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专题18 相交线与平行线
一．选择题（共33小题）
1．（2024 雅安）如图，直线，交于点，于，若，则的度数是
A． B． C． D．
2．（2024 北京）如图，直线和相交于点，．若，则的大小为
A． B． C． D．
3．（2024 常州）如图，推动水桶，以点为支点，使其向右倾斜．若在点处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
4．（2024 苏州）如图，，若，，则的度数为
A．45 B． C． D．
5．（2024 陕西）如图，，，，则的度数为
A． B． C． D．
6．（2024 内江）如图，，直线分别交、于点、，若，则的大小是
A． B． C． D．
7．（2024 宿迁）如图，直线，直线分别与直线、交于点、，且，则等于
A． B． C． D．
8．（2024 重庆）如图，，，则的度数是
A． B． C． D．
9．（2024 德阳）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，，则等于
A． B． C． D．
10．（2024 盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为
A． B． C． D．
11．（2024 巴中）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为
A． B． C． D．
12．（2024 南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为
A． B． C． D．
13．（2024 资阳）如图，，过点作于点．若，则的度数为
A． B． C． D．
14．（2024 甘孜州）如图，，平分，，则
A． B． C． D．
15．（2024 青海）如图，一个弯曲管道，，则的度数是
A． B． C． D．
16．（2024 内蒙古）如图，，，若，则的度数是
A． B． C． D．
17．（2024 包头）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．（2024 齐齐哈尔）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是
A． B． C． D．
19．（2024 泸州）把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则
A． B． C． D．
20．（2024 湖北）如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通，若，则的度数是
A． B． C． D．
21．（2024 福建）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为
A． B． C． D．
22．（2024 凉山州）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为
A． B． C． D．
23．（2024 通辽）将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，，则的度数是
A． B． C． D．
24．（2024 赤峰）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为
A． B． C． D．
25．（2024 东营）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则
A． B． C． D．
26．（2024 海南）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点在直线上，，若，则等于
A． B． C． D．
27．（2024 淮安）如图，，点在直线上，点、在直线上，，，则的度数是
A． B． C． D．
28．（2024 深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为
A． B． C． D．
29．（2024 山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为
A． B． C． D．
30．（2024 潍坊）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为
A． B． C． D．
31．（2024 呼和浩特）如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为
A． B． C． D．
32．（2024 兰州）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等
33．（2024 达州）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，，则的度数为
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
34．（2024 广西）已知与为对顶角，，则 ．
35．（2024 连云港）如图，直线，直线，，则 ．
36．（2024 乐山）如图，两条平行线、被第三条直线所截．若，那么 ．
37．（2024 广州）如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为
三．解答题（共3小题）
38．（2024 南通）如图，点在的边上，经过边的中点，且．求证：．
39．（2024 自贡）如图，在中，，．
（1）求证：；
（2）若，平分，请直接写出的形状．
40．（2024 盐城）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，．
若 ，则．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
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专题18 相交线与平行线
一．选择题（共33小题）
1．（2024 雅安）如图，直线，交于点，于，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】垂线
【解析】，，
，
，
故选．
2．（2024 北京）如图，直线和相交于点，．若，则的大小为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】垂线；对顶角、邻补角
【解析】，
，
，
．
故选．
3．（2024 常州）如图，推动水桶，以点为支点，使其向右倾斜．若在点处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】
【考点】直线的性质：两点确定一条直线；垂线段最短；平行公理及推论
【解析】的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是垂线段最短．
故选．
4．（2024 苏州）如图，，若，，则的度数为
A．45 B． C． D．
【答案】
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质
【解析】，，
，
，，
，
故选．
5．（2024 陕西）如图，，，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】，
，
，
，
，
，
．
故选．
6．（2024 内江）如图，，直线分别交、于点、，若，则的大小是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】，
，
，
．
故选．
7．（2024 宿迁）如图，直线，直线分别与直线、交于点、，且，则等于
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】，
，
，
故选．
8．（2024 重庆）如图，，，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】，
，
．
故选．
9．（2024 德阳）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，，则等于
A． B． C． D．
【答案】
【考点】余角和补角；垂线；平行线的性质
【解析】，
，
，
，
．
故选．
10．（2024 盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】如图：
直尺的两边平行，，
，
，
，
．
故选．
11．（2024 巴中）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】由题意，如图，过作，
．
，，
．
．
故选．
12．（2024 南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】如图：，
，
两个平面镜平行放置，
经过两次反射后的光线与入射光线平行，
，
故选．
13．（2024 资阳）如图，，过点作于点．若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】垂线；平行线的性质
【解析】，
，
在中，，，
，
又，
，
．
故选．
14．（2024 甘孜州）如图，，平分，，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】，
，
平分，
．
故选．
15．（2024 青海）如图，一个弯曲管道，，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】，
，
，
．
故选．
16．（2024 内蒙古）如图，，，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】三角形内角和定理；度分秒的换算；垂线；平行线的性质
【解析】，
，
，
，
，
故选．
17．（2024 包头）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【考点】余角和补角；平行线的性质
【解析】，
与互补，
，
，，
与、互补，
故选．
18．（2024 齐齐哈尔）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】对顶角、邻补角；平行线的性质
【解析】，
，
．
故选．
19．（2024 泸州）把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】如图，
，
，
，，
，
故选．
20．（2024 湖北）如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】，
，
，
，
故选．
21．（2024 福建）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质；垂线
【解析】，
，
，
，
．
故选．
22．（2024 凉山州）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】由题意得，，，
，
，
，
故选．
23．（2024 通辽）将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】，
，
．
故选．
24．（2024 赤峰）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】由题意得：，，，
，
，
，
，
，
故选．
25．（2024 东营）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】相交线；平行线的性质
【解析】，
，
直线，
，
故选．
26．（2024 海南）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点在直线上，，若，则等于
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角、邻补角
【解析】如图，
，
，
，
，
，
，
由题意得，
，
故选．
27．（2024 淮安）如图，，点在直线上，点、在直线上，，，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】，，
，
，
，
故选．
28．（2024 深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】入射光线是平行光线，
，
由反射定律得：，
．
故选．
29．（2024 山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】如图，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，
，
重力的方向竖直向下，
，
，
摩擦力的方向与斜面平行，
，
，
故选．
30．（2024 潍坊）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【解析】过点作，
，
，
，，
，
，
，
与所成锐角的度数为，
故选．
31．（2024 呼和浩特）如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的判定与性质；余角和补角
【解析】
，
，
，
，
，
故选．
32．（2024 兰州）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等
【答案】
【考点】平行线的判定与性质
【解析】和是内错角，，
判断幸福大街与平安大街互相平行的依据是：内错角相等，两直线平行．
故选．
33．（2024 达州）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的判定与性质
【解析】如图，
，
，
，，
，
故选．
二．填空题（共4小题）
34．（2024 广西）已知与为对顶角，，则 35 ．
【答案】35．
【考点】对顶角、邻补角
【解析】与为对顶角，，
．
故答案为：35．
35．（2024 连云港）如图，直线，直线，，则 30 ．
【答案】30．
【考点】垂线；平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】直线，直线，
，
，
，
．
故答案为：30．
36．（2024 乐山）如图，两条平行线、被第三条直线所截．若，那么 ．
【答案】．
【考点】平行线的性质
【解析】，
，
．
故答案为：．
37．（2024 广州）如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为
【答案】．
【考点】平行线的性质
【解析】，
，
，
．
故答案为：．
三．解答题（共3小题）
38．（2024 南通）如图，点在的边上，经过边的中点，且．求证：．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【解析】证明：是的中点，
，
在和中，
，
，
，
．
39．（2024 自贡）如图，在中，，．
（1）求证：；
（2）若，平分，请直接写出的形状．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定
【解析】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
是等腰直角三角形．
40．（2024 盐城）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，．
若 ③ ，则．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质
【解析】证明：选择①，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
选择③，
，
，
在和中，
，
，
，
．
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