23.1 图形的旋转（2）
学习目标
理解对应点到旋转中心的距离相等；
理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
理解旋转前、后的图形全等．
4. 掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用．
重点
图形的旋转的基本性质及其应用．
难点
探究：运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质．
在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个小洞O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移去硬纸板．
根据图回答下面问题
1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？
2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？
3．△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？
答案：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是对应点到旋转中心相等．
2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．
3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等．
归纳旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前、后的图形全等．
跟踪练习
1、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACQ重合，如果AP＝3，那么△APQ的面积是______________
2、如图，四边形ABCD是正方形，△ADE绕着点A旋转90°后到达△ABF的位置，连接EF，则△AEF的形状是（ ）
A、等腰三角形 B、锐角三角形
C、等腰直角三角形 D、等边三角形
3、如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，请画出ABD绕点A逆时针旋转后的三角形。
5. 等边△ABC内有一点P,点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数.
达标检测
1、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′.若∠BAC=50°，则∠CAB′的度数为（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 80°
2、E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90度，
（1）画出旋转后的图形，使点E的对应点为F
（2）若四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=，AF的长度是多少？
（3）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？
3、画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形.
4.如图,四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90 ，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=5，求.
（提示：将△ABE绕点A旋转90 ，使AB与AD重合.将四边形ABCD割补为正方形）
E
D
B
C
A23.2.1 中心对称
学习目标：
1.了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题．
2.理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用．
学习重点：中心对称的定义与中心对称的性质。
学习难点：中心对称的性质的探索及理解。
自主学习，合作交流
探究1：中心对称的概念
1．思考：如图1，把其中一个图案绕点O旋转，你有什么发现？
如图2，线段AC，BD相交于点O，OA=OC,OB=OD,把绕点O旋转，你有什么发现？
2.阅读课本回答：什么是中心对称？对称中心？
3.找出图（2）中的对称点。
跟踪练习
探究2：中心对称的性质
做一做：如图，旋转三角尺，画关于点O对称的两个三角形：
第一步，画出
第二步，以三角尺的一个顶点O为中心，把三角尺旋转，画出
第三步，移开三角尺
这样画出的与关于点O对称.分别连接对称点.点O在线段上吗？如果在，在什么位置？与有什么关系？
2.议一议：（1）中心对称的两个图是全等图形吗？
（2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过哪一点？这一点与对称点所连线段有什么关系？
（3）旋转与中心对称有何联系？
3.归纳：中心对称的性质
跟踪练习
下面说法中错误的是( )
A.关于一点成中心对称的两个图形的对应点连线必定被这点平分
B.若两个图形的所有对应点连线都过某一点,且被这一点平分,则这两个图形关于这点成中心对称.
C.若一个图绕某一点旋转一定角度,能与另一个图形重合,则这两个图形关于这点成中心对称。
D.关于某点成中心对称的两个图形能完全重合.
例题解析：
例：（1）如图，选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A′；
（2）如图，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的
△A′B′C′。
巩固练习：
1. 关于中心对称的两个图形，对称点的连线经过__________，并且__________．
2. 如果△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，那么△ABC与△A'B'C'的关系是__________．
3.如图,已知四边形ABCD和点O,画四边形A′B′C′D′,使四边形
A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称(只保留作图痕迹,
不要求写出作法)
4.如图，已知△ABC与△A’B’C’中心对称，求出它们的对称中心O。
5. 在平面直角坐标系中，已知3个点的坐标分别为A1（1，1）、A2（0，2）、A3（－1，1）．一只电子蛙位于坐标原点处，第1次电子蛙由原点跳到以A1为对称中心的对称点P1，第2次电子蛙由P1点跳到以A2为对称中心的对称点P2，第3次电子蛙由P2点跳到以A3为对称中心的对称点P3，…，按此规律，电子蛙分别以A1、A2、A3为对称中心继续跳下去．问当电子蛙跳了2009次后，电子蛙落点的坐标是P2009（_______，_______）．
当堂检测：
1.关于中心对称的两个图形，对应线段的关系是（ ）
A．平行 B．相等
C．平行且相等 D.平行且相等或在同一条直线上
3.四边形ABCD与四边形CEFG成中心对称，则它们的对称中心是______，点A的对称点是______，E的对称点是______．BD∥______且BD=______．连结A，F的线段经过______，且被C点______，△ABD≌______．
4.分别画出与已知四边形ABCD成中心对称的四边形，使它们满足以下条件：（1）以顶点C为对称中心，（2）以CD边的中点E为对称中心．
5．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）
拓展延伸
在△ABC中，点D是BC的中点，E、F分别是AB、AC边上两点，且ED⊥FD，你能证明BE+CFEF吗
（提示：作△BED或△CFD关于点D的中心对称图形）
A
O
D
B
C
图(2)
图(1)
2．
C
C
C
B
B
B
A
A
A
O
O
(3)
(1)
(2)
A
C
B
E
F
D23.2.2 中心对称图形
学习目标：
正确认识什么是中心对称图形，能够判别一个图形是不是中心对称图形。
理解中心对称图形与中心对称的区别与联系。
重点：能够判别一个图形是不是中心对称图形。
难点：理解中心对称图形与中心对称的区别与联系。
学习过程：
自主学习（认真自学课本65页，完成下题，用时10分钟）
将线段AB绕它的中点旋转180°，你有什么发现？
2. 将ABCD绕它的两条对线角的交点O旋转180°你有什么发现？
3、相关概念总结
把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相 ，那么这个图形叫做 ；这个点叫做它的 ；互相重合的点叫做 .
4、（如右图）图中ABCD是 图形，对称中心是______点，点A的对称点是______，点D的对称点是______。
合作交流
1、归纳一下：学过的几何图形有哪些是中心对称图形？
2、议一议：中心对称图形与中心对称的区别与联系。
区别：1、从图形个数上来说：
2、从定义上来说：中心对称图形揭示了具有___________性质的一种图形，而中心对称揭示了_____个图形之间的一种________关系。
联系：1、从旋转的角度说明：
2、从性质上说明：
巩固练习
1.下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A 角 B 等边三角形 C 线段 D平行四边形
2.下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形
3.已知：下列命题中真命题的个数是（ ）
①关于中心对称的两个图形一定不全等
②关于中心对称的两个图形是全等形
③两个全等的图形一定关于中心对称
A 0 B 1 C 2 D 3
4. 下列图形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，在图中用点O标出对称中心.
5. 下列说法不正确的是（ ）
A、中心对称图形一定是旋转对称图形
B、轴对称图形一定是中心对称图形
C、在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都被对称中心平分
D、在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上
6.下列说法正确的是（ ）
A．两个能互相重合的图形一定成中心对称
B．成中心对称的两个图形的对应线段必平行
C．成中心对称的两个图形的对应线段必相等
D．正五边形即是轴对称图形，又是中心对称图形
7. 将平行四边形纸片沿过其对称中心的任一直线对折，下图不可能的是（ ）
8. 图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上．
（1）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可）
（2）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可）
（1）
当堂检测
1.下列图形是中心对称图形的是__________________________________.
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
3.下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（ ）
4.下列说法正确的是（ ）
①中心对称与中心对称图形是两个不同的概念；
②中心对称图形是指两个图形之间的一种关系；
③中心对称与中心对称图形都只有一个对称中心；
④关于某点成中心对称的两点连线的中点正好是对称中心．
A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④
5.如图，在矩形ABCD中，对角线交于点O，过点O的直线交AD与BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积是________________.
6.在一次游戏当中，小明将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180°后，得到右图，小亮看完，很快知道小明旋转了哪一张扑克，你知道为什么吗？
7.请探究以下两个问题．
（1）过中心对称图形的对称中心的任一直线，能否将该图形分成面积相等的两部分？为什么？
（2）如图所示的是由5个相同正方形组成的图形，你能否画一条直线将这个图形分成面积相等的两部分？请至少找出两种不同的画法．九年级数学第二十三章旋转单元授课计划
单元要点分析
教学内容
1．主要内容：
（1）图形的旋转及其有关概念：包括旋转、旋转中心、旋转角．图形旋转的有关性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．通过不同形式的旋转，设计图案．中心对称及其有关概念：
（2）中心对称、对称中心、关于中心的对称点；关于中心对称的两个图形．中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；关于中心对称的两个图形是全等图形．中心对称图形：概念及性质：包括中心对称图形、对称中心．关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号都相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）．课题学习．图案设计．
2．本单元在教材中的地位与作用：
学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生进行观察、分析、画图、简单图案的欣赏与设计等操作性活动形成图形旋转概念．它又对今后继续学习数学，尤其是几何，包括圆等内容的学习起着桥梁铺垫之作用．
教学目标
1．知识与技能
了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质．
了解中心对称的概念并理解它的基本性质．
了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法．
2．过程与方法
（1）让学生感受生活中的几何，通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决一些问题．
（2）通过复习图形旋转的有关概念从中归纳出“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等”等重要性质，并运用它解决一些实际问题．
（3）经历复习图形的旋转的有关概念和性质，分析不同的旋转中心，不同的旋转角，出现不同的效果并对各种情况进行分类．
（4）复习对称轴和轴对称图形的有关概念，通过知识迁移讲授中心对称图形和对称中心的有关内容，并附加练习巩固这个内容．
（5）通过几何操作题，探究猜测发现规律，并给予证明，附加例题进一步巩固．
（6）复习中心对称图形和对称中心的有关概念，然后提出问题，让学生观察、思考，老师归纳得出中心对称图形和对称中心的有关概念，最后用一些例题、练习来巩固这个内容．
（7）复习平面直角坐标系的有关概念，通过实例归纳出两个点关于原点对称时，坐标符号之间的关系，并运用它解决一些实际问题．
（8）通过复习平移、轴对称、旋转等有关概念研究如何进行图形设计．
3．情感、态度与价值观
让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识．让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情．
教学重点
1．图形旋转的基本性质．
2．中心对称的基本性质．
3．两个点关于原点对称时，它们坐标间的关系．
教学难点
1．图形旋转的基本性质的归纳与运用．
2．中心对称的基本性质的归纳与运用．
教学关键
1．利用几何直观，经历观察，产生概念；
2．利用几何操作，通过观察、探究，用不完全归纳法归纳出图形的旋转和中心对称的基本性质．
单元课时划分
本单元教学时间约需6课时，具体分配如下：
23．1 图形的旋转 2课时
23．2 中心对称 3课时
复习 1课时23.1 图形的旋转（1）
学习目标
1.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念
2.了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．
重点
旋转及对应点的有关概念及其应用．
难点
从活生生的数学中抽出概念．
自主学习，合作交流
1．阅读课本第59页：观察图形，回答下列问题：
（1）上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？
（2）钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？
小结：旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个 沿着一定的方向
转动 ，这样的图形运动称为旋转。 叫做旋转中心， 叫
做旋转角。
注：旋转包括旋转角和旋转中心两要素， 确定旋转的位置，
确定旋转的大小。
跟踪练习
（1）下列现象中属于旋转的有( )个
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.
A.2 B.3 C.4 D.5
（3）如图所示将图案按顺时针方向向旋转90°后可以得到的图案是（ ）
达标检测
1、如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这
个旋转过程中：
（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？
（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？
2、钟表的时针旋转一周是12小时，分针旋转一周是60分钟，秒针旋转一周是1分钟
（1）时针1分钟旋转多少度？1小时旋转多少度？
（2）分钟1分钟旋转多少度？6分钟旋转多少度？
（3）3点20分时，时针和分针的夹角是多少度？23.2.3关于原点对称的点的坐标
学习目标
能运用中心对称的知识猜想并验证关于原点对称的点的坐标的性质。
利用该对称性质在平面直角坐标系内关于原点对称的图形，形成观察、分析、探究用合作交流的学习习惯，体验事物的变化之间是有联系的。
重点：平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系及其应用。
难点：关于原点对称的点的坐标性质及其运用它解决实际问题．
学习过程
复习回顾
1、如图，⑴画出点A关于x轴的对称点A′；
⑵画出点B关于x轴的对称点B′；
⑶画出点C关于y轴的对称点C′；
⑷画出点A关于y轴的对称点D′。
2、填空：
⑴点A（－2，1）关于x轴的对称点为A′（ ， ）；
⑵点B（0，－3）关于x轴的对称点为B′（ ， ）；
⑶点C（－4，－2）关于y轴的对称点为C′（ ， ）；
⑷点D（5，0）关于y轴的对称点为D′（ ， ）。
（5）点P（x，y）关于x轴的对称点为P′（ ， ）；点P（x，y）关于y轴的对称点为P′（ ， ）；
合作探究
如图，A（3，2），B（－3，2），C（3，0），
⑴在直角坐标系中，画出点A，B，C关于原点的对称点A′，B′，C′；
⑵点A（3，2）关于原点的对称点为A′（ ， ）
点B（－3，2）关于原点的对称点为B′（ ， ），
点C（3，0）关于原点的对称点为C′（ ， ）；
归纳：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ，即点P（x，y）关于原点的对称点P′___________
例题解析
如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与△ABC关于原点对称的图形。
跟踪练习
1、点P（-3,-1）关于x轴对称的点P1的坐标是____，关于y轴对称的点P2的坐标是________.关于原点对称的点的坐标为____________。
2、已知点A（m,1）与点B(3,n)关于原点对称，则m=_______,n=_______.
3、已知点A与B关于原点对称，则=__________.
4、点M（4，3）关于原点对称的点是点N，则线段MN=______________.
5. 已知点M（a－1，2a＋4）关于原点对称的点在第三象限，求a的取值范围．
6、四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(5,0),B(-2,3)，C(-1,0), D(-1,-5),作出与四边形ABCD关于原点O对称的图形
当堂检测
1、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到0A′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在 （ ）
(A)第一象限 (B)第二象限 (c)第三象限 (D)第四象限
2、平面直角坐标系内一点P（－2,3）关于原点对称点的坐标是（ ）
A、（3，－2） B、（2,3） C、（－2，－3） D、（2，－3）
3、已知a＜0，则点P（－a2－1，－a＋3）关于原点的对称点P1在 象限。
4、直线y=x+3上有一点P(m-5,2m),则P 点关于原点的对称点P′为______.
5、矩形ABCD的对称中心经过原点，点B的坐标为（-2，-3），则点D的坐标为_____________.
6、点A（-2,3）绕原点旋转180°后的点的坐标为___________.绕原点顺指针旋转90°后的坐标为_____.
7、如图，已知:
（1）若将作关于y轴对称的图形得到，则点的对应点的坐标是______；
（2）若将向右平移3个单位得到，则点的对应点的坐标是______；
（3） 若将绕点O按顺时针方向旋转180°后得到A1B1C1，则A点对应点A1的坐标是_________．
_
x
_
y
_
–
7
_
–
6
_
–
5
_
–
4
_
–
3
_
–
2
_
–
1
_
1
_
2
_
3
_
4
_
–
6
_
–
5
_
–
4
_
–
3
_
–
2
_
–
1
_
1
_
2
_
3
_
4
_
5
_
6
_
7
_
O
_
B
_
D
_
C
_
A
