(共17张PPT)
第12课时 公式法(1)
第十四章 整式的乘法与因式分解
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)能用平方差公式(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数)．
2．培养观察、分析、转化能力，培养逆向思维能力．
3．激发探究兴趣，体验学习数学的快乐．
抽象能力 运算能力
用平方差公式分解因式
(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
即两个数的 ，等于这两个数的和与这两个数的差的 ．
(2)因式分解与整式乘法的关系：
积
平方差
a2－b2 (a＋b)(a－b)
1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( )
A．x2＋2 B．－x2＋1
C．2x2＋y2 D．－4x2－9y2
2．将a2－36分解因式正确的是( )
A．(a＋18)(a－18) B．(a＋9)(a－9)
C．(a－6)2 D．(a＋6)(a－6)
D
B
用平方差公式分解因式的步骤
(1)用平方差公式分解因式时，首先将式子写成两个数的平方差的形式，然后分解．
(2)若多项式中有公因式，一定要先 ，再用平方差公式分解因式．
提公因式
3．(1)分解因式：
7a2－28＝ ；
(2)分解因式：
m2n－n3＝ ；
(3)(2023内江)分解因式：
x3－xy2＝ ．
4．(人教8上P119)分解因式：12x2－3y2．
3(2x＋y)(2x－y)
x(x＋y)(x－y)
n(m＋n)(m－n)
7(a＋2)(a－2)
运用整体法巧用平方差公式分解因式
(1)平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．
(2)如：
4x2－9中，a是2x，b是3；
(x＋p)2－(x＋q)2中，a是x＋p，b是x＋q．
5．分解因式：
(1)(x＋a)2－(x＋b)2；
(2)p2(p－1)－(p－1)．
（2）(p－1)2(p＋1)
（1）(2x＋a＋b)(a－b)
6．【例1】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
小结：清楚a2-b2=(a+b)(a-b)的结构是关键.
D
10．(2023杭州)分解因式：4a2－1＝( )
A．(2a－1)(2a＋1) B．(a－2)(a＋2)
C．(a－4)(a＋1) D．(4a－1)(a＋1)
A
小结：用整体思想正确确定平方差公式中的a和b.
7．【例2】(人教8上P116~117)运用公式法分解因式：
(1)a2－b2； (2)9a2－4b2；
(1)
(3)4x2－1； (4)－a4＋9．
(3)(2x＋1)(2x－1)
(2)(3a＋2b)(3a－2b)
(4)(3＋a2)(3－a2)
11．运用公式法分解因式：
(1)a2－b2； (2)4x2y2－1；
(3)－9m2＋4； (4)(－x)2－1．
(2)(2xy＋1)(2xy－1)
(4)(x＋1)(x－1)
(1)
(3)(2＋3m)(2－3m)
小结：分解因式的步骤：首先提公因式，其次考虑用公式法分解因式.必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
8．【例3】分解因式：
(1)x5－x3； (2)45ab2－20a；
(3)ab2－4a； (4)9a2－900．
(1)x3(x＋1)(x－1)
(2)5a(3b＋2)(3b－2)
(3)a(b＋2)(b－2)
(4)9(a＋10)(a－10）
12．分解因式：
(1)2x3－8x； (2)a2b－9b；
(3)m3－9m； (4)－4x2＋64y2．
(1)2x(x＋2)(x－2)
(2)b(a＋3)(a－3)
(3)m(m＋3)(m－3)
(4)4(4y＋x)(4y－x）
9．【例4】分解因式：
(1)(2x＋y)2－(x＋2y)2；(人教8上P119)
(2)x2(x－y)－(x－y)．
(2)(x－y)(x＋1)(x－1)
小结：用整体法分析，先考虑提公因式，其次考虑是否符合公式的特点.
(1)3(x＋y)(x－y)
★13． 分解因式：
(1)(x2＋1)2－2(x2＋1)；
(2)a2(x＋y)2－b2(x＋y)2．
(2)(x＋y)2(a＋b)(a－b)
(1)(x2＋1)(x＋1)(x－1)
0.50(共18张PPT)
第4课时 整式的乘法(1)——单项式乘单项式
第十四章 整式的乘法与因式分解
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．经历单项式与单项式的乘法法则的探索过程，培养观察、归纳能力，领会类比、转化思想．
2．(2022新课标)能进行简单的整式乘法运算(单项式乘单
项式)．
抽象能力 运算能力
应用意识
单项式乘单项式法则
单项式与单项式相乘的运算法则：
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的 、同底数幂分别 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 作为积的一个因式．
指数
相乘
系数
1．(1)计算a·3a的结果是( )
A．a2 B．3a2
C．3a D．4a
(2)计算2x2·(－x3)的结果是( )
A．2x5 B．－2x5
C．2x6 D．－2x6
B
B
单项式与单项式相乘的一般步骤
(1)系数相乘：确定积的系数，在相乘时，先确定符号，再将
系数的绝对值相乘；
(2)同底数幂相乘：底数不变，指数相加；
(3)只在一个单项式里含有的字母，连同字母的指数写在积里．
2．(2023陕西)计算：6xy2·．
解：原式＝6×·x1＋3·y2＋3＝－3x4y5．
单项式乘单项式的简单应用
科学记数法表示的数进行运算的时候，要注意先将前面的数进行相乘，再将幂的部分进行相乘，最后化成科学记数法的形式．
3．有一个长方形，它的长为8×103 cm，宽为5×102 cm，它的面积是多少？
解：8×103×5×102＝4×106(cm2)．
答：这个长方形的面积是4×106 cm2．
4．【例1】下列计算正确的是( )
A．a2＋a2＝2a4 B．2a2·a3＝2a6
C．3a－2a＝1 D．(a2)3＝a6
小结：合并同类项、幂的乘法、幂的乘方等运算法则不能混淆.
D
8．下列计算正确的是( )
A．a3·a＝a3
B．(a2)3＝a5
C．4a·(－3ab)＝－12a2b
D．(－3a2)3＝－9a6
C
5．【例2】计算：
(1)2a3·(3a)2；
(2)·(－3xy2)；
解：(2)原式＝－x6y3·(－3xy2)＝x7y5．
解：(1)原式＝2a3·9a2＝18a5．
小结：先运算积的乘方，再按单项式乘单项式的三个步骤进行运算.注意积的系数的符号.
(3)3ab2·；
(4)(－3xy2)3·．
解：(3)原式＝－a3b3．
解：(4)原式＝－27x3y6·＝－9x6y7．
9．计算：
(1)3x2·5x3；
(2)4y·(－2xy2)；
解：(2)原式＝［4×(－2)］x(y·y2)＝－8xy3．
解：(1)原式＝(3×5)(x2·x3)＝15x5．
(3)(3x2y)3·(－4x)；
(4)(－2a)3·(－3a)2．
解：(4)原式＝(－8a3)·9a2＝(－8×9)(a3·a2)＝－72a5．
解：(3)原式＝27x6y3·(－4x)＝［27×(－4)］(x6·x)y3＝－108x7y3．
小结：运算过程其实是乘法交换律的运用和同底数幂相乘.
6．【例3】(跨学科融合)(人教8上P98、北师7下P3)光的速度约为3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是5×102 s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗？
解：(3×105)×(5×102)＝15×107＝1.5×108(km)．
答：地球与太阳的距离约是1.5×108 km．
10．(跨学科融合)(人教8上P95、北师7下P3)一种电子计算机每秒可做4×109次运算，它工作5×102秒可做多少次运算？
解：由题意得(4×109)×(5×102)＝2×1012(次)．
答：它工作5×102秒可做2×1012次运算．
小结：运算顺序不能错.先乘方，再乘法，最后加减.
7．【例4】计算：(2m2n)2＋(－mn)．
解：原式＝4m4n2＋m4n2
＝m4n2＝m4n2．
★11． 计算：
－3x3y3··9xy2．
0.55
解：原式＝－3x3y3·x4y2＋·9xy2
＝－x7y5－x7y5＝－x7y5．(共18张PPT)
第3课时 积的乘方
第十四章 整式的乘法与因式分解
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．经历积的乘方的运算性质的探索过程，熟练运用法则进行计算．
2．综合运用同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的性质进行计算．
3．(2022新课标)了解整数指数幂的意义和基本性质．
抽象能力 运算能力
积的乘方的运算法则
(1)积的乘方，等于把积的每一个因式分别 ，再把所得的幂 ．
(2)(ab)n＝ (n为正整数)．
(3)(ab)2＝ ；
(ab)3＝ ．
a3b3
a2b2
anbn
相乘
乘方
1．(1)(北师7下P7)(2023株洲)计算：(3a)2＝( )
A．5a B．3a2 C．6a2 D．9a2
(2)计算：
(－ab4)3＝ ；
(3)(2023江西)计算(2m2)3的结果为( )
A．8m6 B．6m6
C．2m6 D．2m5
A
－a3b12
D
积的乘方法则的逆运用
(1)把积的乘方法则逆运用，可以得到
anbn＝ (n为正整数)．
(2)计算：311×＝310××3＝ ．
3
(ab)n
2．计算：
(1)＝ ；
(2)＝ ．
1
幂的混合运算
灵活运用以下法则进行运算：
同底数幂的乘法：am·an＝am＋n；
幂的乘方：(am)n＝amn；
积的乘方：＝anbn．
3．计算：(－2x2)3＋(－3x3)2＋(－x)6．
解：原式＝－8x6＋9x6＋x6＝2x6．
小结：计算积的乘方时，要把积的每一个因式分别进行乘方.
4．【例1】(人教8上P98)计算：
(1)(ab)4； (2)；
(1)a4b4 (2)－x3y3
(3)(－3×102)3； (4)(2ab2)3．
(3)－2.7×107 (4)8a3b6
8．计算：
(1)(2ab)3； (2)(－3x)4；
(3)(xmyn)2； (4)(－3×102)4．
(2)81x4
(1)8a3b3
(3)x2my2n
(4)8.1×109
5．【例2】计算：
(1)x2·x3＋(x3)2；
(2)(2x)3·(－3xy2)2．
解：(2)原式＝8x3·9x2y4＝72x5y4．
小结：运算顺序不要错，先进行乘方运算
解：(1)原式＝x2＋3＋x3×2＝x5＋x6．
9．计算：
(1)x2·x4＋(－x2)3；
(2)4x6y3＋(－x2y)3＋(－x3)2y3．
(2)4x6y3
(1)0
6．【例3】用简便方法计算：
(1)×42 025；
解：(1)原式＝×4
＝×4＝1×1×4＝4．
(2)0.259×220×259×643．
解：(2)原式＝0.259×410×259×49＝4×(0.25×4×25×4)9＝4×1018．
小结：底数是带分数时，要先化成假分数；将底数的乘积凑整，灵活运用anbn=(ab)n进行简便运算.
10．用简便方法计算：
(1)×42；
解：(1)原式＝＝92＝81．
(2)(－0.25)12×412．
解：(2)原式＝＝(－1)12＝1．
小结：能进行a6b9=(a2b3)3的转化是关键.
7．【例4】已知－a2b3＝3，求a6b9的值．
解：∵－a2b3＝3，∴a2b3＝－3，
∴a6b9＝(a2b3)3＝(－3)3＝－27．
★11． 若2x＋3×5x＋3＝100x＋1，求x的值．
解：∵2x＋3×5x＋3＝(2×5)x＋3＝10x＋3，
又∵100x＋1＝(102)x＋1＝102x＋2，
∴10x＋3＝102x＋2，∴x＋3＝2x＋2，∴x＝1．
0.50(共18张PPT)
第8课时 平方差公式
第十四章 整式的乘法与因式分解
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，了解
公式的几何背景．
2．(2022新课标)能利用平方差公式进行简单的计算和推理．
抽象能力 运算能力
几何直观
平方差公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，
即两个数的和与这两个数的差的 ，等于这两个数的
．
(2)平方差公式的推导(代数方法)：
(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2．
平方差
积
1．(人教8上P107、北师7下P21)通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是
(几何方法推导平方差公式)．
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
平方差公式的常见变形
(1)位置变化：
(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
(2)符号变化：
(－a－b)(－a＋b)＝(－a)2－b2＝a2－b2．
(3)系数变化：
(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2．
(4)指数变化：
(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4．
(5)连用公式变化：
(a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4．
2．计算：
(1)(2x＋1)(2x－1)； (2)(x－2)(x＋2)；
(3)(b＋2a)(2a－b)； (4)(a2＋2b)(a2－2b)．
3．(1)(2023雅安)若a＋b＝2，a－b＝1，则a2－b2的值为 ；
(2)计算：(x＋2)(x－2)(x2＋4)＝ ．
x4－16
2
(3)4a2－b2
(1)4x2－1
(2)x2－4
(4)a4－4b2
巧用平方差公式计算
技巧：当出现多个因式相乘时，要仔细观察式子的特点，看是不是符合平方差公式的结构特征或根据题意“凑”出符合平方差公式结构的形式，然后依次运用公式，一直到不能运用为止．
4．(1)计算：(m＋2)(m－2)－×3m；
(2)巧用公式计算：18×20－192．
解：(2)原式＝(19－1)(19＋1)－192＝192－1－192＝－1．
解：(1)原式＝m2－4－m2＝－4 ．
小结：正确列式表示图①和图②中的阴影面积是关键.
5．【例1】如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式： ．
(a＋2)(a－2)＝a2－4
9．(创新题)在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形(如图)，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是( )
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．a2－ab＝a(a－b)
A
6．【例2】计算：
(1)(2m＋3)(2m－3)＝ ；
(2)(2x＋3y)(3y－2x)＝ ；
(3)(－2a－1)(－2a＋1)＝ ．
4a2－1
9y2－4x2
小结：在两个括号内完全相同的数或式就是公式中的a(连同符号)，只有符号不同的数或式(不含前面的符号)就是公式中的b.
4m2－9
10．计算：
(1)＝ ；
(2)＝ ；
(3)(－3x2＋y2)(y2＋3x2)＝ ．
b2－9a2
a2－1
y4－9x4
小结：在计算y(3-4y)=3y-4y2时，结果不要漏掉括号
7．【例3】(2023兰州)计算：(x＋2y)(x－2y)－y(3－4y)．
解：原式＝x2－4y2－(3y－4y2)
＝x2－4y2－3y＋4y2
＝x2－3y．
11．计算：(2a－b)(b＋2a)－(a＋2b)(a－2b)．
解：原式＝4a2－b2－(a2－4b2)＝3a2＋3b2．
小结：巧用平方差公式简化运算.
8．【例4】运用平方差公式计算：
(1)203×197；(北师7下P22)
解：(1)原式＝(200＋3)(200－3)＝2002－32＝40 000－9＝39 991．
(2)(a－3b)(a＋3b)(a2＋9b2)．
解：(2)原式＝(a2－9b2)(a2＋9b2)＝a4－81b4．
★12． 用乘法公式计算：
(1)998×1 002；(人教8上P112)
解：(1)原式＝(1 000－2)(1 000＋2)
＝1 0002－22＝1 000 000－4＝999 996．
(2)(2y－1)(4y2＋1)(2y＋1)．
解：(2)原式＝(4y2－1)(4y2＋1)＝16y4－1．
0.50(共20张PPT)
第6课时 整式的乘法(3)——多项式乘多项式
第十四章 整式的乘法与因式分解
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．理解多项式乘多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．
2．(2022新课标)能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法)．
抽象能力 运算能力
几何直观 应用意识
多项式乘多项式法则
(1)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘另一个多项式的 ，再把所得的积 ．
即：
相加
每一项
每一项
ap
aq
bp
bq
(2)几何解释：如图，大长方形的面积等于四个小长方形面积的和．(人教8上P100、北师7下P18)
1．(1)下列多项式相乘的结果为x2－4x－12的是( )
A．(x＋3)(x－4) B．(x＋2)(x－6)
C．(x－3)(x＋4) D．(x＋6)(x－2)
B
(2)计算：(x－4)(3x＋1)；
(3)计算：(x＋2)(3－x)．
(3)－x2＋x＋6
(2)3x2－11x－4
多项式乘多项式法则的应用
运用多项式与多项式相乘的法则进行运算的时候，要特别注意防止出现漏乘某些项的现象，每一项都包括它前面的符号，在计算时要先确定积中各项的符号(同号得正，异号得负)．
2．计算：
(1)(2a＋b)(a－3b)；
(2)(3a－b)(a＋3b)．
(2)3a2＋8ab－3b2
(1)2a2－5ab－3b2
混合运算
当同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式等知识综合时，要注意运算顺序，有同类项的要合并同类项，最后结果必须是最简结果．
3．计算：(a＋2)(a－3)－(a－1)(a－4)．
＝a2－a－6－a2＋5a－4＝4a－10．
解：原式＝a2－a－6－(a2－5a＋4)
4．【例1】(2024淮安模拟)若(x＋3)(x＋m)＝x2＋nx－24，则( )
A．m＝－8，n＝－5 B．m＝8，n＝11
C．m＝8，n＝15 D．m＝－8，n＝11
小结：运用比较系数法确定m和n的值.
A
8．若(x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab，则k的值为( )
A．a＋b B．－a－b
C．a－b D．b－a
B
小结：不要漏乘某些项，注意结果中各项的符号不要出错，有同类项时要合并同类项.
5．【例2】计算：
(1)(2m－3)(2m＋3)；
解：(1)原式＝2m·2m＋2m·3－3·2m－3×3＝4m2＋6m－6m－9＝4m2－9．
(2)(x＋y)(x＋y＋1)．
解：(2)原式＝x2＋xy＋x＋xy＋y2＋y
＝x2＋y2＋2xy＋x＋y．
9．计算：
(1)(2x＋y)(3x－y)；
解：(1)原式＝6x2－2xy＋3xy－y2＝6x2＋xy－y2．
(2)4x(x－y)＋(2x－y)(y－2x)．
解：(2)原式＝4x2－4xy－4x2＋4xy－y2＝－y2．
小结：注意后面两个多项式相乘后一定要加上括号
6．【例3】计算：2(a－4)(a＋3)－(2a＋1)(a－3)．
解：原式＝2(a2＋3a－4a－12)－(2a2－6a＋a－3)
＝2a2＋6a－8a－24－2a2＋6a－a＋3＝3a－21．
10．先化简，再求值：(x－1)(2x＋1)－2(x－5)(x＋2)，其中x＝－2．
解：原式＝2x2－x－1－2(x2－3x－10)
＝2x2－x－1－2x2＋6x＋20＝5x＋19，
当x＝－2时，原式＝5×(－2)＋19＝－10＋19＝9．
7．【例4】(人教8上P106改编)小明想把一个长为60 cm，宽为40 cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形．
(1)设小正方形的边长为x cm，求图中阴影部分的面积；
(2)若x＝5，求这个盒子的体积．
解：(1)阴影部分的面积为
(60－2x)(40－2x)＝(4x2－200x＋2 400)(cm2)．
(2)当x＝5时，
4x2－200x＋2 400＝1 500(cm2)，
这个盒子的体积为1 500×5＝7 500(cm3)．
小结：用数形结合思想分析问题，能简化问题，准确理解题意.
★11． (人教8上P106、北师7下P35)如图，将一个长方形铁皮剪去一个小正方形．
(1)用含有a，b的代数式表示余下阴影部分
的面积；
(2)当a＝6，b＝2时，求余下阴影部分的面积．
0.50
解：(1)S阴影＝(a＋b)(2a＋b)－a2＝2a2＋ab＋2ab＋b2－a2＝a2＋3ab＋b2．
(2)当a＝6，b＝2时，
S阴影＝62＋3×6×2＋22＝36＋36＋4＝76．(共19张PPT)
第9课时 完全平方公式(1)
第十四章 整式的乘法与因式分解
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)理解乘法公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2，了解公式的几何背景．
2．(2022新课标)能利用完全平方公式进行简单的计算和
推理．
抽象能力 运算能力
几何直观
完全平方公式
(1)完全平方公式：
(a±b)2＝a2±2ab＋b2．
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的 ，叫做完全平方公式．
积的2倍
(2)完全平方公式的推导(代数方法)：
①(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a2＋ab＋ab＋b2
＝a2＋2ab＋b2；
②(a－b)2＝(a－b)(a－b)
＝a2－ab－ab＋b2
＝a2－2ab＋b2．
1．(人教8上P109、北师7下P23)利用几何方法推导完全平方公式：
根据图(1)所示图形的面积可以写出的
一个等式是 ；
根据图(2)所示图形的面积可以写出的
一个等式是 ．
2．(2024潮州模拟)如果x2＋ax＋4适用于完全平方公式，那么a的值是 ．
4或－4
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
完全平方公式的常用变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；
(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
(6)ab＝；
(7)ab＝．
3．下列计算正确的是( )
A．(x－y)2＝x2－2xy－y2 B．(x＋y)2＝x2＋y2
C．(x＋1)(x－1)＝x2－1 D．(x－1)2＝x2－1
4．(人教8上P112、北师7下P26)运用完全平方公式计算：
(1)(2a＋5b)2；(2)(100－2)2；(3)(－2m－1)2．
(3)原式＝(－2m)2－2·(－2m)·1＋12＝4m2＋4m＋1.
(2)原式＝1002－400＋4＝9 604．
解：(1)原式＝4a2＋20ab＋25b2．
C
完全平方公式和平方差公式的综合
计算：(x＋y)2－(x＋y)(x－y)．
解：原式＝x2＋2xy＋y2－x2＋y2＝2y2＋2xy．
5．计算：4(x＋1)2－(2x＋5)(2x－5)．
解：原式＝4x2＋8x＋4－4x2＋25＝8x＋29．
6．【例1】(2024惠州模拟)如图，利用面积的等量关系验证的公式是( )
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
小结：此题是有背景的选择题，运用数与形的结合来判断正确选项.
D
10．根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．你根据图乙能得到的数学公式是( )
A．a2－b2＝(a－b)2
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C
7．【例2】(人教8上P110)运用完全平方公式计算：
(1)(x＋6)2； (2)(y－5)2；
解：(1)原式＝x2＋2·x·6＋62＝x2＋12x＋36．
(2)原式＝y2－2·y·5＋52＝y2－10y＋25．
(3)(－2x＋5)2； (4)．
解：(3)原式＝(－2x)2＋2·(－2x)·5＋52＝4x2－20x＋25．
(4)原式＝－2·x·y＋x2－xy＋y2．
小结：熟练掌握并理解公式的结构特点是能正确运用公式的关键.
11．运用完全平方公式计算：
(1)(3＋5p)2； (2)(a－3b)2；
(1)9＋30p＋25p2 (2)a2－6ab＋9b2
(3)； (4)1032．
(3)a2＋a＋
(4)解：原式＝(100＋3)2＝1002＋600＋9＝10 609．
小结：在进行乘法或乘方运算时，一定要加上括号，不要出现符号错误.
8．【例3】计算：(－2x)2－(2x＋1)(2x－1)＋(x－2)2．
解：原式＝4x2－(4x2－1)＋x2－4x＋4
＝x2－4x＋5．
12．计算：4(x－y)2－(2x－y)(2x＋y)．
解：原式＝4(x2－2xy＋y2)－(4x2－y2)
＝4x2－8xy＋4y2－4x2＋y2
＝5y2－8xy．
小结：牢记下列变形：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab.
9．【例4】(人教8上P112改编)(2024湖南模拟)已知a＋b＝10，ab＝5，求a2＋b2的值．
解：∵a＋b＝10，ab＝5，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝102－2×5＝90．
★13． 已知a－b＝5，ab＝－2，
求：(1)(a＋b)2；(2)a2－ab＋b2．
解：(1)∵a－b＝5，ab＝－2，
∴(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝52＋4×(－2)＝25－8＝17．
(2)∵a－b＝5，ab＝－2，
∴a2－ab＋b2＝(a－b)2＋ab＝52＋(－2)＝25－2＝23．
0.45(共19张PPT)
第11课时 提公因式法
第十四章 整式的乘法与因式分解
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．了解因式分解的含义及它与整式乘法的区别与联系．
2．理解提公因式法的依据和意义．
3．(2022新课标)能用提公因式法进行因式分解(指数为正
整数)．
抽象能力 运算能力
因式分解的概念
(1)把一个多项式化成几个整式的 ，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
(2)因式分解是式子的恒等变形，形式改变，但值不改变．
积的形式
1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A．a(a＋1)(a－1)＝a3－a
B．ax＋ay＝a(x＋y)
C．mx－my＋1＝m(x－y)＋1
D．6x2y3＝2x2·3y3
B
用提公因式法分解因式
(1)公因式：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．
(2)确定公因式的三个步骤：
第一，确定公因式的系数，取各项整数系数的最大公因数；
第二，确定相同字母，取各项中相同的字母；
第三，确定相同字母的指数，取相同字母的指数的最 值作为相同字母的指数．
小
(3)提公因式法：一般地，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法
乘积
2．(1)(人教8上P115改编)(2023深圳期末)多项式12ab3c＋8a3b的各项公因式是( )
A．4ab2 B．4abc
C．2ab2 D．4ab
(2)下列多项式能因式分解的是( )
A．m2＋n B．m2＋1
C．m2－2m D．m2－n
C
D
(3)多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，另一个因式为( )
A．m＋1 B．2m
C．2 D．m＋2
(4)(2023成都)因式分解：
m2－3m＝ ．
m(m－3)
D
用提公因式法进行简便运算
运用提公因式法对式子进行恒等变形，有时可使计算简便，化难为易．比如：
简便计算：19＋192－202．
解：原式＝19×(1＋19)－202
＝19×20－202＝20×(19－20)＝－20．
3．运用提公因式法分解因式，简便计算：
9×168＋9×723＋9×109．
解：原式＝9×(168＋723＋109)＝9 000．
4．【例1】下列式子变形是因式分解的是( )
A．x2－2x－3＝x(x－2)－3
B．x2－2x－3＝(x－1)2－4
C．(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3
D．x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)
小结：抓住概念进行判断，因式分解是将多项式化成几个整式的积的形式.
D
8．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A．(a＋3)(a－3)＝a2－9
B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．a2－4a－5＝a(a－4)－5
D．m2＋2m－3＝m
B
小结：确定公因式的三个步骤：系数、相同字母、相同字母的指数，不要出错.
5．【例2】多项式2x2y－6xy2的公因式是 ．
2xy
9．多项式3x2y2－12x2y4－6x3y3的公因式是 ．
3x2y2
6．【例3】(人教8上P115)用提公因式法分解因式：
(1)3mx－6my；
(2)－24x3－12x2＋28x；
(3)2a(y－z)－3b(z－y)．
(3)(y－z)(2a＋3b)
(2)－4x(6x2＋3x－7)
小结：多项式各项提了公因式后，各项的系数、字母及字母的指数计算不要出现错误.是否正确可以用单项式乘多项式进行检验.
(1)3m(x－2y)
10．用提公因式法分解因式：
(1)x2y＋xy2；
(2)2mx＋6my；
(3)3x(x－2)－(2－x)．
(3)(x－2)(3x＋1)
(2)2m(x＋3y)
(1)xy(x＋y)
小结：(1)分解要正确，注意a-2与2-a之间的区别与联系；
(2)代入数值要正确，计算要正确.
7．【例4】先将代数式分解因式，再求值：
2x(a－2)－y(2－a)，其中a＝0.5，x＝1.5，y＝－2．
解：原式＝2x(a－2)＋y(a－2)＝(a－2)(2x＋y)，
当a＝0.5，x＝1.5，y＝－2时，
原式＝(0.5－2)×(3－2)＝－1.5．
★11． (北师8下P97改编)已知a＋b＝3，ab＝2，求－a2b－ab2的值．
解：－a2b－ab2＝－ab(a＋b)＝－2×3＝－6．
0.55(共32张PPT)
第14课时 《整式的乘法与因式分解》单元复习
第十四章 整式的乘法与因式分解
03
精典范例
02
对点训练
01
知识要点
04
变式练习
幂的运算法则及其逆用
幂的运算法则 逆用幂的运算法则
am·an＝am＋n am＋n＝am·an
(ab)m＝ambm ambm＝(ab)m
(am)n＝amn amn＝(am)n
am÷an＝am－n am－n＝am÷an
零指数幂：a0＝1(a≠0)．
1．(1)(2023镇江)下列运算中，结果正确的是( )
A．2m2＋m2＝3m4 B．m2·m4＝m8
C．m4÷m2＝m2 D．(m2)4＝m6
(2)计算：［a3·a5＋(3a4)2］÷a2．
（2）10a6
C
整式的混合运算
计算时要注意：
(1)确定运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
(2)能用乘法公式运算的要用乘法公式简化运算．
2．(2024海南模拟)计算：
(3x4－2x3)÷(－x)－(x－x2)·3x．
解：原式＝－3x3＋2x2－(3x2－3x3)
＝－3x3＋2x2－3x2＋3x3＝－x2．
整式乘法公式的运用
(1)运用平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2和完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时，应注意分析题目的结构特征，灵活运用．
(2)常用的技巧有直接套用公式、混合运用公式、公式变形和逆用公式等．
3．计算：
(1)(2023西宁)(2a－3)2－(a＋5)(a－5)；
(2)(人教8上P111、北师7下P26)(a＋b＋c)2．
(2)a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
(1)3a2－12a＋34
因式分解
(1)目前要求同学们掌握两种常用的因式分解的方法：提公因式法和公式法．
(2)类型：
①若多项式是两项式，先考虑提公因式，再考虑平方差公式分解因式；
②若多项式是三项式，先考虑提公因式，再考虑完全平方公式分解因式．
(3)注意：在判断是两项式还是三项式时，有时需要把部分整式看作一个整体去思考．
4．分解因式：
(1)(2023广东)x2－1＝ ；
(2)(2023南通)a2－ab；
(3)(广州中考)3a2－21ab；
(4)(2023东营)3ma2－6mab＋3mb2．
(4)3m(a－b)2
(3)3a(a－7b)
(2)a(a－b)
(x＋1)(x－1)
整式的化简求值
整式的化简求值一般有两种题型：
(1)先化简后直接代入求值；
(2)先进行恒等变形后再代入求值．
化简时通常利用整式乘法法则、乘法公式和因式分解等，然后代入求值．
5．(1)(2023清远一模)先化简，再求值：(3x－1)2－x(9x＋2)，其中x＝；
解：(1)原式＝9x2－6x＋1－9x2－2x＝－8x＋1，
当x＝时，原式＝－8×＋1＝－3＋1＝－2．
(2)(2023浙江)已知a2＋3ab＝5，求(a＋b)(a＋2b)－2b2的值．
解：(2)∵a2＋3ab＝5，
∴原式＝a2＋2ab＋ab＋2b2－2b2＝a2＋3ab＝5．
6．【例1】下列运算正确的是( )
A．a4÷a＝a3 B．(a5)2＝a7
C．(－ab)7＝a7b7 D．a2·a3＝a6
小结：掌握幂的运算法则是关键；-ab可以看作是-1×ab.
A
15．(2023深圳)下列运算正确的是( )
A．a3·a2＝a6 B．4ab－ab＝4
C．(a＋1)2＝a2＋1 D．(－a3)2＝a6
D
小结：积的乘方的逆用：ambm=(ab)m.
7．【例2】计算：＝ ．
16．计算：
(－0.25)2 024×42 025＝ ．
4
小结：巧妙运用am-n=am÷an.
8．【例3】(2023深圳期末)已知10x＝5，10y＝15，则102x－y＝ ．
17．(广东中考)已知9m＝3，27n＝4，则＝( )
A．1 B．6 C．7 D．12
D
9．【例4】已知a2＋a－4＝0，则代数式a(a＋1)的值是( )
A．4 B．8 C．12 D．16
小结：用整体思想解决问题，a2+a=4.
A
18．(2023赤峰)已知2a2－a－3＝0，则(2a＋3)(2a－3)＋
(2a－1)2的值是( )
A．6 B．－5 C．－3 D．4
D
10．【例5】已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
小结：灵活运用完全平方公式.
C
19．(2024福建模拟)已知a＋b＝7，a2＋b2＝25，则ab＝
．
12
11．【例6】计算：
(1)－(a2)4·(a2)3；
(2)(15x2y－10xy2)÷5xy；
(3)4(x＋1)2－(2x－5)(2x＋5)．
(3)8x＋29
(2)3x－2y
小结：运算顺序、运算法则和乘法公式的运用要正确.
(1)－a14
20．计算：
(1)12a8b3c÷(－2ab)3；
(1)－a5c
(2)x(x－1)＋2x(x＋1)－3x(2x－5)；
(2)－3x2＋16x
(3)(x＋2)(x－2)－(x－1)2．
(3)2x－5
小结：分解因式的一般步骤：第一提公因式，第二合理运用公式法
12．【例7】分解因式：
(1)(2x＋y)2－(x＋y)2；
解：(1)原式＝［(2x＋y)＋(x＋y)］［(2x＋y)－(x＋y)］
＝x(3x＋2y)．
(2)－8a2b＋2a3＋8ab2．
解：(2)原式＝2a(a2－4ab＋4b2)＝2a(a－2b)2．
21．分解因式：
(1)a3－4ab2；
(2)2a3－8a2＋8a．
(2)2a(a－2)2
(1)a(a＋2b)(a－2b)
小结：根据公式和运算法则化简后，再代入求值.
13．【例8】(2023长沙)先化简，再求值：(2－a)(2＋a)－2a(a＋3)＋3a2，其中a＝－．
解：原式＝4－a2－2a2－6a＋3a2＝4－6a，
当a＝－时，原式＝4－6×＝4＋2＝6．
22．(2023邵阳)先化简，再求值：(a－3b)(a＋3b)＋(a－3b)2，其中a＝－3，b＝．
解：原式＝a2－(3b)2＋(a2－6ab＋9b2)
＝a2－9b2＋a2－6ab＋9b2
＝2a2－6ab，
当a＝－3，b＝时，原式＝2×(－3)2－6×(－3)×＝24．
14．【例9】(2023佛山月考改编)看图解答：
(1)通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可得的乘法公式为 ；
(2)运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7； ②(2m＋n－p)(2m－n＋p)．
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
小结：两个图形中阴影部分的面积相等是解题关键.
解：(2)①10.3×9.7＝(10＋0.3)(10－0.3)
＝102－0.32＝100－0.09＝99.91．
②(2m＋n－p)(2m－n＋p)
＝［2m＋(n－p)］［2m－(n－p)］
＝(2m)2－(n－p)2＝4m2－n2＋2np－p2．
★23． (2023汕头期末)请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图
形的面积的和(只需表示，不必化简)；
(2)由(1)，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
(3)如果图中的a，b(a＞b)满足a2＋b2＝53，ab＝14，求：
①a＋b的值；②a2－b2的值．
0.50
解：(1)两个阴影图形的面积和可表示为a2＋b2或(a＋b)2－2ab．
(2)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab．
(3)①∵a2＋b2＝53，ab＝14，
∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝53＋2×14＝81，
∴a＋b＝±9．
又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9．
②∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝53－2×14＝25，∴a－b＝±5．
又∵a＞b＞0，∴a－b＝5，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝9×5＝45．(共18张PPT)
第10课时 完全平方公式(2)
第十四章 整式的乘法与因式分解
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．掌握添括号法则，并利用添括号法则灵活应用完全平方公式．
2．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力．
3．进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义．
抽象能力 运算能力
应用意识
去括号、添括号的法则
(1)去括号法则
括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里的各项
；
括号前面是“－”号，去掉“－”号和括号，括号里的各
项都 ．
改变符号
不改变符号
(2)添括号法则
所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都
；
所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都
．
(3)添括号与去括号是互逆的，可以相互进行检验添括号或去括号的正确性．
改变符号
不改变符号
1．去括号：
(1)a＋5(b－3d)＝ ；
(2)a－m(b－3d)＝ ．
2．在括号内填上适当的项：
(1)y2－x2＋4x－4＝y2－( )；
(2)x2－y2－( )＝x2－y2－x－y．
x＋y
x2－4x＋4
a－mb＋3md
a＋5b－15d
平方差公式的综合应用
运用添括号法则，把括号里各项分成两组，
先运用平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
再运用完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．
3．计算：(x－y＋z)(x＋y－z)．
＝x2－y2＋2yz－z2．
解：原式＝［x－(y－z)］［x＋(y－z)］＝x2－(y－z)2
完全平方公式的综合应用
运用添括号法则，先把括号里分成两大项，
再运用完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2化简．
4．计算：(a－b＋1)2．
解：原式＝［(a－b)＋1］2＝(a－b)2＋2(a－b)＋1
＝a2－2ab＋b2＋2a－2b＋1．
小结：用去括号法则可以检验添括号后是否正确.
5．【例1】在括号里填上适当的项：
(1)－a2＋4a－1＝－( )；
(2)x2－xy＋y2－2＝x2－( )；
(3)2ab＋a2b－3a＝2ab＋( )；
(4)a＋2b－4c－3d＝a－( )
＝a＋2b－( )．
4c＋3d
－2b＋4c＋3d
a2b－3a
xy－y2＋2
a2－4a＋1
9．在括号里填上适当的项：
(1)a＋2b－c＝a＋( )；
(2)a－b－c＋d＝a－( )；
(3)(a＋b－c)(a－b＋c)
＝［a＋( )］［a－( )］．
b－c
b－c
b＋c－d
2b－c
小结：把-b+2改写成-(b-2)是关键.
6．【例2】运用乘法公式计算：
(a＋b－2)(a－b＋2)．
解：原式＝［a＋(b－2)］［a－(b－2)］
＝a2－b2＋4b－4．
10．(人教8上P111、北师7下P27)运用乘法公式计算：(2x＋y＋z)(2x－y－z)．
解：原式＝［2x＋(y＋z)］［2x－(y＋z)］
＝(2x)2－(y＋z)2
＝4x2－(y2＋2yz＋z2)＝4x2－y2－2yz－z2．
小结：把a+b或b-c看成一个整体，再用完全平方公式计算，这是常用的数学方法.
7．【例3】运用乘法公式计算：(a＋b－c)2．
解：原式＝［(a＋b)－c］2
＝a2＋2ab＋b2－2ac－2bc＋c2．
11．(人教8上P111)运用乘法公式计算：
(a＋2b－1)2．
解：原式＝［(a＋2b)－1］2
＝(a＋2b)2－2(a＋2b)×1＋12
＝a2＋4ab＋4b2－2a－4b＋1．
小结：先用平方差公式计算，再用完全平方公式计算，比较简便.使用公式的顺序也影响计算的难易程度.
8．【例4】运用乘法公式计算：
［(x＋y)(x－y)］2．
解：原式＝(x2－y2)2＝x4－2x2y2＋y4．
★12． 运用乘法公式计算：
(2a＋3b－1)(－1－2a－3b)．
解：原式＝［－1＋(2a＋3b)］［－1－(2a＋3b)］
＝(－1)2－(2a＋3b)2
＝1－4a2－12ab－9b2．
0.50(共17张PPT)
第7课时 整式的乘法(4)——整式的除法运算
第十四章 整式的乘法与因式分解
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．理解同底数幂的除法的运算法则及运算算理．
2．掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则及其应用．
抽象能力 运算能力
同底数幂的除法法则
(1)am÷an＝ (a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n)．
(2)同底数幂相除，底数 ，指数 ．
(3)∵am÷am＝1，
am÷am＝a( )＝a( )，
∴a0＝ (其中a 0)．
规定：当a≠0时，a0＝ ，即：任何不等于0的数的0次幂都等于 ．
1
1
≠
1
0
m－m
相减
不变
am－n
1．(1)(2023常州)计算a8÷a2的结果是( )
A．a4 B．a6 C．a10 D．a16
(2)(2024河北模拟)若am＝2，an＝3，则am－n的值为 ；
(3)(2023聊城)(－2 023)0的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．－
(4)若5x－3y－2＝0，则105x÷103y＝ ；
(5)若xm＝6，xn＝9，则x2m－n＝ ．
4
100
B
B
单项式除以单项式
单项式除以单项式法则：
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别 作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
相除
2．计算：
(1)24x2y÷(－6xy)；
解：(1)原式＝［24÷(－6)］·x2－1·y1－1＝－4x．
(2)(－5y2)2÷5y4．
解：(2)原式＝25y4÷5y4＝(25÷5)·y4－4＝5．
多项式除以单项式
(1)多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个 ，再把所得的商 ．
(2)数学思想——转化：把多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．
相加
单项式
每一项
3．计算：
(1)(3x3－6x2＋12x)÷3x；
(2)(2a3b－a2b2＋3ab3)÷．
解：(2)原式＝－4a2＋2ab－6b2．
解：(1)原式＝x2－2x＋ 4．
4．【例1】计算：
(1)a6÷a2＝ ；
(2)(－ab)5÷(－ab)3＝ ；
(3)(x－y)5÷(y－x)2＝ ；
(4)×(π－1)0＝ ．
(x－y)3
a2b2
小结：对于(2)中的底数，看作是(-ab)更简便；对于(3)，需掌握(x-y)n=(y-x)n(n为正偶数)或-(y-x)n(n为正奇数).
a4
8．(人教8上P102~104)计算：
(1)x5÷x＝ ；
(2)(ab)5÷(ab)2＝ ；
(3)(1－a)10÷(a－1)7＝ ；
(4)(a－1)0＝ (其中a≠1)．
1
(a－1)3
a3b3
x4
5．【例2】计算：
(1)12a3b2÷3ab＝ ；
(2)－8xy2÷2xy＝ ；
(3)3x3y2÷x2y2＝ ；
(4)a2bc÷(－2ab)＝ ．
6x
－4y
小结：系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
4a2b
－ac
9．计算：
(1)2x2y3÷(－3xy)＝ ；
(2)10x2y3÷2x2y＝ ；
(3)3x4y5÷＝ ；
(4)(1.5×109)÷(－5×106)＝ ．
－x3y3
－xy2
－3×102(或－300)
5y2
小结：运用多项式除以单项式法则，转化为单项式除以单项式问题来解决.转化过程中注意各项的符号不要出错.
6．【例3】计算：
(1)(21a3－7a2＋14a)÷7a；
解：(1)原式＝3a2－a＋2．
(2)(－2x2y＋6x3y4－8xy)÷(－2xy)．
解：(2)原式＝－2x2y÷(－2xy)＋6x3y4÷(－2xy)＋
(－8xy)÷(－2xy)＝x－3x2y3＋4．
10．计算：
(1)(x5y3－2x4y2＋3x3y5)÷；
(2)(6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3．
解：(1)原式＝－x4y2＋3x3y－x2y4．
解：(2)原式＝3x2yz－2xz＋1．
小结：先算括号内的运算，能够合并的就合并同类项；注意-y的运算不要出现符号的错误.
7．【例4】计算：
［x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)］÷3x2y．
解：原式＝(x3y2－x2y－x2y＋x3y2)÷3x2y
＝(2x3y2－2x2y)÷3x2y＝xy－．
★11． 计算：
(x－2)(x＋6)－(6x4－4x3－2x2)÷(－2x2)．
0.55
解：原式＝x2＋4x－12－(－3x2＋2x＋1)
＝x2＋4x－12＋3x2－2x－1＝4x2＋2x－13．(共17张PPT)
第2课时 幂的乘方
第十四章 整式的乘法与因式分解
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．掌握幂的乘方的运算法则，并能熟练应用这些法则进行有关计算．
2．通过自主探索、自主发现、自主体验来真正理解法则的来源、本质和应用．
3．(2022新课标)了解整数指数幂的意义和基本性质．
抽象能力 运算能力
(2)幂的乘方：(am)n＝＝a( )．
其中，m，n都是正整数．
(3)例如：(bn)3＝b( )．
3n
同底数幂的乘方法则及应用
(1)幂的乘方，底数 ，指数 ．
mn
相乘
不变
1．(1)(x2)3可以表示为( )
A．3x2 B．X2 C．x2＋x2＋x2 D．x2·x2·x2
(2)(人教8上P96、北师7下P5)计算：
(am)2＝ ；
(3)(2024大连一模)下列计算结果为x6的是( )
A．x2·x3 B．x8－x2 C．x3＋x3 D．(x2)3
D
a2m
D
幂的乘方与同底数幂相乘、合并同类项等知识的混合运算
熟练运用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，还有合并同类项等知识进行混合运算．
2．计算：
(1)(y3)2·(y2)3＝ ；
(2)(x4)3＋x10·x2＝ ．
2x12
y12
逆用幂的乘方法则解决问题
(1)根据幂的乘方(am)n＝amn(m，n都是正整数)，反过来，有amn＝ ．
(2)例如：若xm＝4，求x3m的值．
64
(am)n
3．若ax＝2，ay＝3，则a2x＋y＝ ．
4．已知2n＝3，则4n＋1＝ ．
5．若x2n＝3，则(x3n)4＝ ．
729
36
12
6．【例1】(2023甘孜州)下列计算正确的是( )
A．x2＋x3＝x5 B．2x2－x2＝x2
C．x2·x3＝x6 D．(x2)3＝x5
小结：分清am·an=am+n和(am)n=amn(m，n都是正整数).
B
10．(人教8上P96、北师7下P5)(2024南昌模拟)化简(a2)3的结果是( )
A．a6 B．a5
C．a9 D．2a3
A
7．【例2】计算：
(1)(－x2)3； (2)(－a3)4；
(3)(－x4)5＋(－x5)4．
(3)0
小结：除了熟练运用相关运算法则外，更要注意符号，不要出现错误
(1)－x6
(2)a12
11．计算：
(1)－(a3)4； (2)［(－y)2］3；
(3)a·a2·a3＋(a3)2－8(a2)3．
(3)－6a6
(1)－a12
(2)y6
8．【例3】计算：8(－x2)3＋9(－x3)2＋(－x)6．
小结：先计算幂的乘方，再计算加法.
解：原式＝－8x6＋9x6＋x6＝2x6 ．
12．(人教8上P104改编)计算：
x2·x4·x6＋(x3)2＋［(－x)4］3．
解：原式＝x12＋x6＋x12＝2x12＋x6．
9．【例4】已知10m＝3，10n＝2，求：
(1)103m； (2)102n； (3)103m＋2n．
(3)原式＝103m×102n＝27×4＝108．
(2)原式＝(10n)2＝22＝4．
小结：熟练掌握法则(am)n=amn的逆运用，反向思考.
解：(1)原式＝(10m)3＝33＝27．
★13． 已知am＝5，an＝3，求a2m＋3n的值．
解：a2m＋3n＝a2m·a3n＝(am)2·(an)3＝52×33＝675．
0.55(共17张PPT)
第13课时 公式法(2)
第十四章 整式的乘法与因式分解
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．理解完全平方式的特征．
2．(2022新课标)能用完全平方公式(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数)．
3．能综合运用提公因式法与公式法分解因式．
4．培养逆向思维能力，领会整体、转化思想．
抽象能力 运算能力
应用意识
完全平方式的概念
(1)形如a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2的式子叫做
；
(2)利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式
．
因式分解
完全平方式
1．下列式子为完全平方式的是( )
A．a2＋ab＋b2 B．a2＋2a＋2
C．a2－2b＋b2 D．a2＋2a＋1
2．若x2－px＋4是完全平方式，则p的值为( )
A．4 B．2
C．±4 D．±2
C
D
a2±2ab＋b2 (a±b)2
用完全平方公式分解因式
(1)可以用来因式分解的完全平方公式：
a2＋2ab＋b2＝ ；
a2－2ab＋b2＝ ．
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于两个数和(或差)的 ．
(2)因式分解与整式乘法的关系：
平方
(a－b)2
(a＋b)2
3．分解因式：
(1)(2023无锡)4－4x＋x2；
(2)(2024江苏一模)4x2＋4x＋1．
(2)(2x＋1)2
(1)(2－x)2
分解因式的一般步骤
(1)观察多项式各项，若有公因式，则先提公因式；
(2)再看多项式因式或无公因式的多项式是否可用平方差公式或完全平方公式分解因式；
(3)若不能直接使用(1)(2)分解因式的，可根据多项式的特点进行适当变形后再考虑使用(1)(2)分解因式；
(4)每一个多项式都不能再分解时，分解因式就结束了．
4．分解因式：
(1)2a2－4a＋2；
(2)4xy2－4x2y－y3．(人教8上P119)
(2)－y(2x－y)2
(1)2(a－1)2
5．【例1】下列各式为完全平方式的是( )
A．2x2＋4x＋1 B．4x2＋12xy＋9y2
C．2x2＋4xy＋y2 D．x2－y2＋2xy
小结：形如“a2±2ab+b2”这样的式子是完全平方式.
B
9．下列各式为完全平方式的是( )
A．x2－x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－4xy＋2y2 D．x2－x＋
D
6．【例2】运用公式法分解因式：
(1)x2－2xy＋y2； (2)a2＋10a＋25；
(3)4x2－12xy＋9y2； (4)－b2＋8b－16．
(3)(2x－3y)2
小结：两个平方项的系数如果是负数，必须化成正数才能运用完全平方公式分解因式.
(1)(x－y)2
(2)(a＋5)2
(4)－(b－4)2
10．(北师8下P101)运用公式法分解因式：
(1)4x2＋y2－4xy； (2)9－12a＋4a2；
(3)x2y2－2xy＋1； (4)(m＋n)2－6(m＋n)＋9．
(3)(xy－1)2
(1)(2x－y)2
(2)(3－2a)2
(4)(m＋n－3)2
7．【例3】(1)分解因式：3x3－12x2y＋12xy2；
(2)利用分解因式简便计算：
8502－1 700×848＋8482．
解：(2)原式＝8502－2×850×848＋8482＝(850－848)2＝22＝4．
小结：分解因式时，首先观察是否有公因式.如果有公因式必须先提公因式，再用公式法分解因式.
解：(1)原式＝3x(x2－4xy＋4y2)＝3x(x－2y)2．
11．(1)分解因式：－5a＋10a2－5a3；
(2)利用分解因式简便计算：
2022＋202×196＋982．
解：(2)原式＝(202＋98)2＝90 000．
解：(1)原式＝－5a(1－2a＋a2)＝－5a(1－a)2．
8．【例4】(人教8上P119)分解因式：
(a－b)2＋4ab．
小结：当无公因式可提，又不能运用公式法分解因式时，先将多项式进行化简后再来观察可否分解因式.
解：原式＝a2－2ab＋b2＋4ab＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2．
★12． (人教8上P119)
分解因式：(p－4)(p＋1)＋3p．
解：原式＝p2＋p－4p－4＋3p＝p2－4＝(p＋2)(p－2)．
0.55(共17张PPT)
第5课时 整式的乘法(2)——单项式乘多项式
第十四章 整式的乘法与因式分解
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．掌握单项式与多项式相乘的乘法法则．
2．(2022新课标)能进行简单的整式乘法运算(单项式乘多
项式)．
3．通过自主探索、自主发现，理解法则的来源、本质和
应用．
抽象能力 运算能力
几何直观 应用意识
单项式乘多项式法则
(1)p(a＋b＋c)＝ ．
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘 的每一项，再把所得的积 ．
(2)几何解释：如图，大长方形的面积等于三个小长方形面积的和．(人教8上P99)
相加
多项式
pa＋pb＋pc
1．(1)计算：a2(a－2b)＝( )
A．a3－a2b B．a3－2a2b
C．a3－2ab2 D．a3－a2b2
(2)计算－2a(a2－1)的结果是( )
A．－2a3＋2a B．－2a3＋a
C．－2a3－2a D．－a3＋2a
A
B
单项式乘多项式法则的应用
运用单项式与多项式相乘的法则进行运算的时候，要特别注意符号问题(同号得正，异号得负)．
2．(创新题)证明：对于任意自然数n，代数式n(n＋7)－n(n－5)＋6的值都能被6整除．
证明：原式＝n2＋7n－n2＋5n＋6
＝12n＋6＝6(2n＋1)，
∴能被6整除．
混合运算
当同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式等知识综合时，要注意运算顺序，有同类项的要合并同类项，最后结果必须是最简结果．
3．化简：2x－3x．
解：原式＝x3－2x－x3－2x＝－4x．
4．【例1】计算：
x(4x2－2x－1)＝ ．
小结：多项式是三项，其结果也应是三项.
4x3－2x2－x
8．计算：－2x(x2－3x－1)＝ ．
－2x3＋6x2＋2x
5．【例2】(人教8上P105)计算：
(1)(4a－b2)(－2b)； (2)2x2；
(1)－8ab＋2b3
(2)2x3－x2
(3)5ab(2a－b＋0.2)； (4)(－9a)．
(4)－18a3＋6a2＋4a
(3)10a2b－5ab2＋ab
小结：多项式中的每一项都要与单项式相乘，不要漏乘；相乘时要确定符号，不要出现错误.
9．计算：
(1)a(3a＋4b)； (2)－2a2；
(1)3a2＋4ab
(2)－a3b＋2a2b2
(3)－3a(2a2－a＋3)； (4)(－3m2n)．
(4)－15m4n＋m3n2－3m2n
(3)－6a3＋3a2－9a
小结：化简正确是关键，注意答题过程的严谨性和完整性.
6．【例3】(2024义乌模拟)先化简，再求值：
3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2．
解：原式＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2＝－20a2＋9a，
当a＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98．
10．(人教8上P100)化简：
x(x－1)＋2x(x＋1)－3x(2x－5)．
解：原式＝x2－x＋2x2＋2x－6x2＋15x＝－3x2＋16x．
7．【例4】一块边长为x cm的正方形地砖，若要被裁掉一块2 cm宽的长条，则剩下部分的面积是多少？
小结：画出示意图，能帮助我们准确地理解题意.
解：剩下部分的面积是x(x－2)＝(x2－2x)(cm2)．
★11． 长方体的长、宽、高分别是3x－4，2x和x，它的表面积是多少？
0.50
解：长方体的表面积为
2［(3x－4)·2x＋(3x－4)·x＋2x·x］＝22x2－24x．(共19张PPT)
第1课时 同底数幂的乘法
第十四章 整式的乘法与因式分解
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．掌握同底数幂的乘法的运算法则，并能熟练应用这些法则进行有关计算．
2．通过自主探索、自主发现、自主体验来真正理解法则的来源、本质和应用．
3．(2022新课标)了解整数指数幂的意义和基本性质．
抽象能力 运算能力
同底数幂的乘法法则
(1)同底数幂相乘，底数 ，指数 ．
(2)am·an＝ (m，n都是正整数)．
(3)am·an·ap＝ (m，n，p都是正 整数)．
am＋n＋p
am＋n
相加
不变
1．(1)(人教8上P95、北师7下P4)(2023湖州)计算a3·a的结果为( )
A．a2 B．a3 C．a4 D．a5
(2)计算：x5·x2＝ ；
(3)计算：(－a)2(－a)3＝ ．
－a5
x7
C
逆用同底数幂的乘法法则解决问题
(1)由am·an＝am＋n，反过来，可得am＋n＝ (m，n都是正整数)．
(2)逆用法则时，要注意指数是加法运算，幂之间是乘法
运算．
am·an
2．已知2m＝1，2n＝3，则2m＋n＝( )
A．2 B．3 C．4 D．6
3．(1)若am＝3，an＝2，则am＋n＝ ；
(2)(2023德阳)已知3x＝y，则＝( )
A．y B．1＋y C．3＋y D．3y
D
6
B
同底数幂的乘法与加减法混合运算
(1)整式的加减实质上就是 ．
(2)在具体做题时，要注意先运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算，再进行加减运算．
合并同类项
4．下列各式中，计算结果为x5的是( )
A．x3＋x2 B．x3·x2
C．x·x3 D．x7－x2
5．计算：－a2·a5＋a·a3·a3．
解：原式＝－a7＋a7＝0．
B
小结：注意am·an=am+n.
6．【例1】计算b2·b3正确的结果是( )
A．2b6 B．2b5
C．b6 D．b5
D
10．(1)(2023温州)化简a4·(－a)3的结果是( )
A．a12 B．－a12 C．a7 D．－a7
(2)若am·a2＝a7，则m的值为 ．
5
D
7．【例2】计算：
(1)a·a9； (2)x3n·x2n－2；
(3)； (4)(x－y)3(x－y)2．
(2)原式＝x3n＋2n－2＝x5n－2．
解：(1)原式＝a1＋9＝a10．
解：(3)原式＝＝－＝－．
(4)原式＝(x－y)3＋2＝(x－y)5．
小结：(1)a的指数是1，不要漏掉；(2)x的指数含字母；(3)底数是-；(4)用整体思维，底数是(x-y).
11．计算：
(1)104×10； (2)2n·2n＋3；
(3)－a2·a6； (4)(x－y)(x－y)n－3．
(3)－a8
(1)105
(2)22n＋3
(4)(x－y)n－2
8．【例3】计算：a2·a3－(－a3)·a4＋a6·(－a)．
小结：先用同底数幂的乘法法则，再合并同类项.注意混合运算的顺序和符号不要出错.
解：原式＝a5＋a7－a7＝a5 ．
12．计算：(a－b)3·(b－a)3＋8(b－a)6．
解：原式＝－(a－b)6＋8(a－b)6＝7(a－b)6 ．
9．【例4】(1)已知2a＝5，2b＝3，求2a＋b的值；
(2)(人教8上P96改编)已知y2n＝16，yn＋1＝－8，求y3n＋1的值．
解：(2)y3n＋1＝y2n·yn＋1＝16×(－8)＝－128．
小结：此类题是对am·an=am+n的逆运用，即运用am+n=am·an进行思考并计算.
解：(1)2a＋b＝2a·2b＝5×3＝15 ．
★13． (北师7下P4)已知ax＝－2，ay＝3，求：(1)ax＋y的值；(2)a3x的值．
解：(1)ax＋y＝ax·ay＝(－2)×3＝－6．
(2)a3x＝ax＋x＋x＝ax·ax·ax＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．
0.55
★14． (北师7下P3改编)已知2a＝5，2b＝1，求2a＋b＋3的值．
解：∵2a＝5，2b＝1，
∴2a＋b＋3＝2a×2b×23＝5×1×8＝40．
0.55
