秘密★启用前
2024一2025学年度高三年级九月份质量监测
数学试题
【注意事项】
1.本试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡
上，并检查条形码粘贴是否正确。
3.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，填空题和解答题必须用0.5毫
米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答
题无效。
第1卷选择题(58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的，
1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x(x-I)(x+2)<0,则A∩B=
A.{-1,0}
B.{0,1}
C.{-1,0,1}
D.{0,1,2}
2.已知复数：=，
其中为虚数单位则：
4
A.2+2i
B.-2+2i
C.2-2i
D.-2-2i
3.下列函数在定义域内既是奇函数又是减函数的是
Ag=时
B.y=xx
C.y=e"-e"
D.y =-Inx
4.已知下列四个命题：
p:设直线a是平面x外的一条直线，若直线a不平行于平面ax,则x内不存在与a平行的直线：
P2:过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
p:如果直线a,b和平面a满足alla,bla,那么alb.
p:设l,m,n均为直线，其中m,n在平面x内，则l上x”是“l上m且l上n"的充分不必要
条件
其中真命题的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
高三数学试题
第1页（共4页）》
5.(x+2y)(x-y)的展开式中xy3的系数是
A.-10
B.0
C.10
D.30
6平面上的三个力R,R.R作用于一点，且处于平衡状态若r=1NP=6,2N.R,与
2
F,的夹角为45°，则F,与F,夹角的余弦值为
A.6+2
B.6+2
c.-6-2
D.6-2
4
4
4
7.若直线与曲线y=反和圆+)2=号都相切，则1的方程为
A.y=2x+1
By=2x+号
C.y=2x+1
D.y=+
8.已知矩形ABCD(AB>AD)的周长为12，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点
P.当△ADP的面积取最大值时，AB的长度为
A.3
B.3√2
C.33
D.4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.已知函数f(x)=Asin(wx+p)A>0.w>0.p<罗的部分图象如图所示，则
A/e)=3sim2x-别
B()的图象关于点（受+石0e2 对称
Cf)的图象关于直线=受+径e2幻对称
D.函数x+为偶函数
6
10.已知a,b∈R,有一组样本数据为2+a,3,6-b,7-a,8,10,11+b,12,13,若在这组数据中再
插人一个数8，则
A.平均数不变
B.巾位数不变
C.方差不变
D.极差不变
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，P为棱BB,的中点，Q为正方形BB,C,C内一动
点（含边界），则下列说法中正确的是
A.直线AC,⊥平面A,BD
B.直线CC,与平面A,BD所成角的正切值为√2
C.若D,Q∥平面A,PD,则动点Q的轨迹是一条线段
D.若D,Q=)5,那么Q点的轨迹长度为2m
4
高三数学试题
第2页（共4页）长治市 2024-2025 学年度第一学期高三九月份质量监测
数学答案
一、ACBBC ADB 二、ABC AD ACD
三、12. 81 13. 2 3 14. e5
15. 2a2 (2b c)b (2c b)c,bc b2 2 2四、 解：（1）由题及正弦定理得： c a ----2 分
2 2 2
cos A b c a 1 ， -------------------------------------------4 分
2bc 2
A 0 A ， ， -------------------------------------------------6 分
2 3
0
C
2
（2）由△ABC为锐角三角形知， , C ------8 分
0 2 C 6 2 3 2
cosB 2cosC cos C 2cosC 3 cosC 3 sinC 3 sin C （ ） （ ）--10 分
3 2 2 3
C 5 3 ， 3 sin（C ） 3 -------------------12 分
2 3 6 2 3
cosB cosC 3的取值范围为（ ，3）-------------------13 分
2
16.（1） MA 平面ABC,BC 平面ABC, MA BC ------------------2 分
AB是圆的直径 BC AC, ------------------4 分
MA AC A, BC 平面MAC, ------------------6 分
BC 平面MBC, 平面MBC 平面MAC ------------------7 分
（ 2 ） 思 路 一 ： 如 图 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 Cxyz ，
C（0，0，0）, A(0,1,0),B( 3,0,0),M (0,1,2)
CB ( 3,0,0),BM ( 3,1,2), AM (0,0,2), ---------9 分
设平面CMB的法向量m (x1, y1, z1)
3x1 0
令z1 1，得y1 2，m (0, 2,1) --------11 分
3x1 y1 2z1 0
设平面 AMB的法向量 n (x2 , y2 , z2 )
2z2 0
令x2 1，得y 3，n (1, 3,0) ---------13 分
3x2 y2 2z 0
2
2
cos m,n m n 15 , 1 ( 15 )2 10 ------------------14 分
m n 5 5 5
二面角C MB A 10的正弦值为 .---------15 分
5
思路二：作CD AB于D,作CE MB于E,连接DE，
MA 平面ABC,CD 平面ABC, MA CD
CD AB， CD 平面MAB，
CD MB，
又 CE MB, MB 平面CDE, MB DE,
CED为二面角C MB A的平面角，---------9 分
BC AB2 AC 2 CA CB 3 3,CD ---------11 分
AB 2
MA 平面ABC, MA AC,MC MA2 AC 2 5
BC 平面MAC, BC MC，
MB MC 2 BC 2 2 2,CE CM CB 30 ---------13 分
MB 4
sin CD 10 CED ，------------------14 分
CE 5
二面角C MB A 10的正弦值为 .------------------15 分
5
a 2
17.解：（1） f (x) .------------------1 分
x x2
由 曲 线 y f (x)在点(1, f (1)) 处 的 切 线 与 直 线 x 2y 0 垂 直 得 ，
f (1) a 2 2 ------------------3 分
a 0 ------------------4 分
（2） f (x)的定义域为{x | x 0},.c------------------5 分
f (x) ax 2om 2 /.Com]x
当 a 0时， f (x) 0 , f (x)在(0, )上是增函数；/]c------------------7 分
当 a 0时,由f (x) 0,得x 2
a
当 x (0, 2 )时, f (x) 0, f (x)单调递增，
a
2
当 x ( , )时, f (x) 0, f (x)单调递减；------------------9 分
a
综上，当 a 0时， f (x)在(0, )上是增函数；
2 2
当 a 0时， f (x)在 (0, )单调递增， f (x)在 ( , )单调递减.
a a
（3）当 a 2时， f (x 1) 2ln(x 1) 2 ,------------------10 分
x 1
令 g(x) f (x 1) 4x 10 2ln(x 2 1) 4x 10，x 1,-----------------11 分
x 1
g (x) 2 2 4 2(2x 1)(x 2) 2 2 ------------------13 分x 1 (x 1) (x 1)
当 x (1，2)时, g (x) 0, g(x)单调递增；当 x (2， )时, g (x) 0, g(x)单调递减.
g(x) g(2) 0，------------------14 分
f (x 1) 4x 10.------------------15 分
18.解：（1 2 2）由题得 a b 9，------------------1 分
2 2将 2 3 x y 12 3，3 代入 2 2 1得：2 b 9 b b 9 b2 1
b4 6b2 27 0, (b2 9)(b2 3) 0,b2 9,a2 18------------------4 分
x2 y2
椭圆 E的方程为 1------------------5 分
18 9
（2）设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )，
x 2 y 2 x 2 2 2 2 2 21 1 1，2 y2 1 x1 x2 y y ，两式相减得： 1 2 ----------------6 分
18 9 18 9 18 9
y1 y2 （9 x1 x2） 1 ------------------8 分
x1 x2 1（8 y1 y2） 2
l方程为y 1 1 (x 1),即x 2y 3 0 ------------------10 分
2
y k(x 3)
（3）由 x2 y2 得：（1 2k
2 )x2 12k 2x 18k 2 18 0
1 18 9
x x 12k
2 2
1 2 2 , x x
18k 18
1 2 2 ------------------12 分1 2k 1 2k
y1 y2 9y 3y y1 y
2 1 y x 9k(x2 3) 3k(x1 3)2 1 k(x2 3)x1
k 2 2 2 2 2 2AR kFQ 6 x1 3 3(6 x1) 3(6 x1)
k 9 x x x x 18 k 54k
2 18k 2 18 18 36k 2
（ （ 1 2） 1 2 ） （ ）
2 1 2k
2 1 2k 2 1 2k 2 0，------16 分
3(6 x1) 3(6 x1)
AR // FQ,又 AF与RQ不平行， 四边形 ARQF 为梯形.------------------17 分
19.（1）x 205 0.1 255 0.2 305 0.45 355 0.2 405 0.05 300 -----2 分
P 250.25 X 399.5) 0.6827 0.9545 0.6827（2）（i） （ 0.8186 ------5 分
2
（ii） Z 服从二项分布 B(20,0.8186）， E(Z ) 20 0.8186 16.372 ------7 分
（3）当3 1 n 59时，Pn P
1
n 1 Pn 2，Pn P
1
n 1 （P P2 2 2 n 1 n 2
）------9 分
P 1 P 1 1 1 3 11 ， 2 ，P2 2 2 2 4 2
P1 ------10 分4
Pn P
1 1
n 1（ 2 n 59)是以 为首项， 为公比的等比数列，------11 分4 2
P P 1 1
n 2
n n 1 (2 n 59)4 2
1 1 1 1 1 n 2P 2 P1 ，P3 P2 ，...,Pn Pn 1 (2 n 59)4 4 2 4 2
累加得：
1 n 1 1
1
4 2
n 1 58
P P 2 1 1n 1 1 ,Pn
(2 n 59),P
1
P 1 1 1
3 6 2 60 2 58
1 3 6 2
2
2 1 1
n 1
，1 n 59
3 6 2
Pn
1 1 1 58 ------15 分
，n 60 3 6 2
1 1 1 58 58 P 1 159 P60
1 0, P P ------17 分
3 3 2 59 60 3 2
注 ： 比 较 P59 和 P60 的 另 一 个 过 程 ：
P 2 1
58
1 2 1 1
59 ,P60 1 P
1
P
3 6 2 3 6 2 59 2 59
