2024-2025学年湖南省益阳市箴言中学高二上学期9月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省益阳市箴言中学高二上学期9月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，若共面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.在中，若，则的形状一定是( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
4.命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.某学校位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为( )
A. B. C. D.
6.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
8.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线，下列说法正确的是( )
A. 若，则为双曲线
B. 若且，则为焦点在轴上的椭圆
C. 若，，则不可能表示圆
D. 若，，则为两条直线
10.如图，在中，，，，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若为线段的中点，则
B. 若为线段的中点，则
C.
D. 的取值范围为
11.如图所示，正方体的棱长为，分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是( )
A.
B. 与平面所成角的正弦值为
C. 存在点使得平面
D. 若平面，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短在如图所示的直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为 ．
13.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于轴上方的，两点，为原点，若直线垂直平分，则
14.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有个实数根，，，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在第一象限且在直线上，与轴相切，被直线截得的弦长为．
求圆的方程
设是圆上任意一点，，，求的最大值．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若点在边上，且，求面积的最大值．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，直线与椭圆有且只有一个公共点．
求椭圆的标准方程设点，，为椭圆上一点，且直线与的斜率乘积为，点，是椭圆上不同于，的两点，且满足，，求证：的面积为定值．
18.本小题分
已知三棱柱中，，是的中点，，．
证明：；
若侧面是正方形，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知以点为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
若动直线与曲线交于，两点其中，点关于轴对称的点为，且直线经过点．
(ⅰ)求证：直线过定点；
(ⅱ)若，求直线的方程．
参考答案
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15.解：依题意，设圆的圆心坐标为，，，半径为，
到直线的距离为，
所以，解得，
所以圆的方程为．
，
表示与点距离的平方，
因为是圆上任意一点，
所以
，
所以的最大值为．
16.解：在中，，
，整理得，
，，，
；
，
，
，
．
在中，，
由余弦定理得：，即，当且仅当时等号成立，
．
17.解：直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆
相切，
，，又
，椭圆的方程为．
证明：由题意、是椭圆上不同于，的两点，
由题意知直线，斜率存在且不为，又由已知
由，，
所以，
当斜率不为时，设直线的方程为，代入椭圆方程得，
由，得，
设，，则，，
又，
得，
所以
当斜率为时，即点在椭圆短轴端点时候，直线与的斜率乘积为满足题意，
不妨设在椭圆上顶点，在右边，斜率为，斜率为，
此时方程为，方程为，带入椭圆方程得点坐标为，
点坐标为，此时的面积为定值，当点在椭圆下顶点时，也满足。
综上，的面积为定值．
18.解：取的中点，连接、、，
因为，，故为等边三角形，
因为为的中点，则，
因为，，故平面，
平面，所以，，
、分别为、的中点，则，因此，；
，则四边形是边长为的正方形，
、分别为、的中点，则，
由可得，
，，故与所成角为，即，
又因为，，平面，
平面，则，所以，、、两两垂直，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、，
，，，，
设平面的法向量为，则
取，则，
易知平面的一个法向量为，．
因此，平面与平面夹角的余弦值为．

19.解：圆的圆心坐标为，半径．
动圆与圆相切有两种情况，即内切或外切，
所以，
所以点在以，为焦点的双曲线上，且该双曲线的实轴长为，，
所以，
所以曲线的方程是．
设直线的方程为显然与轴不平行，
与联立，得，
由题意知，，，即，
由韦达定理得，．
因为点与关于轴对称，不妨设，分别在第一、二象限，如图所示．

易知，
即，
化为，
即，化为，
当变化时，该式恒成立，
所以，故直线过定点．
(ⅱ)由(ⅰ)知，当时，，．
由，
，
，
，
化为，解得或舍去，
故，
此时直线的方程为．

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