江苏省淮安市十校2024-2025学年高三上学期第一次联考试题数学（含答案）

2024~2025学年度第一学期高三年级第一次联考
数学试卷 2024.9
总分：150分 时间：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，若，则
A． B． C． D．
2．若为第二象限角，则
A． B． C． D．
3．函数的定义域为
A． B． C． D．
4.已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则圆锥的体积为
A． B． C． D．
5．已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
6．已知是两个不重合的平面，为两条不同的直线，给出下列命题，其中是真命题的个数是
①若，则 ②若，则
③若，则 ④若，则
B． C． D．
函数有且仅有4个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知正实数，则“”是“”的
充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列导数运算正确的是
A． B． C． D．
10．设函数，则下列说法正确的是
A．是奇函数 B．在上是单调函数
C．的最小值为1 D．当时，
11．如图，在棱长为1的正方体中，点为线段的中点，且点满足
，则下列说法正确的是
A．若，则
B．若，则平面
C．若，则平面
D．若时，直线与平面所成的角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知角的终边经过点，则 .
13．在平面直角坐标系中，已知点，点在二次函数图象上，且使得的面积为，若满足条件的点共有两个，则实数的取值范围 .
14．函数与和分别交于，两点，设在处的切线的倾斜角为，在处的切线的倾斜角为，若，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性.
▲ ▲ ▲
16．（15分）
如图，平行六面体中，与交于点，底面是边长为的正方形，且底面.
（1）证明：；
（2）若二面角的正切值为，求直线与平面所成角的余弦值.
▲ ▲ ▲
17.（15分）
已知.
（1）若，，求的值；
（2）证明：.
▲ ▲ ▲
18．（17分）
设计一个帐篷，它下部的形状是正四棱柱，上部的形状是正四棱锥，且该帐篷外接于球（如图所示）.
（1）若正四棱柱是棱长为的正方体，求该帐篷的顶点到底面中
心的距离；
（2）若该帐篷外接球的半径，设，该帐篷的体积为，则当为何值时，体积取得最大值.
▲ ▲ ▲
19．（17分）
函数满足：对任意，恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线.
（1）下列哪些函数在定义域上存在支撑线？选择其中一个证明；
① ② ③ ④
（2）动点在函数图象上，直线是在定义域上的支撑线，求点到直线的距离最小值；
（3）直线是函数在上的支撑线，求实数的取值范围.
▲ ▲ ▲
2024~2025学年度第一学期高三年级第一次联考
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．A 2．C 3．B 4．A 5．D 6．B 7．C 8．C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
9．ACD 10．ABD 11．BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．5 13．(8,10) 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。
15．（1）....................................1分
所以 时，； 时，
则在上递减，在递增....................................4分
所以的极小值为，极大值为....................................6分
（2）....................................7分
当时，，所以在上递增....................................9分
当时，时，；时，
所以在上递增，在上递减....................................11分
当时，时，； 时，
所以在上递增；在上递减.....................................13分
16.（1）证明：正方形，...................................1分
底面，面，....................................3分
，，面，
面....................................5分
又面，....................................6分
又平行六面体，
....................................7分
法一：综合法（略）；
法二：向量法
取中点，连接
正方形，
底面，面，
，，面，
面
又面，
是二面角的平面角...................................10分
又二面角的正切值为，....................................11分
建立如图所示的空间直角坐标系
则
底面,底面的一个法向量为....................................13分
设直线与平面所成角为....................14分
....................................15分
17.（1）......................2分
....................................3分
....................................5分
...................................6分
....................................7分
（2）欲证，即证
即证
即证
即证
即证
即证，证毕.....................................15分
18.（1）正四棱柱是棱长为的正方体
.....................................2分
.....................................4分
（2）
.....................................7分
.................10分
令.....................................12分
在上递增，在递减.....................................16分
时，体积取得最大值.....................................17分
19.（1） ③ ④
证明：，是一条支撑线.....................................3分
（）
（2）直线是在定义域上的支撑线
若，则时，；时，，不合题意
....................................4分
直线是在定义域上的支撑线，恒成立
令，
时，；时，
在上递增，在上递减
的最大值为
又易证在上递减，在上递增
.....................................7分
设，在处的切线斜率为
所以当在处的切线斜率为即时，
点到直线的距离取得最小值为.....................................9分
直线是函数在上的支撑线
①若在上恒成立
记
.....................................10分
当时，，在上单调递减，，符合题意.........11分
当时，，符合题意.....................................13分
当时，，在上单调递减，，符合题意............14分
当时，在上单调递增，上单调递减，，不符合题意.....................................15分
②若在上恒成立
在上不符合题意
综上，符合题意......................................17分