2024-2025学年湖北省孝感市方子高级中学高二（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年湖北省孝感市方子高级中学高二（上）月考
数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.点关于平面对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知随机事件和互斥，和对立，且，，则( )
A. B. C. D.
3.在直三棱柱中，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，则与的关系是( )
A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等
5.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
7.已知数据，，，，为整数的平均数是极差的倍，从这个数中任取个不同的数，则这个数之和不小于的概率为( )
A. B. C. D.
8.在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从装有个红球和个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是( )
A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件
B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件
C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件
D. “至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件
10.已知点是平行四边形所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是( )
A. B. 存在实数，使
C. 不是平面的法向量 D. 四边形的面积为
11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )
A.
B. 向量与所成角的余弦值为
C. 平面的一个法向量是
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.设，是一个随机试验中的两个事件，我们有 ______．
13.空间中两点间的距离公式为______．
14.从，，，这个数中一次随机抽取个数，则所取个数的乘积为的概率是______．
15.已知向量，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知向量．
若，求的值；
求的最小值．
17.本小题分
近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，次考核未通过的教师将被扣除文明积分已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立．
求乙通过考核的概率；
求甲乙两人考核的次数和为的概率．
18.本小题分
在空间直角坐标系中，已知向量，点，点若直线经过点，且以为方向方量，是直线上的任意一点，为坐标原点．
求证：；
当，，且时，求点的坐标．
19.本小题分
如图所示，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
求点到直线的距离；
求直线到平面的距离．
20.本小题分
已知事件，满足，证明：
若，则与独立；
．
参考答案
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15.
16.解：因为，，
所以，即，解得；
所以，
所以当时，取得最小值为．
17.解：乙第一次考核通过的概率，
乙第二次考核通过的概率为，
乙通过考核的概率为；
甲考核次，乙考核次的概率，
甲考核次，乙考核次的概率，
甲乙两人的考核次数和为的概率．
18.解：证明：由点，点，得，
由向量为直线的方向向量，得，
于是，而，消去得，
所以．
由知，而，，则，
又，显然，
由，得，解得，
所以点的坐标是．
19.解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，，
，，
取，，
，，则点到直线的距离为；
，，
而平面，平面，平面，
则点到平面的距离等于直线到平面的距离．
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
又，
直线到平面的距离为．
20.证明：因为，
所以，则，
由，从而，
则，
而，
由，即，
所以与独立；
一方面，，
又因为，所以，
另一方面，
，
综上所述，有．
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