人教八上培优练：第12课 轴对称（含解析）

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第12课 轴对称
题组A 基础过关练
1．下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．140°
5.《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”．《中共中央国务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点处 B．三个角的平分线的交点处
C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条中线的交点处
6.如果点A（m+2，m﹣1）在x轴上，那么点B（m+3，m﹣2）关于x轴的对称点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，与关于直线对称，下列判断错误的是（ ）
A． B．直线垂直平分线段 C． D．
8.小明从镜子中看到电子钟显示的时间是20：51，那么实际时间为　 　．
9．如图，Rt△ABC中，∠C=100°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是________．
10.在4×4的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有　3　种．
11.如图．△ABC中，∠B＝∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB＝QC，
QB＝RC．求证：点Q在PR的垂直平分线上．
12．在平面直角坐标系中的位置如图所示．、、三点在格点上．（1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标；（2）作出关于对称的，并写出点的坐标．
题组B 能力提升练
1．如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（ ）
A．在∠B的平分线与DE的交点处 B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处
C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处
D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处
2.如图是由三个全等的菱形拼接而成的图形，若平移其中一个菱形，与其他两个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），并使拼接成的图形为轴对称图形，则平移的方式共有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
3．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（ ）
A．2 B．12 C．5 D．7
4．如图，在△ABC中，点O是∠BAC的平分线与线段AC的垂直平分线的交点，OD⊥AB于点D，OF⊥AC于点F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OA=OC B．OD=OF C．OA=OB D．AD=FC
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，连接BD，将△BDA沿BD对折得到△BDE，若BE恰好经过点C，则下列结论错误的是（ ）
A．DA＝DE B．∠CDE＝2∠ABD
C．∠BDE﹣∠ABD＝90°
D．S△ABD：S△CDE＝BC：CE
6．如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB、AC和DB、DC，始终有AB=AC，DB=DC，请大家考虑一下伞杆AD所在的直线是B、C两点的连线BC的____线．
7．如图，在长方形中，点E是边的中点，将长方形沿过点E的直线折叠，使点B落在平面内的点处，其中折痕交边所在直线于点F．若时，则____________．
8．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为 ；当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为____________．
9．根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______．
10.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2．则在点P的运动过程中，线段P1P2的长的最小值是　 　．
11.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
题组C 培优拔尖练
1．在中，已知，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为（如图所示）．则下列结论：①②的周长等于7③④，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
2．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（ ）
A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动
C．以的速度运动，水平向左运动 D．以的速度，水平向左运动
3.一张正方形纸片按图1、图2箭头方向依次对折后，再沿图3虚线裁剪得到图4，把图4展开铺平的图案应是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，C为OB上的定点，M，N分别为射线OA、OB上的动点．当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
5.若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6.如图，在坐标平面内，依次作点P（﹣3，1）关于直线y＝x的对称点P1，P1关于x轴对称点P2，P2关于y轴对称点P3，P3关于直线y＝x对称点P4，P4关于x轴对称点P5，P5关于y轴对称点P6，…，按照上述变换规律继续作下去，则点P2019的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（1，﹣3）
7．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．
8.如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段QR的长为　 　．
9.如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
10.在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．
（1）AD与BD的数量关系为　 　．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
11.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2．（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 　 　．
（4）△ABC的面积为 　 　．
12．如图1，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点.若.
（1）求证：平分；
（2）如图2，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，求.
题组A 基础过关练
1．下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2．图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是( )
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】B
【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果．
【详解】连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示：
由图可得MN是法线，为入射角
因为入射角等于反射角，且关于MN对称由此可得反射角为
所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝2，则BC的长是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝5，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝5，
∴EB＝EA＝5，∴BC＝EB＋EC＝5＋2＝7，故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
4.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是（　　）
A．90° B．100° C．120° D．140°
【分析】首先证明∠P1+∠P2＝40°，可得∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，推出∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，可得结论．
【解答】解：∵P点关于OB的对称点是P1，P点关于OA的对称点是P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N，∠P2＝∠P2PN，∠P1＝∠P1PM，
∵∠AOB＝40°，∴∠P2PP1＝140°，∴∠P1+∠P2＝40°，
∴∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，
∴∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，
∴∠MPN＝180°﹣（∠PMN+∠PNM）＝180°﹣80°＝100°，故选：B．
5.《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”．《中共中央国务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（　　）
A．三条边的垂直平分线的交点处 B．三个角的平分线的交点处
C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条中线的交点处
【分析】根据性的垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，故选：A．
6.如果点A（m+2，m﹣1）在x轴上，那么点B（m+3，m﹣2）关于x轴的对称点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据点A（m+2，m﹣1）在x轴上，可求出m的值，进而确定点B的坐标和所在的象限，再根据关于x轴对称的性质得出答案．
【解答】解：∵点A（m+2，m﹣1）在x轴上，
∴m﹣1＝0，即m＝1，∴m+3＝4，m﹣2＝﹣1，
∴点B（4，﹣1），∴点B（4，﹣1）在第四象限，
∴点B（4，﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，故选：A．
7．如图，与关于直线对称，下列判断错误的是（　　　）
A． B．直线垂直平分线段 C． D．
【答案】D
【分析】先根据对称的性质求得∠C，然后利用三角内角和定理即可求得；再利两个图形成的性质解答即可．
【详解】解：∵与关于直线对称∴∠C=∠C＇=30°
∴,故A正确；
∵与关于直线对称
∴直线垂直平分线段，，即B、C正确；
的延长线交于一点且该点在对称轴上，故D错误．故选：D．
【点睛】本题考查了两个图形成轴对称的性质，掌握对应边的延长线交于一点且该点在对称轴上是解答本题的关键．
8.小明从镜子中看到电子钟显示的时间是20：51，那么实际时间为　 　．
【分析】用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：05．
故答案为：12：05．
9．如图，Rt△ABC中，∠C=100°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是________．
【答案】20°##20度
【分析】由题意根据∠CAB=180°-∠C-∠B和垂直平分线性质，求出∠CAB，∠DAB进而依据∠CAD=∠CAB-∠DAB求出即可．
【详解】解：∵∠C=100°，∠B=30°，
∴∠CAB=180°-∠C-∠B =180°-100°-30°=50°，
由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=50°-30°=20°.故答案为：20°．
【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10.在4×4的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有　3　种．
【分析】根据轴对称图形的性质进行作图即可．
【解答】解：如图所示，新图形是一个轴对称图形．
故答案为：3．
11.如图．△ABC中，∠B＝∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．求证：点Q在PR的垂直平分线上．
【分析】根据全等三角形的判定定理证明△BQP≌△CRQ，得到QP＝QR，根据线段的垂直平分线的判定证明结论．
【解答】证明：连接PQ，
在△BQP和△CRQ中，
，
∴△BQP≌△CRQ，∴QP＝QR，∴点Q在PR的垂直平分线上．
12．在平面直角坐标系中的位置如图所示．、、三点在格点上．
（1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）作出关于对称的，并写出点的坐标．
【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析，
【分析】（1）作点A、B、C关于x轴的对称点、、，得到，再写出的坐标；
（2）作点A、B、C关于y轴的对称点、、，得到，再写出的坐标．
【详解】解：（1）如图所示，；
（2）如图所示，．
【点睛】本题考查轴对称图形和点坐标，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中画轴对称图形的方法．
13.在△ABC中，∠C＞∠B、请用尺规作图法，在AB上找一点P，使∠PCB＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法．）
【分析】作线段BC的垂直平分线交AB于点P，点P即为所求作．
【解答】解：如图，点P即为所求作．
题组B 能力提升练
1．如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（ ）
A．在∠B的平分线与DE的交点处
B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处
C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处
D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得到水池修建在∠ABC的平分线上，根据线段的垂直平分线的性质得到水池修建在DE的垂直平分线上，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线，它们相交于P点，如图，
则水池修建的位置应该为P点．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
2.如图是由三个全等的菱形拼接而成的图形，若平移其中一个菱形，与其他两个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），并使拼接成的图形为轴对称图形，则平移的方式共有（　　）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【解答】解：如图，把菱形A平移到①或②或⑤或⑥的位置可得轴对称图形．
把菱形B平移到③或④或⑤或⑦的位置可得轴对称图形．共有8种方法．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（　　）
A．2 B．12 C．5 D．7
【答案】B
【分析】由于，关于直线为对称，所以和重合时，最小，最小值等于，即可求得的周长的最小值．
【详解】解：是线段的垂直平分线，
，关于直线为对称，和重合时，最小，即的周长的最小值，
是线段的垂直平分线，，的最小值，
的最小周长，故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
4．如图，在△ABC中，点O是∠BAC的平分线与线段AC的垂直平分线的交点，OD⊥AB于点D，OF⊥AC于点F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OA=OC B．OD=OF C．OA=OB D．AD=FC
【答案】C
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，利用三角形全等的判定定理和性质可得出，即可得出选项．
【详解】解∵在中，点O是的平分线与线段AC的垂直平分线的交点，OD⊥AB，OF⊥AC，
∴，，故A、B选项成立；
，，，
在△AOD与△AOF中，
，
∴，
同理可得：，
∴，，，
∴，
∴，故D选项成立，
故选：C．
【点睛】题目主要考查角平分线、线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定定理和性质，熟练掌握这些基本性质和定理是解题关键．
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，连接BD，将△BDA沿BD对折得到△BDE，若BE恰好经过点C，则下列结论错误的是（　　）
A．DA＝DE B．∠CDE＝2∠ABD
C．∠BDE﹣∠ABD＝90° D．S△ABD：S△CDE＝BC：CE
【分析】由折叠的性质直接判断A；由折叠的性质得到△ABC≌△EBF及△FBD≌△CBD，进而得出BC＝BF，∠DCB＝∠DFB＝90°，DF＝DC，根据直角三角形的两锐角互余即可判断B；根据角的和差判断C；再根据三角形的面积公式判断D．
【解答】解：如图，延长ED交AB于点F，
∵△BDA沿BD对折得到△BDE，∴△BDA≌△BDE，
∴∠ABD＝∠DBE，DA＝DE，故A正确，不符合题意；
由△BDA≌△BDE可知，∠A＝∠E，AB＝BE，
在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（ASA），∴BC＝BF，
在△FBD和△CBD中，
，
∴△FBD≌△CBD（SAS），∴∠DCB＝∠DFB＝90°，DF＝DC，
∴∠ABC＝∠CDE，∴∠CDE＝2∠ABD，故B正确，不符合题意；
∵∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝∠BDC+2∠ABD，
∴∠BDE﹣∠ABD＝∠BDC+2∠ABD﹣∠ABD＝∠BDC+∠ABD＝∠BDC+∠DBC＝90°，
故C正确，不符合题意；
S△ABD AB DF，S△CDE CE CD，∴，
故D错误，符合题意；故选：D．
6．如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB、AC和DB、DC，始终有AB=AC，DB=DC，请大家考虑一下伞杆AD所在的直线是B、C两点的连线BC的____线．
【答案】垂直平分
【分析】根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理得出A、D都在线段BC的垂直平分线上，根据两点确定一条直线得出直线AD是线段BC的垂直平分线．
【详解】解：如图，连接、，
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，点D在线段的垂直平分线上，
∴根据两点确定一条直线得出直线是线段的垂直平分线，
故答案为：垂直平分．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
7．如图，在长方形中，点E是边的中点，将长方形沿过点E的直线折叠，使点B落在平面内的点处，其中折痕交边所在直线于点F．若时，则____________．
【答案】70°或110°
【分析】分情况讨论，分别根据折叠的性质求出的大小，再根据平行线的性质得出答案．
【详解】解：如图1所示，
由翻折性质可得：，
∵，∴，∴，
又∵长方形中，∴，如图2所示，
由翻折性质可得：，，
∵，∴，
∴，∴，∴，
又∵长方形中，∴，
综上，为70°或110°，故答案为：70°或110°．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，角的和差计算，正确画出图形分类求解是解题的关键．
8．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为 ；当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为____________．
【答案】（1，4）；（5,0）
【详解】试题分析：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，可知：
（1）当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为（1，4）；
（2）每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2014÷6=335…4，
∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．
考点：1．探索规律题（图形的变化类）；2．跨学科问题；3．点的坐标．
9．根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______．
【答案】
【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得．
【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，
∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为，
∵是两面互相平行的平面镜，∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为，
又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，
∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为，
， ．故答案为：．
【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键．
10.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2．则在点P的运动过程中，线段P1P2的长的最小值是　 　．
【分析】连接CP，依据轴对称的性质，即可得到线段P1P2的长等于2CP，依据CP的最小值即可得出线段P1P2的长的最小值．
【解答】解：如图，连接CP，
∵点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2，
∴P1C＝PC＝P2C，
∴线段P1P2的长等于2CP，
如图所示，当CP⊥AB时，CP的长最小，此时线段P1P2的长最小，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴CP4.8，
∴线段P1P2的长的最小值是9.6，故答案为：9.6．
11.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【分析】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解决问题；
（2）只要证明AE＝AC，利用等腰三角形的性质即可证明；
【解答】（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD∠BAC＝25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．
（2）证明∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，AD平分线段EC，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
12．如图1所示，S同学把一张6×6的正方形网格纸向上再向右对折两次后按图画实线，剪去多余部分只留下阴影部分，然后展开摊平在一个平面内得到了一幅剪纸图案．T同学说：“我不用剪纸，我直接在你的图1②基础上，通过‘逆向还原’的方式依次画出相应的与原图形成轴对称的图形也能得出最后的图案．”画图过程如图2所示．
对于图3中的另一种剪纸方式，请仿照图2中“逆向还原”的方式，在图4①中的正方形网格中画出还原后的图案，并判断它与图2中最后得到的图案是否相同．
答：□相同；□不相同．（在相应的方框内打勾）
【答案】不相同．
【分析】根据轴对称图形的性质即可得结论．
【详解】如图，在图4①中的正方形网格中画出了还原后的图案， 它与图2中最后得到的图案不相同．
故答：不相同．
【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案、剪纸问题，解决本题的关键是掌握轴对称性质．
题组C 培优拔尖练
1．在中，已知，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为（如图所示）．则下列结论：①②的周长等于7③④，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【分析】由折叠的性质得到，继而得到，根据题意，据此判断①错误；
由折叠的性质得到DC=DE，BE=BC=6，求得的周长为：AD+AE+DE=AC+AE=7，可判断②；设点D到AB的距离为h，根据三角形面积公式得到，可判断③；设点B到AC的距离为m，根据三角形面积公式得到，可判断④．
【详解】解：沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，
不垂直AB，故①错误；
由折叠的性质可知DC=DE，BE=BC=6
的周长为：AD+AE+DE=AC+AE=7，故②正确；
设点D到AB的距离为h，
，故③正确；
设点B到AC的距离为m，
，故④错误，
故选：Ｂ．
【点睛】本题考查翻折变换，三角形周长的求法、三角形的面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（ ）
A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动
C．以的速度运动，水平向左运动 D．以的速度，水平向左运动
【答案】B
【分析】利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物关于镜面OC对称，形状大小，平移的速度相同，方向直线O点．
【详解】根据镜面对称的性质，在平面镜中的小球与现实中的小球关于镜面对称，
∵∠AOC=45，∴∠BOC=45°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，
则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动，故B正确.故选：B.
【点睛】本题主要考察镜面对称，解题关键是熟练掌握镜面对称的性质．
3.一张正方形纸片按图1、图2箭头方向依次对折后，再沿图3虚线裁剪得到图4，把图4展开铺平的图案应是（　　）
A． B． C． D．
【分析】严格按照图中的顺序亲自动手操作一下即可．
【解答】解：严格按照图中的顺序向右对折，向上对折，从下面中间剪去一个半圆，展开得到的图形是．故选：D
4．如图，，C为OB上的定点，M，N分别为射线OA、OB上的动点．当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作点C关于OA的对称点E，作EN⊥OC交OA于点M，此时CM+MN=EM+MN=EN最短，进而根据∠AOB=35°，和直角三角形两个锐角互余即可求解．
【详解】解：如图：
作点C关于OA的对称点E，过点E作EN⊥OC于点N，交OA于点M，
∴ME=MC，∴CM+MN=EM+MN=EN，
根据垂线段最短，EN最短，
∵∠AOB=35°，∠ENO=CFM=90°，
∴∠OMN=55°，∠OCF=55°，∴∠EMF=∠OMN=55°，
∴∠E=∠MCE=35°，∴∠OCM=∠OCF-∠MCE=20°．故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟知直角三角形的两个锐角互余是解题关键．
5.若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由P点关于x轴的对称点在第四象限，得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
【解答】解：∵点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，
∴点P在第一象限，∴，解得：﹣1＜a＜1，
在数轴上表示为：，故选：C．
6.如图，在坐标平面内，依次作点P（﹣3，1）关于直线y＝x的对称点P1，P1关于x轴对称点P2，P2关于y轴对称点P3，P3关于直线y＝x对称点P4，P4关于x轴对称点P5，P5关于y轴对称点P6，…，按照上述变换规律继续作下去，则点P2019的坐标为（　　）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（1，﹣3）
【分析】根据轴对称的性质分别求出P1，P2，P2，P3；P4，P5，P6的坐标，找出规律即可得出结论．
【解答】解：∵P（﹣3，1），∴点P关于直线y＝x的对称点P1（1，﹣3），
P1关于x轴的对称点P2（1，3），P2关于y轴的对称点P3（﹣1，3），
P3关于直线y＝x的对称点P4（3，﹣1），P4关于x轴的对称点P5（3，1），
P5关于y轴的对称点P6（﹣3，1），∴6个数一循环．
∵当n＝2019时，2019÷6＝336…3，∴P2019（﹣1，3），故选：A．
7．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．
【答案】40°##40度
【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∵，，，
∴，．故答案为：40．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．
8.如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段QR的长为　 　．
【分析】根据轴对称的性质得到OA垂直平分PQ，OB垂直平分PR，则利用线段垂直平分线的性质得QM＝PM＝3cm，RN＝PN＝4cm，然后计算QN，再计算QN+RN即可．
【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，
∴OA垂直平分PQ，∴QM＝PM＝3cm，
∴QN＝MN﹣QM＝4.5cm﹣3cm＝1.5cm，
∵点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
∴OB垂直平分PR，∴RN＝PN＝4cm，
∴QR＝QN+RN＝1.5cm+4cm＝5.5cm．故答案为5.5cm．
9.如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BE，AD＝DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，证明△BAD≌△BED，根据全等三角形的性质得到∠BED＝∠BAC＝105°，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，
∴AB+BE＝18﹣6＝12，∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
在△BAD和△BED中，
，
∴△BAD≌△BED（SSS），∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．
10.在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．（1）AD与BD的数量关系为　 　．（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，故答案为：AD＝BD；
（2）∵l2是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，
∵△ADE的周长为6，∴AD+DE+AE＝6，
∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；
（3）∵l1是线段AB的垂直平分线，∴OA＝OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，OA＝OC，∴OB＝OC，
∵△OBC的周长为16，BC＝6，∴OB+OC＝10，∴OA＝OB＝OC＝5．
11.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2．（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 　 　．
（4）△ABC的面积为 　 　．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△A1B1C1；（2）根据平移的性质即可作出△A2B2C2；
（3）结合（1）（2）可得AC上有一点M（a，b）的横坐标加4，纵坐标互为相反数，即可得对应A2C2上的点M2的坐标．（4）根据网格即可求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）点M2的坐标是（a+4，﹣b）．故答案为：（a+4，﹣b）．
（4）△ABC的面积为：2×41×41×22×2＝8﹣2﹣1﹣2＝3．故答案为：3．
12．如图1，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点.若.（1）求证：平分；（2）如图2，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，求.
【答案】（1）详见解析；（2）1.
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的外角性质进行计算和代换即可.（2）连接，过作垂足为，根据AF是角平分线可得，FG垂直平分BC可得，从而可得，再由，可得，从而可得，即可得.
【详解】（1）证明：设，
平分，，
，，
，，，
又，∴，即平分.
（2）解：连接，过作垂足为，由（1）可知平分，
又∵，，
垂直平分于点，
在与中，，
，∴，
与中，，，
∴，即，
，.
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