2024-2025学年湖北省武汉二中高一（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉二中高一（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个关系：
；；；其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
2.若集合，，则满足的实数的个数为( )
A. B. C. D.
3.已知正实数，，设甲：；乙：，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围( )
A. B. C. D.
6.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，，，则下面选项正确的为( )
A.
B.
C.
D. 整数、属于同一“类”的充分不必要要条件是“”
7.在中，角，，的对边分别为，，，已知周长为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.记表示，，中最大的数已知，均为正实数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 的一个必要条件是
B. 若集合中只有一个元素，则
C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为
10.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 命题“，”的否定是“，或”
C. 若，则函数的最小值为
D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是
11.定义全集的子集的特征函数，这里表示在全集中的补集，那么对于集合、，下列所有正确说法是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，，若，，则 ______．
13.设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是，请写出所有满足条件的集合：______．
14.对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”已知集合，则的“小和数”为______，的“大和数”为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求的取值范围；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知非空集合，，全集．
当时，求；
若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知：关于的方程有实数根，：．
若命题是假命题，求实数的取值范围；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点．
求二次函数的不动点；
若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值．
若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围．
19.本小题分
给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和．
判断、，哪个是规范数集，并说明理由；
任取一个元规范数集，求证：；
当遍历所有元规范数集时，求范数的最小值．
注：、分别表示数集中的最小数与最大数．
参考答案
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13.或．
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15.解：，，
，
的范围是．
若，则，所以，此时满足；
若，则，
若，则或，解得或，
或；
综上，的取值范围为或．
16.解：方法一：当时，，所以或．
因为，所以或，
所以或．
方法二：当时，，故A，
所以或．
因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集，
时，或
解得或，
综上，实数的取值范围是．
17.解：命题是假命题，
则为真命题，
：关于的方程有实数根，
则，解得，
故实数的取值范围为．
：，：，
是的必要不充分条件，
则，解得，
故的取值范围为．
18.解：由题意知：，，，
解得，，所以不动点为和．
依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
所以，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
由题知：，
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
即，解得，
所以的取值范围是．
19.解：对于集合，因为，
所以集合不是规范数集；
对于集合，
，，，，，
所以集合相伴数集，即，
故集合是规范数集．
证明：不妨设集合中的元素为，即，
因为为规范数集，则，，则，且，，使得，
当时，则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，，
当且仅当且时，等号成立；
当，时，，
当且仅当时，等号成立；
综上所述，．
解：不妨设，
因为为规范数集，则，，则，且，，使得，
所以对于，同样有，，则，
由的证明过程与结论，可得，
，当且仅当时，等号成立，
即，，，，
所以范数
，
当且仅当时，等号成立，
所以范数的最小值为．
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