人教八上培优练：第02课 与三角形有关的角（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教八上培优练：第02课 与三角形有关的角（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-26 13:24:37 | ||
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文档简介
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第02课 与三角形有关的角
题组A 基础过关练
1．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°
2．如图，为的一个外角，点E为边上一点，延长到点F，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，∠ABD为△ABC的外角，BE平分∠ABD，EB∥AC，∠A＝65°，则∠EBD的度数为（ ）
A．50° B．65° C．115° D．130°
4．如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
5．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A． B．
C． D．
6.已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（ ）
A．76° B．65° C．56° D．54°
7．在△ABC中，如果∠A+∠B＝135°，且∠B＝2∠C，那么△ABC是 三角形．
8．如图，在△ABC中，AN平分∠BAC交BC于N，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C的度数．
9．对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
如图，在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°．（1）求∠EBC的度数；（2）求∠A的度数．
解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB＝ °．
∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（ ）．
∴∠EBC＝ °+35°＝ °（等量代换）．
（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB（ ），
∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质）．
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A＝ ﹣90°＝ °（等量代换）．
10. 用两种方法证明“三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和”．如图，是的一个外角．
求证：．
证法1：（____）
（平角的定义）
（_____）
（等式的基本性质1）
请把证法1依据填充完整，并用不同的方法完成证法2
题组B 能力提升练
1．如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（ ）
A．21° B．23° C．25° D．30°
2．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ ．
3．如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座，晷面、晷针三部分组成，其中底坐面与日晷所处地球半径垂直；
（1）晷针与晷面夹角为___________；（2）如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座面夹角为，则太阳光与该晷面所夹锐角度为___________．
4．如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．
5．如图，的角平分线、相交于点．
(1)若，，求的度数；(2)求证：．
6.如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ °，∠DBC+∠DCB＝ °∠ABD+∠ACD＝ °．（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝ °．（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 ．
7．如图1，、的角平分线、相交于点，
（1）如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空；
（2）如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数；
（3）如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案）
解：（1）结论：______度．
说理如下：因为、平分和（已知），
所以，（角平分线的意义）．
因为，（ ）
（完成以下说理过程）
题组C 培优拔尖练
1．如图，∠A＝45°，∠BCD＝135°，∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，下列结论：①EP⊥FP；②∠AEB+∠AFD＝∠P；③∠A＝∠PEB+∠PFD．其中正确的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论 ①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正确的是 ．（把所有正确的结论的序号写在横线上）
3. 如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．
4. 阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
（2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？
5．综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O重合，边与边重合，试求的度数．（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）
解：∵，
∴__________（___________________）
又∵，∴__________．
（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O逆时针旋转，当时，求得的度数．（请你写出解答过程）
（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O逆时针旋转，使点B落在边上，此时发现与之间的数量关系．
以下是他的解答过程，请补充完整解：在与中，
∵
又∵（___________________）
__________，__________，
∴ __________．
6.某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝ °．
题组A 基础过关练
1．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°
【分析】根据三角板上角的度数的特点及三角形内角与外角的关系解答．
【解答】解：如图，由题意得：∠ABG＝90°，
∵∠G＝30°，∴∠BFG＝180°﹣∠ABG﹣∠G＝60°，∴∠AFH＝∠BFG＝60°，
∵∠α是△AFH的外角，∠A＝45°，∴∠α＝∠A+∠AFH＝105°，故选：A．
【点评】主要考查了三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
2．如图，为的一个外角，点E为边上一点，延长到点F，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形外角性质结合图形，逐项判断即可．
【详解】∵，∴，故A选项正确，不符合题意；
由三角形外角性质即可直接得出，故B选项正确，不符合题意；
没有条件可以证明出和的关系，故C选项错误，符合题意；
∵，，∴，
∴，故D选项正确，不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查三角形外角性质，掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解答本题的关键．
3．如图，∠ABD为△ABC的外角，BE平分∠ABD，EB∥AC，∠A＝65°，则∠EBD的度数为（ ）
A．50° B．65° C．115° D．130°
【分析】根据平行线的性质，得到∠A＝∠EBA＝65°，再根据BE平分∠ABD，即可得到∠EBD的度数．
【解答】解：∵EB∥AC，∠A＝65°，∴∠EBA＝65°，
又∵BE平分∠ABD，∴∠EBD＝∠EBA＝65°，故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
4．如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】利用平行线的性质与判定可得∠E＝∠BME＝∠AMF，根据同角的余角相等可得∠E＝∠C，即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝∠EDF＝90°，∴AB∥DE，∠E+∠F＝90°，∴∠E＝∠BME＝∠AMF，
∵EF⊥BC，∴∠C+∠F＝90°，∴∠E＝∠C，故与∠E相等的角有3个，故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，余角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
5．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．
【详解】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的
即，作后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确，故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和．
6.已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（ ）
A．76° B．65° C．56° D．54°
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和是，即可求解．
【详解】，，在中，，，
在中，，，故选：D．
【点睛】本题考查了垂直的性质和三角形的内角和，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
7．在△ABC中，如果∠A+∠B＝135°，且∠B＝2∠C，那么△ABC是 三角形．
【分析】利用三角形内角和定理，求得∠B＝90°即可．
【解答】解：∵∠A+∠B＝135°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝45°，
∵∠B＝2∠C，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形．故答案为：直角．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，关键是要掌握内角和定理
8．如图，在△ABC中，AN平分∠BAC交BC于N，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C的度数．
【分析】根据三角形的外角性质求出∠BAN，根据角平分线的定义求出∠BAC，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠ANC＝80°，∴∠BAN＝∠ANC﹣∠B＝80°﹣50°＝30°，
∵AN平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAN＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°．
【点评】本题考查的是是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
9．对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
如图，在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°．（1）求∠EBC的度数；（2）求∠A的度数．
解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB＝ 90 °．
∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 ）．
∴∠EBC＝ 90 °+35°＝ 125 °（等量代换）．
（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB（ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 ），
∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质）．
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A＝ 125° ﹣90°＝ 35 °（等量代换）．
【分析】（1）由垂直的定义可得∠CDB＝90°，利用三角形外角的性质可得可求解∠EBC的度数；
（2）由三角形外角的性质可得∠A＝∠EBC﹣∠ACB，结合∠ACB＝90°可求解∠A的度数．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDB＝90°．
∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）．
∴∠EBC＝90°+35°＝125°（等量代换）．
（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），
∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质）．
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A＝125°﹣90°＝35°（等量代换）．
故答案为（1）90；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125；
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；125°；35．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质，垂直的定义，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．
10. 用两种方法证明“三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和”．如图，是的一个外角．
求证：．
证法1：（____）
（平角的定义）
（_____）
（等式的基本性质1）
请把证法1依据填充完整，并用不同的方法完成证法2
【答案】见解析
【分析】证法1：根据三角形的内角和和平角的定义即可得到结论；
证法2：根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：已知，∠DAB是△ABC的一个外角．
求证：∠DAB=∠B+∠C
证法1：∵∠BAC+∠B+∠C=180° （三角形内角和定理）
∠BAC+∠DAB=180°（平角的定义）
∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠DAB（等量代换）
∴∠DAB=∠B+∠C（等式基本性质1）
故答案为：三角形内角和定理，等量代换；
证法2：如图，过点A作AE∥BC，∴∠DAE=∠C，∠EAB=∠B，
∵∠DAB=∠DAE+∠EAB，∴∠DAB=∠B+∠C；
【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（ ）
A．21° B．23° C．25° D．30°
【分析】依据三角形内角和定理即可得到∠DAF和∠CAD的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠BAC的度数，最后依据三角形内角和定理即可得到∠B的度数．
【解答】解：∵DF⊥AE，∠ADF＝69°∴∠DAF＝21°，
∵AD⊥BC，∠C＝65°，∴∠CAD＝25°，
∴∠CAE＝∠DAF+∠CAD＝21°+25°＝46°，
又∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠CAE＝92°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣92°﹣65°＝23°，故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
2．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ ．
【分析】连接AA′．首先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题．
【解答】解：连接AA′．
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°，故答案为80°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
3．如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座，晷面、晷针三部分组成，其中底坐面与日晷所处地球半径垂直；
（1）晷针与晷面夹角为___________；（2）如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座面夹角为，则太阳光与该晷面所夹锐角度为___________．
【答案】
【分析】①由垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一条平行线，即可判断出晷针与晷面垂直，即晷针与晷面夹角为． ②由平行线的性质即可求出，根据题意可求出，再根据三角形内角和定理即可求出，最后由对顶角相等即可求出，即太阳光与该晷面所夹锐角度为．
【详解】①根据题意晷面与赤道平行，地轴与赤道垂直，∴地轴与晷面垂直，
又∵晷针与地轴平行，∴晷针与晷面垂直．即晷针与晷面夹角为．
②可将题干中图简化为如下图：
根据题意结合图形可知：，，，．
∵，∴，即，
∴，即．
∵，．∴．
∴．
∴．即太阳光与该晷面所夹锐角度为．故答案为，．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理．理解题意，能看懂赤道式日晷的二维图形是解答本题的关键．
4．如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．
【分析】（1）先根据垂直等于得到∠ABC＝90°，则∠C+∠BAC＝90°，再证明2∠C+∠EAB＝180°，加上2∠1+∠EAB＝180°，则∠1＝∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论；
（2）先根据三角形内角和定理可计算出计算出∠BAC＝18°，则∠EAD＝18°，根据三角形内角和定理得到∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，从而可求出∠CBE的度数．
【解答】（1）证明：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，
∵AD是△ABE的角平分线，∴∠BAC∠EAB，
∴∠C∠EAB＝90°，即2∠C+∠EAB＝180°，
∵2∠1+∠EAB＝180°，∴∠1＝∠C，∴EF∥BC；
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝72°，∴∠BAC＝18°，∴∠EAD＝∠BAC＝18°，
∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，
即18°+78°＝72°+∠CBE，∴∠CBE＝24°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：运用三角形内角和定理可根据两已知角求第三个角．也考查了平行线的性质．
5．如图，的角平分线、相交于点．
(1)若，，求的度数；(2)求证：．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）先利用三角形内角和定理得到 ，再结合角平分线的定义可求解的度数，进而可求解的度数；
（2）利用角平分线的定义可求解，再结合角平分线的定义可得进而可证明结论.
(1)解：,，
，
的角平分线 相交于点 ，
,，
，
(2)证明: 的角平分线 相交于点 ，，
即
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理：三角形内角和是180°本题的关键是利用三角形内角和把与联系起来．
6.如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ °，∠DBC+∠DCB＝ °∠ABD+∠ACD＝ °．（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝ °．（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 ．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（3）根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A＝180°，则∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；故答案为：140；90；50．
（2）在△ABC中，∵∠A＝55°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣55°＝125°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝125°﹣90°＝35°，故答案为：35；
（3）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝90°．
∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣∠A﹣90°．∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A，
故答案为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键．
7．如图1，、的角平分线、相交于点，
（1）如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空；
（2）如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数；
（3）如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案）
解：（1）结论：______度．
说理如下：因为、平分和（已知），
所以，（角平分线的意义）．
因为，（ ）
（完成以下说理过程）
【答案】（1）32；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；过程见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质进行求解即可；
（2）根据（1）的解法进行求解即可；（3）利用（1）的结论求解即可．
【详解】（1）结论：；理由如下：
∵、的角平分线、相交于点
∴，（角平分线的意义）
∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴，（等式性质）
∴（等量代换）∴；
（2）∵、的角平分线、相交于点
∴，（角平分线的意义）
∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴，（等式性质）
∴（等量代换）∴；
（3）∵当，、∴当，=．
【点睛】本题主要考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和成为解答本题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．如图，∠A＝45°，∠BCD＝135°，∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，下列结论：①EP⊥FP；②∠AEB+∠AFD＝∠P；③∠A＝∠PEB+∠PFD．其中正确的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】延长EP交AB于G，根据角平分线的定义可得∠1＝∠AEP∠AEB，∠2＝∠PFD∠AFD，再根据邻补角的定义求出∠BCF＝45°，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和分别用∠1和∠2表示出∠EGB和∠EBG，再利用三角形的内角和定理列式求出∠1+∠2，然后表示出∠EPF即可判断出①②正确，再求出∠PEB+∠PFD＝45°，判断出③正确．
【解答】解：如图，延长EP交AB于G，
∵∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，
∴∠1＝∠AEP∠AEB，∠2＝∠PFD∠AFD，
∵∠BCD＝135°，∴∠BCF＝180°﹣135°＝45°，
在△AEG中，∠EGB＝∠A+∠AEP＝45°+∠1，
在△BCF中，∠EBG＝∠AFD+∠BCF＝2∠2+45°，
在△BEG中，∠1+∠EGB+∠EBG＝180°，
即∠1+45°+∠1+2∠2+45°＝180°，解得∠1+∠2＝45°，
在△GFP中，∠EPF＝∠EGB+∠2＝45°+∠1+∠2＝45°+45°＝90°，∴EP⊥FP，故①正确；
∠AEB+∠AFD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝90°＝∠P，故②正确；
∵∠PEB+∠PFD＝∠1+∠2＝45°，∴∠A＝∠PEB+∠PFD＝45°，故③正确．
综上所述，正确的结论有①②③共3个．故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出三角形并求出∠1+∠2＝45°是解题的关键．
2．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论 ①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正确的是 ．（把所有正确的结论的序号写在横线上）
【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°∠1，∠BOC＝90°+∠2．
【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE∠ACD，∠DBE∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，（∠ACD﹣∠ABC）∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBCABC，∠OCB∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠1）＝90°∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO∠ACB，∠ACEACD，
∴∠OCE（∠ACB+∠ACD）180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故答案为：①④．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．
3. 如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．
【答案】52°
【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出∠E，利用三角形内角和求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠A．
【详解】解：、分别平分、，，，
，，
即，，，
、分别平分、，
，，，
，∴，
∴，
、分别平分、，
，，
∴，
，故答案为：52°．
用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4. 阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
（2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？
【答案】（1）或；（2），都是“梦想三角形”，理由见解析
【分析】（1）分两种情形：当108°是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，分别求解即可．（2）根据“梦想三角形”的定义可以判断：△AOB、△AOC都是“梦想三角形”．
【详解】解：（1）当108°是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为36°，第三个内角也是36°，故最小的内角是36°，当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：54°，18°，最小的内角是18°
故答案为：36°或18°．
（2）结论：，都是“梦想三角形”
理由：，，，
，为“梦想三角形”，
，，，
，，“梦想三角形”．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，“梦想三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
5．综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O重合，边与边重合，试求的度数．（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）
解：∵，
∴__________（___________________）
又∵，∴__________．
（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O逆时针旋转，当时，求得的度数．（请你写出解答过程）
（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O逆时针旋转，使点B落在边上，此时发现与之间的数量关系．
以下是他的解答过程，请补充完整解：在与中，
∵
又∵（___________________）
__________，__________，
∴ __________．
【答案】（1）；三角形内角和是；；（2）；见解析；（3）对顶角相等；；；
【分析】（1）利用三角形内角和定理求解即可；
（2）利用平行线的性质求得∠AOC=45°，再利用三角形内角和定理求解即可；
（3）在△AOE与△BCE中，利用三角形内角和定理得到∠1+∠A=∠2+∠C，计算即可求解．
【详解】解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°，∴∠BOC=75°（三角形内角和是180°），
又∵∠AOB=90°，∴∠AOC=15°；
（2）解：∵DC∥AO，∠OCD=45°，∴∠AOC=45°（两直线平行，内错角相等），
又∵∠BAO=30°，∴∠AEO=180° ∠AOC ∠BAO=180° 45° 30°=105°（三角形内角和是180°）；
（3）在△AOE与△BCE中，∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C，
又∵∠AEO=∠CEB（对顶角相等），
∠A=30°，∠C=45°，∴∠1+∠A=∠2+∠C，∠1 ∠2=15°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
6.某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝ °．
【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．
【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBCABC，∠PCB∠ACB（角平分线的性质），
∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（ ∠ABC∠ACB）＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）＝180°﹣90°∠A＝90°∠A＝90＝122°．故答案为：122°；
（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB∠ACB，∠ECD∠ABD．
∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，
∴∠EBD∠ABD（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，
∴∠BEC∠A；
（3）结论∠BQC＝90°∠A．
∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，
∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC（∠A+∠ACB），∠QCB（∠A+∠ABC）．
∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，
∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°（∠A+∠ACB）（∠A+∠ABC），
＝180°∠A（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°∠A﹣90°＝90°∠A；
（4）由（3）可知，∠BQC＝90°∠A＝90°58°，
由（1）可知∠BPC＝90°∠BQC＝90°119°；
由（2）可知，∠R∠BQC＝29°故答案为119，29．
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第02课 与三角形有关的角
题组A 基础过关练
1．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°
2．如图，为的一个外角，点E为边上一点，延长到点F，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，∠ABD为△ABC的外角，BE平分∠ABD，EB∥AC，∠A＝65°，则∠EBD的度数为（ ）
A．50° B．65° C．115° D．130°
4．如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
5．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A． B．
C． D．
6.已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（ ）
A．76° B．65° C．56° D．54°
7．在△ABC中，如果∠A+∠B＝135°，且∠B＝2∠C，那么△ABC是 三角形．
8．如图，在△ABC中，AN平分∠BAC交BC于N，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C的度数．
9．对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
如图，在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°．（1）求∠EBC的度数；（2）求∠A的度数．
解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB＝ °．
∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（ ）．
∴∠EBC＝ °+35°＝ °（等量代换）．
（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB（ ），
∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质）．
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A＝ ﹣90°＝ °（等量代换）．
10. 用两种方法证明“三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和”．如图，是的一个外角．
求证：．
证法1：（____）
（平角的定义）
（_____）
（等式的基本性质1）
请把证法1依据填充完整，并用不同的方法完成证法2
题组B 能力提升练
1．如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（ ）
A．21° B．23° C．25° D．30°
2．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ ．
3．如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座，晷面、晷针三部分组成，其中底坐面与日晷所处地球半径垂直；
（1）晷针与晷面夹角为___________；（2）如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座面夹角为，则太阳光与该晷面所夹锐角度为___________．
4．如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．
5．如图，的角平分线、相交于点．
(1)若，，求的度数；(2)求证：．
6.如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ °，∠DBC+∠DCB＝ °∠ABD+∠ACD＝ °．（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝ °．（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 ．
7．如图1，、的角平分线、相交于点，
（1）如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空；
（2）如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数；
（3）如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案）
解：（1）结论：______度．
说理如下：因为、平分和（已知），
所以，（角平分线的意义）．
因为，（ ）
（完成以下说理过程）
题组C 培优拔尖练
1．如图，∠A＝45°，∠BCD＝135°，∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，下列结论：①EP⊥FP；②∠AEB+∠AFD＝∠P；③∠A＝∠PEB+∠PFD．其中正确的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论 ①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正确的是 ．（把所有正确的结论的序号写在横线上）
3. 如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．
4. 阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
（2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？
5．综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O重合，边与边重合，试求的度数．（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）
解：∵，
∴__________（___________________）
又∵，∴__________．
（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O逆时针旋转，当时，求得的度数．（请你写出解答过程）
（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O逆时针旋转，使点B落在边上，此时发现与之间的数量关系．
以下是他的解答过程，请补充完整解：在与中，
∵
又∵（___________________）
__________，__________，
∴ __________．
6.某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝ °．
题组A 基础过关练
1．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°
【分析】根据三角板上角的度数的特点及三角形内角与外角的关系解答．
【解答】解：如图，由题意得：∠ABG＝90°，
∵∠G＝30°，∴∠BFG＝180°﹣∠ABG﹣∠G＝60°，∴∠AFH＝∠BFG＝60°，
∵∠α是△AFH的外角，∠A＝45°，∴∠α＝∠A+∠AFH＝105°，故选：A．
【点评】主要考查了三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
2．如图，为的一个外角，点E为边上一点，延长到点F，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形外角性质结合图形，逐项判断即可．
【详解】∵，∴，故A选项正确，不符合题意；
由三角形外角性质即可直接得出，故B选项正确，不符合题意；
没有条件可以证明出和的关系，故C选项错误，符合题意；
∵，，∴，
∴，故D选项正确，不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查三角形外角性质，掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解答本题的关键．
3．如图，∠ABD为△ABC的外角，BE平分∠ABD，EB∥AC，∠A＝65°，则∠EBD的度数为（ ）
A．50° B．65° C．115° D．130°
【分析】根据平行线的性质，得到∠A＝∠EBA＝65°，再根据BE平分∠ABD，即可得到∠EBD的度数．
【解答】解：∵EB∥AC，∠A＝65°，∴∠EBA＝65°，
又∵BE平分∠ABD，∴∠EBD＝∠EBA＝65°，故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
4．如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】利用平行线的性质与判定可得∠E＝∠BME＝∠AMF，根据同角的余角相等可得∠E＝∠C，即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝∠EDF＝90°，∴AB∥DE，∠E+∠F＝90°，∴∠E＝∠BME＝∠AMF，
∵EF⊥BC，∴∠C+∠F＝90°，∴∠E＝∠C，故与∠E相等的角有3个，故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，余角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
5．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．
【详解】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的
即，作后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确，故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和．
6.已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（ ）
A．76° B．65° C．56° D．54°
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和是，即可求解．
【详解】，，在中，，，
在中，，，故选：D．
【点睛】本题考查了垂直的性质和三角形的内角和，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
7．在△ABC中，如果∠A+∠B＝135°，且∠B＝2∠C，那么△ABC是 三角形．
【分析】利用三角形内角和定理，求得∠B＝90°即可．
【解答】解：∵∠A+∠B＝135°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝45°，
∵∠B＝2∠C，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形．故答案为：直角．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，关键是要掌握内角和定理
8．如图，在△ABC中，AN平分∠BAC交BC于N，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C的度数．
【分析】根据三角形的外角性质求出∠BAN，根据角平分线的定义求出∠BAC，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠ANC＝80°，∴∠BAN＝∠ANC﹣∠B＝80°﹣50°＝30°，
∵AN平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAN＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°．
【点评】本题考查的是是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
9．对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
如图，在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°．（1）求∠EBC的度数；（2）求∠A的度数．
解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB＝ 90 °．
∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 ）．
∴∠EBC＝ 90 °+35°＝ 125 °（等量代换）．
（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB（ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 ），
∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质）．
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A＝ 125° ﹣90°＝ 35 °（等量代换）．
【分析】（1）由垂直的定义可得∠CDB＝90°，利用三角形外角的性质可得可求解∠EBC的度数；
（2）由三角形外角的性质可得∠A＝∠EBC﹣∠ACB，结合∠ACB＝90°可求解∠A的度数．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDB＝90°．
∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）．
∴∠EBC＝90°+35°＝125°（等量代换）．
（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），
∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质）．
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A＝125°﹣90°＝35°（等量代换）．
故答案为（1）90；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125；
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；125°；35．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质，垂直的定义，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．
10. 用两种方法证明“三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和”．如图，是的一个外角．
求证：．
证法1：（____）
（平角的定义）
（_____）
（等式的基本性质1）
请把证法1依据填充完整，并用不同的方法完成证法2
【答案】见解析
【分析】证法1：根据三角形的内角和和平角的定义即可得到结论；
证法2：根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：已知，∠DAB是△ABC的一个外角．
求证：∠DAB=∠B+∠C
证法1：∵∠BAC+∠B+∠C=180° （三角形内角和定理）
∠BAC+∠DAB=180°（平角的定义）
∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠DAB（等量代换）
∴∠DAB=∠B+∠C（等式基本性质1）
故答案为：三角形内角和定理，等量代换；
证法2：如图，过点A作AE∥BC，∴∠DAE=∠C，∠EAB=∠B，
∵∠DAB=∠DAE+∠EAB，∴∠DAB=∠B+∠C；
【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（ ）
A．21° B．23° C．25° D．30°
【分析】依据三角形内角和定理即可得到∠DAF和∠CAD的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠BAC的度数，最后依据三角形内角和定理即可得到∠B的度数．
【解答】解：∵DF⊥AE，∠ADF＝69°∴∠DAF＝21°，
∵AD⊥BC，∠C＝65°，∴∠CAD＝25°，
∴∠CAE＝∠DAF+∠CAD＝21°+25°＝46°，
又∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠CAE＝92°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣92°﹣65°＝23°，故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
2．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ ．
【分析】连接AA′．首先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题．
【解答】解：连接AA′．
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°，故答案为80°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
3．如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座，晷面、晷针三部分组成，其中底坐面与日晷所处地球半径垂直；
（1）晷针与晷面夹角为___________；（2）如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座面夹角为，则太阳光与该晷面所夹锐角度为___________．
【答案】
【分析】①由垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一条平行线，即可判断出晷针与晷面垂直，即晷针与晷面夹角为． ②由平行线的性质即可求出，根据题意可求出，再根据三角形内角和定理即可求出，最后由对顶角相等即可求出，即太阳光与该晷面所夹锐角度为．
【详解】①根据题意晷面与赤道平行，地轴与赤道垂直，∴地轴与晷面垂直，
又∵晷针与地轴平行，∴晷针与晷面垂直．即晷针与晷面夹角为．
②可将题干中图简化为如下图：
根据题意结合图形可知：，，，．
∵，∴，即，
∴，即．
∵，．∴．
∴．
∴．即太阳光与该晷面所夹锐角度为．故答案为，．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理．理解题意，能看懂赤道式日晷的二维图形是解答本题的关键．
4．如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．
【分析】（1）先根据垂直等于得到∠ABC＝90°，则∠C+∠BAC＝90°，再证明2∠C+∠EAB＝180°，加上2∠1+∠EAB＝180°，则∠1＝∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论；
（2）先根据三角形内角和定理可计算出计算出∠BAC＝18°，则∠EAD＝18°，根据三角形内角和定理得到∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，从而可求出∠CBE的度数．
【解答】（1）证明：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，
∵AD是△ABE的角平分线，∴∠BAC∠EAB，
∴∠C∠EAB＝90°，即2∠C+∠EAB＝180°，
∵2∠1+∠EAB＝180°，∴∠1＝∠C，∴EF∥BC；
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝72°，∴∠BAC＝18°，∴∠EAD＝∠BAC＝18°，
∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，
即18°+78°＝72°+∠CBE，∴∠CBE＝24°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：运用三角形内角和定理可根据两已知角求第三个角．也考查了平行线的性质．
5．如图，的角平分线、相交于点．
(1)若，，求的度数；(2)求证：．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）先利用三角形内角和定理得到 ，再结合角平分线的定义可求解的度数，进而可求解的度数；
（2）利用角平分线的定义可求解，再结合角平分线的定义可得进而可证明结论.
(1)解：,，
，
的角平分线 相交于点 ，
,，
，
(2)证明: 的角平分线 相交于点 ，，
即
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理：三角形内角和是180°本题的关键是利用三角形内角和把与联系起来．
6.如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ °，∠DBC+∠DCB＝ °∠ABD+∠ACD＝ °．（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝ °．（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 ．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（3）根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A＝180°，则∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；故答案为：140；90；50．
（2）在△ABC中，∵∠A＝55°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣55°＝125°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝125°﹣90°＝35°，故答案为：35；
（3）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝90°．
∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣∠A﹣90°．∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A，
故答案为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键．
7．如图1，、的角平分线、相交于点，
（1）如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空；
（2）如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数；
（3）如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案）
解：（1）结论：______度．
说理如下：因为、平分和（已知），
所以，（角平分线的意义）．
因为，（ ）
（完成以下说理过程）
【答案】（1）32；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；过程见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质进行求解即可；
（2）根据（1）的解法进行求解即可；（3）利用（1）的结论求解即可．
【详解】（1）结论：；理由如下：
∵、的角平分线、相交于点
∴，（角平分线的意义）
∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴，（等式性质）
∴（等量代换）∴；
（2）∵、的角平分线、相交于点
∴，（角平分线的意义）
∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴，（等式性质）
∴（等量代换）∴；
（3）∵当，、∴当，=．
【点睛】本题主要考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和成为解答本题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．如图，∠A＝45°，∠BCD＝135°，∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，下列结论：①EP⊥FP；②∠AEB+∠AFD＝∠P；③∠A＝∠PEB+∠PFD．其中正确的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】延长EP交AB于G，根据角平分线的定义可得∠1＝∠AEP∠AEB，∠2＝∠PFD∠AFD，再根据邻补角的定义求出∠BCF＝45°，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和分别用∠1和∠2表示出∠EGB和∠EBG，再利用三角形的内角和定理列式求出∠1+∠2，然后表示出∠EPF即可判断出①②正确，再求出∠PEB+∠PFD＝45°，判断出③正确．
【解答】解：如图，延长EP交AB于G，
∵∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，
∴∠1＝∠AEP∠AEB，∠2＝∠PFD∠AFD，
∵∠BCD＝135°，∴∠BCF＝180°﹣135°＝45°，
在△AEG中，∠EGB＝∠A+∠AEP＝45°+∠1，
在△BCF中，∠EBG＝∠AFD+∠BCF＝2∠2+45°，
在△BEG中，∠1+∠EGB+∠EBG＝180°，
即∠1+45°+∠1+2∠2+45°＝180°，解得∠1+∠2＝45°，
在△GFP中，∠EPF＝∠EGB+∠2＝45°+∠1+∠2＝45°+45°＝90°，∴EP⊥FP，故①正确；
∠AEB+∠AFD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝90°＝∠P，故②正确；
∵∠PEB+∠PFD＝∠1+∠2＝45°，∴∠A＝∠PEB+∠PFD＝45°，故③正确．
综上所述，正确的结论有①②③共3个．故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出三角形并求出∠1+∠2＝45°是解题的关键．
2．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论 ①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正确的是 ．（把所有正确的结论的序号写在横线上）
【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°∠1，∠BOC＝90°+∠2．
【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE∠ACD，∠DBE∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，（∠ACD﹣∠ABC）∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBCABC，∠OCB∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠1）＝90°∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO∠ACB，∠ACEACD，
∴∠OCE（∠ACB+∠ACD）180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故答案为：①④．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．
3. 如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．
【答案】52°
【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出∠E，利用三角形内角和求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠A．
【详解】解：、分别平分、，，，
，，
即，，，
、分别平分、，
，，，
，∴，
∴，
、分别平分、，
，，
∴，
，故答案为：52°．
用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4. 阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
（2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？
【答案】（1）或；（2），都是“梦想三角形”，理由见解析
【分析】（1）分两种情形：当108°是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，分别求解即可．（2）根据“梦想三角形”的定义可以判断：△AOB、△AOC都是“梦想三角形”．
【详解】解：（1）当108°是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为36°，第三个内角也是36°，故最小的内角是36°，当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：54°，18°，最小的内角是18°
故答案为：36°或18°．
（2）结论：，都是“梦想三角形”
理由：，，，
，为“梦想三角形”，
，，，
，，“梦想三角形”．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，“梦想三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
5．综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O重合，边与边重合，试求的度数．（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）
解：∵，
∴__________（___________________）
又∵，∴__________．
（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O逆时针旋转，当时，求得的度数．（请你写出解答过程）
（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O逆时针旋转，使点B落在边上，此时发现与之间的数量关系．
以下是他的解答过程，请补充完整解：在与中，
∵
又∵（___________________）
__________，__________，
∴ __________．
【答案】（1）；三角形内角和是；；（2）；见解析；（3）对顶角相等；；；
【分析】（1）利用三角形内角和定理求解即可；
（2）利用平行线的性质求得∠AOC=45°，再利用三角形内角和定理求解即可；
（3）在△AOE与△BCE中，利用三角形内角和定理得到∠1+∠A=∠2+∠C，计算即可求解．
【详解】解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°，∴∠BOC=75°（三角形内角和是180°），
又∵∠AOB=90°，∴∠AOC=15°；
（2）解：∵DC∥AO，∠OCD=45°，∴∠AOC=45°（两直线平行，内错角相等），
又∵∠BAO=30°，∴∠AEO=180° ∠AOC ∠BAO=180° 45° 30°=105°（三角形内角和是180°）；
（3）在△AOE与△BCE中，∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C，
又∵∠AEO=∠CEB（对顶角相等），
∠A=30°，∠C=45°，∴∠1+∠A=∠2+∠C，∠1 ∠2=15°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
6.某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝ °．
【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．
【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBCABC，∠PCB∠ACB（角平分线的性质），
∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（ ∠ABC∠ACB）＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）＝180°﹣90°∠A＝90°∠A＝90＝122°．故答案为：122°；
（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB∠ACB，∠ECD∠ABD．
∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，
∴∠EBD∠ABD（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，
∴∠BEC∠A；
（3）结论∠BQC＝90°∠A．
∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，
∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC（∠A+∠ACB），∠QCB（∠A+∠ABC）．
∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，
∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°（∠A+∠ACB）（∠A+∠ABC），
＝180°∠A（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°∠A﹣90°＝90°∠A；
（4）由（3）可知，∠BQC＝90°∠A＝90°58°，
由（1）可知∠BPC＝90°∠BQC＝90°119°；
由（2）可知，∠R∠BQC＝29°故答案为119，29．
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