2024-2025学年四川省绵阳市南山中学高一（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省绵阳市南山中学高一（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我计划通过参加高考进入高等学校大学学习，我必须学习的课程是( )
A. 必修课程与选修课程 B. 选择性必修课程与选修课程
C. 必修课程与选择性必修课程 D. 必修课程、选择性必修课程与选修课程
2.下列说法正确的是( )
A. 我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
B. 联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C. 数组成的集合中有个元素
D. 由不大于的自然数组成的集合的所有元素为，，，
3.如图，，，则与满足( )
A.
B.
C.
D.
4.如图中，，于点，；若，则；图中只有两对相似三角形则以上三个结论中正确的结论有个．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.在实数范围内定义运算，其法则为：，则当时( )
A. B. C. D.
6.当时，( )
A. B. C. D.
7.若，则这四个数中( )
A. 最大，最小 B. 最大，最小 C. 最大，最小 D. 最大，最小
8.已知集合，，则满足条件的集合的个数为( )
A. B. C. D.
9.下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
10.如图中，，，以为边长的正方形的一边在直线上，且点与点重合现将正方形沿的方向以每秒个单位的速度匀速运动，当点与点重合时停止，则在这个运动过程中，正方形与的重合部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分。
11.等腰三角形的边长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是______．
12.已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有个正整数解，则实数的取值范围是______．
13.如图，是等腰三角形底边上的高，且上有一点，满足：：，则 ______．
14.不等式的解是______．
15.已知，，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解答下列各题
先化简再求值：，其中．
定义运算：当时，；当时，．
如．
求值；
已知和在同一坐标系中的图象如图所示，若，结合图象，直接写出的取值范围．
17.本小题分
某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为元，其成本价为元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有的污水排出，所以为了净化环境，工厂设计了两种方案对污水进行处理，并准备实施．
方案：工厂污水先净化处理再排出每处理污水所用原料费为元，并且每月排污设备损耗费为元．
方案：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理污水需付元处理费用．
设工厂每月生产件产品，每月利润为元，分别求出依方案和方案处理污水时，与的函数关系式．
设工厂每月生产量为件时，你若作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下应选用哪种处理污水的方案？请你通过计算加以说明．
18.本小题分
为了解我校学生完成级高一新生入学手册情况，随机抽查了若干名学生进行检查，然后把检查结果分为个等级：、、、，并将统计结果绘制成下面两幅不完整的统计图请根据图中的信息解答下列问题
补全条形统计图
年级共有人，估计全年级完成手册情况为等的人数为______人；
在此次检查中，有甲、乙、丙、丁、戊五个同学的作业完成的相当完整，现决定从这五个同学中随机选取两个同学的作业用展板展出供全年级同学学习请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲、丁两个同学作业展出的概率．
19.本小题分
如图，在四边形中，点为上一点，，则∽，所以有结论如图，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，试举一反例说明．
如图，在中，，，点以每秒个单位长度的速度，由点出发，沿边向点运动，且满足，设点的运动时间为秒，当以为圆心，以为半径的圆恰好与相切时，求的值．
20.本小题分
我市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知小龙虾养殖成本为元千克，在整个销售旺季的天里，销售单价元千克与时间第天之间的函数关系为：，为整数，日销售量千克与时间第天之间的函数关系如图所示：
求日销售量与时间的函数关系式？并注明的取值范围．
哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
该养殖户有多少天日销售利润不低于元？
21.本小题分
如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴交轴于点，交抛物线于点．
求抛物线的解析式；
是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
求为直角三角形时点的坐标．
参考答案
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16.解：
，
又，
所以，故原式．
因为，所以，
所以；
因为，所以，
结合图象，可得的取值范围是：或．
17.解：设选用方案，每月利润为元，选用方案，每月利润为元，
由方案，得；
由方案，得．
当时，元；
元；
，
我作为厂长，应选用方案．
18.
19.解：结论仍然成立，理由如下：
证明：，，
，
，
，可得∽，
，可得；
如图，过点作，交于点．
，，
．
根据勾股定理可得．
以点为圆心，为半径的圆与相切，
，可得．
又，
，可得，
，即，可得，
∽，可得，即，可得，解得或．
20.解：设解析式为，
将、代入，
得，
解得，
即，其中，是整数；
已知日销售利润，
则，
当时，，
则当时，；
当时，，
在时随的增大函数值反而减小，
当时，；
又，
则第天的日销售利润最大，最大利润为元；
由知：
当时，，
当时，；
当时，，
由，
得，
即，
即，
又是整数，
则，，，．
故该养殖户有天日销售利润不低于元．
21.解：因为和在抛物线上，
所以，解得，
故抛物线的解析式为；
设动点的坐标为，其中，
则点的坐标为，
所以，
开口向下，对称轴方程为，
当时，线段长的最大值是，
故存在这样的点，且，使线段的长有最大值，
所以线段长的最大值是；
为直角三角形，
若点为直角顶点，则．
由题意易知，轴，，因此点为直角顶点这种情形不存在；
若点为直角顶点，则，
如下如图，
过点作轴交轴于点，则，，
过点作，交轴于点，则由题意知为等腰直角三角形，
所以，所以，所以，
设直线的解析式为：，
则，解得，
所以直线的解析式为：，
又抛物线的解析式为：，
联立式，解得：或与点重合，舍去，
所以点的横坐标为，此时点的横坐标也是，
所以时，，
所以是以点为直角顶点的直角三角形；
若点为直角顶点，则，
，抛物线的对称轴为直线，
如上如图，作点关于对称轴的对称点，
则点在抛物线上，且，
点的横坐标为，此时点的横坐标也是，
所以时，是以点为直角顶点的直角三角形，
因为点均在线段上，
综上所述，为直角三角形时，点的坐标为或．
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