(共17张PPT)
第3课时 线段的垂直平分线的性质(2)
第十三章 轴对称
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．
2．能用尺规作轴对称图形及成轴对称的两个图形的对称轴．
3．通过自己动手画、作、测量、计算和推理证明，进一步感知线段垂直平分线的性质．
几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
作已知线段的垂直平分线
用尺规作图作出线段的垂直平分线．
如图，已知线段AB，求作AB的垂直平分线．
作法：分别以A和B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D两点，连接CD，即为AB的垂直平分线．
1．如图，已知线段AB，用尺规作出它的垂直平分线CD，并标出线段的中点O．
图略
A B C D
作已知直线的垂线
如图，已知点A和直线MN，过点A用尺规作图画出直线MN的垂线，下列画法中错误的是( )
A
2．如图，已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P．
图略
作对称轴
作轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴的方法：
首先连接两个 ，然后作所连线段的 ．
垂直平分线
对应点
3．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l．
解：如图：
答案图
4．【例1】(人教8上P63、北师7下P124)如图，已知线段AB，请用直尺和圆规作出线段AB的对称轴．
解：如图，直线EF就是线段AB的对称轴．
答案图
小结：作线段的对称轴，实质是作线段的垂直平分线.
8．如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？如果可以，请作图．
可以，图略．
5．【例2】(人教8上P64、北师7下P131)如图，利用尺规作图，画出下列轴对称图形的一条对称轴．
图略
小结：画轴对称图形的对称轴，实际上就是作出垂直平分线.
9．如图，指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们画出来．
1条，2条，2条，4条，图略．
6．【例3】如图，△ABC与△A'B'C'关于某一直线对称．
(1)用尺规作图法作出对称轴；
(2)延长各对对应线段，观察它们的交点在什么位置上？从而得到什么结论？
解：(1)连接其中一对对应点，作所连线段的垂直平分线即为对称轴．图略．
(2)图略，交点在对称轴上．结论：关于某一直线对称的两个图形，对应线段如果不平行，那么它们所在的直线的交点在对称轴上．
小结：连接任一对对应点，再作垂直平分线，就可以得到对称轴.
10．如图，△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
解：如图，l即为所求．
答案图
7．【例4】(人教8上P66、北师8下P24)已知公路l的同旁有两个村庄A，B，要在公路旁边建一个公交车站，使车站到两个村庄的距离相等，请确定车站的位置．
解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，则点P为车站的位置．图略．
小结：由实际问题抽象出到两个点相等的问题，运用垂直平分线的性质定理，并作图.
0.50
★11． (跨学科融合)(人教8上P66、北师8下P30)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
解：如图，发射塔应修建在点P的位置．
答案图(共18张PPT)
第10课时 最短路径问题
第十三章 轴对称
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．探索、发现运用轴对称的性质求直线同侧和异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题．
2．体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性．
几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题
异侧最值方法：利用两点之间线段最短，直接连接找到交点可以得到答案．
1．(人教8上P85)尺规作图：如图，已知直线
l及其两侧两点A，B．
(1)在直线l上求一点Q，使到A，B两点距离之和最短；
(2)在直线l上求一点P，使PA＝PB．
解：(1)如图，连接AB，AB与直线l的交点Q即为所求．
(2)如图，作线段AB的垂直平分线MN，直线MN与直线l的交点P即为所求．
答案图
直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题
同侧最值方法：先作其中一点关于直线的对称点，再连对称点与另一点，与直线的交点可以得到答案．
2．(人教8上P85、北师7下P123)如图，A，B是直线l同侧的两点．请在直线l上找一点C，使得AC＋CB最小，并说明理由．
解：如图，点C即为所求．
理由：在l上任取一点C'，可得AC'＋B'C'＞AB'，
即AC'＋BC'＞AC＋BC，
∴点C即为所求．
答案图
最短路径问题的综合运用
综合运用线段垂直平分线的性质定理和两点之间线段最短等知识解决问题．
3．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长为6，则P1P2＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
C
A B C D
4．【例1】(跨学科融合)(2024沈阳一模)在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是( )
A
小结：此类求最短方案问题实质上是两点异侧最小值作法的问题.
7．如图均是4×4的正方形网格，已知格点A，格点B和直线l的位置，点P在直线l上．
(1)请分别在图1和图2中作出点P，使PA＋PB最短；
(2)请分别在图3和图4中作出点P，使PA－PB最长．
解：(1)如图．(2)如图．
答案图
5．【例2】(跨学科融合)如图，小河边有两个村庄
A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂部到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂？请在图1中画出点P；
(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？请在图2中画出点P．
图1 图2
解：(1)如图1，点P即为所求．
(2)如图2，点P即为所求．
小结：距离相等(作垂直平分线)和距离最短(作对称)的区别.
答案图
★8． 如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，若AD＝4，点M，P分别是线段AB，AD上的动点，则MP＋BP的最小值为( )
A．4 B．6
C．2 D．3
0.50
A
6．【例3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)．
(1)作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(要求A与A1，B与B1，C与C1相对应)；
(2)在直线l上找一点P，使得PA＋PB的和最小．
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求的三角形．
(2)如图，连接A1B，与直线l交于点P，则点P即为所求．
小结：在网格中最短距离的作法，关键还是找出对称点.
答案图
★9． 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－2，3)，B(－3，1)，C(1，－2)．
(1)直接写出点A，B，C关于x轴对称的点A'，B'，C'的坐标：A'( ， )，B'( ， )，
C'( ， )；
(2)在y轴上求作一点P，使PA＋PB最短．
2
1
－1
－3
－3
0.55
－2
解：（2）作A关于y轴的对称点A'，连接A'B，与y轴的交点即为点P，图略．(共18张PPT)
第4课时 画轴对称图形(1)
第十三章 轴对称
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形．
2．(2022新课标)认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．
3．理解图形轴对称变换的性质．
几何直观 空间观念
推理能力 应用意识
补全轴对称图形
如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形(阴影部分)，其中不是轴对称图形的是( )
D
A B C D
1．如图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．
解：如图：
答案图
图形轴对称变换的性质
(1)成轴对称的两个图形 ；
(2)对称轴与连接对应点的线段 ；
(3)对应点到对称轴的距离 ；
(4)对应点的连线互相 ．
平行
相等
垂直
全等
2．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，其中A，A'是一组对称点．若AA'＝6 cm，则AA' MN，且A'D＝
cm．
3
⊥
画出一个平面图形关于某直线对称的图形
要作出一个图形关于某直线成轴对称的图形，只需根据图形作出各顶点的 ，再顺次连接各 ．
对称点
对称点
3．(人教8上P68)画出△ABC关于直线l的对称图形．
解：如图，△A'B'C即为所求．
答案图
4．【例1】如图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以中间直线为对称轴画出它的另一半．
解：如图：
答案图
小结：在格点上找出对称点，再连接成图.
8．如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
解：如图(答案不唯一，画出一种即可)：
答案图
5．【例2】如图，把图形补画成轴对称图形．
解：如图：
答案图
小结：作出关键点的对称点，本题中A，C均在对称轴上，作出B的对称点即可.
9．如图，把图形补画成轴对称图形．
解：如图：
答案图
6．【例3】如图，以虚线为对称轴，画出已知图形的轴对称图形．
找出点A，B关于已知直线对称点的位置，连接即可，图略．
小结：过特殊点作垂直，取对应点，再依次连接.
10．(人教8上P67)如图，画出△ABC关于直线MN对称的图形．
找出点A，B，C关于直线MN的对称点的位置，然后顺次连接即可．图略．
7．【例4】如图，已知△ABC和直线MN，求作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于直线MN对称．(不写作法，保留作图痕迹)
解：从三角形的三个顶点，分别向MN作垂线，并延长相同距离，得到三个对应点，顺次连接就是所求的轴对称图形．如图：
答案图
小结：(1)点在对称轴上时，它关于对称轴的对称点是它本身；(2)点在对称轴一侧时，它关于对称轴的对称点在对称轴的另一侧.
0.55
★11． 如图，请作出四边形ABCD关于直线a的轴对称图形．(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，四边形A'B'C'D'即为所求．
答案图(共17张PPT)
第7课时 等腰三角形(2)
第十三章 轴对称
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)探索并掌握等腰三角形的判定定理．
2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
3．了解等腰三角形的尺规作图．
4．(2022新课标)能用尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
等腰三角形的判定
(1)定义：有两边 的三角形叫做等腰三角形．
(2)判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也 ．
(简写成“ ”)
等角对等边
相等
相等
1．下列能断定△ABC为等腰三角形的是( )
A．∠A＝30°，∠B＝60°
B．∠A＝50°，∠B＝80°
C．AB＝AC＝2，BC＝4
D．AB＝3，BC＝7，周长为13
B
等腰三角形判定的运用
(1)理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
(2)具体在做题时，经常与角平分线的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等定理结合起来综合运用．
2．(人教8上P78、北师8下P9)如图，已知AD平分∠CAE，AD∥BC．求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
等腰三角形的尺规作图
掌握尺规作图作等腰三角形的方法．
例如，已知底边及底边上的高线作等腰三角形的作法：
①首先，作一条与已知底边长度相等的线段作为等腰三角形的底边；
②其次，作底边的垂直平分线；
③然后，以底边及其垂直平分线的交点为一端点，在垂直平分线上截取与已知高线长度相等的高；
④最后，连接高的另一端点与底边的两个端点．
已知： ；
求作： ．
解：如图，△ABC即为所求作．
△ABC，使AB＝a，AC＝BC，AB边上的高为h
3．(人教8上P78、北师8下P25)已知等腰三角形底边a及底边上的高h，求作等腰三角形．(不写作法，保留作图痕迹)
线段a，h
答案图
4．【例1】(人教8上P79改编)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
A
小结：可按图形大小顺序，运用等腰三角形的判定定理判断个数.
8．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
B
5．【例2】(2023河南模拟)如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形．
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD．
∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠EAD＝∠ADE．
∵BD⊥AD，∴∠ADE＋∠BDE＝90°，
∠EAD＋∠B＝90°，∴∠BDE＝∠B，
∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形．
小结：角的平分线和平行线结合，通过角为纽带得到等腰三角形.
9．(人教8上P82、北师8下P9)如图，AD平分∠BAC，AB∥CD，求证：△ACD为等腰三角形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝∠CAD，
∴AC＝DC，∴△ACD为等腰三角形．
6．【例3】(2024西安二模)如图，已知在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵D是AB的中点，∴AD＝BD，
在Rt△ADE和Rt△BDF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL)，∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形．
小结：可以用全等三角形的判定和性质进行证明.
10．(人教8上P92、北师8下P8)如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：△EAB是等腰三角形．
证明：在△ADB和△BCA中，，
∴△ADB≌△BCA(SSS)，
∴∠DBA＝∠CAB，
∴AE＝BE，∴△EAB是等腰三角形．
7．【例4】尺规作图：如图，以∠α为顶角，线段a为腰作等腰三角形．(要求写出已知、求作，不写作法和证明，保留作图痕迹)
解：已知：∠α，线段a，求作：△ABC，使得∠A＝∠α，AB＝AC＝a．如图，△ABC即为所求作．
答案图
★11． 如图，已知底边及一腰，求作等腰三角形．
0.55
解：如图，△OAB即为所求作．
答案图(共17张PPT)
第2课时 线段的垂直平分线的性质(1)
第十三章 轴对称
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)理解线段垂直平分线的概念．
2．(2022新课标)探索并证明线段垂直平分线的性质定理．
3．会用集合的观点解释线段的垂直平分线．
几何直观 空间观念
推理能力 模型观念
线段的垂直平分线的定义
定义：经过线段的 且与线段 的直线，叫做线段的垂直平分线．
几何语言：
如图，∵CA＝CB，
直线m⊥AB于C，
∴直线m是线段AB的垂直平分线．
垂直
中点
1．如图，MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是
(填序号)．
①AB⊥MN；②AD＝DB；③MN⊥AB；
④MD＝DN；⑤AB是MN的垂直平分线．
①②③
线段的垂直平分线的性质
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
．
几何语言：
如图，∵CA＝CB，
直线m⊥AB于C，
点P是直线m上的点，
∴PA＝PB．
相等
2．(2023青海)如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是 ．
13
线段的垂直平分线的判定
判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
上．
几何语言：
如图，∵PA＝PB，
直线m是线段AB的垂直平分线，
∴点P在直线m上．
垂直平分线
3．(人教8上P62、北师8下P22)如图，AB＝AC，MB＝MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
解：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∵MB＝MC，∴点M在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AM是线段BC的垂直平分线．
4．【例1】如图，直线PO与AB交于O点，PA＝PB，则下列结论中正确的是( )
A．AO＝BO
B．PO⊥AB
C．PO是AB的垂直平分线
D．P点在AB的垂直平分线上
D
小结：运用线段垂直平分线的性质时，注意前提条件.
8．如图，AC＝AD，BC＝BD，则( )
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB
A
小结：线段垂直平分线的两边经常出现三角形全等.
5．【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E，连接AD，∠CAD＝20°，则∠B的度数是 ．
35°
9．如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是( )
A．115°
B．75°
C．105°
D．50°
A
6．【例3】(人教8上P65、北师8下P23改编)(2023惠州月考)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3 cm，△ABD的周长为13 cm，求△ABC的周长．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AE＝CE＝3 cm，∴AC＝6 cm．
而△ABD的周长是13 cm，即AB＋BD＋AD＝13 cm，
∴AB＋BC＋AC＝AB＋BD＋CD＋AC＝13＋6＝19(cm)，
即△ABC的周长是19 cm．
小结：此类题中，经常将周长分解后进行等量转换.
10．(北师8下P24)如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，△BCE的周长为16 cm，△ABC的周长为24 cm，求AD的长．
解：∵DE是AB边上的垂直平分线，
∴EA＝EB，AD＝AB，
∵△BCE的周长为16 cm，∴BC＋CE＋BE＝BC＋CE＋EA＝BC＋AC＝16 cm，∵△ABC的周长为24 cm，∴BC＋AC＋AB＝24 cm，∴AB＝24－16＝8(cm)，∴AD＝AB＝4 cm．
7．【例4】(人教8上P66、北师8下P24)如图，在△ABC中，AB，BC边上的垂直平分线相交于点P．求证：点P在AC的垂直平分线上．
证明：∵点P在AB，BC的垂直平分线上，
∴AP＝BP，BP＝CP，
∴AP＝CP，
∴点P在AC的垂直平分线上．
小结：此类题是线段垂直平分线性质和判定的综合运用，注意条件和结论的先后关系.
0.55
★11． 如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由．
解：BE＝CE．理由如下：连接BC，∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．
∵两点确定一条直线，
∴AD是线段BC的垂直平分线．
∵E是AD延长线上的一点，∴BE＝CE．(共17张PPT)
第8课时 等边三角形(1)
第十三章 轴对称
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)探索等边三角形的性质定理和判定定理．
2．(2022新课标)探索等边三角形的轴对称性质．
3．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
等边三角形的性质
(1)等边三角形是 的特殊的等腰三角形．
(2)等边三角形的三个内角都 ，并且每一个内角都等于 ．
60°
相等
三边都相等
1．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为( )
A．25° B．60°
C．85° D．95°
D
等边三角形的判定
(1)由等边三角形的定义判定：三边都 的三角形是等边三角形．
(2)三个角都 的三角形是等边三角形．
(3)有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．
60°
相等
相等
2．下列条件中，不能得到等边三角形的是( )
A．有两个角是60°的三角形
B．有一个角是60°的等腰三角形
C．有两个外角相等的等腰三角形
D．三边都相等的三角形
C
等边三角形的性质和判定的综合
(1)等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形．
(2)等边三角形具备等腰三角形的所有性质．
(3)等边三角形是轴对称图形，其对称轴是三边的垂直平分线，有三条．
(4)三条边上的中线、三条高线及三个内角平分线都相交于一点．
3．(人教8上P80、北师8下P12)如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形．
小结：等边三角形三个角都是60°.
4．【例1】(2024长沙一模)如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则∠EAB等于( )
A．40° B．30°
C．20° D．15°
D
8．(2023广州二模)如图是一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β等于( )
A．180° B．220°
C．240° D．300°
C
小结：判定等边三角形一般有三种情况：已知三边关系、已知三角关系、已知是等腰三角形.
5．【例2】如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝ 时，△AOP为等边三角形．
a
9．下列条件能判断一个三角形是等边三角形的有( )
①三边相等；②三个内角相等；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)相等；④有一个角是60°的等腰三角形．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D
6．【例3】如图，AC与BD相交于点O，若OA＝OB，∠A＝60°，且AB∥CD，求证：△OCD是等边三角形．
证明：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B＝60°，
又∵AB∥CD，∴∠C＝∠A＝60°，∠D＝∠B＝60°，
∴∠COD＝∠C＝∠D＝60°，∴△OCD是等边三角形．
小结：掌握等边三角形的多种判定方法.
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线交BC于D，DE⊥AB于E．求证：△AEC是等边三角形．
证明：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°．
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC．
又AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL)，
∴AE＝AC，∴△AEC是等边三角形．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°．
又∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠ABD＝∠BCE＝∠CAF，
∴∠BEC＝180°－∠2－∠BCE＝180°－(∠2＋∠ABD)＝180°－60°＝120°．
(2)由(1)知∠BEC＝120°，∴∠DEF＝60°．
同理：∠DFE＝∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形．
7．【例4】如图，△ABC是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3．
(1)求∠BEC的度数；
(2)△DEF是等边三角形吗？请简要说明理由．
小结：等边三角形中常遇到此类与角有关的问题，注意等量代换.
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝CA．
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，∴BE＝AD．
(2)解：∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BFD＝∠ABE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°．
0.50
★11． (2024福建一模改编)如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，AE＝CD，AD与BE相交于点F．
(1)求证：BE＝AD；
(2)求∠BFD的度数．(共17张PPT)
第1课时 轴对称
第十三章 轴对称
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)理解轴对称图形的概念．
2．(2022新课标)通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分．
3．通过自己动手画、作、测量、计算和推理证明，体会轴对称的性质．
几何直观 空间观念
推理能力 应用意识
轴对称图形
如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够
，那么这个图形就叫做轴对称图形．
这条直线就是它的 ．
对称轴
互相重合
A B C D
1．(2023广东)下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为( )
A
轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全 ，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称．这条直线叫做 ．折叠后重合的点是对应点，叫做 ．
注意：轴对称图形和轴对称的区别与联系．
对称点
对称轴
重合
2．如图，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？它们分别以哪条直线为对称轴的？
解：三角形1，3，5，7与阴影三角形成轴对称，对称轴分别为直线BD，直线GH，直线AC，直线EF．
轴对称的性质
(1)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 ．
(2)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的
．
垂直平分线
垂直平分线
3．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是( )
A．AM＝BM B．AP＝BN
C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
B
小结：判断轴对称图形，关键是看能否找到一条直线，使图形沿着这条直线折叠后两旁互相重合.
A B C D
4．【例1】(跨学科融合)(2023云南)中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的是
( )
C
A B C D
8．(传统文化)(2023淮安)剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是( )
B
小结：理解轴对称应抓住三点：(1)两个图形；(2)一条直线；(3)一个图形沿着这条直线对折后和另一个图形完全重合.
A B C D
5．【例2】下列图形中，△A'B'C'与△ABC关于直线MN成轴对称的是( )
B
9．如图，按要求填序号：
(1)属于轴对称图形的有 ；
(2)两个图形成轴对称的有 ．
②⑤⑥⑦⑨
①③④⑧⑩
小结：成轴对称的两个图形的对应线段相等，对应角相等.
6．【例3】如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，有下列结论：①△ABC≌△A'B'C'；②∠BAC'＝∠B'AC；③l垂直平分CC'；④直线BC和B'C'的交点不一定在l上．
其中正确的有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
B
10．(人教8上P59)如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是
( )
A．AC＝A'C'
B．AB∥B'C'
C．AA'⊥MN
D．BO＝B'O
B
7．【例4】(1)如图，∠A＝30°，∠C'＝60°，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B＝ ；
(2)如图，点D为△ABC的边AC上一点，点B，C关于DE对称，若AC＝6，AD＝2，则线段BD的长度为 ．
4
第(1)题图 第(2)题图
90°
小结：(1)成轴对称的两个图形全等；(2)轴对称图形被对称轴分成的两部分全等；(3)全等的两个图形不一定是轴对称图形.
★11. 如图，直线l是该轴对称图形的对称轴．
(1)试写出两组对应相等的线段：
____________________________________________；
(2)试写出两组对应相等的角：
______________________________________________；
(3)线段AB，CD都被直线l ．
垂直平分
∠BAC＝∠ABD，∠ACD＝∠BDC(答案不唯一)
AC＝BD，AE＝BE(答案不唯一)
0.55(共19张PPT)
第5课时 画轴对称图形(2)
第十三章 轴对称
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系．
2．能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴或y轴的对称图形．
几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
关于坐标轴对称的点的坐标特点
(1)(a，b)(a，－b)．
(2)(a，b)(－a，b)．
坐标点 (3，6) (－7，9) (－3，－5)
关于x轴 对称的点
关于y轴 对称的点
(3，－5)
(－3，5)
(7，9)
(－7，－9)
(－3，6)
(3，－6)
1．(人教8上P71)分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标：
关于坐标轴对称的运用
灵活运用关于x轴或y轴对称的点的坐标特点解决问题．
2．(跨学科融合)(2023临沂)某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花树，如图所示．若A，B两处桂花树的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为
(－6，2)，则点B的坐标为( )
A．(6，2)
B．(－6，－2)
C．(2，6)
D．(2，－6)
A
3．(2023湘西州)在平面直角坐标系中，已知点P(a，1)与点Q(2，b)关于x轴对称，则a＋b＝ ．
1
画出关于x轴或y轴的对称图形
要作出一个图形关于坐标轴(或直线)成轴对称的图形，只需先作出各顶点(或其他特殊点)的 ，再顺次连接各
．
对称点
对称点
4．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，A，B，C三点在格点上，请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．
解：如图，点C1的坐标为(－3，2)．
答案图
小结：关于x轴对称的点的坐标特点就是横坐标相同，纵坐标互为相反数.
5．【例1】已知点A(3，5)，B(3，－5)，则点A和点B的关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．不存在对称关系
A
9．(2024潮州模拟)点(2，－8)关于x轴对称的点的坐标为
( )
A．(2，8) B．(－2，8)
C．(－2，－8) D．(2，－8)
10．在平面直角坐标系中，点A(3，2)关于x轴的对称点为
A1，将点A1向左平移3个单位长度得到点A2，则A2的坐标
为 ．
(0，－2)
A
小结：关于y轴对称的点的坐标特点就是横坐标互为相反数，纵坐标相同.
6．【例2】(2023常州)在平面直角坐标系中，若点P的坐标为(2，1)，则点P关于y轴对称的点的坐标为( )
A．(－2，－1) B．(2，－1)
C．(－2，1) D．(2，1)
C
11．点A(3，－12)，B(3，12)关于 轴对称．
12．点C(－5.4，－10)，D(5.4，－10)关于 轴对称．
y
x
小结：利用关于y轴对称的点的坐标特点列方程求解.
7．【例3】在平面直角坐标系中，若点P(a－3，1)与点
Q(2，b＋1)关于x轴对称，则a＋b的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C
13．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A'，再作点A'关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是 ．
14．若点(3＋m，a－2)关于y轴的对称点的坐标是(3，2)，
则m＋a的值为 ．
－2
(－2，3)
8．【例4】(人教8上P71、北师8上P69)如图，已知△ABC．
(1)分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2；
(2)写出△A1B1C1和△A2B2C2各顶点的坐标；
(3)求△ABC的面积．
解：(1)如图.
(2)由图可知：
A1(0，2)，B1(2，4)，C1(4，1)，
A2(0，－2)，B2(－2，－4)，C2(－4，－1)．
(3)S△ABC＝S四边形CDEF－S△ACD－S△ABE－S△BCF
＝3×4－×1×4－×2×2－×2×3＝12－2－2－3＝5．
答案图
小结：画出关于x轴或y轴对称的图形的关键是画出关于x轴或y轴对称的点.
0.50
★15． 在平面直角坐标系中，每个小
正方形网格的边长为1，格点三角形ABC(顶点是网格
线的交点的三角形)如图所示．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)请画出将△ABC向下平移6个单位长度后得到的
△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
(3)求△A1B1C1的面积．
答案图
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为(4，5)．
(2)如图，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为(－4，－1)．
(3)△A1B1C1的面积为4×3－×3×2－×1×2－×2×4＝4．(共17张PPT)
第9课时 等边三角形(2)
第十三章 轴对称
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．探索、发现、猜想、证明直角三角形中有一个角为30°的性质．
2．掌握有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
3．体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 ．
(人教8上P80、北师8下P11)
几何语言：如图，
∵在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB或AB＝2BC．
斜边的一半
1．(跨学科融合)如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2 km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于( )
A．2 km B．3 km
C．2 km D．4 km
D
有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用
注意：
(1)应用性质的前提条件必须是直角三角形；
(2)准确找出30°角所对的边．
(跨学科融合)(2023贵州)5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是( )
A．4 m B．6 m
C．10 m D．12 m
B
2．(跨学科融合)(人教8上P81、北师8下P13)如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°．立柱BC，DE要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝AB，DE＝AD，∴BC＝×7.4＝3.7(m)．
∵D是AB的中点，∴AD＝AB＝×7.4＝3.7(m)，
∴DE＝AD＝×3.7＝1.85(m)．
在综合题中的运用
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝4，则AE＝ ，AC＝ ．
2
4
3．(2023广州期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝4，则BD＝ ．
12
小结：此题可运用等腰三角形的判定与性质，也可构造与BD有关的直角三角形.
4．【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝ ．
2
8．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8 cm，则BD＝ ，∠BDE＝ ，BE＝
．
2 cm
30°
4 cm
小结：结合等腰三角形“三线合一”求解.
5．【例2】(2024深圳月考)如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
C
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是( )
A．∠CAD＝30°
B．AD＝BD
C．BD＝2CD
D．CD＝ED
D
6．【例3】如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD＝DC．
证明：连接BD．∵MN是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD．
∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝×(180°－120°)＝30°，
∴∠ABD＝30°，∴∠DBC＝120°－30°＝90°，
∴BD＝DC，∴AD＝DC.
小结：先构造直角三角形，再用相关定理求证.
10．(人教8上P92改编)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∠A＝30°，AB＝4，求BD的长．
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
∴BC＝AB＝×4＝2．
∵CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
故∠BCD＝∠A＝30°，
∴在Rt△BCD中，BD＝BC＝×2＝1．
解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝8，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵D是AB的中点，∴AD＝BD＝4，
∵DE⊥AC，EF⊥BC，∴∠DEA＝90°，∠EFC＝90°，
∴∠ADE＝180°－∠DEA－∠A＝30°，
∠FEC＝180°－∠EFC－∠C＝30°，
∴AE＝AD＝×4＝2，∴CF＝EC＝×(8－2)＝3，
∴BF＝BC－CF＝8－3＝5．
7．【例4】如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，求BF的长．
小结：运用等边三角形的性质.
0.50
★11． 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，BE是中线，AD与BE交于点M．
猜想AM与DM的数量关系，并证明．
解：AM＝2DM．证明如下：
∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠BAC＝∠ABC＝60°，
∵AD⊥BC，BE是中线，∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠ABE＝∠CBE＝30°，∴AM＝BM，
在Rt△BDM中，∵∠DBM＝30°，
∴BM＝2DM，∴AM＝2DM．(共18张PPT)
第6课时 等腰三角形(1)
第十三章 轴对称
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)理解等腰三角形的概念．
2．(2022新课标)探索并证明等腰三角形的性质定理．
3．(2022新课标)探索等腰三角形的轴对称性质．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
等腰三角形的有关概念
定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形．其中，相等的两条边叫做 ，第三条边叫做 ，两腰的夹角叫做 ，腰与底的夹角叫做 ．
底角
顶角
底
腰
1．(2023淮安)若等腰三角形的周长是20 cm，一腰长为7 cm，则这个三角形的底边长是 cm．
2．(1)已知等腰三角形的底角为65°，则它的顶角为( )
A．40° B．50° C．60° D．80°
(2)(2023宿迁)若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是( )
A．70° B．45° C．35° D．50°
C
B
6
等腰三角形的两个底角相等
几何语言：如图，在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
等腰三角形的这个性质简写成“ ”．
等边对等角
3．如图，AB＝AC，AE平分∠DAC，那么AE∥BC吗？为什么？
解：AE∥BC．理由如下：
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
由三角形的外角性质得∠DAC＝∠B＋∠C＝2∠B．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAE，
∴∠B＝∠DAE，∴AE∥BC．
等腰三角形“三线合一”的性质
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(简写成“ ”)
几何语言：如图，在△ABC中，
∵AB＝AC，
又∵AD平分∠BAC，
∴DB＝DC，AD⊥BC．
三线合一
4．(北师8下P4)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
C
小结：必须对等腰三角形的边进行分类讨论，注意三边长是否能构成三角形.
5．【例1】等腰三角形的两边长分别为3 cm和7 cm，则它的周长为( )
A．13 cm B．17 cm
C．13 cm或17 cm D．11 cm或17 cm
B
9．(2023惠州月考)已知等腰三角形的周长为22，一边长为8，则它的底边长是( )
A．8 B．6
C．7或8 D．6或8
D
小结：等腰三角形的两个底角相等，结合三角形的内、外角定理列方程求解.
6．【例2】(人教8上P77改编)如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，则∠C的大小为 ．
34°
10．(人教8上P76改编、北师8下P7)(2024兰州模拟)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为( )
A．36° B．54°
C．72° D．108°
C
7．【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD．
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADC＝90°，
∠CAD＝∠BAD，
∵BE⊥AC，
∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，
∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBE＝∠BAD．
小结：等腰三角形“三线合一”的应用.
11．(人教8上P82、北师8下P5)如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，∴BP＝PC．
∵AD＝AE，∴DP＝PE．
∴BP－DP＝PC－PE，
∴BD＝CE．
答案图
8．【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AD＝BD，在△ADC中，CA＝CD，求△ABC三个内角的度数．
解：∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C＝∠BAD，
设∠B＝x，则∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2x，
∵CA＝CD，∴∠DAC＝∠ADC＝2x，
∴∠BAC＝∠DAC＋∠BAD＝3x，
∴在△ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝x＋x＋3x＝180°，
解得x＝36°，
∴在△ABC中，∠BAC＝108°，∠B＝∠C＝36°．
小结：适当设未知数，再利用三角形的内角和定理列方程
求解.
0.50
★12． (人教8上P82、北师8下P23)如图，∠BAD＝90°，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于D，交AC于E．
(1)求∠BAC的度数；
(2)若AB＝10，BC＝17.32，求△ABD的周长．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，设∠B＝∠C＝x°，
∵∠BAD＝90°，∴∠ADB＝90°－∠B＝(90－x)°．
∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝x°，∴90－x＝2x，
解得x＝30，∴∠BAC＝90°＋30°＝120°．
(2)由(1)知DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋BC＝10＋17.32＝27.32．
