人教八上培优练：第03课 多边形及内角和
文档属性
| 名称 | 人教八上培优练：第03课 多边形及内角和 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 614.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-26 12:25:13 | ||
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文档简介
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第03课 多边形及内角和
题组A 基础过关练
1．关于正多边形的概念，下列说法正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形 B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等或各角相等的多边形是正多边形 D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
2．一个多边形从一个顶点可引出7条对角线，那么这个多边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（ ）
A．720° B．900° C．1080° D．1440°
4. 下列各度数不是多边形的内角和的是（ ）
A．540° B．900° C．1080° D．1700°
5．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数应是（ ）
A．72° B．84° C．82° D．94°
6．在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（ ）
A．正六边形，正八边形 B．正方形，正七边形 C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形
7．如果一个四边形四个内角度数之比是1：2：3：4，那么这四个内角中（ ）．
A．只有一个直角 B．只有一个锐角 C．有两个直角 D．有两个钝角
8．正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
9．已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．
题组B 能力提升练
1．小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（ ）
A．28° B．30° C．33° D．36°
2．游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行．成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）．
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D．每段直路要长
3．商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形，若选购地砖镶嵌地面，那么，可供选择的有______种．
4．如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．
5．在抗击新冠肺炎的斗争中，娄底市根据疫情的发展情况，决定全市中小学延期开学，并采用线上教学的形式，真正做到停课不停学，某中学初二1班全体同学自主完成学习任务的同时，不忘关心同学的安危，在停课不停学期间全班每两个同学都通过一次电话，我们可以把该班人数n与通话次数S间的关系用下列模型表示：问：若该班有50名同学，则它们之间共通了_________次电话；
6．一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．
7．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．
8. 【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．
如图，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．
【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：（1）将下列表格补充完整．
名称 图形 内角和 外角和
三角形 180° 360°
四边形
五边形
… … … …
n边形 …
（2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．
题组C 培优拔尖练
1．如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25 B．26 C．30 D．39
3．如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 ___cm．
4．一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 _____．
5．如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________．
6．利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．
运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？
分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ ；
（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．
题组A 基础过关练
1．关于正多边形的概念，下列说法正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形 B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等或各角相等的多边形是正多边形 D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
【答案】D
【分析】根据正多边形的定义判定即可．
【解析】解：A．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；
B．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；
C．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；
D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形，正确，故本选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形的定义、熟记各边相等、各角也相等的多边形是正多边形是解决问题的关键．
2．一个多边形从一个顶点可引出7条对角线，那么这个多边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】从n边形的一个顶点引对角线条数为（n﹣3）条．
【详解】解：∵从n边形的一个顶点引对角线条数为：n﹣3，
设该多边形为n边形，则：n﹣3＝7，解得：n＝10．故选：A．
【点睛】此题考查多边形的对角线，解题关键在于掌握计算公式.
3．湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（ ）
A．720° B．900° C．1080° D．1440°
【分析】应用多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：（n﹣2） 180＝（8﹣2）×180°＝1080°．
故这个八边形的内角和是1080°．故选：C．
【点评】此题主要考查多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2） 180 （n≥3）且n为整数）．
4. 下列各度数不是多边形的内角和的是（ ）
A．540° B．900° C．1080° D．1700°
【分析】（n≥3）边形的内角和是（n﹣2）180°，因而多边形的内角和一定是180的整数倍．
【解答】解：不是180的整数倍的选项只有D中的1700°．故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，正确记忆多边形内角和公式是解题关键．
5．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数应是（ ）
A．72° B．84° C．82° D．94°
【分析】利用正多边形的外角公式可得∠3，∠4，再根据三角形内角和为180°，求出∠2，即可求出∠1解决问题．
【解答】解：如图，
由题意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°，则∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°．故选：B．
【点评】本题考查多边形内角与外角，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（ ）
A．正六边形，正八边形 B．正方形，正七边形
C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形
【答案】D
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】解：∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角是90°，
正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，
正七边形的每个内角是正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，
∴能够组合是正三角形，正方形，故选：D．
【点睛】本题考查平面镶嵌，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
7．如果一个四边形四个内角度数之比是1：2：3：4，那么这四个内角中（ ）．
A．只有一个直角 B．只有一个锐角 C．有两个直角 D．有两个钝角
【答案】D
【分析】根据四边形的内角和的度数是，四个内角度数之比是1：2：3：4，分别求出四个内角，再判断即可．
【详解】解：一个四边形四个内角的度数之比为，
∴四个内角的度数分别为：；；
；．∴这个四边形的内角中有两个钝角．故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和问题，熟悉相关性质是解题的关键．
8．正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
【答案】D
【分析】根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．
【详解】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，
∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，故选D．
【点睛】本题主要考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和等于360°，是解题的关键．
9．已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．
【分析】首先外角为x°，则内角为（4x+30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x+4x+30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数．
【解答】解：设外角为x°，由题意得：x+4x+30＝180，解得：x＝30，
360°÷30°＝12，∴（12 2）×180＝1800°，∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形．
【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．
题组B 能力提升练
1．小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（ ）
A．28° B．30° C．33° D．36°
【答案】B
【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用60÷5＝12，求得边数，再根据多边形的外角和为360°，即可求解．
【详解】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴正多边形的边数为：60÷5＝12，根据多边形的外角和为360°，
∴则他每次转动θ的角度为：360°÷12＝30°，故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于 是解题的关键．
2．游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行．成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）．
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D．每段直路要长
【答案】A
【分析】根据题意可知封闭的图形是正五边形，求出正五边形内角的度数即可解决问题．
【详解】根据题意可知，从起点走五段相等直路之后回到起点的封闭图形是正五边形，
∵正五边形的每个内角的度数为：
∴它的邻补角的度数为：180°-108°=72°，因此，每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走，故选：A．
【点睛】此题主要考查了求正多边形内角的度数，掌握并能运用多边形内角和公式是解题的关键．
3．商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形，若选购地砖镶嵌地面，那么，可供选择的有______种．
【答案】3
【分析】由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．
【详解】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌
②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；
③正五边形每个内角是180° 360°÷5＝108°，不能整除360°，不能镶嵌；
④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；
故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有3种．故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
4．如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．
【答案】70°
【分析】先求出与∠EAB和∠CBA相邻的外角的度数和，然后根据多边形外角和定理即可求解．
【详解】如图，
∵∠1+∠2+∠3=220°，∴∠4+∠5=360°-220°=140°，∴∠EAB+∠CBA=220°，
∵AO，BO分别平分∠EAB，∠ABC，∴∠OAB+∠OBA=110°，
∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°．故答案是：70°．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
5．在抗击新冠肺炎的斗争中，娄底市根据疫情的发展情况，决定全市中小学延期开学，并采用线上教学的形式，真正做到停课不停学，某中学初二1班全体同学自主完成学习任务的同时，不忘关心同学的安危，在停课不停学期间全班每两个同学都通过一次电话，我们可以把该班人数n与通话次数S间的关系用下列模型表示：问：若该班有50名同学，则它们之间共通了_________次电话；
【答案】1225
【分析】观察图形，可以发现，n为多边形的边数，而S等于边数+对角线条数，根据对角线条数公式代入即可求解．
【解析】观察图形，可以发现，n为多边形的边数，而S等于边数+对角线条数
∴人数n和通话次数S间的关系为
∴当n=50时， 故答案为1225．
【点睛】本题考查了多边形对角线条数的公式，熟记相关公式是本题的关键，
6．一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．
【答案】6或7
【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【详解】解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，
∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．
【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．
7．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．
【分析】利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形：五边形．
【解答】解：如图，
由三角形内角和定理得：∠1+∠5＝∠8+∠9，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠5+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝∠8+∠9+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7
＝180°×（5﹣2）＝540°．
【点评】本题主要考查多边形内角和，解题关键是利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形．
8. 【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．
如图，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．
【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：（1）将下列表格补充完整．
名称 图形 内角和 外角和
三角形 180° 360°
四边形
五边形
… … … …
n边形 …
（2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．
【分析】（1）根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°，n边形的外角和为360°即可得出答案；
（2）根据多边形的内角和公式和多边形的外角和360°即可得出答案．
【解答】解：（1）内角和分别为：四边形内角和是：（4﹣2）×180°＝360°，
五边形内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，n边形内角和是：180°（n﹣2）；
外角和分别为：360°、360°、360°；
故答案为：360°、540°、180°（n﹣2），360°、360°、360°；
（2）这个八边形一个内角的度数是：
方法一：（8﹣2）×180°÷8＝135°，方法二：180°﹣360°÷8＝135°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边形的外角和为360°．
题组C 培优拔尖练
1．如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据多边形的外角和是及三角形的外角定理求解判断即可．
【详解】解：如图，连结BD，延长AD到E，
，，，
故选项A正确，符合题意；B不正确，不符合题意；
多边形的外角和是，∴∴
故选项C不正确，不符合题意；选项D不正确，不符合题意．故选：A．
【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是是解题的基础．
2．如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25 B．26 C．30 D．39
【答案】B
【分析】正中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．
【详解】
如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：（个）；
较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：（个）；
平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：（个）；小正三角形个数为13个；
∴一共有小正三角形个数为：（个），
∴图中阴影部分面积为：，故选：B．
【点睛】题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点．
3．如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 ___cm．
【答案】
【分析】如图，连接 过作于 再求解正六边形的边长为 证明 再求解 再利用三角形的中位线定理可得答案.
【详解】解：如图，连接 过作于 正六边形ABCDEF的周长是24cm，
分别为的中点，
同理： 六边形GHKLMN的周长是 故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，正多边形的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键.
4．一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 _____．
【答案】11
【分析】直接利用多边形内角和公式列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：设这个多边形边数为n，
，∴，
∵n是整数，∴n=11，故答案为11．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记公式，列出不等式组．
5．如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________．
【答案】36
【分析】机器人行走的路程为10米，每次走1米，回到O点时，组成一个封闭的图形，则多边形的边数为十，且每条边长度相等，由于每次右转的角度相同，故为正十边形，每次右转的角度为正十边形的外角，因而可求得答案．
【详解】根据题意可得，机器人行走的路程是边长为1米的正十边形，而每次向右转的角度为正十边形的外角度数，所以．故答案为：36°．
【点睛】本题主要考查了正多形的定义及外角和的性质．
6．利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．
运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？
分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ ；
（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．
【分析】（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案；
（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案．
【解答】解：（1）如图，
由三角形外角的性质可得，∠1＝∠A1+∠A4，
∵∠A2DA5＝∠1+∠A3，∴∠A2DA5＝∠A1+∠A4+∠A3，
∵∠A2DA5+∠A2+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°，故答案为：180°；
（2）如图，由（1）得，∠1＝∠A1+∠A4+∠A5，∠2＝∠A2+∠A3+∠A6，
∵∠1+∠2+∠A7＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7＝180°．
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第03课 多边形及内角和
题组A 基础过关练
1．关于正多边形的概念，下列说法正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形 B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等或各角相等的多边形是正多边形 D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
2．一个多边形从一个顶点可引出7条对角线，那么这个多边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（ ）
A．720° B．900° C．1080° D．1440°
4. 下列各度数不是多边形的内角和的是（ ）
A．540° B．900° C．1080° D．1700°
5．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数应是（ ）
A．72° B．84° C．82° D．94°
6．在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（ ）
A．正六边形，正八边形 B．正方形，正七边形 C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形
7．如果一个四边形四个内角度数之比是1：2：3：4，那么这四个内角中（ ）．
A．只有一个直角 B．只有一个锐角 C．有两个直角 D．有两个钝角
8．正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
9．已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．
题组B 能力提升练
1．小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（ ）
A．28° B．30° C．33° D．36°
2．游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行．成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）．
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D．每段直路要长
3．商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形，若选购地砖镶嵌地面，那么，可供选择的有______种．
4．如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．
5．在抗击新冠肺炎的斗争中，娄底市根据疫情的发展情况，决定全市中小学延期开学，并采用线上教学的形式，真正做到停课不停学，某中学初二1班全体同学自主完成学习任务的同时，不忘关心同学的安危，在停课不停学期间全班每两个同学都通过一次电话，我们可以把该班人数n与通话次数S间的关系用下列模型表示：问：若该班有50名同学，则它们之间共通了_________次电话；
6．一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．
7．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．
8. 【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．
如图，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．
【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：（1）将下列表格补充完整．
名称 图形 内角和 外角和
三角形 180° 360°
四边形
五边形
… … … …
n边形 …
（2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．
题组C 培优拔尖练
1．如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25 B．26 C．30 D．39
3．如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 ___cm．
4．一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 _____．
5．如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________．
6．利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．
运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？
分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ ；
（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．
题组A 基础过关练
1．关于正多边形的概念，下列说法正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形 B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等或各角相等的多边形是正多边形 D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
【答案】D
【分析】根据正多边形的定义判定即可．
【解析】解：A．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；
B．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；
C．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；
D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形，正确，故本选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形的定义、熟记各边相等、各角也相等的多边形是正多边形是解决问题的关键．
2．一个多边形从一个顶点可引出7条对角线，那么这个多边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】从n边形的一个顶点引对角线条数为（n﹣3）条．
【详解】解：∵从n边形的一个顶点引对角线条数为：n﹣3，
设该多边形为n边形，则：n﹣3＝7，解得：n＝10．故选：A．
【点睛】此题考查多边形的对角线，解题关键在于掌握计算公式.
3．湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（ ）
A．720° B．900° C．1080° D．1440°
【分析】应用多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：（n﹣2） 180＝（8﹣2）×180°＝1080°．
故这个八边形的内角和是1080°．故选：C．
【点评】此题主要考查多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2） 180 （n≥3）且n为整数）．
4. 下列各度数不是多边形的内角和的是（ ）
A．540° B．900° C．1080° D．1700°
【分析】（n≥3）边形的内角和是（n﹣2）180°，因而多边形的内角和一定是180的整数倍．
【解答】解：不是180的整数倍的选项只有D中的1700°．故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，正确记忆多边形内角和公式是解题关键．
5．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数应是（ ）
A．72° B．84° C．82° D．94°
【分析】利用正多边形的外角公式可得∠3，∠4，再根据三角形内角和为180°，求出∠2，即可求出∠1解决问题．
【解答】解：如图，
由题意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°，则∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°．故选：B．
【点评】本题考查多边形内角与外角，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（ ）
A．正六边形，正八边形 B．正方形，正七边形
C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形
【答案】D
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】解：∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角是90°，
正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，
正七边形的每个内角是正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，
∴能够组合是正三角形，正方形，故选：D．
【点睛】本题考查平面镶嵌，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
7．如果一个四边形四个内角度数之比是1：2：3：4，那么这四个内角中（ ）．
A．只有一个直角 B．只有一个锐角 C．有两个直角 D．有两个钝角
【答案】D
【分析】根据四边形的内角和的度数是，四个内角度数之比是1：2：3：4，分别求出四个内角，再判断即可．
【详解】解：一个四边形四个内角的度数之比为，
∴四个内角的度数分别为：；；
；．∴这个四边形的内角中有两个钝角．故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和问题，熟悉相关性质是解题的关键．
8．正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
【答案】D
【分析】根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．
【详解】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，
∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，故选D．
【点睛】本题主要考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和等于360°，是解题的关键．
9．已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．
【分析】首先外角为x°，则内角为（4x+30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x+4x+30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数．
【解答】解：设外角为x°，由题意得：x+4x+30＝180，解得：x＝30，
360°÷30°＝12，∴（12 2）×180＝1800°，∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形．
【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．
题组B 能力提升练
1．小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（ ）
A．28° B．30° C．33° D．36°
【答案】B
【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用60÷5＝12，求得边数，再根据多边形的外角和为360°，即可求解．
【详解】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴正多边形的边数为：60÷5＝12，根据多边形的外角和为360°，
∴则他每次转动θ的角度为：360°÷12＝30°，故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于 是解题的关键．
2．游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行．成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）．
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D．每段直路要长
【答案】A
【分析】根据题意可知封闭的图形是正五边形，求出正五边形内角的度数即可解决问题．
【详解】根据题意可知，从起点走五段相等直路之后回到起点的封闭图形是正五边形，
∵正五边形的每个内角的度数为：
∴它的邻补角的度数为：180°-108°=72°，因此，每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走，故选：A．
【点睛】此题主要考查了求正多边形内角的度数，掌握并能运用多边形内角和公式是解题的关键．
3．商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形，若选购地砖镶嵌地面，那么，可供选择的有______种．
【答案】3
【分析】由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．
【详解】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌
②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；
③正五边形每个内角是180° 360°÷5＝108°，不能整除360°，不能镶嵌；
④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；
故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有3种．故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
4．如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．
【答案】70°
【分析】先求出与∠EAB和∠CBA相邻的外角的度数和，然后根据多边形外角和定理即可求解．
【详解】如图，
∵∠1+∠2+∠3=220°，∴∠4+∠5=360°-220°=140°，∴∠EAB+∠CBA=220°，
∵AO，BO分别平分∠EAB，∠ABC，∴∠OAB+∠OBA=110°，
∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°．故答案是：70°．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
5．在抗击新冠肺炎的斗争中，娄底市根据疫情的发展情况，决定全市中小学延期开学，并采用线上教学的形式，真正做到停课不停学，某中学初二1班全体同学自主完成学习任务的同时，不忘关心同学的安危，在停课不停学期间全班每两个同学都通过一次电话，我们可以把该班人数n与通话次数S间的关系用下列模型表示：问：若该班有50名同学，则它们之间共通了_________次电话；
【答案】1225
【分析】观察图形，可以发现，n为多边形的边数，而S等于边数+对角线条数，根据对角线条数公式代入即可求解．
【解析】观察图形，可以发现，n为多边形的边数，而S等于边数+对角线条数
∴人数n和通话次数S间的关系为
∴当n=50时， 故答案为1225．
【点睛】本题考查了多边形对角线条数的公式，熟记相关公式是本题的关键，
6．一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．
【答案】6或7
【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【详解】解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，
∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．
【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．
7．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．
【分析】利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形：五边形．
【解答】解：如图，
由三角形内角和定理得：∠1+∠5＝∠8+∠9，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠5+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝∠8+∠9+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7
＝180°×（5﹣2）＝540°．
【点评】本题主要考查多边形内角和，解题关键是利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形．
8. 【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．
如图，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．
【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：（1）将下列表格补充完整．
名称 图形 内角和 外角和
三角形 180° 360°
四边形
五边形
… … … …
n边形 …
（2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．
【分析】（1）根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°，n边形的外角和为360°即可得出答案；
（2）根据多边形的内角和公式和多边形的外角和360°即可得出答案．
【解答】解：（1）内角和分别为：四边形内角和是：（4﹣2）×180°＝360°，
五边形内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，n边形内角和是：180°（n﹣2）；
外角和分别为：360°、360°、360°；
故答案为：360°、540°、180°（n﹣2），360°、360°、360°；
（2）这个八边形一个内角的度数是：
方法一：（8﹣2）×180°÷8＝135°，方法二：180°﹣360°÷8＝135°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边形的外角和为360°．
题组C 培优拔尖练
1．如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据多边形的外角和是及三角形的外角定理求解判断即可．
【详解】解：如图，连结BD，延长AD到E，
，，，
故选项A正确，符合题意；B不正确，不符合题意；
多边形的外角和是，∴∴
故选项C不正确，不符合题意；选项D不正确，不符合题意．故选：A．
【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是是解题的基础．
2．如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25 B．26 C．30 D．39
【答案】B
【分析】正中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．
【详解】
如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：（个）；
较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：（个）；
平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：（个）；小正三角形个数为13个；
∴一共有小正三角形个数为：（个），
∴图中阴影部分面积为：，故选：B．
【点睛】题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点．
3．如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 ___cm．
【答案】
【分析】如图，连接 过作于 再求解正六边形的边长为 证明 再求解 再利用三角形的中位线定理可得答案.
【详解】解：如图，连接 过作于 正六边形ABCDEF的周长是24cm，
分别为的中点，
同理： 六边形GHKLMN的周长是 故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，正多边形的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键.
4．一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 _____．
【答案】11
【分析】直接利用多边形内角和公式列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：设这个多边形边数为n，
，∴，
∵n是整数，∴n=11，故答案为11．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记公式，列出不等式组．
5．如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________．
【答案】36
【分析】机器人行走的路程为10米，每次走1米，回到O点时，组成一个封闭的图形，则多边形的边数为十，且每条边长度相等，由于每次右转的角度相同，故为正十边形，每次右转的角度为正十边形的外角，因而可求得答案．
【详解】根据题意可得，机器人行走的路程是边长为1米的正十边形，而每次向右转的角度为正十边形的外角度数，所以．故答案为：36°．
【点睛】本题主要考查了正多形的定义及外角和的性质．
6．利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．
运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？
分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ ；
（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．
【分析】（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案；
（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案．
【解答】解：（1）如图，
由三角形外角的性质可得，∠1＝∠A1+∠A4，
∵∠A2DA5＝∠1+∠A3，∴∠A2DA5＝∠A1+∠A4+∠A3，
∵∠A2DA5+∠A2+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°，故答案为：180°；
（2）如图，由（1）得，∠1＝∠A1+∠A4+∠A5，∠2＝∠A2+∠A3+∠A6，
∵∠1+∠2+∠A7＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7＝180°．
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