(共19张PPT)
第7课时 角的平分线的性质(2)
第十二章 全等三角形
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)探索并证明角平分线的性质定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
2．会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题．
3．通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点的事实．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
角的平分线的判定
角的内部到角两边 的点在角的平分线上．
几何语言：
已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，则∠1 ∠2．
＝
距离相等
1．(人教8上P50、北师8下P28)证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
已知：如图，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC＝PD，求证：∠COP＝∠DOP．
证明：在Rt△OCP和Rt△ODP中，，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL)，
∴∠COP＝∠DOP．
会应用角的平分线的判定解决相关问题
例：如图，，若∠AOP＝30°，则∠BOP＝
．
30°
2．若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC( )的交点．
A．角平分线 B．高线
C．中线 D．边的垂线
3．若点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
C
A
会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题
(人教8上P50、北师8下P30)如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．
(1)AP 平分∠BAC(填“能”或“不能”)；
(2)由此题你得到的结论是 _
_．
于一点
三角形的三条角平分线相交
能
4．(人教8上P50、北师8下P32)如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AP平分∠BAC．(提示：过P作PQ⊥AB于Q，PN⊥BC于N，PM⊥AC于M)
证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴PQ＝PN，PN＝PM，
∴PQ＝PM，
∵PQ⊥AB，PM⊥AC，
∴AP平分∠BAC．
小结：根据角平分线的性质得到OC平分∠AOB，即可求出答案.
5．【例1】如图，∠AOB＝50°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD＝CE，则∠DOC＝ ．
25°
9．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离都相等，则∠P＝ °．
90
6．【例2】如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD＝CD．
小结：根据DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，可知∠CAD=∠BAD，然后根据SAS证明△ADC≌△ADB，即可证明结论.
10．(2024西安模拟)如图，CB＝CD，∠D＋∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．求证：AC平分∠DAB．
证明：∵CE⊥AD，CF⊥AB，∴∠DEC＝∠BFC＝90°，
∵∠D＋∠ABC＝180°，∠CBF＋∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
在△CDE和△CBF中，，
∴△CDE≌△CBF(AAS)，
∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB．
7．【例3】(人教8上P52)如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠ADC＝130°，求∠MAB的度数．
答案图
解：如图，作MN⊥AD于N，
∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，
∴∠DAB＝180°－∠ADC＝50°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN＝MC，
∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MN＝MB，
又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB＝∠DAB＝25°．
小结：关键是作MN⊥AD，构造与角平分线相关的模型.
11．(人教8上P56改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若∠A＝36°，求∠DBC的度数．
(1)证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，
∴点D在∠ABC的平分线上，∴BD平分∠ABC．
(2)解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝54°，
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝27°．
小结：根据角平分线的性质，中转仓应建在任意2个内角的平分线的交点处.
8．【例4】(跨学科融合)如图是“一带一路”示意图，记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，连接AB，AC，BC，形成一个三角形．若在三角形内建立一个中转仓，使其到AB，BC，CA的距离相等，则中转仓的位置应选在
．
∠A，∠B的平分线的交点处(答案不唯一)
★12． (跨学科融合)(人教8上P55、北师8下P32)如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离都相等，则满足条件的油库位置有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
0.50
D(共17张PPT)
第6课时 角的平分线的性质(1)
第十二章 全等三角形
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)能用尺规作图：作一个角的平分线．
2．(2022新课标)探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
3．会应用角的平分线的性质解决相关问题．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
作出已知角的平分线
步骤：
(1)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB两边于点M，N；
(2)分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于点C；
(3)作射线OC，则射线OC为∠AOB的平分线．
1．(人教8上P48、北师7下P126)用尺规作图：作出已知角的平分线．
已知：如图，∠AOB，求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．
(要求：保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，射线OC即为所求作．
答案图
角的平分线的性质
角平分线上的点到角两边的 相等．
几何语言：
如图，射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，且PM＝2 cm，则PN＝ cm．
2
距离
2．(人教8上P49、北师8下P28)(2022广东)证明“角平分线上的点到角两边的距离相等”．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．求证：PD＝PE．
证明：在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE(AAS)，∴PD＝PE．
角的平分线的性质的应用
(1)遇到已知一个点在某个角的平分线上时，一般过该点向角的两边作垂线，运用角平分线上的点到角两边的距离相等寻找线段的相等关系．
(2)有时可结合已知的或构建的全等三角形建立未知线段与已知线段的关系，从而求出待求线段．
3．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，且BC＝DC，你能说出BE与DF的数量关系吗？为什么？
解：BE＝DF．理由如下：
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
在Rt△DCF和Rt△BCE中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△BCE(HL)，∴BE＝DF．
小结：根据作图得出OE是∠AOB的平分线，再逐项分析
结论.
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
4．【例1】观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是
( )
C
A．M点
B．N点
C．P点
D．Q点
8．(2024山东模拟)在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )
A
小结：根据角平分线的性质得出△BCE的高，再根据公式求面积.
5．【例2】(2023汕头期末)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于( )
A．8 B．6 C．5 D．4
C
9．(2024湖北一模)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是72 cm2，AB＝14 cm，AC＝10 cm，则DE的长为 ．
6 cm
6．【例3】(人教8上P51、北师8下P30)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：∠B＝∠C．
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，∴BD＝CD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE＝DF，DB＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C．
小结：根据角平分线的性质可得DE=DF，则可证△BDE≌△CDF.
10．(北师8下P32)如图，P，E是∠AOB的平分线上的点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．求证：CE＝DE．
证明：∵P是∠AOB的平分线上的点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，∠POC＝∠POD．∵∠POC＋∠CPE＝90°，∠POD＋∠DPE＝90°，∴∠CPE＝∠DPE．
在△CPE和△DPE中，，∴△CPE≌△DPE(SAS)，∴CE＝DE．
7．【例4】(北师8下P31改编)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，AC＝BE．
(1)求证：AD＝BD；
(2)∠B＝ °．
30
(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，
∠C＝90°，∴CD＝ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE，
∵AC＝BE，∴AE＝BE，
又∠DEA＝∠DEB＝90°，DE＝DE，
∴△DEA≌△DEB(SAS)，∴AD＝BD．
小结：注意列方程求角度或线段长.
★11． 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
0.50
解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC．
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE．
在Rt△CDF和Rt△EDB中，，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，∴CF＝EB．
设CF＝x，则EB＝x，∴AE＝12－x，
∵AC＝AE，∴8＋x＝12－x，解得x＝2，即CF＝2．(共18张PPT)
第5课时 三角形全等的判定(4)——HL
第十二章 全等三角形
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理．
2．(2022新课标)能用尺规作图：已知一直角边和斜边作直角三角形．
3．能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角相等的问题．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
直角三角形全等的判定
和一条 分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)．
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∴Rt△ABC≌ ( )．
HL
Rt△A'B'C'
直角边
斜边
1．如图，在△ABC中，已知AD⊥BC于D，要使△ABD
≌△ACD，若根据HL直接判定，还需要添加一个条件是
．
AB＝AC
2．如图，要用HL判定Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等的条件是( )
A．AC＝A'C'，BC＝B'C‘ B．∠A＝∠A'，AB＝A'B'
C．AC＝A'C'，AB＝A'B‘ D．∠B＝∠B'，BC＝B'C'
C
直角三角形全等的判定方法
可以判定直角三角形全等的方法有：
．
例：如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°．
HL，AAS，SAS，ASA，SSS
3．见“知识点2”中的示例及图，完成下列问题：
(1)若∠A＝∠D，BC＝EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是
；
(2)若∠A＝∠D，AC＝DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是
；
(3)若∠A＝∠D，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是
；
(4)若AC＝DF，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是 ；
(5)若AC＝DF，CB＝FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是
．
SAS
HL
AAS
ASA
AAS
应用直角三角形全等的判定与性质解决问题
(北师7下P103)例：如图，AB⊥AC，DC⊥AC，AD＝BC，
则根据 判定方法，可得△ ≌△ ．
CDA
ABC
HL
4．(北师8下P21)如图，点C，E，B，F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．
证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．∴BC＝EF．
∴BC－BE＝EF－BE，即CE＝BF．
小结：已知两直角三角形的一直角边为公共边，若利用HL证明全等，需要添加的条件为一对斜边相等.
5．【例1】(2023东莞期中)如图，AB⊥BD，CD⊥BD，若用HL判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是
( )
A．AD＝CB B．∠A＝∠C
C．BD＝DB D．AB＝CD
A
9．(人教8上P43改编)如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据HL证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是( )
A．BE＝CF
B．∠A＝∠D
C．∠B＝∠C
D．AE＝BF
A
小结：AAA，SSA不能判定两三角形全等，判定两三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.
6．【例2】如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于点D，则下列结论不正确的是( )
A．△ABE≌△ACF
B．点D在∠BAC的平分线上
C．△BDF≌△CDE
D．点D是BE的中点
D
10．(人教8上P42改编、北师8下P35改编)如图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，下列结论不成立的是( )
A．∠DAE＝∠CBE
B．CE＝DE
C．△DAE与△CBE不一定全等
D．∠1＝∠2
C
7．【例3】(人教8上P44、北师8下P34)如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．
证明：∵BD，CE分别是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL)．
小结：根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，再根据
HL证明.
11．(2023广州期中)如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
8．【例4】如图，在△CDE中，∠DCE＝90°，DC＝CE，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，试判断AB与AD，BE之间的数量关系，并证明．
解：结论：AB＝AD＋BE．
证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°．
∵∠DCE＝90°，∴∠ADC＋∠ACD＝90°，
∠ACD＋∠BCE＝90°，∴∠ADC＝∠BCE．
在△ACD和△BEC中，，
∴△ACD≌△BEC(AAS)，
∴AD＝BC，AC＝BE，∴AB＝BC＋AC＝AD＋BE．
小结：掌握一线三直角模型判定全等，进而判断数量关系.
0.50
★12． (1)如图1，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，求证：BC⊥CE；
(2)如图2，若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，直接判断BD⊥CE的结论是否成立．
(1)证明：∵AB⊥AD，ED⊥AD，∴∠A＝∠D＝90°．
又∵AB＝CD，AC＝DE，∴△ABC≌△DCE．
∴∠B＝∠DCE．
∵∠B＋∠ACB＝90°，∴∠DCE＋∠ACB＝90°．
∴∠BCE＝90°，即BC⊥CE．
(2)解：BD⊥CE的结论成立．(共22张PPT)
第1课时 全等三角形
第十二章 全等三角形
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．
2．通过平移、翻折和旋转一个三角形等活动，发现、感知两个全等三角形的特征，学会判断对应元素的方法．
抽象能力 几何直观
空间观念 模型观念
全等形和全等三角形的定义
(1)能够 的两个图形是全等形．
能够完全重合的两个三角形叫做 ．
注意：形状相同、大小相等．
(2)例：判断对错：
①两个形状相同的图形，称为全等图形；( )
②两个圆是全等图形；( )
③面积相同的两个直角三角形是全等图形；( )
④全等图形的形状和大小都相同．( )
√
×
×
×
全等三角形
完全重合
A B C D
1．下列图形中，和所给图全等的图形是( )
D
2．下列说法正确的是( )
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．两个等边三角形是全等三角形
D．全等三角形是指两个能完全重合的三角形
D
对应顶点、对应边及对应角的定义
(1)两个三角形重合时，互相 的顶点叫做对应顶点．互相 的边叫做对应边．互相 的角叫做对应角． 记两个三角形全等时，通常把 顶点的字母写在 的位置上．
对应
对应
重合
重合
重合
(2)例：如图，△ABC≌△DEF，∠A和∠D是对应角，AB和DE是对应边，则∠B的对应角是 ，∠F的对应角是
，AC的对应边是 ，EF的对应边是 ．
BC
DF
∠C
∠E
3．已知△ADC≌△CEB，写出两个全等三角形的对应顶点、对应边及对应角．
解：对应顶点：A与C，C与B，D与E；
对应边：AC与CB，AD与CE，CD与BE；
对应角：∠A与∠BCE，∠D与∠E，∠ACD与∠B．
(2)(人教8上P32、北师7下P95)
例：如图，△OCA≌△OBD，写出其中相等的角：
， ， ；
写出其中相等的边：
， ， ．
OA＝OD
OC＝OB
AC＝DB
∠AOC＝∠DOB
∠C＝∠B
全等三角形的性质
(1)全等三角形的 相等，全等三角形的________
相等．
∠A＝∠D
对应角
对应边
4．如图，△ABC≌△DCB，A，D是对应点，AB＝6，BC＝8，AC＝7，则DB的长为 ．
7
5．(人教8上P33)如图是两个全等三角形，则∠1的度数为
．
72°
小结：能够完全重合的两个图形叫做全等形，所以如果两个图形全等，那么这两个图形必定是形状大小均相同.
6．【例1】如果两个图形全等，那么这两个图形必定是
( )
A．形状大小均相同 B．形状相同，大小不同
C．形状大小均不相同 D．大小相同，形状不同
A
A B C D
11．(跨学科融合)下列各学科使用的教学器具中，属于全等图形的是( )
A
7．【例2】(人教8上P33)如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对
应角．
解：对应边：AN与AM，BN与CM；
对应角：∠BAN与∠CAM，∠ANB与∠AMC．
小结：全等三角形的对应顶点在对应位置，按顺序找即可.
12．(人教8上P32、北师7下P94)如图，△ABC≌△DBC，且∠A和∠D，∠ABC和∠DBC是对应角，请写出三组对应边：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
另一组对应角：(4) ．
∠ACB和∠DCB
BC和BC
AC和DC
AB和DB
8．【例3】如图，△ABC≌△EBD，AB＝4 cm，BD＝7 cm，则CE的长度为( )
A．4 cm B．3 cm
C．2 cm D．3.5 cm
小结：由△ABC≌△EBD，可得AB=EB，BC=BD，根据CE=BC-EB计算即可.
B
13．(2023成都)如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 ．
3
小结：根据全等三角形的对应角相等求出∠D，然后利用三角形外角的性质即可得解.
A．50° B．60°
C．65° D．120°
9．【例4】如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC
≌△DEF，若∠A＝36°，∠F＝24°，则∠DEC的度数为( )
B
A．35°
B．30°
C．25°
D．20°
14．如图，△ABO≌△DCO，∠D＝80°，∠DOC＝70°，则∠B＝( )
B
10．【例5】如图，已知△ABC≌△DEF，B，E，C，F在同一直线上．
(1)若∠BED＝130°，∠D＝70°，则∠ACB＝ °；
(2)若2BE＝EC，EC＝6，则BF＝ ．
12
60
小结：(1)根据三角形的外角的性质求出∠F，再根据全等三角形的对应角相等解答；(2)根据全等三角形的性质解答.
0.55
★15． (人教8上P33改编)如图，已知△ABC≌△FED，AF＝8，BE＝2．
(1)求证：AC∥DF；
(2)求AB的长．
(1)证明：∵△ABC≌△FED，∴∠A＝∠F．∴AC∥DF．
(2)解：∵△ABC≌△FED，∴AB＝EF．
∴AB－EB＝EF－EB．∴AE＝BF．
∵AF＝8，BE＝2，∴AE＋BF＝8－2＝6，
∴AE＝3，∴AB＝AE＋BE＝3＋2＝5．(共20张PPT)
第4课时 三角形全等的判定(3)——ASA和AAS
第十二章 全等三角形
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
2．(2022新课标)证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．
3．(2022新课标)能用尺规作图：已知两角及其夹边作三角形．
4．能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角相等的问题．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
三角形全等的判定(ASA)
两角和它们的 分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．
几何语言：在△ABC和△A'B'C'中，
∴△ABC≌ ( )．
ASA
△A'B'C'
夹边
A．①
B．②
C．③
D．①③
1．(跨学科融合)如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带( )去最省事．
C
ASA的应用
例：如图，在△ABC和△FED中，∠C＝∠D，∠B＝∠E，若由“ASA”可以判定△ABC≌△FED，则需补充的一个条件是 ．
BC＝ED
2．(人教8上P40)如图，点E在AB上，点C在AD上，AB＝AD，∠B＝∠D．求证：△ABC≌△ADE．
证明：在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE(ASA)．
三角形全等的判定(AAS)
两角和其中 分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．
几何语言：在△ABC和△A'B'C'中，
∴△ABC≌ ( )．
AAS
△A'B'C'
一个角的对边
3．如图，已知AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，要利用“AAS”判定△ABC≌△EDC，应添加的条件是 ．
∠B＝∠D
AAS的应用
例：如图，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF．
(1)若以“ASA”为依据，还缺条件为 ；
(2)若以“AAS”为依据，还缺条件为 ．
∠ACB＝∠F
∠A＝∠D
4．(2023淮安)已知：如图，D为BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝BC．
证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C，
在△BDE和△ACB中，
，
∴△BDE≌△ACB(AAS)，
∴DE＝BC．
小结：判定全等的方法有SSS，SAS，ASA，AAS，但SSA不能判定.
A．AC＝DF
B．BC＝EF
C．∠B＝∠E
D．∠C＝∠F
5．【例1】如图，AB＝DE，∠A＝∠D，添加以下条件，不能使△ABC≌△DEF的是( )
B
9．(2023凉山州)如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( )
A．∠A＝∠D
B．∠AFB＝∠DEC
C．AB＝DC
D．AF＝DE
D
小结：已知AB∥CD，且对顶角相等，则添加一组对应边相等即可.
6．【例2】(北师7下P101)(2023牡丹江)如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，请添加一个条件： ，使△AOB≌△DOC．
AB＝DC(答案不唯一)
10．(人教8上P41)如图，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DBC，还需要补充一个条件：________________________________
(填一个即可)．
∠ABC＝∠DBC(或∠ACB＝∠DCB)
7．【例3】(人教8上P44、北师7下P111)如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：AC＝DF．
小结：由已知BF=CE，可得BC=EF；由AB∥DE，可得∠B=∠E，易证△ABC≌△DEF，即可得出AC=DF.
证明：∵BF＝CE，∴BC＝EF．又∵AB∥DE，∴∠B＝∠E．
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴AC＝DF．
11．(2024西安三模)如图，BE∥AC，点D在BC上，AB＝DE，∠ABE＝∠CDE．求证：△ABC≌△DEB．
证明：∵BE∥AC，∴∠DBE＝∠C．
∵∠CDE＝∠DBE＋∠E，∠ABE＝∠ABC＋∠DBE，∠ABE＝∠CDE，∴∠E＝∠ABC，
在△ABC和△DEB中，，
∴△ABC≌△DEB(AAS)．
8．【例4】如图，在△ABC中，F是高AD与高BE的交点，AD＝BD．求证：△ADC≌△BDF．
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，
∵BE⊥AC，∴∠AEF＝∠BDF＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，∴∠CAD＝∠FBD，
在△ADC和△BDF中，，
∴△ADC≌△BDF(ASA)．
小结：先证明∠CAD=∠FBD，从而利用ASA证明△ADC≌△BDF.
★12． (人教8上P56、北师7下P110)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝5 cm，DE＝3 cm，求BE的长度．
0.50
解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝90°，∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA(AAS)，∴CE＝AD＝5 cm，BE＝CD，
∵DE＝3 cm，∴BE＝CD＝5－3＝2(cm)．(共19张PPT)
第3课时 三角形全等的判定(2)——SAS
第十二章 全等三角形
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两
个三角形全等．
2．(2022新课标)能用尺规作图：已知两边及其夹角作三角形．
3．能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角相等的问题．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
三角形全等的判定(SAS)
两边和它们的 分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“ ”)．
几何语言：
在△ABC和△A'B'C'中，
∴△ABC≌ ( )．
SAS
△A'B'C'
SAS
夹角
A B C D
1．如图，下列各选项中与△ABC一定全等的三角形是( )
B
2．(人教8上P41改编)如图，AB平分∠DAC，要用SAS确定△ABC≌△ABD，还需要添加的一个条件是 ．
AC＝AD
应用SAS证明两个三角形全等
例：如图，AD＝AE，AB＝AC，则欲证∠B＝∠C，可先证
≌ ，其根据是 ．
技巧：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
SAS
△ACD
△ABE
3．(2023福建)如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．
证明：∵∠AOD＝∠COB，
∴∠AOD－∠BOD＝∠COB－∠BOD，
即∠AOB＝∠COD．
在△AOB和△COD中，，
∴△AOB≌△COD(SAS)，∴AB＝CD．
用全等三角形的判定与性质解决问题
(人教8上P38、北师7下P108)如图，有一池塘，要测量池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
解：连接AB．在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC(SAS)，∴AB＝DE．
故量出DE的长就是A，B的距离．
解：只要测量A'B'．理由如下：连接A'B'，
∵点O分别是AA'，BB'的中点，∴OA＝OA'，OB＝OB'．
在△AOB和△A'OB'中，
OA＝OA'，∠AOB＝∠A'OB'，OB＝OB'，
∴△AOB≌△A'OB'(SAS)．∴AB＝A'B'．
4．(跨学科融合)(人教8上P43、北师7下P109)如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)．在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量哪些量？为什么？
小结：已知一边一角对应相等，根据SAS找另一边相等.
5．【例1】如图，点B，F，C，E在同一直线上，∠1＝∠2，BF＝EC，要使△ABC≌△DEF，还需添加的一个条件是
(只需写出一个即可)．
AC＝DF
9．如图，BC＝EF，AC∥DF，请你添加一个适当的条件是
(只需填一个答案即可)，使得△ABC≌△DEF．
AC＝DF
小结：根据全等三角形的判定SSS，SAS和全等的性质得出即可.
A．1
B．2
C．3
D．4
6．【例2】如图，射线AB交CD于O，AC＝AD，BC＝BD，则图中全等三角形的对数是( )
C
A．2
B．3
C．4
D．5
10．(北师8下P5改编)如图，点E，F在线段BC上，BE＝CF，DE＝DF，AD⊥BC，垂足为点D，则图中全等三角形的对数是( )
C
7．【例3】(2024吉林一模)如图，点E，B在AD上，已知AE＝DB，AC＝DF，∠A＝∠D，求证：△ABC≌△DEF．
证明：∵AE＝DB，∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE．
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
小结：根据线段的和差关系得AB=DE，再根据SAS即可得到△ABC≌△DEF.
11．如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE，
∵AC∥DF，∴∠A＝∠EDF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
8．【例4】(人教8上P55)如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．
(1)求证：AB＝DE；
(2)若∠A＝21°，∠E＝39°，求∠ACB的度数．
(1)证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠ECA＝∠2＋∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC(SAS)．∴AB＝DE．
(2)解：∵△ABC≌△DEC，∴∠B＝∠E＝39°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝120°．
小结：(1)通过角的和差计算转化为对应角相等，再由SAS证明△ABC≌△DEC，可得AB=DE；(2)由全等三角形的性质和三角形的内角和定理可求解.
★12． 如图，点E在CD上，BC，AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)求证：∠1＝∠3．
0.55
(2)∵△ABE≌△CBD，∴∠A＝∠C，
∵∠AFB＝∠CFE，∴∠1＝∠3．
证明：(1)∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠CBE＝∠2＋∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，, ∴△ABE≌△CBD(SAS)．(共19张PPT)
第2课时 三角形全等的判定(1)——SSS
第十二章 全等三角形
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．
2．(2022新课标)能用尺规作图：作一个角等于已知角；已知三边作三角形．
3．能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角相等的问题．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
三角形全等的判定(SSS)
三边分别 的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．
几何语言：
在△ABC和△A'B'C'中，
∴△ABC≌ ( )．
SSS
△A'B'C'
相等
1．如图，AB＝CD，AD＝CB，判定△ABD≌△CDB的依据是 ．
SSS
2．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，根据SSS还需要添加的一个条件是 ．
AD＝CF(或AC＝DF)
三角形全等判定方法(SSS)的应用
如图，AB＝CD，BD＝AC，用三角形全等的判定方法“SSS”可证明 ≌ 或 ≌ ．
方法指引：若已知两边对应相等，则找第三边．
△DCA
△ABD
△DCB
△ABC
3．(人教8上P43、北师8下P4)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，求证：△ABD≌△ACD．
证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
尺规作图、角尺平分角
(1)作一个角等于已知角(如下图)；
(2)作角的平分线(如下图)．
技巧：通过用三角形“边边边”全等的思想去作角相等．
4．(人教8上P36)如“知识点3(1)”图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 ．
SSS
5．(跨学科融合)(人教8上P37、北师7下P111)工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如“知识点3(2)”图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．为什么？
解：∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，
∴△MOC≌△NOC(SSS)，
∴∠MOC＝∠NOC，
∴OC是∠AOB的平分线．
小结：由于AB=BA，AD=BC，则根据SSS添加一组边对应相等.
6．【例1】(北师7下P111)如图，AD＝BC，要使△ABC≌△BAD，还需添加的条件是 ．
AC＝BD
10．(2024重庆一模)如图，若AB＝AD，加上一个条件
，则有△ABC≌△ADC．
BC＝DC
小结：已知一组公共边，再找另两组边对应相等，根据全等三角形的判定方法SSS一一判断即可.
7．【例2】如图，在正方形网格中，以AB为一边作△ABP，使△ABC与△ABP全等，则在P1，P2，P3，P4四个点中，符合条件的点P的个数为 ．
3
A．(4，－1)
B．(－1，3)
C．(－1，－1)
D．(1，3)
11．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(0，1)，(3，1)，(4，3)，在下列选项的E点坐标中，不能使△ABE和△ABC全等的是( )
D
8．【例3】如图，AB＝AC，BD＝CE，AD＝AE，求证：△ABE≌△ACD．
小结：运用SSS判定全等时，涉及的边不一定直接给出相等，需要进行线段的和差转换.
证明：∵BD＝CE，∴BD＋DE＝CE＋DE，
∴BE＝CD，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SSS)．
12．(人教8上P44、北师8下P4)如图，已知AB＝DE，AC＝DF，点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
证明：∵BE＝CF，∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
9．【例4】如图，AD，BC相交于点O，AB＝CD，AD＝CB．求证：∠A＝∠C．
证明：在△ABD和△CDB中，，
∴△ABD≌△CDB(SSS)，
∴∠A＝∠C．
小结：根据SSS推出△ABD≌△CDB，再根据全等三角形的性质推出即可.
0.55
★13． (人教8上P44改编、北师7下P111改编)如图，点A，D，C，F在同一直线上，AB＝EF，AD＝CF，BC＝ED．求证：AB∥EF．
证明：∵AD＝CF，∴AD＋DC＝CF＋DC，
即AC＝FD，
在△ABC和△FED中，
AB＝FE，AC＝FD，BC＝ED，
∴△ABC≌△FED(SSS)．
∴∠A＝∠F，∴AB∥EF．
