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九年级数学上学期第一次月考（提升卷）
范围：苏科版九上全册
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 通州区期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是
A．1，2，3 B．0，2， C．0，， D．1，2，
2．（2023秋 宿豫区期中）样本数据2、、3、4的平均数是3，则的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023秋 滨湖区校级期中）用配方法解方程，则配方正确的是
A． B． C． D．
4．（2023秋 常州期中）在中，，，，以为圆心，为半径作，则点与的位置关系是
A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定
5．（2023秋 江阴市校级期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为
A． B． C． D．
6．（2024春 姑苏区期末）从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王或小王”；④抽到“红桃5”．其中，发生可能性最大的事件是
A．① B．② C．③ D．④
7．（2023秋 南京期中）若关于的方程的两根之和是，两根之积是，则关于的方程的两根之积是
A． B． C． D．
8．（2023秋 新吴区期末）如图，在中，，，是边上一点，，线段的最大值为
A．12 B． C． D．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 铜山区期中）某射击小组有20人，某次射击的成绩如下：
这组数据的中位数是 ．
10．（2020春 江阴市期中）如图，是的外接圆，，，则的直径为 ．
11．（2024 灌云县二模）若关于的一元二次方程没有实数根，则实数取值范围是 ．
12．（2023秋 宿豫区期中）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽为步，则所列方程为 ．
13．（2023秋 江都区期中）如图，，分别切于点，，点是上一点，过作的切线，交，于点，，若，则的周长是 ．
14．（2023秋 泗阳县期中）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是 ．
15．（2024春 梁溪区校级期中）在一个不透明的袋子中装有个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有4个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么的值是 ．
16．（2023秋 泗阳县期中）如图，的半径为1，作两条互相垂直的直径、，弦是的内接正四边形的一条边．若以为圆心，以1为半径画弧，交于点，，连接、，弦是该圆内接正边形的一边，则该正边形的面积为 ．
三．解答题（共11小题）
17．（2023春 玄武区期末）解一元二次方程：
（1）；
（2）．
18．（2023秋 亭湖区校级期末）已知：关于的方程．
（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；
（2）若两实数根、满足，求的值．
19．（2024春 宝应县期末）不负韶华梦，读书正当时某校对．《三国演义》、．《红楼梦》、．《西游记》、．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动．
（1）小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为 ．
（2）小萌拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．求《红楼梦》被选中的概率．
20．（2023秋 宿迁期末）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．
（1）求阴影部分面积；
（2）用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
21．（2024春 惠山区校级期末）某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为米（如图），栅栏厚度不计．
（1）若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时的值；
（2）养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出的值；若不可能，请说明理由．
22．（2024春 如皋市期末）“国旗护卫红色美，实名荣光心所向”．某初中为组成学校国旗护卫队方阵，经过层层筛选、精心考核，先后选出了两批各20名同学，测量并获取了所有同学的身高（单位：，数据整理如下：
．两批同学的身高的频数：
172 173 174 175 176 177 178 179 180 181
第一批 1 0 2 7 3 3 1 2 1 0
第二批 1 3 1 4 3 3 1 2 1 1
．两批同学身高的平均数、中位数、众数、方差：
平均数 中位数 众数 方差
第一批 176 175.5 3.6
第二批 176.05 175 5.8475
（1）根据题意，得 ， ；
（2）在这两批同学中，身高整齐度更好的是第 （填“一”或“二” 批同学；
（3）根据方阵队型需要，现决定从这两批同学中各选出18人．若第一批同学中去掉了身高为和的两位同学，剩余同学的平均身高为．为使第二批剩余同学的平均身高也为，且形成的36人方阵身高整齐度更好，请确定第二批中应去掉的两位同学的身高，并说明理由．
23．（2023秋 秦淮区期中）如图，在的内接正八边形中，，连接．
（1）求证；
（2）的长为 ．
24．（2023秋 新沂市期中）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若且，求的半径．
25．（2024春 丰县期中）（1）转动如图1所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当转盘停止转动时指针落在红、黄、绿某一颜色区域（若指针落在交界线上，则重新转动）．
下列事件：①指针指向红色区域；②指针指向绿色区域；③指针指向黄色区域；④指针不指向黄色．将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列： ．
（2）请你在图2中设计一个转盘，使指针落在红色区域和黄色区域的可能性一样大，且指针落在绿色区域的可能性最大．
26．（2023秋 邗江区校级期末）关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由；
（2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）如图，已知、是半径为8的的两条平行弦，，，且关于的方程是“勾系一元二次方程”，则的度数为 ．
27．（2023秋 江阴市期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，过点、的与轴交于、两点（点在点上方），连接、，点为中点．
（1）连接，求证：；
（2）若的半径为2，、的平方和等于24，求的长度；
（3）连接，若，点在内部，且，则点坐标为 ．
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九年级数学上学期第一次月考（提升卷）
范围：苏科版九上全册
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 通州区期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是
A．1，2，3 B．0，2， C．0，， D．1，2，
【答案】
【解析】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2，．
故选．
2．（2023秋 宿豫区期中）样本数据2、、3、4的平均数是3，则的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】数据2、、3、4的平均数是3，
．
故选．
3．（2023秋 滨湖区校级期中）用配方法解方程，则配方正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
，
．
故选．
4．（2023秋 常州期中）在中，，，，以为圆心，为半径作，则点与的位置关系是
A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定
【答案】
【解析】中，，，，
，
，
点在内，
故选．
5．（2023秋 江阴市校级期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，连接、，
，
．
又，
是等边三角形，
，
的直径为．
故选．
6．（2024春 姑苏区期末）从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王或小王”；④抽到“红桃5”．其中，发生可能性最大的事件是
A．① B．② C．③ D．④
【答案】
【解析】从一副扑克牌中任意抽取1张，共有54种等可能结果，
①抽到“”的概率为；
②抽到“黑桃”的概率为；
③抽到“大王或小王”的概率为；
④抽到“红桃5”的概率为，
，
抽到“黑桃”的可能性最大．
故选．
7．（2023秋 南京期中）若关于的方程的两根之和是，两根之积是，则关于的方程的两根之积是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】把方程看作关于的一元二次方程，
设关于的方程的两根为，，则方程的两根为，，
关于的方程的两根之和是，两根之积是，
，，
．
故选．
8．（2023秋 新吴区期末）如图，在中，，，是边上一点，，线段的最大值为
A．12 B． C． D．
【答案】
【解析】作的外接圆，连接，，，，过作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当，，三点共线时，最大，
即：；
故选．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 铜山区期中）某射击小组有20人，某次射击的成绩如下：
这组数据的中位数是 7.5环 ．
【答案】7.5环．
【解析】因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的环数是7环、8环，则中位数是（环；
故答案为：7.5环．
10．（2020春 江阴市期中）如图，是的外接圆，，，则的直径为 ．
【答案】．
【解析】如图，连接，，
，
，
是等腰直角三角形，
又，
，
的直径为
故答案为：．
11．（2024 灌云县二模）若关于的一元二次方程没有实数根，则实数取值范围是 ．
【答案】．
【解析】根据方程没有实数根，得到△，
解得：．
故答案为：．
12．（2023秋 宿豫区期中）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽为步，则所列方程为 ．
【答案】．
【解析】设阔（宽为步，则所列方程为：．
故答案为：．
13．（2023秋 江都区期中）如图，，分别切于点，，点是上一点，过作的切线，交，于点，，若，则的周长是 12 ．
【答案】12.
【解析】根据切线长定理得：，，，则的周长．
14．（2023秋 泗阳县期中）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是 ， ．
【答案】，．
【解析】，是已知方程的解，
由于另一个方程与已知方程的形式完全相同
或
解得，．
故答案为：，．
15．（2024春 梁溪区校级期中）在一个不透明的袋子中装有个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有4个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么的值是 12 ．
【答案】12．
【解析】在一个不透明的袋子中装有个小球，其中红球有4个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，
，
解得．
16．（2023秋 泗阳县期中）如图，的半径为1，作两条互相垂直的直径、，弦是的内接正四边形的一条边．若以为圆心，以1为半径画弧，交于点，，连接、，弦是该圆内接正边形的一边，则该正边形的面积为 3 ．
【答案】3．
【解析】如图，连接，
根据题意可知：
，，
，，
，
是该圆内接正12边形的一边，
，
是顶角为30度的等腰三角形，
作于点，
，
正边形的面积为：．
故答案为：3．
三．解答题（共11小题）
17．（2023春 玄武区期末）解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【解析】（1），
，
，
，
，
或，
，；
（2），
，
，
，
，
或，
，．
18．（2023秋 亭湖区校级期末）已知：关于的方程．
（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；
（2）若两实数根、满足，求的值．
【解析】（1）△
，
；
（2），，
由得，
解得：，，
，
．
19．（2024春 宝应县期末）不负韶华梦，读书正当时某校对．《三国演义》、．《红楼梦》、．《西游记》、．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动．
（1）小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为 ．
（2）小萌拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．求《红楼梦》被选中的概率．
【解析】（1）共有4部名著，
她选中《红楼梦》的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》被选中的结果有6种，
《红楼梦》被选中的概率为．
20．（2023秋 宿迁期末）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．
（1）求阴影部分面积；
（2）用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
【解析】（1）连接，，
，
是圆的直径，
点、、三点共线，
，
又，
，
圆的直径为2，
则，
故．
；
（2）的长，
则，
解得：．
故该圆锥的底面圆的半径是．
21．（2024春 惠山区校级期末）某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为米（如图），栅栏厚度不计．
（1）若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时的值；
（2）养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出的值；若不可能，请说明理由．
【解析】（1）较小长方形的宽为米，中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，
养牛场的长为米，宽为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：此时的值为2；
（2）养牛场的总面积不可能达到180平方米，理由如下：
假设有可能达到180平方米，根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去．
养牛场的总面积不可能达到180平方米．
22．（2024春 如皋市期末）“国旗护卫红色美，实名荣光心所向”．某初中为组成学校国旗护卫队方阵，经过层层筛选、精心考核，先后选出了两批各20名同学，测量并获取了所有同学的身高（单位：，数据整理如下：
．两批同学的身高的频数：
172 173 174 175 176 177 178 179 180 181
第一批 1 0 2 7 3 3 1 2 1 0
第二批 1 3 1 4 3 3 1 2 1 1
．两批同学身高的平均数、中位数、众数、方差：
平均数 中位数 众数 方差
第一批 176 175.5 3.6
第二批 176.05 175 5.8475
（1）根据题意，得 176 ， ；
（2）在这两批同学中，身高整齐度更好的是第 （填“一”或“二” 批同学；
（3）根据方阵队型需要，现决定从这两批同学中各选出18人．若第一批同学中去掉了身高为和的两位同学，剩余同学的平均身高为．为使第二批剩余同学的平均身高也为，且形成的36人方阵身高整齐度更好，请确定第二批中应去掉的两位同学的身高，并说明理由．
【解析】（1）第一批中，身高为175出现的次数最多，所以第一批数据的众数为175，故；
第二批中，一共有20个数据，第10个数据为176，第11个数据为176，所以这组数据的中位数为，即；
故答案为：176，175．
（2）要求身高整齐度更好，即要求数据的波动更小，方差更小，
根据第二个表格可知，第一批的方差更小，所以身高整齐度更好的是第一批同学；
故答案为：一．
（3）确定第二批中应去掉的两位同学的身高为172厘米和181厘米，理由如下：
当去掉身高为172厘米和181厘米后，第二批同学的平均身高为（厘米），
符合题目要求，所以应去掉的两位同学的身高为172厘米和181厘米．
23．（2023秋 秦淮区期中）如图，在的内接正八边形中，，连接．
（1）求证；
（2）的长为 ．
【解析】（1）证明：八边形是的内接正八边形，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，过点、分别作的垂线，垂足为、，则，
八边形是的内接正八边形，
，
，
在中，，，
，
同理，
．
故答案为：．
24．（2023秋 新沂市期中）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若且，求的半径．
【解析】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，，
，
即，
，
是半径，
为的切线；
（2）解：设的半径，则，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得，或（舍去），
的半径为3．
25．（2024春 丰县期中）（1）转动如图1所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当转盘停止转动时指针落在红、黄、绿某一颜色区域（若指针落在交界线上，则重新转动）．
下列事件：①指针指向红色区域；②指针指向绿色区域；③指针指向黄色区域；④指针不指向黄色．将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列： ②③①④ ．
（2）请你在图2中设计一个转盘，使指针落在红色区域和黄色区域的可能性一样大，且指针落在绿色区域的可能性最大．
【解析】（1）由于转盘被等分成6份，其中红色占3份，黄色占2份，绿色占1份，则
①指针指向红色的概率为；
②指针指向绿色的概率为；
③指针指向黄色的概率为；
④指针不指向黄色的概率为．
，
这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列：②③①④．
故答案为：②③①④．
（2）如图所示；指针落在红色区域和黄色区域的可能性一样大，且指针落在绿色区域的可能性最大．
．
26．（2023秋 邗江区校级期末）关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由；
（2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）如图，已知、是半径为8的的两条平行弦，，，且关于的方程是“勾系一元二次方程”，则的度数为 45 ．
【解析】（1）方程是“勾系一元二次方程”，理由如下：
，
由题意知：，
满足且，
故方程是“勾系一元二次方程”；
（2）证明：是“勾系一元二次方程”，
，
，
必有实数根；
（3）连接，，作于，的延长线交于．
关于的方程是“勾系一元二次方程”，
，
，，
，
，
，，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：45．
27．（2023秋 江阴市期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，过点、的与轴交于、两点（点在点上方），连接、，点为中点．
（1）连接，求证：；
（2）若的半径为2，、的平方和等于24，求的长度；
（3）连接，若，点在内部，且，则点坐标为 ， ．
【解析】（1）证明：连接并延长，交于点，如图，
点为中点，，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，，过点作于点，于点，如图，
则，
，，
，，
，
四边形为矩形，
．
，，
，
，
，
、的平方和等于24，
，
；
（3）解：连接，，连接并延长交于点，如图，
点为中点，
，
，
的延长线经过点，，
，
为等腰直角三角形，
由（1）知：，
为等腰直角三角形，
．
，
，
，
．
在和中，
，
，
，
．
，．
故答案为：，．
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