人教八上培优练：第08课 三角形全等的判定4（AAS）（含解析）

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第08课 三角形全等的判定4（AAS）
题组A 基础过关练
1．已知：如图，，，要使，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是（ ）
A． B． C． D．
2.根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8
C．AB＝5，BC＝6，AC＝13 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°
3．如图，AE⊥AB且，BC⊥CD且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）
A．30 B．32 C．35 D．38
4．数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为（ ）
A．S△ABC >S△DEF B．S△ABC 5．如图，直线l上有三个正方形，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．55 B．16 C．6 D．4
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2，BE＝1．则DE＝________．
7．如图，小张同学拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，∠ACB＝90°，AC＝BC，若每个长方体教具高度均为6cm，则两摞长方体教具之间的距离DE的长为 cm．
8．如图，已知相交于点O，ABCD．求证．
9．如图，在ABC和CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，ABDE，求证：ABC≌CDE．
10.如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．
组B 能力提升练
1．如图，AB∥CD，AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD垂足分别为E、F两点，则图中全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2.如图，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE的度数为（ ）
A．155° B．125° C．135° D．145°
3．如图，点B，C，E在同一直线上，且，，，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ACN≌ABM；④CD＝DN．其中符合题意结论的序号是_____．
5.如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，
∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是　 　．
6.如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，∠ABD＝∠BCE，且AD＝BE．
（1）证明：①△ABD≌△ECB；②AD∥BC；（2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度．
7．如图，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD＝CE，连DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G，试判断FG、BF、CG之间的数量关系，并说明理由．
8．如图，在中，点E在边上，且．
（1）请你判断与的数量关系，并说明理由；
（2）若的平分线交于点F，//交于点D，设，，求的长．
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点D在AC上，且AD=6cm，过点A作射线AEAC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．
（1）如图①，当PDBD时，求证：△PDA△DBC；（2）如图②，当PDAB于点F时，求此时t的值．
10．如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E．
（1）请你在图中找出一对全等三角形，并进行证明．（2）如果将直线绕点C进行旋转，其它条件不变，（1）中的两个三角形还全等吗？请在备用图上画出图形并用斜线勾画出全等的两个三角形．
题组C 培优拔尖练
1.如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．如图，，，．下列结论中：（1）；（2）；（3）；（4）．正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，P是∠AOB平分线上的点，PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，则下列结论：
①PC＝PD；②OD＝OC；③POC与POD的面积相等；④∠POC＋∠OPD＝90°．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB＝DE．若BD＝8cm，则AC的长为　 　．
5. ABC和DBC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，延长CD、BA交于点E．
（1）如图1，若AB＝AC，试说明BO＝EC；（2）如图2，∠MON为直角，它的两边OM、ON分别与AB、EC所在直线交于点M、N，如果OM＝ON，那么BM与CO是否相等？请说明理由．
6.已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．
7．在中，，，直线MN经过点C且于D，于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①≌；②；
（2）当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
8．在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，且，，顶点A、C分别在y轴、x轴上．
（1）如图，已知点，，点B在第四象限时，则点B的坐标为 ；
（2）如图，点C、A分别在x轴、y轴的负半轴上，BC边交y轴于点D，AB边交x轴于点E，若AD平分∠BAC，点B坐标为．探究线段AD、OC、OD之间的数量关系．请回答下列问题：
①点B到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ；
②写出点C的坐标为 ，点A的坐标为 ，点D的坐标为 ；
③直接写出线段AD、OC、OD之间的数量关系： ．
9．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如下图1．
（1）已知：在中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．则线段DE与BD、CE的数量关系为________．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图（2），将（1）中的条件改为：在中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图（3），过的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点
10．【发现】：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH＝BC．
【证明】：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠AHC＝90°＝∠BAC．
∴∠BAH＋∠CAH＝90°，∠BAH＋∠B＝90°．
∴∠CAH＝∠B（ ），
在△ABH和△CAH中，
．
∴△ABH≌△CAH．（ ）．
∴BH＝AH，AH＝CH．（ ）．
∴AH＝BC．
【拓展】：如图2，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为 ，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
【应用】：在如图3的两张图中，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝90°，在同一平面内有一点P，满足PC＝1，PB＝6，且∠BPC＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
题组A 基础过关练
1．已知：如图，，，要使，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用全等三角形的判定方法分别进行分析即可．
【详解】解：、添加条件判定用的判定方法是，故原题说法正确，符合题意；
、添加条件不能判定，故原题说法错误，不符合题意；
、添加条件判定用的判定方法是，故原题说法错误，不符合题意；
、添加条件判定用的判定方法是，故原题说法错误，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．解题的关键是注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2.根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（　　）
A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8
C．AB＝5，BC＝6，AC＝13 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．
【解答】解：A、已知AB、BC和BC的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
B、已知两角和一边，能画出唯一△ABC，故本选项符合题意；
C、∵AB+BC＝5+6＝11＜AC，∴不能画出△ABC；故本选项不符合题意；
D、根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3．如图，AE⊥AB且，BC⊥CD且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）
A．30 B．32 C．35 D．38
【答案】B
【分析】根据角的和差关系可得∠AEF=∠BAG，利用AAS可证明△AEF≌△BAG，可得AF=BG，EF=AG，同理可证明△CDH≌△BCG，可得CH=BG，CG=DH，即可得出FH、AC的长，根据实线所围成的图形的面积=S梯形EFHD-2S△ABC，利用梯形和三角形面积公式即可得答案．
【详解】∵AE⊥AB，EF⊥FH，∴∠AEF+∠EAF=90°，∠BAG+∠EAF=90°，∴∠AEF=∠BAG，
在△AEF和△BAG中，，∴△AEF≌△BAG，∴AF=BG=2，EF=AG=5，
同理可得：△CDH≌△BCG，∴CH=BG=2，CG=DH=3，∴FH=AF+AG+CG+CH=12，AC=AG+CG=8，
∴实线所围成的图形的面积=S梯形EFHD-2S△ABC==32．故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定定理是解题的关键．
4．数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为( )
A．S△ABC >S△DEF B．S△ABC 【答案】C
【分析】在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可．
【详解】解：如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，
在△ABG和△DHE中，AB=DE=5，
∠B=50°，∠DEH=180°-130°=50°，
∴∠B=∠DEH，∠AGB=∠DHE=90°，
∴△AGB≌△DHE(AAS)，∴AG=DH．
∵BC=4，EF=4，∴S△ABC=S△DEF．故选：C．
【点睛】考查全等三角形的判定和性质，等底等高两三角形面积相等．证明△AGB≌△DHE是解题的关键．
5．如图，直线l上有三个正方形，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）
A．55 B．16 C．6 D．4
【分析】根据正方形的性质，易证△BAC≌△ECD（AAS），可得AB＝CE，BC＝DE，根据a，c的面积以及勾股定理即可求出b的面积．
【解答】解：根据题意，得AC＝CD，∠ABC＝∠CED＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠ECD＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，
在△BAC和△ECD中，，
∴△BAC≌△ECD（AAS），∴AB＝CE，BC＝DE，
∵a，c的面积分别为5和11，∴AB2＝5，DE2＝11，∴BC2＝11，
根据勾股定理，得AC2＝AB2+BC2＝5+11＝16，∴b的面积为16，故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及正方形的性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2，BE＝1．则DE＝________．
【答案】1
【分析】先证明△ACD≌△CBE，再求出DE的长，解决问题．
【详解】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D∴
∵∴
∵∴∴，
∴．故答案为：1
【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质，掌握再全等三角形的判定和性质是解题的关键．
7．如图，小张同学拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，∠ACB＝90°，AC＝BC，若每个长方体教具高度均为6cm，则两摞长方体教具之间的距离DE的长为 　 　cm．
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，根据全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE，AD＝CE，
∵DE＝CD+CE，∴DE＝BE+AD，
∵一块长方体教具的厚度为6cm，∴AD＝24cm，BE＝18cm，
∴两摞长方体教具之间的距离DE的长＝24+18＝42（cm）．故答案为：42．
【点评】此题主要考查全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
8．如图，已知相交于点O，ABCD．求证．
【答案】见解析
【分析】由ABCD推出，，由推出，再由 推出，最后由判定出即可证得．
【详解】证明：∵ABCD∴，
∵ 又∵，∴
∵又∵， ∴
在和中，∵ ∴（）∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理——，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．
9．如图，在ABC和CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，ABDE，求证：ABC≌CDE．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得到，再根据全等三角形的判定证明即可．
【详解】证明：∵，∴，
在和△CDE中，，∴．
【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
10.如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DFE；
（2）由“AAS”可证△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，
在△ACO和△DEO中，，∴△ACO≌△DEO（AAS），
∴EO＝CO，∴点O为BF的中点．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
题组B 能力提升练
1．如图，AB∥CD，AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD垂足分别为E、F两点，则图中全等的三角形有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法求解即可．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
【详解】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴，，
∴在△ABD和△CDB中，
∴；
∴，，
∴在△ABE和△CDF中，
，
∴；
∴在△ADE和△CBF中，
，
∴，
则图中全等的三角形有：△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF，△ABD≌△CDB，共3对．故选：C．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
2.如图，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE的度数为（　　）
A．155° B．125° C．135° D．145°
【分析】利用AAS证明△ACD≌△AEB即可得出答案．
【解答】解：在△ACD和△AEB中，，
∴△ACD≌△AEB（AAS），∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠CDE＝55°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣55°＝125°，∴∠ABE＝∠ADC＝125°，故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．如图，点B，C，E在同一直线上，且，，，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质得出∠A=∠2，∠1=∠E，根据全等三角形的判定定理推出△ABC≌△CDE，再逐个判断即可．
【详解】解：∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠A=∠2，同理∠1=∠E，∵∠D=90°，∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，
在△ABC和△CDE中， ，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴，
∴选项A、选项B，选项C都正确；
根据已知条件推出∠A=∠2，∠E=∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD=90°+∠1，∠ACE=90°+∠2，所以不一定成立故选项D错误；故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和直角三角形的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有HL．
4．如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项分析即可．
【详解】解：∵是的一条角平分线，∴∠ABD=∠EBD，
A.在△ADB和△EDB中， ∴△ADB≌△EDB，故A不符合题意；
B.在△ADB和△EDB中， ∴△ADB≌△EDB，故不符合题意；
C.在△ADB和△EDB中， ∴△ADB≌△EDB，故不符合题意；
D.在△ADB和△EDB中，若添加，符合“SSA”，此方法不能判断△ADB≌△EDB，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
5．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ACN≌ABM；④CD＝DN．其中符合题意结论的序号是_____．
【答案】①②③
【分析】此题考查的是全等三角形的判定和性质的应用，只要先找出图中的全等三角形就可判断题中结论是否正确．
【详解】∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AC=AB，BE=CF，即结论②正确；
∵AC=AB，∠B=∠C，∠CAN=∠BAM，
∴△ACN≌△ABM（ASA），即结论③正确；
∵∠BAE=∠CAF，
∵∠1=∠BAE-∠BAC，∠2=∠CAF-∠BAC，
∴∠1=∠2，即结论①正确；
∴△AEM≌△AFN（ASA），
∴AM=AN，
∴CM=BN，
∵∠CDM=∠BDN，∠C=∠B，
∴△CDM≌△BDN，
∴CD=BD，
无法判断CD=DN，故④错误，
∴题中正确的结论应该是①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定和性质；对图中的全等三角形作出正确判断是正确解答本题的关键．
5.如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是　 　．
【分析】证明△ABC≌△AED（AAS），得出∠BAC＝∠EAD，根据三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠B＝∠E＝90°，
在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS），∴∠BAC＝∠EAD，
∵∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣40°＝20°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+∠BAC＝80°；故答案为：80°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理；证明三角形全等是解题的关键．
6.如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，∠ABD＝∠BCE，且AD＝BE．（1）证明：①△ABD≌△ECB；②AD∥BC；（2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度．
【分析】（1）①由AAS证明△ABD与△ECB全等即可；②根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可；（2）根据△ABD与△ECB全等的性质解答即可．
【解答】（1）证明：①在△ABD与△ECB中，
，∴△ABD≌△ECB（AAS）；
②由①得，△ABD≌△ECB，∴∠ADB＝∠EBC，∴AD∥BC；
（2）解：∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC＝15，BE＝AD＝6，∴DE＝BD﹣BE＝15﹣6＝9．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
7．如图，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD＝CE，连DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G，试判断FG、BF、CG之间的数量关系，并说明理由．
【分析】在BC上截取GH＝GC，可得△EHC是等腰三角形，进而得出AB∥EH，再证△BDF≌△HEF（AAS），通过线段之间的转化即可得出结论．
【解答】解：FG＝BF+CG，理由如下：在BC上截取GH＝GC，连接EH，如图所示：
∵EG⊥BC，GH＝GC，∴HE＝EC，∴∠EHC＝∠C，
又AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠EHC＝∠ABC，
∴EH∥AB，∴∠DBF＝∠EHF，∠D＝∠DEH，∵BD＝CE，∴HE＝BD，
在△BDF和△HEF中，，∴△BDF≌△HEF（AAS），∴BF＝FH，∴FG＝FH+HG＝BF+GC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．如图，在中，点E在边上，且．
(1)请你判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若的平分线交于点F，//交于点D，设，，求的长．
【答案】(1)，理由见解析(2)2
【分析】（1），理由是在三角形与三角形中，由一对公共角相等，以及已知角相等，利用内角和定理即可得证；
（2）由与平行，得到一对同位角相等，再由第一问的结论等量代换得到一对角相等，根据为角平分线得到一对角相等，再由，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，由求出的长即可．
(1)解：，理由如下：
在中，，
在中，，
，，
；
(2)解：，
，
又，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，，
．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点D在AC上，且AD=6cm，过点A作射线AEAC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．
(1)如图①，当PDBD时，求证：△PDA△DBC；
(2)如图②，当PDAB于点F时，求此时t的值．
【答案】(1)见解析(2)8
【分析】(1)由PDBD、∠C=90°可推出∠PDA=∠CBD，即可根据ASA判定△PDA△DBC；
(2)由PDAB，AEAC可推出∠APF=∠CAB，即可根据AAS判定△APD△CAB，再由全等三角形的性质即可得解．
(1)证明：如图①
∵PDBD
∴∠PDB=90
∴∠BDC+∠PDA=90
又∵∠C=90
∴∠BDC+∠CBD=90
∴∠PDA=∠CBD
又∵AEAC
∴∠PAD=90
∴∠PAD=∠C=90
又∵BC=6cm，AD=6cm
∴AD=BC
在△PAD和△DCB中
∴△PDA△DBC(ASA)
(2)解：如图②
∵PDAB
∴∠AFD=∠AFP=90
∴∠PAF+∠APF=90
又∵AEAC
∴∠PAF+∠CAB=90
∴∠APF=∠CAB
在△APD和△CAB中
∴△APD△CAB(AAS)
∴AP=AC
∵AC=8cm
∴AP=8cm
∴t=8
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA判定△PDA≌△DBC、根据AAS判定△APD≌△CAB是解题的关键．
10．如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E．
(1)请你在图中找出一对全等三角形，并进行证明．(2)如果将直线绕点C进行旋转，其它条件不变，（1）中的两个三角形还全等吗？请在备用图上画出图形并用斜线勾画出全等的两个三角形．
【答案】(1)△ACD≌△CBE，见解析(2)全等，见解析
【分析】（1）利用AAS证明△ACD≌△CBE即可；
（2）先画出图形，再用AAS证明△ACD≌△CBE即可．
（1）解：全等三角形为：△ACD≌△CBE.
证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE
在△ACD与△CBE中，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）解：（1）中的两个三角形还全等，即△ACD≌△CBE，
如图，
理由：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC=∠CEB=90°，，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD与△CBE中，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1.如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】由“AAS”可证明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，即可求AD的长．
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∠CED＝∠AFB＝90°，∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，∴AD＝AF﹣EF+DE＝6﹣2+3＝7．故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABF≌△CDE是本题的关键．
2．如图，，，．下列结论中：（1）；（2）；（3）；（4）．正确的个数是（ 　 ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】先证明△ADF≌△ABF，得∠ADF=∠ABF，再根据等角的余角相等，得2∠1=∠DFE，便可判断（1）的正误；当△ABC不是等腰直角三角形时，∠C≠45°，则∠C≠∠CBE，此时BE≠CE，便可判断（2）的正误；证明∠ABE=∠C=∠ADF，得DFBC，便可判断（4）的正确；过D点作DM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则DM=FN，假设CD=DB,可得△CDM≌△FBN，当∠C≠45°，得CD≠BF，便可判断（3）的正误．
【详解】解：（1）在△ADF和△ABF中，
，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴∠ADF=∠ABF，
∵∠ABF+∠BAE=∠ADF+∠DFE=90°，
∴∠BAE=∠DFE，
∵∠1=∠2，
∴2∠1=∠DFE，
故（1）错误；
（2）当△ABC不是等腰直角三角形时，∠C≠45°，
则∠C≠∠CBE，
此时BE≠CE，
故（2）错误；
（4）∵△ADF≌△ABF，
∴∠ABF=∠ADF，
∵AB⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ABE+∠CBE=∠BCE+∠C=90°，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ADF=∠C，
∴DFBC
故（4）正确；
（3） DFBC，
过D点作DM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则DM=FN，
若，
∵∠C+∠CBF=∠C+∠CDM=90°，
∴∠CDM=∠FBN，
∴△CDM≌△FBN（AAS），
，
则
此时
当△ABC不是等腰直角三角形时，∠C≠45°，△CDM与△FBN不全等，
∴CDFB，
∵△ADF≌△ABF，
∴DF=BF．
∴BF=DFCD，
故（3）不正确；
综上所述，正确的有（4），共1个；
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定．解题的关键是掌握三角形的全等的判定定理．
3．如图，P是∠AOB平分线上的点，PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，则下列结论：①PC＝PD；②OD＝OC；③POC与POD的面积相等；④∠POC＋∠OPD＝90°．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据已知条件，可得△OCP≌△ODP（AAS），根据全等三角形的性质即可判断．
【详解】解：∵P是∠AOB平分线上的点，
∴∠COP=∠DOP，
∵PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，
∴∠OCP=∠ODP=90°，
在△OCP和△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP（AAS），
∴PC=PD，OC=OD，故①②选项符合题意，
∵△OCP≌△ODP（AAS），
∴△POC与△POD的面积相等，故③选项符合题意；
∵△OCP≌△ODP（AAS），
∴∠OPD=∠OPC，
∵∠POC+∠OPC=90°，
∴∠POC+∠POD=90°，故④选项符合题意；
综上可知，①②③④均符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4.如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB＝DE．若BD＝8cm，则AC的长为　 　．
【分析】由DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB＝90°，由∠ACB＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A＝90°，根据同角的余角相等，可得∠A＝∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝BC，AC＝BE，由E是BC的中点，得到BEBCBD＝4．
【解答】解：∵DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，∴∠ABC+∠DEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝∠DEB，
在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（AAS），∴BD＝BC，AC＝BE，
∵E是BC的中点，BD＝8cm，∴BEBCBD＝4cm．故答案为：4cm
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．
5．ABC和DBC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，延长CD、BA交于点E．
（1）如图1，若AB＝AC，试说明BO＝EC；（2）如图2，∠MON为直角，它的两边OM、ON分别与AB、EC所在直线交于点M、N，如果OM＝ON，那么BM与CO是否相等？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）BM＝CO，见解析
【分析】（1）根据余角的性质和等角代换可得∠ABO＝∠DCO，再利用全等三角形的判定证明△BAO≌△CAE便可得结论；（2）根据余角的性质和等角代换可得∠ABO＝∠DCO，再利用全等三角形的判定证明△BOM≌△CNO便可得BM＝CO．
【详解】解：（1）∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠ABO+∠AOB＝∠DCO+∠DOC＝90°，
∵∠AOB＝∠DOC，∴∠ABO＝∠DCO，
∵∠EAC＝180°﹣∠BAC＝90°，∴∠BAO＝∠EAC，
在△BAO和△CAE中，，
∴△BAO≌△CAE（ASA），∴BO＝CE；
（2）相等．理由如下：
∵∠MON＝∠BAC＝90°，
∴∠AMO+∠AOM＝∠AOM+∠AON＝90°，
∴∠AMO＝∠AON，∴∠BMO＝∠NOC，
由（1）知∠ABO＝∠DCO，
在△BOM和△CNO中，，
∴△BOM≌△CNO（AAS），∴BM＝CO．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，涉及到等角代换、余角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
6.已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．
【分析】（1）①要证明△BDF≌△ADC，如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，可证BD＝AD，∠BDF＝∠ADC；在△ADC中，可证得∠AFE＝∠ACD，又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠ACD＝∠BFD；运用AAS，问题可证．②由△BDF≌△ADC可证得DF＝DC；∵AD＝AF+FD，∴AD＝AF+DC；由GF∥BD，∠ABC＝45°，可证得AF＝GF；于是问题可证．
（2）∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴FG＝AF＝AD+DF；DF＝DC可通过证明△BDF≌△ADC得到，故可得：FG＝DC+AD．
【解答】解：（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD；∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°
又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC；
∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）
②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，
∴∠AGF＝∠BAD，∴FA＝FG；∴FG+DC＝FA+DF＝AD．
（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．
理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，
∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；
∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA；
又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS）；∴DF＝DC，
∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．
【点评】本题综合考查了三角形全等的判定和性质；利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法，注意掌握
7．在中，，，直线MN经过点C且于D，于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①≌；②；
(2)当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析
(3)（或者对其恒等变形得到，），证明见解析
【分析】（1）①根据，，，得出，再根据即可判定；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出，，进而得到；
（2）先根据，，得到，进而得出，再根据即可判定，进而得到，，最后得出；
（3）运用（2）中的方法即可得出，，之间的等量关系是：或恒等变形的其他形式．
（1）解：①，，
，
，，
，
在和中，
；
②，
，，
；
（2）证明：，，
，
，
在和中，
；
，，
；
（3）证明：当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：
或或．
理由如下：，，
，
，
在和中，
，
，，
（或者对其恒等变形得到或）．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论．
8．在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，且，，顶点A、C分别在y轴、x轴上．
(1)如图，已知点，，点B在第四象限时，则点B的坐标为 ；
(2)如图，点C、A分别在x轴、y轴的负半轴上，BC边交y轴于点D，AB边交x轴于点E，若AD平分∠BAC，点B坐标为．探究线段AD、OC、OD之间的数量关系．请回答下列问题：
①点B到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ；
②写出点C的坐标为 ，点A的坐标为 ，点D的坐标为 ；
③直接写出线段AD、OC、OD之间的数量关系： ．
【答案】(1)（3，-1）
(2)①n，m；②（-n，0），（0，-m-n），（0，）；③
【分析】（1）过B点作x轴垂线，垂足为D，由题意可证得，故CD=OA=2,BD=OC=1，OD=OC+CD=3，即可知B点坐标为（3，-1）．（2）过B点作x轴垂线，垂足为F，连接DE①因为B点在第一象限，故B点横坐标为B点到y轴的距离，B点纵坐标为B点到x轴的距离．②由题意可证得，故可求为等腰三角形，则可证得，便可知OC=n，OA=OF+OC=m+n，DO=OF-OE=m-n即点C的坐标为（-n，0），点A的坐标为（0，-m-n），点D的坐标为（0，）．③由②问知AD=OD+AO=m-n+m+n=2m，OC=n，OD=m-n，故有．
(1)过B点作x轴垂线，垂足为D
由题意知AO=2，OC=1，AC=BC，
∵∠OCA+∠OAC=90°，∠OCA+∠DCB=90°∴∠OAC=∠BCD，
在和中有∴
∴CD=OA=2,BD=OC=1，OD=OC+CD=3故B点坐标为（3，-1）
(2)过B点作x轴垂线，垂足为F，连接DE
①∵点B坐标为，且点B在第一象限∴m＞0，n＞0
故点B到x轴的距离为n，到y轴的距离为m．
②由题意知BC=AC，
∵∠BCF+∠OAC=90°，∠OCA+∠OAC=90°∴
在和中有
∴∴BF=CO，OA=CF
由①知BF=n，OF=m故OC=n，OA=OF+OC=m+n
∵AD平分∠BAC∴∠OAC=∠OAE
∴∠OCA+∠OAC=∠OEA+∠OAE∴AC=AE
∴为等腰三角形，AD为角平分线，中线，高线三线合一，故也为等腰三角形．
∴CO=OE=BF，∠DCO+∠OCA=∠DEO+∠OEA=90°
∵∠ODE+∠OED=90°，∠OED+∠BEF=90°∴∠ODE=∠BEF
在和中有∴
∴EF=DO∴DO=OF-OE=m-n
则点C的坐标为（-n，0），点A的坐标为（0，-m-n），点D的坐标为（0，）．
③由②可知AD=OD+AO=m-n+m+n=2m，OC=n，OD=m-n
故有
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，坐标轴中点坐标的性质，点到坐标轴的距离点P的坐标为，那么点P到x轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即．点P到y轴的距离为这点横坐标的绝对值，即．AAS表示角角边,即已知两个三角形的两个角都相同,且两角夹边以外的任意一条边长度相等,即可证明两个三角形全等．
9．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如下图1．
(1)已知：在中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．则线段DE与BD、CE的数量关系为________．(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图（2），将（1）中的条件改为：在中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由．(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图（3），过的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点
【答案】(1)DE＝BD＋CE(2)成立，证明见解析(3)见解析
【分析】（1）先证明出，得出，，即可得出数量关系的结果；
（2）证明出，得出，，即可得出结论；
（3）过点E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N，则∠EMI＝∠GNI＝90°，同（1）得，，推出，证得，即可得出结论．
（1）解：（1）直线，直线，，
，，
，，
在和中，，，
，，，故答案为：；
（2）成立.
证明如下：∵∠BDA＝∠BAC＝，
∴∠DBA＋∠DAB＝∠DAB＋∠CAE，∴∠DBA＝∠CAE，
在和中，，∴（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE；
（3）如图3，过点E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI＝∠GNI＝90°,
正方形ABDE和正方形ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，
∵AH是BC边上的高，∴∠AHB=∠AHC=90°，
由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN，∴EM＝GN，
在和中，，∴（AAS），
∴EI＝GI，∴I是EG的中点．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
10．【发现】：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH＝BC．
【证明】：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠AHC＝90°＝∠BAC．
∴∠BAH＋∠CAH＝90°，∠BAH＋∠B＝90°．
∴∠CAH＝∠B（ ），
在△ABH和△CAH中，
．
∴△ABH≌△CAH．（ ）．
∴BH＝AH，AH＝CH．（ ）．
∴AH＝BC．
【拓展】：如图2，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为 ，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
【应用】：在如图3的两张图中，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝90°，在同一平面内有一点P，满足PC＝1，PB＝6，且∠BPC＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
【答案】【发现】同角的余角相等；AAS；全等三角形的对应边相等
【拓展】90°；CE＋2AH＝CD，理由见解析
【应用】或
【分析】发现：根据同角的余角相等可得∠CAH＝∠B，根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得结论；
拓展：证明△ADB≌△AEC，即可得∠DCE的度数为90°，线段AH、CD、CE之间的数量关系；
应用：如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，过A作AD垂直于AP，交PB于点D，可得△APC≌△ADB，得BD＝CP＝1，根据DP＝BP﹣BD＝6﹣1＝5，AH⊥DP，即可得点A到BP的距离；同理如图4，过点A作AH⊥BP于点H，
连接AP，将△APC绕点A顺时针旋转90度到△ADB，可得DP＝BP＋BD＝6＋1＝7，进而可得点A到BP的距离．
【详解】[发现]证明：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠AHC＝90°＝∠BAC．
∴∠BAH＋∠CAH＝90°，∠BAH＋∠B＝90°．
∴∠CAH＝∠B（同角的余角相等），
在△ABH和△CAH中，．
∴△ABH≌△CAH．（AAS）．
∴BH＝AH，AH＝CH．（全等三角形的对应边相等）．
∴AH＝BC．
故答案为：同角的余角相等；AAS；全等三角形的对应边相等；
[拓展]∠DCE的度数为90°，
线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE＋2AH＝CD，
理由如下：
∵∠DAB＋∠BAE＝90°，∠EAC＋∠BAE＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD＝135°，
∴∠DCE＝90°；
∵D、B、C三点共线，
∴DB＋BC＝CD，
∵DB＝CE，AH＝BC，
∴CE＋2AH＝CD．
[应用]点A到BP的距离为：或．
理由如下：
如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD＝90°，交BP于点D，
∴∠BAC＝∠DAP＝90°，
∴∠BAD＝∠CAP，
∵∠BDA＝∠APC＝90°＋∠APD，
∴△APC≌△ADB（AAS），
∴BD＝CP＝1，
∴DP＝BP﹣BD＝6﹣1＝5，
∵AH⊥DP，
∴AH＝DP＝；
如图4，过点A作AH⊥BP于点H，
作∠PAD＝90°，交PB的延长线于点D，
∴∠BAC＝∠DAP＝90°，
∴∠BAD＝∠CAP，
∵∠BAC＝90°，∠BPC＝90°，
∴∠ACP＋∠ABP＝180°，
∴∠ACP＝∠ABD，
∵AB＝AC，
∴△APC≌△ADB（AAS），
∴BD＝CP＝1
∴DP＝BP＋BD＝6＋1＝7.
∵AH⊥DP，
∴AH＝DP＝．
综上所述：点A到BP的距离为：或．
【点睛】本题考查了三角形综合题，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
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