三边关系，解题的关键是作辅助线构造三角形．
题组C 培优拔尖练
1.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC.其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义可判定①；根据角平分线的定义及垂直的定义求得∠CAE=52°，∠CAD=50°，再由∠DAE＝∠CAE -∠CAD即可判定②；根据三角形中线的性质即可判定④；③根据已知条件判定不出，由此即可解答.
【解析】∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝104°，∴∠BAE=∠CAE＝=52°；①正确；
∵AD⊥BC，∠C＝40°，∴∠CAD=90°-40°=50°；∴∠DAE＝∠CAE -∠CAD =2°；②正确；
∵F为BC的中点，∴S△ABF＝S△ABC. ④正确.
根据已知条件不能够判定③正确.综上，正确的结论为①②④，共3个，故选C.
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线及高线的性质，熟知三角形的角平分线、中线及高线的性质是解决问题的关键.
2．如图，点为的重心，则的值是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】如图,分别延长、、，交、、于点、、，根据三角形重心定理得到、、是的中线，继而根据三中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求得答案.
【解析】如图,分别延长、、，交、、于点、、，
因为G是三角形重心，所以、、是的中线，所以 ，
即，同理，所以，
即= 1:1:1，故选C.
3．如图，△ABC中，点F在边AB上，点D为BC的中点，连接AD、CF相交于点E，若，，则（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据为的中点，可得，，根据，，可得，设，则，，，求得，即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
∵为的中点∴，，
∵，，∴，设，则，，
∴，，
则，解得，故选：D
【点睛】此题考查与中点有关的三角形面积的计算，解题的关键是掌握同高三角形面积的比等于底边的比．
4．数轴上－6，－3与6表示的点分别为M、A、N，点B为线段AN上一点，分别以A、B为中心旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代表的数可能为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．3
【答案】C
【分析】设B代表的数为x，则AC=3，AB和BC可以用x表示出来，然后根据三角形的三边关系求出x的取值范围即可得到解答．
【详解】解：设B代表的数为x，则由题意可得：AC=AM=3，AB=x-（-3）=x+3，BC=BN=6-x，
∴由三角形的三边关系可得： 解之可得：0【点睛】本题考查数轴的动点问题，熟练掌握数轴上两点距离的表示、构成三角形的条件、一元一次不等式组的求法是解题关键．
5．如图，△ABC的面积是24，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．9 B．9.5 C．10.5 D．10
【答案】A
【分析】根据中线的性质，可得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝3，△AEG的面积＝3，根据三角形的中线的性质可得△EFG的面积＝×△BCE的面积＝3，进而得到△AFG的面积．
【详解】解：∵点D是BC的中点，∴AD是△ABC的中线，
∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝×△ABC的面积，
同理得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝×24＝3，
△AEG的面积＝3，
△BCE的面积＝△BDE的面积＋△CDE的面积＝△ABD的面积＋△ADC的面积＝×△ABC的面积＝12，
连接BG，又∵F、G分别是BE和CE的中点，
∴△EFG的面积＝△BGE的面积＝××△BCE的面积＝△BEC的面积＝×12＝3，
∴△AFG的面积＝△AEF的面积＋△AEG的面积＋△EFG的面积＝3＋3＋3＝9，故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积、三角形中线的性质等知识，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
6．一块三角形空地ABC，三边长分别为20m、30m、40m，李老伯将这块空地分成甲、乙两个部分，分割线为AD，要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，则CD长的取值范围是_____ ．
【答案】##
【分析】分别求乙块地的面积等于整块空地面积的三分之一， 乙块地的面积等于甲块地的面积的三分之二时CD的值，即可求出CD的取值范围．
【详解】解∶当乙块地的面积等于整块空地面积的三分之一时，即，∴，
当乙块地的面积等于甲块地的面积的三分之二时，即，
∴，∴，
∴当时， 乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了三角形面积的应用，掌握等高的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键．
7．如图，△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．如果BC=5，AC=12，AB=13，则CE+EF的最小值为______．
【答案】##
【分析】过C作CF⊥AB于F，交AD于E．则CE+EF的最小值为CF，利用三角形等面积法求出CF，即为CE+EF的最小值．
【详解】解：过C作CF⊥AB于F，交AD于E，
则CE+EF的最小值为CF．∵BC=5，AC=12，AB=13，
∴AB CF=BC AC，∴CF=，
即CE+EF的最小值为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．
8．如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边的中线，若△ABC的面积是24，AE＝3，则点B到直线AD的距离为________．
【答案】4
【分析】由三角形的中线平分三角形面积的性质可得△ABE的面积，再由三角形面积公式即可求得结果．
【详解】∵AD是△ABC的BC边上的中线，，∴．
∵BE是△ABD中AD边上的中线，∴．
设点B到直线AD的距离为h，则，即，∴h=4．
即点B到直线AD的距离为4．故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形一边上的中线平分三角形面积的性质、三角形面积等知识，掌握三角形一边上的中线平分三角形面积的性质是本题解答的关键．
9．已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若，，则DE的长为______．
【答案】0.5或1.5
【分析】根据题意作出草图，分类讨论即可求解．
【详解】解： AD、AE分别是△ABC的高和中线，，，
如图，当是钝角三角形时，
当是锐角三角形时，
当是直角三角形时，，不合题意，答案为：或
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第01课 与三角形有关的线段
题组A 基础过关练
1．下列尺规作图，能判断是的边上的高是（ ）
A． B．
C． D．
2．在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．某一边的垂直平分线
3．如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
4. 在中，若，，则第三边的取值可能是（ ）
A．3． B．5 C．9 D．10
5. 给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
6. △ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则∠BAC=___________．
7.如图，在中，、分别是边上的中线与高，，的面积为25，则的长为________．
8．如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是三角形具有______性．
9．请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．
求证：BD∥EF．
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（______________）
∵BC∥ED（________）
∴∠AED=________（________________）
∴∠AED=∠ABC
∴∠1=________
∴BD∥EF（________________）．
10．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．
（1）画出向右平移6个单位后得到的
（2）图中与的关系是：________．
（3）画出的中线AE和的角平分线BF．
（4）的面积为________．
题组B 能力提升练
1．如图，在中，已知，点是的中点，且的面积为9cm2，则的面积为（ ）
A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
2．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
3．若一个三角形的三边长之比为3：5：7．则这个三角形三边上的高之比为（ ）
A．3：5：7 B．7：5：3 C．35：21：15 D．6：5：4
4．如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2021次后得到的△A2021B2021C2021的面积为_________．
5．已知a，b，c是的三边长，则______．
6.如图，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20（1）画出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的长．
7．在△ABC中，BC＝8，AB＝1；（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为17，求△BCD的周长．
8.如图，O是△ABC内的一点，连结OB，OC，求证：AB+AC＞OB+OC．
题组C 培优拔尖练
1.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，点为的重心，则的值是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
3．如图，△ABC中，点F在边AB上，点D为BC的中点，连接AD、CF相交于点E，若，，则（ ）
A． B．6 C． D．
4．数轴上－6，－3与6表示的点分别为M、A、N，点B为线段AN上一点，分别以A、B为中心旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代表的数可能为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．3
5．如图，△ABC的面积是24，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．9 B．9.5 C．10.5 D．10
6．一块三角形空地ABC，三边长分别为20m、30m、40m，李老伯将这块空地分成甲、乙两个部分，分割线为AD，要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，则CD长的取值范围是_____ ．
7．如图，△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．如果BC=5，AC=12，AB=13，则CE+EF的最小值为______．
8．如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边的中线，若△ABC的面积是24，AE＝3，则点B到直线AD的距离为________．
9．已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若，，则DE的长为______．
题组A 基础过关练
1．下列尺规作图，能判断是的边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，能满足此条件的AD即为所求，依次判断即可．
【详解】解：A. 所作图BC的垂线未过点A，故此项错误；
B.所作图过点A作BC的垂线，垂足为D，故此项正确；
C.所作过点A作的线AD不垂直BC，故此项错误；
D.所作图仅为过点A的AB边上的垂线，不符合题意，故此项错误；故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的高的作法，解题的关键是掌握几何图形的性质和基本作图方法．
2．在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．某一边的垂直平分线
【答案】A
【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的性质和垂直平分线的性质即可判断．
【详解】解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，故选：A．
【点睛】本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本概念．
3．如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
【答案】C
【分析】根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．求解即可．
【详解】解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；
B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；
C、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；
D、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键．
4. 在中，若，，则第三边的取值可能是（ ）
A．3． B．5 C．9 D．10
【答案】B
【分析】根据三角形的三边不等关系：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和，解答即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得6-3＜BC＜6+3，即3＜BC＜9．符合条件的条件是BC=5，
故选：B．
【点睛】此题考查了求三角形第三边的范围，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
5. 给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断
【详解】（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确
（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误
（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确
综上所述，正确的结论2个 故选B
【点睛】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形
6. △ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则∠BAC=___________．
【答案】70°或30°
【分析】根据AD的不同位置，分两种情况进行讨论：AD在△ABC的内部，AD在△ABC的外部，分别求得∠BAC的度数．
【解析】①如图，当AD在△ABC的内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+20°=70°．
②如图，当AD在△ABC的外部时，∠BAC=∠BAD -∠CAD=50°-20°=30°．故答案为：70°或30°．
【点睛】本题主要考查了三角形高的位置情况，充分考虑三角形的高在三角形的内部或外部进行分类讨论是解题的关键．
7.如图，在中，、分别是边上的中线与高，，的面积为25，则的长为________．
【答案】
【分析】由三角形的面积为： 求解 再利用三角形的中线的概念求解即可得到答案．
【详解】解： 、分别是边上的中线与高，
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的中线，高的含义，三角形的面积，掌握以上知识是解题的关键．
8．如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是三角形具有______性．
【答案】稳定
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，其中的数学道理是三角形具有稳定性，故答案为：稳定．
【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，熟知相关性质是解题的关键．
9．请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．
求证：BD∥EF．
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（______________）
∵BC∥ED（________）
∴∠AED=________（________________）
∴∠AED=∠ABC
∴∠1=________
∴BD∥EF（________________）．
【答案】角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行
【分析】根据角平分线的定义得出∠1=∠AED，∠2=∠ABC，根据平行线的性质定理得出∠AED=∠ABC，求出∠1=∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．
【详解】证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（角平分线的定义）
∵BC∥ED（已知）
∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）
∴∠AED=∠ABC
∴∠1=∠2
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键．
0如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．(1)画出向右平移6个单位后得到的(2)图中与的关系是：________．
(3)画出的中线AE和的角平分线BF．(4)的面积为________．
【答案】(1)见解析(2)平行且相等(3)见解析(4)4
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C向右平移6个单位后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平移的性质解答即可；（3）找出BC的中点E，连接AE即可，过点B竖直方向的格线正好平分∠ABC，此格线与AC的交点为F，连接BF即可；
（4）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个三角形的面积，列式计算即可得解．
(1)如下图所示：即为所求作的三角形；
(2)根据平移的性质得出，AC与A1C1的关系是：平行且相等；故答案为：平行且相等；
(3)如下图所示：AE、BF即为所求作的线段；
(4)．故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，（1）中得出各对应点位置是解题关键；（2）掌握平移的性质是解题关键；（3）理解中线和角平分线的定义是解题关键；（3）掌握割补法是解题关键．
题组B 能力提升练
1．如图，在中，已知，点是的中点，且的面积为9cm2，则的面积为（ ）
A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
【答案】C
【分析】根据线段中点的概念、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：∵点E是AB的中点，∴△AED的面积=△ABD的面积，
∵S△ABD：S△ACD=2：1，∴△ABD的面积=△ABC的面积×
∴△AED的面积=3cm2，故选：C．
【点睛】本题考查三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
2．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【分析】据重心的定义：三角形中各边中线的交点为三角形的重心，结合图形，可知D点为△ABC的重心．
【详解】如图所示，根据图形可知AN=BN，BM=CM，∴AM，CN为△ABC的中线，
∵AM，CN交于点D，∴D点为△ABC的重心．故选：A．
【点睛】本题主要考查的是三角形重心的定义，属于基础题型．
3．若一个三角形的三边长之比为3：5：7．则这个三角形三边上的高之比为（ ）
A．3：5：7 B．7：5：3 C．35：21：15 D．6：5：4
【答案】C
【分析】首先根据三角形的面积计算出各边上的高的比．
【解析】因为边长之比满足3：5：7，设三边分别为3x、5x、7x，设三边上的高为a，b，c，
由题意得：故这个三角形三边上的高之比为：．故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积的公式计算．
4．如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2021次后得到的△A2021B2021C2021的面积为_________．
【答案】
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A1B1C1的面积是△ABC的面积的7倍，依此规律可得结论．
【详解】解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，
△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，
所以，,同理，
依此类推，△A2021B2021C2021的面积为=72021S△ABC，
∵△ABC的面积为1，∴△A2021B2021C2021的面积=72021．故答案为：72021．
【点睛】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．
5．已知a，b，c是的三边长，则______．
【答案】
【分析】根据三角形三边关系定理，确定绝对值中式子的符号后化简即可．
【详解】∵a，b，c是的三边长，∴a+c＞b，b+c＞a，
∴==，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
6.如图，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20
（1）画出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据三角形高的定义画图；（2）利用面积法进行计算，即可得到答案；
【详解】解：（1）如图：
（2）∵S△ABC=AD BC=CE AB，∴CE=；
【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的面积．
7．在△ABC中，BC＝8，AB＝1；（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为17，求△BCD的周长．
【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到AD＝CD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整数，∴AC＝8；
（2）∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为17，∴AB+AD+BD＝17，∵AB＝1，∴AD+BD＝16，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+16＝24．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
8如图，O是△ABC内的一点，连结OB，OC，求证：AB+AC＞OB+OC．
【分析】根据三角形的三边关系证得AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，从而得到AB+AD+CD＞OB+OC，进而得到AB+AC＞OB+OC．
【解答】证明：如图，延长BO交AC于点D，
∵AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，∴AB+AD+CD＞OB+OC，即：AB+AC＞OB+OC．
【点评】本题考出了三角形的三边关系，解题的关键是作辅助线构造三角形．
题组C 培优拔尖练
1.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC.其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义可判定①；根据角平分线的定义及垂直的定义求得∠CAE=52°，∠CAD=50°，再由∠DAE＝∠CAE -∠CAD即可判定②；根据三角形中线的性质即可判定④；③根据已知条件判定不出，由此即可解答.
【解析】∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝104°，∴∠BAE=∠CAE＝=52°；①正确；
∵AD⊥BC，∠C＝40°，∴∠CAD=90°-40°=50°；∴∠DAE＝∠CAE -∠CAD =2°；②正确；
∵F为BC的中点，∴S△ABF＝S△ABC. ④正确.
根据已知条件不能够判定③正确.综上，正确的结论为①②④，共3个，故选C.
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线及高线的性质，熟知三角形的角平分线、中线及高线的性质是解决问题的关键.
2．如图，点为的重心，则的值是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】如图,分别延长、、，交、、于点、、，根据三角形重心定理得到、、是的中线，继而根据三中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求得答案.
【解析】如图,分别延长、、，交、、于点、、，
因为G是三角形重心，所以、、是的中线，所以 ，
即，同理，所以，
即= 1:1:1，故选C.
3．如图，△ABC中，点F在边AB上，点D为BC的中点，连接AD、CF相交于点E，若，，则（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据为的中点，可得，，根据，，可得，设，则，，，求得，即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
∵为的中点∴，，
∵，，∴，设，则，，
∴，，
则，解得，故选：D
【点睛】此题考查与中点有关的三角形面积的计算，解题的关键是掌握同高三角形面积的比等于底边的比．
4．数轴上－6，－3与6表示的点分别为M、A、N，点B为线段AN上一点，分别以A、B为中心旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代表的数可能为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．3
【答案】C
【分析】设B代表的数为x，则AC=3，AB和BC可以用x表示出来，然后根据三角形的三边关系求出x的取值范围即可得到解答．
【详解】解：设B代表的数为x，则由题意可得：AC=AM=3，AB=x-（-3）=x+3，BC=BN=6-x，
∴由三角形的三边关系可得： 解之可得：0
5．如图，△ABC的面积是24，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．9 B．9.5 C．10.5 D．10
【答案】A
【分析】根据中线的性质，可得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝3，△AEG的面积＝3，根据三角形的中线的性质可得△EFG的面积＝×△BCE的面积＝3，进而得到△AFG的面积．
【详解】解：∵点D是BC的中点，∴AD是△ABC的中线，
∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝×△ABC的面积，
同理得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝×24＝3，
△AEG的面积＝3，
△BCE的面积＝△BDE的面积＋△CDE的面积＝△ABD的面积＋△ADC的面积＝×△ABC的面积＝12，
连接BG，又∵F、G分别是BE和CE的中点，
∴△EFG的面积＝△BGE的面积＝××△BCE的面积＝△BEC的面积＝×12＝3，
∴△AFG的面积＝△AEF的面积＋△AEG的面积＋△EFG的面积＝3＋3＋3＝9，故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积、三角形中线的性质等知识，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
6．一块三角形空地ABC，三边长分别为20m、30m、40m，李老伯将这块空地分成甲、乙两个部分，分割线为AD，要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，则CD长的取值范围是_____ ．
【答案】##
【分析】分别求乙块地的面积等于整块空地面积的三分之一， 乙块地的面积等于甲块地的面积的三分之二时CD的值，即可求出CD的取值范围．
【详解】解∶当乙块地的面积等于整块空地面积的三分之一时，即，∴，
当乙块地的面积等于甲块地的面积的三分之二时，即，
∴，∴，
∴当时， 乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了三角形面积的应用，掌握等高的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键．
7．如图，△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．如果BC=5，AC=12，AB=13，则CE+EF的最小值为______．
【答案】##
【分析】过C作CF⊥AB于F，交AD于E．则CE+EF的最小值为CF，利用三角形等面积法求出CF，即为CE+EF的最小值．
【详解】解：过C作CF⊥AB于F，交AD于E，
则CE+EF的最小值为CF．∵BC=5，AC=12，AB=13，
∴AB CF=BC AC，∴CF=，
即CE+EF的最小值为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．
8．如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边的中线，若△ABC的面积是24，AE＝3，则点B到直线AD的距离为________．
【答案】4
【分析】由三角形的中线平分三角形面积的性质可得△ABE的面积，再由三角形面积公式即可求得结果．
【详解】∵AD是△ABC的BC边上的中线，，∴．
∵BE是△ABD中AD边上的中线，∴．
设点B到直线AD的距离为h，则，即，∴h=4．
即点B到直线AD的距离为4．故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形一边上的中线平分三角形面积的性质、三角形面积等知识，掌握三角形一边上的中线平分三角形面积的性质是本题解答的关键．
9．已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若，，则DE的长为______．
【答案】0.5或1.5
【分析】根据题意作出草图，分类讨论即可求解．
【详解】解： AD、AE分别是△ABC的高和中线，，，
如图，当是钝角三角形时，
当是锐角三角形时，
当是直角三角形时，，不合题意，答案为：或
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