(共20张PPT)
第十一章 三角形
第3课时 三角形的稳定性
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
1．(2022新课标)了解三角形的稳定性．了解四边形的不稳定性．
2．通过练习进一步巩固三角形的边和相关线段．
3．理解三角形的稳定性，并会用其解决一些实际问题．
(人教8上P6、北师7下P98)如图，三角形具有 ，四边形具有 ．
不稳定性
三角形的稳定性
稳定性
1．(2023东莞期中)下列图形中，具有稳定性的是( )
A
(北师7下P98)如：如图，木工师傅做完房门后，为防止变形钉上两条斜拉的木条，这样做的根据是 ．
三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
三角形具有稳定性
三角形的稳定性的实际应用
2．(跨学科融合)(人教8上P7、北师7下P98)在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是( )
C
A．A，C两点之间
B．E，G两点之间
C．B，F两点之间
D．G，H两点之间
3．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在( )
B
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
注意：n(n≥4)边形不具有稳定性，要使n边形木架不变形，至少要钉上(n－3)根木条．
理解三角形的稳定性
解：要使四边形木架不变形，各至少要再钉上1根木条；画图略．
4．如图，要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，各至少要再钉上几根木条？画一画．
小结：稳定性是三角形的特性，这一点需要记忆.
5．【例1】下列图形不具有稳定性的是( )
B
9．(人教8上P8)(2022广东)下列图形具有稳定性的是( )
A．正方形 B．长方形
C．三角形 D．平行四边形
C
小结：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.
6．【例2】(跨学科融合)我们用如图的方法(斜钉上一块木条)来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的
．
稳定性
10．(跨学科融合)(人教8上P7)(2023吉林)如图，钢架桥
的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是
．
三角形具有稳定性
解：(2)(方法不唯一)如图：
7．【例3】(人教8上P7)(1)如图，具有稳定性的是 (填
序号)；
(2)对不具稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
①④⑥
答案图
小结：要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得.
解：图①四边形木架至少需要钉上1根木棍；
图②五边形木架至少需要钉上2根木棍；
图③六边形木架至少需要钉上3根木棍．
11．(人教8上P9、北师7下P99改编)如图，要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍？
解：(方法不唯一)三种方案如图：
8．【例4】如图是一个由七根长度相等的木条钉成的七边形木框．为使其稳定，请用四根木条(长短不限)将这个木框固定不变形，请你设计出三种方案．
答案图
小结：根据三角形具有稳定性进行画图，全部分割成三角形即可.
解：(方法不唯一)如图：
★12． 如图，由6条钢管铰接而成的六边形是不稳定的，请你再用三条钢管连接使之稳固(方法较多，请提供四种不同的连接方法)．
0.55
答案图(共21张PPT)
第6课时 三角形的外角
第十一章 三角形
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)理解三角形外角的概念．
2．(2022新课标)掌握三角形的内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3．会应用三角形的内、外角定理进行有关的计算或证明．
运算能力 几何直观
空间观念 推理能力
三角形的外角的概念
(1)三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
(2)几何语言：如图，△ABC的外角是 ．
∠ACD
1．如图，在∠1，∠2，∠3中，是△ABC外角的是( )
A．∠1，∠2
B．∠2，∠3
C．∠1，∠3
D．∠1，∠2，∠3
C
三角形的外角定理
(1)三角形的外角等于与 的两个内角的和．
(2)几何语言：
如图，∠ACD＝ ＋ ．
∠B
∠A
它不相邻
2．(人教8上P15、北师8上P183)如图，已知∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝135°，∠A＝75°，则∠B的大小为( )
A．60° B．140°
C．120° D．90°
A
3．(人教8上P28)在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是( )
A．80 B．70
C．65 D．60
B
三角形的外角和为 ．
几何语言：如图，∠1＋∠2＋∠3＝ ．
360°
360°
4．(人教8上P15、北师8上P183)如图，∠1＝∠2＝150°，则∠3＝( )
A．30°
B．150°
C．120°
D．60°
D
应用三角形的内、外角定理进行有关的计算或证明
技巧：三角形中角的问题通常转化为“三角形内角和是180°”或“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”来解决．
5．如图，BE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高，∠ABC＝60°，则∠AOE＝ ．
60°
6．【例1】如图，三角形的一个外角为140°，则∠1的度数为( )
A．100° B．110°
C．120° D．130°
小结：掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.
C
10．(2023云浮期中)将一副三角板按如图方式重叠放置，则∠1的度数为( )
A．45° B．60°
C．75° D．105°
C
7．【例2】(人教8上P16、北师8上P181改编)如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝50°，∠B＝35°，则∠ECD等于 °．
小结：利用三角形的外角的性质求出∠ACD即可.
42.5
11．(人教8上P17、北师8上P186)如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝∠E，求∠C的度数．
解：∵AB∥CD，∠A＝45°，
∴∠DOE＝∠A＝45°．
∵∠DOE＝∠E＋∠C，∠C＝∠E，
∴∠C＝∠DOE＝22.5°．
8．【例3】如图，∠B＋∠C＋∠D＋∠E－∠A等于( )
A．360° B．300°
C．180° D．240°
小结：利用三角形外角的性质分别表示∠B+∠C和∠D+∠E，再利用△AGF的内角和定理求解，将角变化到一个三角形中是关键.
C
12．(北师8上P199)如图，五角星的顶点为A，B，C，D，E，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数为( )
A．90° B．180°
C．270° D．360°
B
9．【例4】(2023东莞月考)如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，求∠O的度数．
解：∵∠A＝80°，∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°，
∴∠ACB＋∠ABC＝100°，
∴∠ECB＋∠DBC＝180°＋180°－100°＝260°，
∵∠DBC，∠ECB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠DBC，∠OCB＝∠ECB，
∴∠OBC＋∠OCB＝×260°＝130°，
∴∠O＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－130°＝50°．
小结：注意整体思想的运用，利用三角形的内角和定理求出∠ACB+∠ABC的度数，再利用三角形的外角和角平分线的性质求出∠OBC+∠OCB的度数，进而得出结论.
★13． (人教8上P17、北师8上P187)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线相交于点P．
若∠A＝70°，求∠P的度数．
解：∵BP平分∠ABC，PC平分∠ACE，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC，∠ACP＝∠ECP＝∠ACE．
又∵∠A＝70°，∴∠ACE＝70°＋∠ABC．
同理，∠PCE＝∠P＋∠PBC，
∴2(∠P＋∠PBC)＝∠A＋∠ABC＝∠A＋2∠PBC，
∴∠P＝∠A＝×70°＝35°．
0.55(共22张PPT)
第十一章 三角形
第1课时 三角形的边
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
运算能力 几何直观
推理能力 模型观念
1．(2022新课标)理解三角形的概念．
2．能根据三角形的边、角特点对三角形进行分类．
3．(2022新课标)证明三角形的任意两边之和大于第三边．
4．会利用三角形三边关系判断已知的三条线段能否构成三角形．
(1)三角形的定义：
由不在同一条直线上的三条线段首尾 所组成的图形叫做三角形．
(2)三角形的三要素：
边、顶点、角．
(3)三角形的表示：
“三角形”用符号“ ”表示，如“三角形ABC”用符号表示为“ ”．
△ABC
△
三角形的有关概念
顺次相接
1．下列图形符合三角形概念的是( )
C
2．如图，共有 个三角形；在△ABD中，AD所对的角是 ；在△ABC中，∠BAC所对的边是 ；
以AD为边的三角形有 ．
△ABD，△ADC
BC
∠B
3
(2)按边分类：三角形
(1)按角分类：三角形
三角形的分类
如图，小椭圆圈里的A表示 ．
等边三角形
3．三角形按角分类可以分为( )
A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
C．直角三角形、等腰直角三角形
D．以上答案都不正确
A
4．下列说法正确的有( )
①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；
②等边三角形是特殊的等腰三角形；
③等腰三角形是特殊的等边三角形；
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
(1)三角形两边的和 第三边，三角形两边的差
第三边．
(2)运用技巧：能组成三角形的三条线段满足两条较短的线段的长之和大于最长的线段的长．
小于
三角形的三边关系
大于
5．(2023衡阳)下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( )
A．1 cm，2 cm，3 cm B．3 cm，8 cm，5 cm
C．4 cm，5 cm，10 cm D．4 cm，5 cm，6 cm
6．若三角形的两边长分别是3和5，则第三边长x的取值范围是 ．
2＜x＜8
D
小结：三角形的定义中应注意“首尾顺次相接”这一含义.
A．7 B．6
C．5 D．4
7．【例1】如图，三角形的个数是( )
B
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11．(人教8上P4)如图，以BC为边的三角形共有( )
C
(3)5，6，10．
(3)能，5＋6＞10．
8．【例2】(核心教材母题：人教8上P4、北师7下P86)下列长度的三条线段是否能组成三角形？为什么？
(1)3，4，8； (2)5，6，11；
(1)不能，3＋4＜8．
小结：判断能否组成三角形的简便方法是看较短的两条线段长的和是否大于第三条线段长.
(2)不能，5＋6＝11．
核心教材母题：教材是新中考命题的依据，近年来广东省中考题中有多道题的素材来源于人教版和北师大版教材.本书将两个版本重合的教材母题进行汇总，并作为课堂例习题呈现.
A．2 m B．30 m
C．28 m D．20 m
12．(跨学科融合)(2023东莞期末)为估计池塘两岸A，B间的距离，晓聪在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16 m，PB＝12 m，那么AB间的距离可能是( )
D
小结：根据三角形三边关系（两边的和大于第三边，两边的差小于第三边）确定第三边的取值范围，再选择符合条件的偶数即可.
9．【例3】(北师7下P86)△ABC的两边长分别是3和5，且第三边长为偶数，则第三边长为 ．
4或6
13．(2023徐州)若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 (写出一个即可)．
5(答案不唯一)
解：①当6 cm是腰长时，底边长＝20－6×2＝8(cm)，即其他两边长是6 cm，8 cm，此时能构成三角形；
②当6 cm是底边长时，腰长＝(20－6)÷2＝7(cm)，此时能构成三角形，所以其他两边长是7 cm，7 cm．
综上所述，其他两边长分别为6 cm，8 cm或7 cm，7 cm．
10．【例4】(人教8上P8、北师7下P87改编)一个三角形有两条边相等，周长为20 cm，三角形的一边长为6 cm，求其他两边的长．
小结：没有明确腰和底边的题目一定要想到有两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形.
解：设三角形的边长为a，a，b，根据题意有如下两种情况：
①或②，
解①得，解②得，
∵①a＋b＝14＋21＝35＞21，②2a＝32＞24，
∴此两组解都符合题意．故这个三角形的三边长分别是21，21，14或16，16，24．
★14． (创新题)已知一个三角形有两边相等，并且周长为56，两不等边之比为3∶2，求这个三角形各边的长．
0.55
备注：每课时带★的题目为提高题.（难度系数越小，题目越难）(共19张PPT)
第十一章 三角形
第5课时 三角形的内角(2)——直角三角形的性质与判定
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
运算能力 几何直观
空间观念 推理能力
1．(2022新课标)理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余．
2．(2022新课标)掌握有两个角互余的三角形是直角三角形．
3．会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算或证明．
(1)直角三角形的两个锐角 ．
几何语言：
如图，在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝ ．
90°
直角三角形的性质定理
互余
(2)直角三角形的表示：
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成 ．
Rt△ABC
1．(2023肇庆期末)在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
C
解：∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠A＋∠AOB＝90°，∠D＋∠COD＝90°．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A＝∠D．
2．如图，∠B＝∠C＝90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？
3．(人教8上P16)如图，AD⊥BC，∠1＝∠2，∠C＝65°，则∠BAC的度数为 ．
70°
有两个角互余的三角形是 三角形．
几何语言：
如图，在△ABC中，
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠C＝ ．
∴△ABC为 三角形．
直角
90°
直角三角形的判定定理
直角
5．(2024苏州模拟)具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C
4．在△ABC中，已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都有可能
D
C
解：∠CAE与∠DBE相等．理由如下：
在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC．
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED．
∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE．
6．【例1】(人教8上P14、北师8上P185改编)如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E．∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
小结：掌握直角三角形的两锐角互余、对顶角相等是解题的关键.
解：∠ACD＝∠B，理由如下：
∵在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＋∠DCB＝∠B＋∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠B．
10．(人教8上P14、北师8上P180)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
小结：熟悉直角三角形中两锐角互余和三角形的内角和等于180°是解题的关键.
7．【例2】(人教8上P29)如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是边AC上的高，则∠DBC的度数为 ．
18°
11．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝70°，∠DAE＝10°，则∠C的度数为 ．
50°
解：△ABD是直角三角形．理由如下：
∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，
∴∠C＋∠D＝90°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＋∠D＝90°，∴∠ABD＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
小结：区分运用直角三角形的性质和判定.
8．【例3】如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A＝∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
解：△ADE是直角三角形，理由如下：
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠2＝90°，
∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠1＝90°，
∴∠ADE＝90°，∴△ADE是直角三角形．
12．(人教8上P14、北师8上P183改编)如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴∠CED＋∠DCE＝90°．
∵∠ACB＝∠CED，
∴∠ACB＋∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝180°－(∠ACB＋∠DCE)＝90°．
∴△ACE是直角三角形．
9．【例4】如图，AB，ED分别垂直于BD，点B，D是垂足，且∠ACB＝∠CED．求证：△ACE是直角三角形．
小结：找出∠ACB+∠DCE=90°是解题的关键.
证明：∵AE，CE分别平分∠CAB，∠ACD，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD．
∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∴∠EAC＋∠ACE＝∠BAC＋∠ACD＝(∠BAC＋∠ACD)＝90°，
∴∠E＝180°－(∠EAC＋∠ACE)＝90°，
∴△ACE是直角三角形．
★13． (人教8上P17改编)如图，AB∥CD，AE，CE分别平分∠CAB，∠ACD．求证：△ACE是直角三角形．
0.50(共19张PPT)
第4课时 三角形的内角(1)——三角形的内角和
第十一章 三角形
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)理解三角形内角的概念．
2．(2022新课标)探索并证明三角形的内角和定理．
3．会运用三角形的内角和定理进行简单的计算或证明．
运算能力 几何直观
空间观念 推理能力
证明：如图，过点A作直线DE∥BC，
∵DE∥BC，∴∠2＝∠ ，∠3＝∠ ．
∵∠1＋∠2＋∠3＝ ，
∴∠A＋∠B＋∠C＝ ．
180°
180°
C
三角形的内角和定理
B
(1)三角形三个内角的和等于 ．
(2)如图，已知△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．
180°
(3)求三角形中角的度数的类型：
①直接根据两个已知角求第三个角；
②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角．
1．如图，三角形的两个内角分别为55°和75°，则它的第三个内角的度数是( )
A．70° B．60°
C．50° D．40°
C
2．(人教8上P16、北师7下P84改编)如图，该图形中的x的值为( )
A．60 B．65
C．70 D．75
3．(2023遂宁)若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形是 三角形．
直角
A
运用三角形的内角和定理进行简单的计算或证明
技巧：解题时注意挖掘出隐含在题干中的已知条件“三角形的内角和是180°”．
4．(人教8上P12、北师8上P179)如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，则∠ADB的度数为 ．
85°
5．(跨学科融合)如图，甲船在A处测得灯塔B的方向是北偏东54°，再沿正东方向行驶到C处，在C处测得灯塔B的方向是北偏东18°，则∠B的度数是 ．
36°
6．【例1】(北师8上P179改编)如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝63°，DE∥AB，则∠DEC等于( )
A．63° B．113°
C．55° D．62°
小结：根据平行线的性质将三个角转化到同一个三角形中.
D
9．(2023徐州)如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝ °．
55
7．【例2】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则
∠A＝ ．
小结：利用三角形的内角和定理构建方程解决问题.
36°
10．(2023东莞期末)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为( )
A．35° B．40°
C．70° D．110°
B
8．【例3】如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线．
(1)若∠C＝70°，∠BAC＝60°，则∠BED的度数是 ；
55°
(2)探究∠BED与∠C的数量关系，并证明你的结论．
解：(2)结论：∠BED＝90°－∠C，证明如下：
∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠ABC，∠BAE＝∠BAC，
∴∠BEA＝180°－(∠ABE＋∠BAE)＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝180°－(180°－∠C)＝90°＋∠C，
∴∠BED＝180°－∠BEA＝180°－＝90°－∠C．
小结：熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义，并能进行推理计算是解决问题的关键.
★11． (人教8上P17、北师8上P187)(1)如图1，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
①当∠A＝60°时，∠D的度数是 ；
②猜想∠A与∠D有什么数量关系？证明你的结论；
(2)如图2，BD平分∠CBP，CD平分∠BCQ，(1)中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论(不用写出证明过程)．
120°
0.50
解：(1)②∠D＝90°＋∠A，
证明如下：
∵∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC＋∠DCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝90°－∠A，∴∠D＝180°－＝90°＋∠A．
(2)不正确．结论：∠D＝90°－∠A．(共18张PPT)
第十一章 三角形
第9课时 多边形的外角和
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
运算能力 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
1．(2022新课标)探索并掌握多边形外角和公式．
2．能综合运用多边形内角和与外角和定理解决问题．
(1)多边形的外角和等于 °
多边形的外角和
360
(2)多边形的外角和与边数无关．
1．(人教8上P24、北师8下P156)填空：
(1)三角形的外角和等于 ；
(2)五边形的外角和等于 ；
(3)八边形的外角和等于 ．
360°
360°
360°
2．如图，画出四边形的四个外角．
图略
(1)已知一个正多边形的一个外角，求该多边形的边数．
(2)已知一个正多边形的边数，求该多边形的每一个外角．
(3)注意：①正多边形的外角和等于360°；
②正n边形的每个顶点处各取一个外角，则有n个外角；
③正多边形的每一个外角都相等．
运用多边形的外角和进行相关计算
3．(2023东莞二模)正十边形的外角和为 ．
4．(2023扬州)如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为 ．
5．(2023徐州)正五边形的一个外角等于 °．
72
6
360°
(1)多边形的一个内角与该角的外角互补．
(2)注意灵活应用多边形的内角和公式与外角和等于360°，可快速解题．
多边形的内角和与外角和的综合应用
6．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于 ．
7．(2024西安一模)若多边形的一个内角等于144°，且每个内角的度数相等，则这个多边形的边数是 ．
10
72°
8．若一个正多边形的每一个外角都是36°，则这个正多边形的内角和的度数等于 ．
9．(人教8上P25、北师8下P156)(2024河北模拟)已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的2倍，则这个多边形的边数是 ．
6
1 440°
小结：正多边形的外角和是360°，且这个正多边形的每个外角相等.
10．【例1】(2024宜昌模拟)正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为( )
A．12 B．10 C．8 D．6
A
14．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为( )
A．540° B．720°
C．900° D．1 080°
D
小结：结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程.
11．【例2】(北师8下P156)(2024西安模拟)若一个多边形的内角和与外角和之比是5∶2，则这个多边形的边数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
B
15．(人教8上P28)一个多边形的内角和比外角和多540°，则这个多边形为( )
A．五边形 B．六边形
C．七边形 D．八边形
C
小结：走过的路程是正多边形的周长.先用360°除以36°求出边数，从而求出正多边形的周长.
12．【例3】(跨学科融合)如图，蚂蚁从点M出发，沿直线行走4米后左转36°，再沿直线行走4米，又左转36°，…，照此走下去，它第一次回到出发点M，一共行走的路程是
．
40米
A．28° B．30°
C．33° D．36°
16．小丽利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线走6米后，再向左转θ，…，如此下去，当她第一次回到A点时，发现自己走了72米，则θ的度数为( )
B
小结：将已知角转化到外角中去，再利用外角和定理求解.
答案图
解：如图，
由题意得∠5＝180°－∠EAB＝60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－∠5＝300°．
13．【例4】(人教8上P23、北师8下P155)如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．
证明：∵∠α与∠ADC是邻补角，∠β与∠ABC是邻补角，
∴∠α＝180°－∠ADC，∠β＝180°－∠ABC，
∴∠α＋∠β＝360°－(∠ADC＋∠ABC)．
∵∠A，∠ABC，∠C，∠ADC是四边形ABCD的内角，
∴∠A＋∠C＝360°－(∠ADC＋∠ABC)，
∴∠α＋∠β＝∠A＋∠C．
★17． (创新题)如图，∠α，∠β分别是四边形ABCD的外角，求证：∠α＋∠β＝∠A＋∠C．
0.55(共20张PPT)
第十一章 三角形
第7课时 多边形
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
几何直观 空间观念
推理能力 模型观念
1．(2022新课标)了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线．
2．(2022新课标)了解正多边形的概念．
(1)在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的 图形叫做多边形．
(2)一个n边形有 个顶点， 条边， 个内角，
个外角．
2n
n
n
n
多边形的定义
封闭
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
1．如图所示的图形中，属于多边形的有( )
A
(1)连接多边形 的两个顶点的 ，叫做多边形的对角线．
(2)如图，五边形ABCDE的对角线
有 ．
AC，EC
线段
对角线的定义
不相邻
(3)方法：多边形的对角线的知识及多边形的有关问题，可以通过作对角线转化为三角形的问题解决，体现数学中的转化思想．
2．从五边形的其中一个顶点出发，一共可以引出的对角线条数有( )
A．2条 B．3条 C．5条 D．6条
A
4．八边形中对角线的条数共有( )
A．5条 B．6条 C．20条 D．40条
解：如图：
C
3．(人教8上P21)如图，画出多边形的全部对角线．
答案图
(1)各个角都 ，各条边都 的多边形叫做正多边形．
(2)例：如图，在正四边形ABCD中，
AB BC CD DA，
∠A ∠B ∠C ∠D．
＝
＝
＝
＝
＝
＝
相等
正多边形的定义
相等
5．关于正多边形的概念，下列说法正确的是( )
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等或各角相等的多边形是正多边形
D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
D
6．下列图形为正多边形的是( )
D
A B C D
小结：根据截去一个角后边数增加1、不变、减少1讨论得解.
7．【例1】(北师8下P154改编)一个四边形截去一个角后所形成的多边形可能为 ．
三角形或四边形或五边形
11．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为( )
A．14或15 B．13或14
C．13或14或15 D．14或15或16
C
小结：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在直线的同一侧，那么它就是凸多边形.
8．【例2】如图，不是凸多边形的是( )
C
12．下列选项的图形中，不是凸多边形的是( )
A
小结：根据正多边形的性质，写出特征.
9．【例3】正三角形、正方形、正六边形都是大家熟悉的特殊多边形，它们有很多共同特征，请写出其中的两点：
(1) ；
(2) ．
各内角都相等(答案不唯一)
各边都相等(答案不唯一)
13．(跨学科融合)(2023潮州模拟)如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ．
n2＋2n
10．【例4】(人教8上P21、北师7上P125改编)探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，经过A点可以作 条对角线；同样，经过B点可以作 条对角线；经过C点可以作 条对角线； 经过D点可以作 条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 条对角线．
2
1
1
1
1
小结：根据多边形的对角线，从特殊到一般，找出规律.
(2)拓展延伸：运用(1)的分析方法，可得：
图2共有 条对角线；
图3共有 条对角线．
(3)探索归纳：对于n边形(n＞3)，共有 条对角线．
(4)特例验证：十边形有 条对角线．
35
9
5
★14． (创新题)如图，过m边形的一个顶点有8条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，试求(m－p)n的值．
解：∵过m边形的一个顶点有8条对角线，
∴m－3＝8，即m＝11．
∵n边形没有对角线，∴n＝3．
∵p边形有p条对角线，
∴p＝p(p－3)÷2，解得p＝5，
∴(m－p)n＝(11－5)3＝216．
0.50(共21张PPT)
第十一章 三角形
第8课时 多边形的内角和
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
运算能力 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
(2022新课标)探索并掌握多边形内角和公式．
(1)n边形的内角和为 ．
(2)技巧：公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出(n－3)条对角线，将n边形分割为(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．
多边形的内角和
(n－2)×180°
…
三角形内角和 四边形内角和 五边形内角和 六边形内角和 …
180°×1 180°×2 180°×3 180°×4 …
1．(人教8上P24、北师8下P159)填空：
(1)四边形的内角和等于 ；
(2)五边形的内角和等于 ；
(3)六边形的内角和等于 ；
(4)八边形的内角和等于 ；
(5)十边形的内角和等于 ．
1 440°
1 080°
720°
540°
360°
2．若一个多边形的内角和是1 800°，则它是 边形．
十二
3．(人教8上P22、北师8下P153)如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°．∠B与∠D有怎样的关系？
解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，
又∠A＋∠C＝180°，
∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°．
(1)正三角形的每个内角的度数为 ；
(2)正方形的每个内角的度数为 ；
(3)正六边形的每个内角的度数为 ．
120°
90°
正多边形的内角度数
60°
5．(2023益阳)如图，在正六边形
ABCDEF中，∠FAB＝ °．
4．(北师8下P154)填空：
(1)正八边形的每个内角的度数为 ；
(2)正n边形的每个内角的度数为 ．
120
135°
方法：正多边形边数与内角的求法，依据正多边形的定义与多边形的内角和公式求解．
求正多边形的边数与内角
6．(2023惠州模拟)已知正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是 ．
7．(人教8上P25、北师8下P154)(2024徐州一模)正五边形的每个内角的度数为 ．
108°
8
小结：利用n（n≥3）边形的内角和是（n-2）×180°求解.
8．【例1】下列度数不能成为某多边形的内角和的是( )
A．1 440° B．1 080°
C．900° D．600°
D
12．(人教8上P24)十二边形的内角和为( )
A．1 620° B．1 800° C．1 980° D．2 160°
13．(人教8上P25改编)(2023济宁)一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 边形．
五
B
解：(4－2)×180°＝360°，
x°＋x°＋10°＋60°＋90°＝360°，
解得x＝100．
小结：先根据边数求多边形的内角和，再列方程求未知数的值.
9．【例2】(人教8上P28)如图，求出图中x的值．
解：(5－2)×180°＝540°，
x°＋x°－10°＋x°＋70°＋x°＋20°＝540°，
解得x＝115．
14．(人教8上P28)如图，求出图中x的值．
解：设这个多边形的边数为n．
依题意，得＝120°，
解得n＝6．
即这个多边形的边数为6．
10．【例3】(人教8上P24、北师8下P154改编)一个正多边形的每一个内角都等于120°，求这个多边形的边数．
解：∵五边形的内角和是(5－2)×180°＝540°，
∴每个内角为540°÷5＝108°，
∴∠E＝∠B＝∠BAE＝108°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由三角形的内角和定理可知，
∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝(180°－108°)÷2＝36°，
∴∠CAD＝∠BAE－∠1－∠3＝108°－36°－36°＝36°．
15．(人教8上P25、苏教7下P35)如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠CAD的度数．
(1)解：∵六边形ABCDEF的每个内角都相等，
∴一个内角的大小为＝120°，
∴∠E＝∠F＝∠BAF＝120°．
∵∠FAB＝120°，∠1＝48°，
∴∠FAD＝∠FAB－∠1＝120°－48°＝72°．
∵∠2＋∠FAD＋∠F＋∠E＝360°，∠F＝∠E＝120°，∴∠2＝360°－∠FAD－∠F－∠E＝360°－72°－120°－120°＝48°．
11．【例4】(人教8上P25改编)如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD．
(1)若∠1＝48°，求∠2的度数；(2)求证：AB∥DE．
(2)证明：∵∠1＝120°－∠DAF，
∠2＝360°－120°－120°－∠DAF＝120°－∠DAF，
∴∠1＝∠2，∴AB∥DE．
小结：（1）依据六边形ABCDEF的各内角相等，可得一个内角的大小，再依据四边形内角和为360°，即可得∠2的度数；（2）先证明∠1=∠2，可得到AB∥DE.
(1)证明：∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC＋∠ADC＝360°－90°－90°＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠ADC，
∴∠1＋∠3＝(∠ABC＋∠ADC)＝×180°＝90°，
又∠1＋∠AEB＝90°，∴∠3＝∠AEB，∴BE∥DF．
(1)求证：BE∥DF；
(2)若∠ABC＝56°，求∠ADF的大小．
★16． (人教8上P29)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．
0.50
(2)解：∵∠ABC＝56°，
∴∠ADC＝360°－∠A－∠C－∠ABC＝124°，
∵DF平分∠CDA，
∴∠ADF＝∠ADC＝62°．(共21张PPT)
第十一章 三角形
第2课时 三角形的高、中线与角平分线
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
运算能力 几何直观
推理能力 模型观念
1．(2022新课标)理解三角形中线、高线、角平分线等概念．
2．(2022新课标)了解三角形重心的概念．
3．会画任意三角形的高、中线与角平分线．
4．会运用三角形的高、中线与角平分线的概念进行简单的
计算．
(1)从三角形的一个顶点向对边作 ，
垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
(2)锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形
；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是 ；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形 ．
外一点
直角顶点
内一点
三角形的高
垂线
1．(2024河北一模)下列画△ABC的边BC上的高正确的是( )
A
2．(2024佛山模拟)如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
C
(2)如图，AE是△ABC的中线，则BC＝ BE．
(1)三角形的中线是三角形的一个顶点与 连接的线段．
2
三角形的中线
对边中点
(3)三角形三条 的交点在三角形内部，这个交点叫做三角形的重心．
中线
4．(北师7下P89)三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
A．5 B．6
C．8 D．4
B
3．如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，则AD＝( )
A
(1)三角形的一个 和对边相交，顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形的角平分线
角的平分线
(2)如图，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠DAC＝
∠BAC．
A．∠1＝∠BAC
B．∠1＝∠ABC
C．∠1＝∠BAC
D．∠1＝∠ABC
5．如图，AD是△ABC的角平分线，则( )
A
注意：三角形的高、中线和角平分线都是线段．
根据三角形的高、中线和角平分线的概念，进行简单的计算
6．(人教8上P8、北师8上P185)如“知识点4”图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，AF是高，如果BC＝10 cm，那么BE＝ ；如果∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，∠BAC＝80°，那么∠BAD＝ ，∠AFD＝ ．
90°
40°
5 cm
小结：理解三角形的高的定义是关键，特别是钝角三角形
的高.
A．BF B．CF
C．BD D．AE
7．【例1】(北师7下P90)如图，在△ABC中，BC边上的高为( )
D
11．如图，在线段AD，AE，AF中，△ABC的高是线段
．
AF
小结：分别用式子表示△ABD和△BCD的周长.
8．【例2】(2023东莞期中)如图，BD是△ABC的中线，AB＝
6 cm，BC＝4 cm，则△ABD和△BCD的周长差为 cm．
2
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
12．(2023广州期末)如图，CM是△ABC的中线，BC＝8 cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2 cm，则AC的长为( )
D
小结：根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的定义进行判断，在较复杂的图形中要看清楚关系.
A．BA＝2BF
B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE
D．CD⊥AB
9．【例3】(2024山东模拟)如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式错误的是( )
C
A．AD是△ABE的角平分线
B．BE是△ABD边AD上的中线
C．CH为△ACD边AD上的高
D．AH为△ABC的角平分线
13．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的是( )
C
解：(1)(2)(3)图略．
(4)∵BC＝4，高AM＝5，∴S△ABC＝BC·AM＝×4×5＝10．
∵BF是△ABC的中线，∴S△ABF＝S△ABC＝×10＝5．
10．【例4】(人教8上P8改编、北师7下P91改编)如图，在△ABC中，∠ABC是钝角．
(1)画出∠BAC的平分线AE；
(2)画出AC边上的中线BF；
(3)画出BC边上的高AM；
(4)若BC＝4，BC边上的高AM＝5，求△ABF的面积．
小结：（1）本题中画钝角三角形的高是一个难点，注意在画BC边上的高时，需延长CB；（2）三角形的底与底边上的高可计算面积，三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分（等底同高）
答案图
解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝70°＋20°＝90°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝70°－20°＝50°．
综上所述，∠BAC的度数为90°或50°．
★14． (创新题)已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数．
0.50
