(共20张PPT)
第7课时 整数指数幂
第十五章 分式
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)了解负整数指数幂的意义和基本性质．
2．会进行简单的整数范围内的幂运算．
3．(2022新课标)会用科学记数法表示数(包括在计算器上
表示)．
抽象能力 运算能力
推理能力 应用意识
负整数指数幂的意义
一般地，当n是正整数时，a－n＝ (a≠0)．这就是说a－n(a≠0)是an的倒数．
1．计算：
2－3＝ ； (－2)－3＝ ；
(－2)－4＝ ； ＝ ．
9
－
整数指数幂的运算性质
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)n＝anbn；
(4)am÷an＝am－n(a≠0，m＞n)；
(5)；
(6)a0＝1(a≠0)；
(7)a－n＝(a≠0)；
(8)＝an(a≠0)．
以上式子中，m，n均为正整数．
结果书写要求：
书写整数指数幂的运算结果时，要把幂指数都化为正整数．
口诀：
关于整数指数幂，运算法则要牢记；
幂的运算到最后，负整数幂再变形．
2．(人教8上P144改编)计算：
(1)ab÷ab； (2)ab÷a·b；
(1)1
(3)(a－1b2c－3)2； (4)a－2·(ab－2)－3；
(5)(2ab2c－3)－2÷(a－2b)2．
(2)b2
(3)
(4)
(5)
科学记数法
a×10n(1≤＜10，n为整数)．
如：±1 000＝±103；
±0.001＝±10－3；
±25 600＝±2.56×104；
±0.000 256＝±2.56×10－4．
3．用科学记数法表示下列各数：
(1)503 000＝ ；
(2)0.000 001＝ ；
(3)－0.000 000 52＝ ．
－5.2×10－7
10－6
5.03×105
4．【例1】计算：
(1)3－1＝ ；(2)(－2)－1＝ ；
(3)(－x)－2＝ ；
(4)x－3·x2＝ ．
小结：运算结果中幂的符号与指数的正负无关，只与指数的奇偶和底数的符号有关.
－
9．计算：
(1)＝ ； (2)＝ ；
(3)x2÷x－3＝ ；
(4)(ab－1)－3＝ ．
x5
2
5．【例2】计算：
(1)(人教8上P144)a－2b2·(a2b－2)－3；
解：(1)原式＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝．
(2)×π0＋(－0.2)－2．
小结：书写幂的运算结果时，要把幂指数都化为正整数.如：结果不能是a-8b8，应将负整数次幂化为正整数次幂的形式.
解：(2)原式＝100＋20×1＋25＝145．
10．计算：
(1)(－2a－2b3)÷(a3b－1)3；
(2)÷(－2)－3×(－2)－2．
解：(1)原式＝－＝－．
解：(2)原式＝×(－8)×＝－．
小结：指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
6．【例3】(传统文化)第五套人民币硬币分为兰花1角、荷花5角、菊花1元．自古以来人们就把兰花视为高洁、典雅、爱国和坚贞不渝的象征．硬币兰花1角的直径约是19毫米，则数据“19毫米”用科学记数法表示为 米．
1.9×10－2
11．(跨学科融合)(2023泰州)溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下CaCO3的溶度积约为0.000 000 002 8，将0.000 000 002 8用科学记数法表示为 ．
2.8×10－9
7．【例4】计算：(2.4×10－7)×(5×103)．
解：原式＝(2.4×5)×(10－7×103)
＝12×10－4＝1.2×10－3．
小结：运用交换律、结合律把同底数幂结合到一起是关键.
12．计算：(3×10－3)×(5×10－4)．
解：原式＝15×10－7＝1.5×10－6．
小结：读懂新定义和新运算是解题关键.
8．【例5】(创新题)定义一种新的运算：如果a≠0，则有a▲b＝a－2＋ab＋|－b|，那么▲2的值是( )
A．－3 B．5 C．－ D．
B
★13． 已知10a＝20，10b＝5－1，求a－b
的值．
解：∵10a÷10b＝20÷5－1＝102，
∴10a－b＝102．
∴a－b＝2．
0.55(共18张PPT)
第2课时 分式的基本性质
第十五章 分式
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)能利用分式的基本性质进行约分和通分．
2．(2022新课标)了解最简分式的概念．
3．了解最简公分母的概念和通分的步骤．
4．体会类比、转化等数学思想，获得代数学习的成功经验．
抽象能力 运算能力
(1)分式的分子与分母乘(或除以)同一个 的整式，分式的值 ．
不变
分式的基本性质
不等于
(2)用式子表示＝ ，＝ (C≠0)，其中A，B，C是整式．
1．不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数：
(1)＝ ；
(2)＝ ．
(1)根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的
约去，叫做分式的约分．
(2)分子与分母没有公因式的式子，叫做 ．
最简分式
分式的约分、最简分式
公因式
2．把下列分式化为最简分式：
(1)＝ ；
(2)＝ ．
(1)根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 的分式，叫做分式的通分．
(2)几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的 作为公分母，它叫做 ．
(3)通分的步骤：
①求各分式的最简公分母；
②用这个最简公分母除以分式的分母；
③用所得的商去乘各分式的分子、分母．
最简公分母
积
分式的通分、最简公分母
同分母
3．(人教8上P132)通分：
(1)； (2)．
(2)．
解：(1)．
4．【例1】(1)约分：
＝ ；＝ ；＝ ；
(2)填空：
①；
②．
x－1
x＋1
a
3a
3a
小结：利用分式的基本性质进行约分、通分时，只改变分式的形式，不改变分式值的大小.
8．(1)通分：．
＝ ，＝ ，＝ ；
(2)填空：
①；
②．
(3)(人教8上P131、北师8下P113)
＝ ．
5．【例2】约分：
(1)＝ ；
(2)＝ ；
－
小结：分式的分子、分母是多项式时，一般对分子、分母先进行因式分解.
9．约分：
(1)＝ ；
(2)＝ ＝ ；
(3)＝ ＝ ．
－
ab＋2
6．【例3】将分式进行通分．
解：最简公分母为12xy2，
∴．
小结：关键是正确找出最简公分母12xy2.
10．将进行通分．
解：最简公分母为x(x＋3)(x－3)，
∴，
．
7．【例4】判断下列分式的变形是否一定正确，并说明理由．
(1)； (2)＝－．
解：(1)错误．理由如下：
分子、分母不是同时除以x，所以变形不正确．
(2)正确．理由是：分子、分母同时除以(a－b)，且题目中隐含着a－b≠0这一条件，所以变形一定正确．
小结：正确使用分式的基本性质，特别要记住，分子、分母乘或除以的数或式不能为0.
0.55
★11． 判断下列分式的变形是否一定正确，并说明理由．
(1)； (2)－．
解：(1)不一定正确．理由是：分子、分母同乘的是字母c，但是不能确定字母c的值不为0，所以变形不一定正确．
(2)不一定正确．理由是：分子、分母同乘的是a－b，但是不能保证a－b≠0，所以变形不一定正确．(共17张PPT)
第3课时 分式的乘除(1)
第十五章 分式
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．掌握分式乘、除的运算法则．
2．(2022新课标)能对简单的分式进行乘、除运算．
3．通过分式的学习，能将分式的各种运算与分数的相应运算进行类比，体会从“特殊到一般”及“类比”的数学思想．
抽象能力 运算能力
应用意识
(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用 作为积的分子， 作为积的分母．
(2)用式子表示为＝ ．
(3)进行分式的乘法运算时，如果分式的分子、分母是多项式，那么要把分子、分母分别作为一个整体放到括号里参与运算．
分母的积
分式的乘法
分子的积
1．计算：
(1)； (2)．
(1)
(2)
(1)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的 、
颠倒位置后，与被除式相乘．
(2)用式子表示为＝ ．
(3)进行分式的除法运算时，如果除式是整式，可把它化为分母为1的形式，然后转化为乘法运算．
分母
分式的除法
分子
2．计算：
(1)； (2)．
(1)
(2)
教科书第136页例3的启示
比较两个分式的值的大小的方法：
(1)先确定两个分式的值的正负性；
(2)分母相同比较分子，分子相同比较分母；
(3)分子、分母都不同时，通分后比较分子．
3．(人教8上P137)已知a＞1，比较的大小．
解：∵a＞1，∴a2－1＞0，(a－1)2＞0，
a2－1－(a－1)2＝a2－1－a2＋2a－1＝2a－2＝2(a－1)＞0，
∴a2－1＞(a－1)2，则．
4．【例1】计算：
(1)＝ ，a·＝ ；
(2)＝ ；
(3)＝ ．
小结：(1)整式与分式相乘时，把整式看作分母是1的式子；(2)分子或分母是多项式时，要分解因式，看能否约分.
7．计算：
(1)＝ ；
(2)＝ ；
(3)＝ ．
5．【例2】计算：
(1)＝ ；
(2)＝ ；
(3)＝ ．
小结：用转化思想，将除法转化为乘法计算.
3
8．计算：
(1)＝ ；
(2)＝ ；
(3)＝ ．
1
6．【例3】一条由甲地到乙地的铁路全长为s千米，一列火车从甲地到乙地需要a小时．一条由甲地到乙地的公路全长为这条铁路全长的m倍，一辆汽车从甲地到乙地需要
b小时．
(1)火车的速度为多少千米/时？
(2)汽车的速度为多少千米/时？
(3)火车的速度是汽车的速度的多少倍？
解：(1)∵铁路全长为s千米，火车需要a小时，
∴火车的速度为千米/时．
(2)∵公路全长为铁路的m倍，汽车需要b小时，
∴汽车的速度为千米/时．
(3)火车的速度是汽车的速度的倍．
小结：速度=.
★9． (跨学科融合)荔枝是一种南亚热带水果，盛产于我国广东、福建一带的南方地区．据史书记载，唐宋时期四川地区荔枝种植比较广泛，其中合江县是我国最北的荔枝产地，在此栽培已有1 000多年的历史．有甲、乙两筐荔枝，甲筐荔枝重(x－1)2千克，乙筐荔枝重(x2－1)千克(其中x＞1)，售完后，两筐荔枝都卖了50元．
(1)哪筐荔枝的单价低？
(2)高的单价是低的单价的多少倍？
0.50
解：(1)甲筐荔枝的单价为元/千克，
乙筐荔枝的单价为元/千克，
∵x＞1，∴(x－1)2＜x2－1，
∴，
所以乙筐荔枝的单价低．
(2)，
所以高的单价是低的单价的倍．(共17张PPT)
第6课时 分式的加减(2)
第十五章 分式
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)能对简单的分式进行加、减、乘、除运算．
2．能进行分式的混合运算．
3．通过分式的学习，能将分式的各种运算与分数的相应运算进行类比，体会从“特殊到一般”及“类比”的数学思想．
抽象能力 运算能力
(1)①式与数有相同的混合运算顺序：
先 ，再 ，然后 ，有括号要先算
．
②同级运算按从左到右的顺序依次进行．
③在运算过程中，可灵活运用交换律、结合律、分配律．
括号里面的
加减
乘除
分式的混合运算
乘方
(2)要注意各分式中的分子、分母的符号的处理．结果中分子或分母的系数是负数时，一般要把分子或分母本身的“－”提到分式的 ．
(3)分式的运算与分数的运算一样，结果必须是最简形式．
前面
1．计算：
(1)；
(1)0
(2)．
(2)
分式求值问题的解题思路
(1)解决分式求值问题时，关键是利用分式的运算法则进行化简．
(2)化简过程中可以按运算顺序进行，也可以适当运用运算律简化计算．
(3)在取字母的值代入计算时，要注意所取字母的值要使所有分式有意义．
2．先化简，再求值：，其中a＝3．
解：原式＝
＝，
当a＝3时，原式＝．
3．【例1】计算：．
解：原式＝＝－x．
小结：先算括号里面的，再把除法转化为乘法计算.
6．计算：．
解：原式＝
＝．
4．【例2】计算：
(1)；
解：(1)原式＝．
(2)(人教8上P141)．
解：(2)原式＝．
小结：先算乘方，再算乘除，然后算加减.
7．计算：
(1)；
解：(1)原式＝－
＝－＝－．
(2)．
解：(2)原式＝
＝．
5．【例3】(2023深圳)先化简，再求值：
，其中x＝3．
解：原式＝ ＝，
当x＝3时，原式＝．
小结：化简时，先通分计算括号内分式的加法，同时将除法转化为乘法.此题还可以运用乘法分配律来简化计算，避免通分.
★8． (2023张家界)先化简
，然后从－1，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
0.50
解：原式＝
＝
＝x＋1，
∵x＋1≠0，x2＋2x＋1≠0，x2－4≠0，
∴x≠－1，x≠±2，
将x＝1代入上式得，原式＝1＋1＝2．(共15张PPT)
第4课时 分式的乘除(2)
第十五章 分式
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．掌握分式的乘方的运算法则．
2．会进行分式的乘方、乘除混合运算．
3．通过分式的学习，能将分式的各种运算与分数的相应运算进行类比，体会从“特殊到一般”及“类比”的数学思想．
抽象能力 运算能力
(1)分式的乘方法则：一般地，当n是正整数时，，即＝ ．这就是说，分式乘方要把分子、分母分别 ．
乘方
分式的乘方
(2)当分式的分子或分母是多项式时，要加上括号，作为一个整体再乘方．如：．
1．(1)计算：
＝ ；＝ ；
(2)计算：．
分式的乘方、乘除混合运算
(1)先乘方，再乘除，同级运算按从左到右的顺序依次进行．
(2)在运算过程中，可灵活运用交换律、结合律、分配律．
(3)要注意各分式中的分子、分母的符号的处理．结果中分子或分母的系数是负数时，一般要把分子或分母本身的“－”提到分式的前面．
(4)分式的运算与分数的运算一样，结果必须是最简形式．
2．计算：
(1)；
(1)
(2)．
(2)
3．【例1】计算：
(1)＝ ；(2)＝ ；
(3)＝ ．
小结：进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方；负数的偶(奇)次方为正(负)；当分式的分子或分母是多项式时，要给多项式加上括号，作为一个整体再乘方.
7．计算：
(1)(2024河北模拟)； (2)．
(1)
(2)
4．【例2】计算：．
解：原式＝＝－．
小结：乘、除、乘方混合运算时，先乘方，再乘除.
8．计算：．
解：原式＝＝－a．
5．【例3】(人教8上P139)计算：
．
解：原式＝
＝．
小结：分子或分母是多项式时，能因式分解的首先要因式
分解.
9．计算：÷(a－2)·．
解：原式＝．
6．【例4】先化简，再找一个你喜欢的数值代入进行计算：÷(x－1)·．
解：原式＝，
当x＝0时，原式＝．(答案不唯一)
小结：选取代入的数值必须使分式的各部分都有意义.
★10． 先化简，再求值：
(xy＋y2)÷，其中x＝，y＝－1．
解：原式＝y(x＋y)·
＝x－y，
∵x＝，y＝－1，∴原式＝－(－1)＝．
0.50(共17张PPT)
第1课时 从分数到分式
第十五章 分式
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)了解分式的概念．
2．能确定分式有(无)意义的条件，能确定使分式的值为0的
条件．
3．体会类比、转化等数学思想，获得代数学习的成功经验．
抽象能力 运算能力
应用意识
(1)一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有
，那么式子叫做 ．分式中，A叫做
，B叫做 ．
(2)一个式子是分式，需要满足的三个条件：
①是形如的式子；
②A，B为 ；
③分母B中含有 ．
字母
整式
分母
分子
分式
分式的概念
字母
1．下列式子，哪些是整式，哪些是分式？
－3x，－xy2，a＋，0，－6，．
解：整式有－3x，－xy2，，0，－6；
分式有，a＋．
(1)分式有意义的条件：
分式的分母 0．
(2)分式无意义的条件：
分式的分母 0．
等于
分式有(无)意义的条件
不等于
2．(1)(2023北京)若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ；
(2)若要使无意义，则x的取值范围是 ．
x＝－3
x≠2
(1)当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为 ．
(2)分式的值是在分式有意义的条件下才可以考虑的，所以使分式的值为0的条件是 且 ，二者缺一
不可．
B≠0
A＝0
分式的值为0的条件
0
(3)没有使分式的值为0的x值
(2)x＝－7
3．当x为何值时，下列分式的值为0？
(1)； (2)； (3)．
(1)x＝－2
小结：有分数线且分母中含有字母的式子是分式.π是常数.
4．【例1】有下列式子：①，②，③，④，其中是分式的是( )
A．①② B．③④
C．①③ D．①②③④
C
8．有下列式子：x＋，其中是分式的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B
5．【例2】(人教8上P128)下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1)； (2)； (3)； (4)．
小结：列分母不等于0的不等式，求其解集.
解：(1)根据题意得3x≠0，解得x≠0．
(2)根据题意得x－1≠0，解得x≠1．
(3)根据题意得5－3b≠0，解得b≠．
(4)根据题意得x－y≠0，解得x≠y．
9．(北师8下P109)当x取什么值时，下列分式有意义？
(1)； (2)； (3)．
解：(1)根据题意得x－1≠0，解得x≠1．
(2)根据题意得x2－9≠0，解得x≠±3．
(3)由x2≥0，得x2＋1＞0，即x2＋1≠0，
所以x取任意实数，分式都有意义．
6．【例3】下列各式中，当x取什么数时，分式的值为0？
(1)； (2)．
解：(1)根据题意得解得x＝－1．
(2)根据题意得解得x＝．
小结：x的值一定要满足分子等于0且分母不等于0.
10．(2023凉山州)若分式的值为0，求x的值．
解：∵分式的值为0，
∴x2－x＝0，即x(x－1)＝0，且x－1≠0，
解得x＝0．
7．【例4】已知分式，当x＝m时，分式的值为0；当x＝n时，分式无意义．求mn的值．
解：∵当x＝m时，分式的值为0，
∴m＋1＝0且2－m≠0．∴m＝－1．
∵当x＝n时，分式无意义，
∴2－n＝0．∴n＝2．
∴mn＝(－1)2＝1．
小结：分别求出m和n，代入mn中进行计算.由题意得到m+1=0且2-m≠0和2-n=0是求出m和n的关键.
★11． 0.50已知分式，当x＝2时，分式的值为0；当x＝－2时，分式无意义．求a－b的值．
解：∵当x＝2时，分式的值为0，
∴2－b＝0且4＋a≠0，解得b＝2且a≠－4．
∵当x＝－2时，分式无意义，
∴2×(－2)＋a＝0，解得a＝4．
∴a－b＝4－2＝2．(共14张PPT)
第10课时 分式方程的应用(1)
第十五章 分式
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．进一步学习分式方程的解法，体会转化的数学思想．
2．列分式方程解决实际问题，体会建模的思想．
3．(2022新课标)能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．
运算能力 模型观念
应用意识
列分式方程常用的等量关系
(1)工程问题：
工作量＝工作效率×工作时间；
工作总量＝各工作量之和．
(2)利润问题：
利润＝售价－进价；
利润率＝×100%；
总利润＝单件的利润×销售的数量．
(3)行程问题：路程＝速度×时间．
(4)储蓄问题：本息和＝本金＋利息．
1．(北师8下P128改编)施工队要铺设一段全长2 000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，原计划每天施工多少米？设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是( )
A．＝2 B．＝2
C．＝2 D．＝2
A
列分式方程解实际问题的一般步骤
(1)审：审清题意，弄清已知量和未知量，找到相等关系；
(2)设：设未知数(可以直接设，也可以间接设)；
(3)列：列出分式方程；
(4)解：把分式方程转化为整式方程，并解这个整式方程；
(5)验：看整式方程的解是否满足分式方程(验根)(注意：千万不要漏掉“检验”这个步骤)；
(6)答：写出实际问题的答案．
2．(跨学科融合、传统文化)中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4 800元购买《水浒传》连环画的套数是用3 600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格．
解：设每套《水浒传》连环画的价格为x元，
由题意，得＝2×，解得x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．
答：每套《水浒传》连环画的价格为120元．
小结：时间=路程÷速度，注意时间单位要统一.
3．【例1】(跨学科融合)(2023青海)为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15 km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了30 min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为x km/h，根据题意，下列方程正确的是( )
A． B．
C．＋30＝ D．＋30
B
6．(北师8下P126)从甲地到乙地有两条公路，一条是全长450千米的普通公路，一条是全长330千米的高速公路．某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快35千米/时，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为x小时，那么x满足的分式方程是( )
A．×2 B．－35
C．＝35 D．＝35
D
4．【例2】(人教8上P126改编、北师8下P133改编)轮船顺水航行80 km所需要的时间与逆水航行60 km所需要的时间相同，已知水流的速度是3 km/h，求轮船在静水中的速度．
解：设轮船在静水中的速度为x km/h，由题意得
，解得x＝21．
经检验，x＝21是原方程的解．
答：轮船在静水中的速度为21 km/h．
小结：轮船顺(逆)水航行速度=轮船在静水中的速度+(-)水流的速度.
7．(人教8上P159)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，原计划平均每天生产多少台机器？
解：设原计划平均每天生产x台机器，则现在平均每天可生产(x＋50)台，根据题意得
，解得x＝150．
经检验，x＝150是原分式方程的解．
答：原计划平均每天生产150台机器．
5．【例3】(人教8上P154、北师8下P132改编)甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成4个，甲每天完成多少个零件？
解：设甲每天完成x个零件，由题意得
，解得x＝24．
经检验，x＝24是原方程的解．
答：甲每天完成24个零件．
小结：工作时间=工作量÷工作效率.
★8． 某学校因工作需要计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯的个数是用160元购买手电筒个数的一半，购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？
解：设购买该品牌一个手电筒需要x元，
则购买一个台灯需要(x＋20)元，
由题意得，解得x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解，∴x＋20＝25．
答：购买该品牌一个手电筒需要5元，购买一个台灯需要25元．
0.50(共18张PPT)
第11课时 分式方程的应用(2)
第十五章 分式
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．列分式方程解决实际问题，体会建模的思想．
2．掌握用分式方程解决实际问题的方法和步骤．
运算能力 模型观念
应用意识
列分式方程常用的等量关系
(1)工程问题：
工作量＝工作效率×工作时间；
工作总量＝各工作量之和．
以工程为背景的这类问题，通常设工程总量为1的也比较多见(如教科书第152页例3)．
(2)利润问题：
利润＝售价－进价；
利润率＝×100%；
总利润＝单件的利润×销售的数量．
(3)行程问题：路程＝速度×时间．
(4)储蓄问题：本息和＝本金＋利息．
1．某镇道路改造工程由甲、乙两工程队合作完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程，甲工程队30天完成的工程与甲、乙两工程队10天完成的工程相等．甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
解：设乙单独完成此项工程需要x天，
则甲单独完成此项工程需要(x＋30)天，
由题意得＝10×，
解得x＝30．
经检验，x＝30是所列方程的解，
则x＋30＝60．
答：甲单独完成此项工程需要60天，乙单独完成此项工程需要30天．
列分式方程解实际问题的一般步骤
(1)审：审清题意，弄清已知量和未知量，找到相等关系；
(2)设：设未知数(可以直接设，也可以间接设)；
(3)列：列出分式方程；
(4)解：把分式方程转化为整式方程，并解这个整式方程；
(5)验：看整式方程的解是否满足分式方程(验根)(注意：千万不要忘记检验这个步骤)；
(6)答：写出实际问题的答案．
2．(跨学科融合)星期天，小明与妈妈到离家16 km的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走，1 h后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度．
解：设小明骑自行车的平均速度为x km/h，
依题意，得＝1，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴4x＝48．
答：妈妈开车的平均速度为48 km/h．
小结：B型包装箱个数=A型包装箱个数-6.
3．【例1】某单位向一所希望小学赠送1 080本课外书，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意所列方程为( )
A．＋6 B．－6
C．－6 D．＋6
C
5．某地大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x米，所列方程正确的是( )
A．＋4＝ B．－4
C．－4 D．－4＝
B
4．【例2】(跨学科融合)为了保障居民有良好的生活环境，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车一起运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．
(1)甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
(2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？
解：(1)设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据题意，得
12＝1，解得x＝18，
经检验，x＝18是原方程的解，则2x＝36．
答：甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟．
(2)设甲车每一趟的运费是a元，根据题意，得
12a＋12(a－200)＝4 800，解得a＝300，
则乙车每一趟的运费是300－200＝100(元)，单独租用甲车总费用是18×300＝5 400(元)，单独租用乙车总费用是36×100＝3 600(元)，
3 600＜5 400，故租用乙车合算．
答：单独租用一台车，租用乙车合算．
小结：(1)某车一次运送量×次数=该车运送总量，
垃圾总量=甲车运送总量+乙车运送总量；
(2)支付12趟甲、乙两车的运费和=总的支付运费，
比较单独租用甲车或乙车的费用，花费少的合算.
★6． 某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价之和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
(1)每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1 000元，商场共有几种进货方案？
0.50
解：(1)设甲种玩具的进价为x元/件，则乙种玩具的进价为(40－x)元/件，根据题意得
，解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，∴40－x＝25．
答：甲、乙两种玩具的进价分别是15元/件、25元/件．
(2)设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具(48－y)件，根据题意得
解得20≤y＜24．
∵y是整数，∴y可以取20，21，22，23，
∴共有4种进货方案．(共15张PPT)
第5课时 分式的加减(1)
第十五章 分式
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．理解分式的加减法法则，体会类比思想．
2．(2022新课标)能对简单的分式进行加、减运算．
3．通过分式的加减运算体会化归思想．
抽象能力 运算能力
应用意识
(1)同分母分式相加减，分母不变，把分子相 ，用式子表示为＝ ．
(2)若分子是多项式，则添加括号后再相 ．
(3)同分母分式相加减的一般步骤：
①分母不变，把分子相加减．若分子是多项式，则添加括号后相加减；
②分子去括号，合并同类项；
③把结果化成最简分式或整式．
加减
同分母分式的加减
加减
1．计算：
(1)(2023广东)计算的结果为( )
A． B． C． D．
(2)(2023宁夏)＝ ；
C
(4)＝ ；
(5)＝ ．
x－y
(3)＝ ＝ ＝ ；
2
－
(2)当分子与分母有公因式时，一般先 ，再 ．
通分
异分母分式的加减
约分
(1)异分母分式相加减，先 ，变为同分母的分式，再加减．
用式子表示为＝ ．
通分
(3)异分母分式相加减的一般步骤：
①找出各分式的最简公分母，将各分式进行通分，化为同分母分式；
②按同分母分式相加减的一般步骤进行计算．
(4)＝ ；
(5)x－y＋＝ ．
2．计算：
(1)＝ ；
(2)＝ ；
(3)＝ ；
－1
3．【例1】计算：
(1)(2023河南)；
解：(1)原式＝＝1．
(2)．
解：(2)原式＝．
小结：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减.
6．计算：
(1)(2023湖北)； (2)．
(2)x－2
(1)x－1
4．【例2】计算：
(1)；
(2)．
小结：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式再相加减.
解：(1)原式＝＝－．
解：(2)原式＝．
7．计算：
(1)；
解：(1)原式＝
＝．
(2)－a．
解：(2)原式＝．
5．【例3】某工厂原计划a天完成b件产品，若现在需要提前x天完成，则现在平均每天要比原来多生产产品多少件？
解：(件)．
小结：每天生产产品的件数=.
★8． (跨学科融合)(2024江西模拟)照相机成像应用的一个重要原理，可用公式(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离．已知f，v，求u的值．
0.50
解：∵(v≠f)，
∴，
∴u＝ .(共17张PPT)
第8课时 分式方程的解法(1)
第十五章 分式
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．理解分式方程的定义和分式方程需要检验的原因．
2．掌握解分式方程的一般方法和步骤．
3．(2022新课标)能解可化为一元一次方程的分式方程．
抽象能力 运算能力
应用意识
(1)定义： 中含有未知数的方程叫做分式方程．
(2)分式方程的重要特征：
①是方程；
②分母中含有未知数．
二者缺一不可．
分式方程的定义
分母
1．下列关于x的式子是分式方程的是 (填写序号)．
①＝2； ②；
③＝0(a为常数)；
④＝3； ⑤－x2＝6．
①④
解分式方程的基本思路
将分式方程化为 ，具体做法是“去分母”，
即方程两边乘 ．这也是解分式方程的一般
方法．
最简公分母
整式方程
分式方程
整式方程
→ 解整式方程
2．(2023株洲)将关于x的分式方程去分母可得( )
A．3x－3＝2x
B．3x－1＝2x
C．3x－1＝x
D．3x－3＝x
A
解分式方程的一般步骤
3．(2023广西)解分式方程：．
解：去分母，得2x＝x－1，解得x＝－1，
检验：当x＝－1时，x(x－1)≠0，
∴原分式方程的解为x＝－1．
小结：分式方程同时满足：①是方程；②分母中含有未知数.
4．【例1】下列式子：①－x；②－3＝a；③＋5x＝6．其中是分式方程的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
B
8．下列方程：①＝2；②y＝x；③y＋1＝；
④y2－3＝．其中是分式方程的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
A
5．【例2】解分式方程：＋1＝．
解：去分母，得2x＋x－2＝－5，解得x＝－1，
检验：当x＝－1时，x－2＝－3≠0，
∴原分式方程的解为x＝－1．
小结：去分母转化为整式方程，结果必须验根.最后结果的表述应是：原分式方程的解为x=a，不能写成：x=a为原分式方程的解.
9．(2023山西)解方程：＋1＝．
解：由题意得最简公分母为2(x－1)，
∴原方程可化为2＋2x－2＝3．∴x＝．
检验：把x＝代入2(x－1)＝1≠0，
∴原分式方程的解为x＝．
6．【例3】(2024黑龙江二模)解分式方程：
＝1．
分式方程无解
小结：去分母转化为整式方程，结果必须验根.原分式方程无解，不要叙述为方程无解.
10．解分式方程：＝2．
分式方程无解
7．【例4】(人教8上P158)什么情况下，2(x＋1)－1与3(x－2)－1的值相等？
解：由题意，得2(x＋1)－1＝3(x－2)－1，
可化为，解得x＝－7，
检验：当x＝－7时，(x＋1)(x－2)≠0，
故当x＝－7时，2(x＋1)－1与3(x－2)－1的值相等．
小结：根据题意列出分式方程，求出解即可得到x的值.
★11． 若m是不等式组的整数解，解关于x的分式方程＋1＝．
0.50
解：不等式组整理得，解得1＜m＜3，
故整数m＝2，代入分式方程，
得＋1＝，
去分母得2＋x2－4＝x2＋2x，解得x＝－1，
检验：当x＝－1时，x2－4≠0，
故原分式方程的解为x＝－1．(共19张PPT)
第9课时 分式方程的解法(2)
第十五章 分式
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．进一步掌握解分式方程的方法和步骤．
2．掌握特殊分式方程的解法．
抽象能力 运算能力
应用意识
解分式方程的方法和步骤
(1)解分式方程的基本思路：
分式方程 整式方程 →解整式方程
(2)解分式方程的一般步骤：
去分母→解整式方程 → 检验 →回答原分式
方程有无解
1．(1)方程的解为( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝－2 D．无解
(2)解方程：＝0．
B
(2)x＝6
几种常见题型的解法
(1)已知分式方程的解，求字母参数的值的方法：
把未知数的值代入分式方程，求字母参数的值．
(2)*根据分式方程有增根，求字母参数的值的一般步骤：
①把分式方程化为整式方程；
②令最简公分母为0，求出未知数的值；
③把未知数的值代入整式方程，求字母参数的值．
(3)*根据分式方程无解，求字母参数的值的一般方法：
分两种情况讨论
式方程的增根
(4)根据分式方程的解的正负性，求字母参数的取值范围的方法：
①将字母参数看作已知数，求分式方程的解(用含字母参数的式子表示未知数)；
②根据分式方程的解的正负性，列出不等式，与分式方程各分母不等于0综合考虑，确定字母参数的取值范围．
2．(1)若x＝2是分式方程＝0的解，则k的值是( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
(2)*(2023巴中)若关于x的分式方程＝3有增根，则m＝ ；
－1
A
(3)*若关于x的分式方程＝1在实数范围内无解，则实数a的值为 ；
(4)(2023齐齐哈尔)如果关于x的分式方程＝1的解是负数，那么实数m的取值范围是( )
A．m＜－1 B．m＞－1且m≠0
C．m＞－1 D．m＜－1且m≠－2
D
1
3．【例1】解分式方程：＋1．
解：去分母，得(x＋1)(x－2)＝x－1＋(x－1)(x－2)，
即x2－x－2＝x－1＋x2－3x＋2，解得x＝3，
检验：当x＝3时，(x－1)(x－2)≠0，
∴原分式方程的解为x＝3．
小结：不含分母的项不能漏乘最简公分母，分子是多项式时要用括号括起来.
7．解方程：＝1．
解：方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得
x(x＋2)－1＝(x＋2)(x－2)，
整理，得x2＋2x－1＝x2－4，解得x＝－，
检验，当x＝－时，(x＋2)(x－2)≠0，
∴原分式方程的解为x＝－．
4．【例2】解分式方程：－1＝．
解：方程两边同时乘(x＋2)(x－2)，得
(x－2)2－(x＋2)(x－2)＝16，解得x＝－2，
检验：当x＝－2时，(x＋2)(x－2)＝0，
∴x＝－2不是原方程的解，即原分式方程无解．
小结：先对x2-4进行因式分解，不要漏乘-1这项.
8．解方程：＝1．
解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得
(x＋1)2－4＝(x＋1)(x－1)，
整理得2x－2＝0，解得x＝1．
检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，
∴x＝1不是原方程的解，即原分式方程无解．
5．【例3】解分式方程：＋3．
解：＋3，＋3，
方程两边都乘2(x－1)，得3＝－2＋6(x－1)，
解得x＝，检验：当x＝时，2(x－1)≠0，
∴原分式方程的解为x＝．
小结：应注意到1-x=-(x-1)，2x-2=2(x-1).
9．解分式方程：＝1．
解：去分母，得(x＋3)2－4(x－3)＝(x－3)(x＋3)，
即x2＋6x＋9－4x＋12＝x2－9，
解得x＝－15，
检验：当x＝－15时，(x－3)(x＋3)≠0，
∴原分式方程的解为x＝－15．
6．【例4】已知关于x的方程：＋1．
(1)当a＝2时，求这个方程的解；
(2)若这个方程无解且a≠1，求a的值．
解：(1)当a＝2时，去分母，
得2x＋1＝－2＋x－1，
解得x＝－4，
检验：当x＝－4时，x－1＝－4－1＝－5≠0，
∴原分式方程的解为x＝－4．
(2)去分母，得ax＋1＝－2＋x－1(a≠1)，
若原方程无解，则x－1＝0，解得x＝1，
将x＝1代入整式方程，得a＋1＋2＝0，
解得a＝－3．
小结：先去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x的值，代入整式方程即可求出a的值.
★10． 已知关于x的方程：－2．
(1)当m为何值时，方程无解？
(2)当m为何值时，方程的解为负数？
0.40
解：(1)原方程去分母得2x＝mx－2x－6，
①整理，得(4－m)x＝－6，
当4－m＝0，即m＝4时，原方程无解；
②当分母x＋3＝0，即x＝－3时，原方程无解，
故2×(－3)＝－3m－2×(－3)－6，解得m＝2．
综上所述，m＝2或4时，方程无解．
(2)由(1)得(4－m)x＝－6，
当m≠4时，x＝＜0，解得m＜4．
综上所述，m＜4且m≠2时，方程的解为负数．
