内蒙古呼和浩特市2024年中考数学试卷
1．（2024·呼和浩特）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：-2024的相反数为2024，
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义：绝对值相等，正负号相反的两个数 互为相反数，据此即可求解.
2．（2024·呼和浩特）如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4的度数为（ ）
A．75° B．105° C．115° D．130°
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】先根据同位角相等，两直线平行，得到进而根据平行线的性质得到：最后根据邻补角的定义计算即可.
3．（2024·呼和浩特）下列运算正确的是（ ）
A．（3x）3＝9x3 B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．（﹣2ab2）2＝4a2b4 D．3a+4b＝7ab
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意；
B、则本项不符合题意；
C、则本项符合题意；
D、和不是同类项，无法进行合并同类项，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用积的乘方计算法则即可判断A项和C项；根据完全平方公式即可计算B项；最后根据合并同类项的条件即可判断D项.
4．（2024·呼和浩特）如图所示的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示的几何体，其主视图为：
，
故答案为：A.
【分析】根据主视图的定义：主视图为从几何体的前面往后面观察所得到的图形，据此即可观察求解.
5．（2024·呼和浩特）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B．x（60+x）＝864
C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设长为步，则宽为步，
故答案为：C.
【分析】设长为步，则宽为步，进而根据矩形的面积计算公式即可得到方程为据此即可求解.
6．（2024·呼和浩特）为了解某小区居民的家庭月平均用水量的情况，物业公司从该小区1500户家庭中随机抽取150户家庭进行调查，统计了他们的月平均用水量，将收集的数据整理成如下的统计图表：
月平均用水量x（吨） 频数
5≤x＜7 15
7≤x＜9 a
9≤x＜11 32
11≤x＜13 40
13≤x＜15 33
总计 150
根据统计图表得出以下四个结论，其中正确的是（ ）
A．本次调查的样本容量是1500
B．这150户家庭中月平均用水量为7≤x＜9的家庭所占比例是30%
C．在扇形统计图中，月平均用水量为11≤x＜13的家庭所对应圆心角的度数是95°
D．若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，则这150户家庭月平均用水量的众数是12
【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布表；众数
【解析】【解答】解：A、本次调查的样本容量为150，则本项不符合题意；
B、
∴这150户家庭中月平均用水量为7≤x＜9的家庭所占比例是：则本项不符合题意；
C、在扇形统计图中，月平均用水量为11≤x＜13的家庭所对应圆心角的度数是：则本项不符合题意；
D、若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，11≤x＜13组的实际数据为12，这组的数量最多为40户，
∴12为这组数据的众数，
∴这150户家庭月平均用水量的众数是12，则本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据样本容量的定义即可判断A项；计算出a的值，进而用a的值除以样本容量即可得到这150户家庭中月平均用水量为7≤x＜9的家庭所占比例，即可判断B项；用月平均用水量为11≤x＜13的家庭的数量除以样本容量再乘以360°即可判断C项；根据众数的定义即可判断D项.
7．（2024·呼和浩特）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（ ）
A．26° B．27° C．28° D．30°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：连接OC、OE、OD，设CD与EF交于点N，如图，
∵正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B.
【分析】连接OC、OE、OD，设CD与EF交于点N，根据圆内接正多边形的性质可得到：进而求出再根据圆周角定理得到：结合三角形内角和定理即可求出最后根据两锐角互余即可求解.
8．（2024·呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax﹣b（a≠0）和y（c≠0）的图象大致如图所示，则函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数经过一二四象限，
∴
∴
∵反比例函数经过一三象限，
∴
∴
∴二次函数的开口向下，与y轴的交点为y轴正半轴，对称轴为
故答案为：D.
【分析】根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系得到：进而结合二次函数的图象与系数的关系得到二次函数的开口向下，与y轴的交点为y轴正半轴，对称轴为进而即可求解.
9．（2024·呼和浩特）如图，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠A＝105°，将△ABD沿BD翻折180°得到△CBD，将线段DC绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED．若EF＝1，则△BED的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接AC与BD相交于H，连接AF、BF、FH，如图，
∵
∴
由折叠得：
∴
∴
∴为等腰直角三角形，
∴
由旋转得：
∴
∴为等边三角形，
∴
∴
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴A、B、F、H共圆，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】连接AC与BD相交于H，连接AF、BF、FH，根据三角形内角和定理求出∠ADB的度数，然后结合折叠的性质可得到：进而证明即可证明为等腰直角三角形，即进而根据旋转的性质得到：结合已知条件证明为等边三角形，即进而利用"SAS"证明则进而推出A、B、F、H共圆，则进而利用勾股定理求出BH的长度，进而得到BD的长度，最后利用三角形面积计算公式计算即可求解.
10．（2024·呼和浩特）下列说法中，正确的个数有（ ）
①二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（2，1），（﹣4，1）两点，m，n是关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣k＝0（0＜k≤1）的两个实数根，且m＜n，则﹣4＜m＜n＜2恒成立．
②在半径为r的⊙O中，弦AB，CD互相垂直于点P，当OP＝m时，则AB2+CD2＝8r2﹣4m2．
③△ABC为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且∠ABC＝90°，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，5），点C是反比例函数y（k≠0）的图象上一点，则k＝±30．
④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2﹣1＝0的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①由题意画出函数图象如图，
∴
∴当时，则①错误，
②过点O作交AB于M，过点O作交CD于N，连接OA、OC，如图，
∴四边形AMPN为矩形，
∵
∴
∴
∵
∴
∴则②正确，
③如图，
∴或
∴则③错误，
④∵矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴长＋宽=长×宽=
∵矩形的周长值与面积值相等，
∴
∴或，
∴
∴对角线长为：则④正确，
综上所述，正确的说法有②④，共2个，
故答案为：B.
【分析】①根据题意画出函数图象，即可判断本项是否正确；②根据题画出图形，过点O作交AB于M，过点O作交CD于N，连接OA、OC，进而利用勾股定理得出关系式即可判断；③在坐标系中画出图形，易得到点C的坐标进而即可得到k的值；④利用韦达定理得到：长＋宽=长×宽=进而根据"矩形的周长值与面积值相等"，据此列出方程进而即可求出a的值，最后即可求出对角线的长度.
11．（2024·呼和浩特）2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平，地区生产总值完成3802亿元，数据“3802亿”用科学记数法表示为 ．
【答案】3.802×1011
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成的形式，其中1≤|a|<10 ， n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
12．（2024·呼和浩特）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将四张卡片分别标记为：A、B、C、D，画出树状图如下，
∴共有16种情况，符合条件的情况有4种，
∴两次取到相同图案的卡片的概率为：
故答案为：.
【分析】将四张卡片分别标记为：A、B、C、D，画出树状图，进而根据概率的计算公式计算即可求解.
13．（2024·呼和浩特）如图是平行四边形纸片ABCD，BC＝36cm，∠A＝110°，∠BDC＝50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC＝ 度；将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
【答案】40；2
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∵
∴
由圆的性质得：
∴
∴
∴扇形MCN的弧长为：
∴圆锥的底面圆半径为：
故答案为：40，2.
【分析】根据平行四边形的性质得到：然后根据三角形内角和定理得到：再结合等腰三角形的性质得到再根据三角形的外角的性质即可求出∠NMC的度数，最后根据圆锥的底面圆的周长等于扇形MCN的弧长列式计算即可.
14．（2024·呼和浩特）关于x的不等式1的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x﹣1≤x+m的解大，则m的取值范围是 ．
【答案】x＞8；m≤7
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：解不等式
∴
解不等式，则
∵这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，
∴
∴，
故答案为：.
【分析】分别解两个不等式得到进而根据题意"这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大"，则得到：据此即可求出m的取值范围.
15．（2024·呼和浩特）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
【答案】55；1260
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设小号"龙辰辰"的单价为x元，则大号"龙辰辰"的单价为元，
∴，
解得：
经检验为原方程的解，且符合题意，
∴大号"龙辰辰"的单价为55元，
设该网店购进大号"龙辰辰"m个，则购进小号"龙辰辰"个，
∴
∴
∵小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%，
∴大号“龙辰辰”的售价为：元，
令该网店的利润为w，
∴
∴当时，利润有最大值为1260元，
故答案为：55，1260.
【分析】设小号"龙辰辰"的单价为x元，则大号"龙辰辰"的单价为元，根据"用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍"，据此列出分式方程，解此方程即可求解；先根据题意求出大号“龙辰辰”的售价，进而令该网店的利润为w，则最后根据一次函数的增减性即可求出其最大值.
16．（2024·呼和浩特）如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE．若BF＝2，则DG＝ ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；射影定理
【解析】【解答】解：设则
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
过点A作于点M，过点D作于点N，如图，
∴
∴为等腰直角三角形，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
由射影定理得：
∴
故答案为：.
【分析】设则过点A作于点M，过点D作于点N，先利用"SAS"证明则进而证明为等腰直角三角形，最后利用勾股定理和射影定理即可求解.
17．（2024·呼和浩特）（1）计算：tan30°+（3﹣π）0+|1|；
（2）解方程：5．
【答案】（1）1+（）
＝1+1
＝1；
（2）3+5（2x﹣2）＝2x，
3+10x﹣10＝2x，
10x﹣2x＝10﹣3，
8x＝7，
x，
经检验，x是原方程的解．
【知识点】解分式方程；有理数混合运算法则（含乘方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先将特殊角度的三角函数值代入，再根据非0数的零次方为1和绝对值的性质计算即可求解；
（2）等号两边同乘以去掉分母，进而根据解一元一次方程的步骤计算即可，最后进行检验即可解此方程.
18．（2024·呼和浩特）如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）过点B作BG⊥AE于点G，若CB＝AF，请直接写出四边形BGED的形状．
【答案】（1）证明：∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB＝∠BAE，
∵AB∥DF．
∴∠BAE＝∠DFE，
∴∠CAB＝∠EFD，
在△CAB和△EFD中，
，
∴△CAB≌△EFD（ASA），
∴AB＝FD，又AB∥FD，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）解：四边形BGED是正方形，理由如下：
由（1）可知，BC＝DE，四边形ABDF是平行四边形，
∴BD＝AF，
∵AB平分∠CAE，BC⊥AC，BG⊥AE，
∴BC＝BG，
∵BC＝AF，
∴BD＝DE＝BG，且∠BGE＝∠GED＝90°
∵BG∥DE，BG＝DE，
∴四边形BGED是平行四边形，
∵BD＝DE，
∴四边形BGED是菱形，
∵∠BGE＝∠GED＝90°，
∴四边形BGED是正方形．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质和平行线的性质得到：进而利用"ASA"证明，则最后根据对边相等且平行的四边形为平行四边形即可求证；
（2）根据平行四边形的性质得到：然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到：进而可证明四边形BGED是平行四边形，再根据菱形的判定即可知四边形BGED是菱形，最后根据有一个内角为直角的菱形为正方形即可证明四边形BGED是正方形.
19．（2024·呼和浩特）近年来，近视的青少年越来越多且年龄越来越小．研究表明：这与学生长期不正确的阅读、书写姿势和长时间使用电子产品等有很大的关系．呼和浩特市某校为了解九年级学生右眼视力的情况，计划采用抽样调查的方式来估计该校九年级840名学生的右眼视力情况，制定以下两种抽样方案：
①从九年级的一个班级中随机抽取42名学生（九年级每个班级至少有50名学生）；
②从九年级中随机抽取42名学生．
你认为更合理的方案是 ▲ （填“①”或“②”）
该校用合理的方案抽取了42名学生进行右眼视力检查，检查结果如下：
4.5 4.8 4.9 4.4 4.5 4.2 5.0
4.0 4.2 4.3 5.0 4.2 4.4 4.9
4.2 4.4 4.5 4.6 4.8 4.9 4.1
5.0 4.9 4.8 4.7 4.5 4.8 5.0
4.9 4.5 4.3 4.9 4.3 5.0 4.9
4.8 4.9 5.0 4.1 4.9 4.3 4.2
整理上面的数据得到如下表格：
右眼视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 2 5 4 3 m 1 1 5 n 6
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）计算该样本的平均数；（结果精确到0.1，参考数据：4.0×1+4.1×2+4.2×5+4.3×4+4.4×3＝63.6）
（3）若该校九年级小明同学右眼视力为4.5，请你用调查得到的数据中位数推测他在九年级全体学生中的右眼视力状况；
（4）根据样本数据，估计该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数．
【答案】（1）5；9
（2）解：该样本的平均数（4.0×1+4.1×2+4.2×5+4.3×4+4.4×3+4.5×5+4.6×1+4.7×1+4.8×5+4.9×9+5.0×6）
（63.6+129.9）
193.5
≈4.6，
答：该样本的平均数约为4.6；
（3）解：∵这42个数据从小到大的顺序排列后，其中第21个数是4.6，第22个数是4.7，
∴这组数据的中位数是4.65，
∵小明同学右眼视力为4.5，
∴根据中位数推测他在九年级全体学生中的右眼视力状况偏低；
（4）解：该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数＝840420（人），
答：该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数为420人．
【知识点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）根据检查结果可知：右眼视力为4.5的人数有5人，右眼视力为4.9的人数有9人，
∴
故答案为：5，9.
【分析】（1）根据检查结果可知：右眼视力为4.5的人数有5人，右眼视力为4.9的人数有9人，进而即可得到m和n的值；
（2）根据平均数的计算法则代入数据进行计算即可求解；
（3）先将这42个数据从小到大的顺序排列，再根据中位数的定义即可得到中位数，进而即可推测小明在九年级全体学生中的右眼视力状况；
（4）用840乘以本次测试中视力在4.7及4.7以上的学生人数所占的比例即可求解.
20．（2024·呼和浩特）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB＝24cm，BEAB，试管倾斜角∠ABG为12°．
（1）求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝28cm，MN＝8cm，∠ABM＝147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
【答案】（1）解：∵AB＝24cm，BEAB，
∴BE8，
∵，
∴BG＝8cos12°（cm）；
（2）解：∵sin12°，
∴EG＝8sin12°（cm），
延长GB，NM交于点H，
∴四边形DNHG是矩形，
∴NH＝DG＝DE﹣EG＝28﹣8sin12°（cm），
∴HM＝NH﹣MN＝20﹣8sin12°（cm），
∵∠ABG＝12°，∠ABM＝147°，
∴∠FBG＝135°，
∴∠MBH＝45°，
∴BH＝HM＝20﹣8sin12°（cm），
∴DN＝GH＝BG+BH＝8cos12°+20﹣8sin12°（cm）．
【知识点】矩形的判定与性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据题意求出BE的长度，然后根据余弦的定义即可得到BG的长度；
（2）根据题意得到则延长GB，NM交于点H，则四边形DNHG是矩形，进而接即可求出NH和HM的长度，再结合已知条件证明为等腰直角三角形，则，最后根据线段间的数量关系即可求出DN的长度.
21．（2024·呼和浩特）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮1000kg，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少100kg，其中“丰收1号”小麦种植在边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为（a﹣1）m的正方形试验田中．
（1）请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
（2）哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【答案】（1）解：设种植“丰收2号”小麦的产粮量为x kg，则“丰收1号”小麦的产粮量为（1.2x﹣100）kg，根据题意得：
x+1.2x﹣100＝1000，
解得：x＝500，
∴“丰收1号”的产粮量：1000﹣500＝500（kg）．
答：种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量都为500kg；
（2）解：“丰收1号”的单位面积产量为：，
“丰收2号”的单位面积产量为：，
∵（a2﹣1）﹣（a﹣1）2＝a2﹣1﹣a2+2a﹣1＝2a﹣2＞0，
∴，
∴“丰收2号”小麦单位面积产量高，
∴
，
即高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
答：“丰收2号”小麦单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
【知识点】一元一次方程的其他应用；不等式的性质；分式的除法
【解析】【分析】（1）设种植"丰收2号"小麦的产粮量为xkg，则"丰收1号"小麦的产粮量为根据"两块试验田共产粮1000kg"，据此列出方程：解此方程即可求解；
（2）由题意可知：“丰收1号”的单位面积产量为：，“丰收2号”的单位面积产量为：，根据分数的大小比较即可知：“丰收2号”小麦单位面积产量高，进而即可求解.
22．（2024·呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知变量x，y2的对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 …
y2 … ﹣1 ﹣2 ﹣4 ﹣8 8 4 2 1 …
写出y2与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数y2的大致图象；
（3）一次函数y1的图象与函数y1的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数y2图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接PC，PE，CE．若△PCE的面积为15，求点P的坐标．
【答案】（1）∵一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点，
，解得，
∴一次函数解析式为：y1；
（2）根据表格数据可知y2是反比例函数，k＝4，
∴y2，
函数图象如下：
（3）联立方程组，解得，，
∴C（﹣4，﹣1），
∵点C关于坐标原点的对称点为点E，
∴E（4，1），
如图，连接OP，作PM⊥x轴，EN⊥x轴，
∵△PCE的面积为15，
∴S△POE，
∵点P、E在反比例函数图象上，
∴S△POE＝S梯形PMNE，
设点P（m，），
∴．
解得m＝1或﹣16（舍去），
∴P（1，4）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；列反比例函数关系式；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出k和b的值，进而即可得到一次函数的解析式；
（2）根据表格数据可知y2是反比例函数且k＝4，则再画出其函数图象即可；
（3）联立两个函数得到点C的坐标，进而根据兑对称的性质得到点E的坐标，连接OP，作PM⊥x轴，EN⊥x轴，根据题意得到，进而可得到：S△POE＝S梯形PMNE，则据此得到方程解此方程得到m的值，进而得到点P的坐标.
23．（2024·呼和浩特）如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF＝∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CDCG，BE＝3CE＝3．
①求DE的长；
②求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵∠ADF＝∠ACD，∠AOD＝2∠ACD，
∴2∠ADF＝∠AOD，
设∠ADF＝x，则∠AOD＝2x，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODF＝∠ODA+∠ADF＝90°﹣x+x＝90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：①连接BD，
∵BE＝3CE＝3，
∴CE＝1，
∵BE是切线，
∴∠ABE＝90°＝∠CBE+∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠BAC＝∠BDC，
∴∠CBE＝∠BDC，
∵∠E＝∠E，
∴△BCE∽△DBE，
∴，
∴，
∴DE＝9；
②∵DE＝9，
∵CD＝DE﹣CE＝8，
∵CDCG，
∴CG＝3，DG＝5，
∴GE＝CG+CE＝4，
在Rt△BGE中，BG，
∵∠BCG＝∠DAG，∠BGC＝∠DGA，
∴△ADG∽△CBG，
∴，
∴，
∴AG，
∴AB＝AG+BG，
∴⊙O的半径．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据题意得到：，设∠ADF＝x，则∠AOD＝2x，即可得到：进而即可求出即可求证；
（2）①连接BD，根据切线的性质和角之间的数量关系得到：进而证明则，代值计算即可求解；
②求出CD的长度，然后根据题意得到：则在Rt△BGE中利用勾股定理求出BG的长度，再证明则，代值进行计算求出进而求出AB的长度即可求解.
24．（2024·呼和浩特）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，m）．
（1）若m＝1，则b＝ ，通过配方可以将其化成顶点式为 ；
（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0且2x1+2x2≤5，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；
（3）若b＝0，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线y＝kx交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为AC中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接AF，CF．求证：CF2CE．
【答案】（1）2；y＝（x﹣2）2﹣8
（2）解：将（﹣1，m）代入y＝x2﹣2bx﹣4得m＝1+2b﹣4＝2b﹣3，
∵m＝2b﹣3＞0，
∴b，
∵y＝x2﹣2bx﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线xb，
∵2x1+2x2≤5，
∴，
∵x1＜x2，
∴y1＞y2；
（3）证明：如图，
∵直线y＝kx与y轴交于点C，
∴C（0，），
当b＝0时，原抛物线解析式为y＝x2﹣4，向上平移4个单位得到的新抛物线解析式为y＝x2，
与直线y＝kx联立得，
解得：，，
当A（，） 时，
∵点E为AC中点，
∴E（，），
∵EF⊥x轴，
∴F（，0），
根据两点间距离公式得CF2＝（）2+（）2，
CE，
∴CF2CE；
当A（，）时，
∵点E为AC中点，∴E（，），F（，0），
根据两点间距离公式得CF2＝（）2+（）2，
CE，
∴CF2CE．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）把点代入抛物线，则
∴
∴抛物线解析式为：
故答案为：2，y＝（x﹣2）2﹣8.
【分析】（1）把点代入抛物线，则据此求出b的值，进而即可求解；
（2）将（﹣1，m）代入y＝x2﹣2bx﹣4得：结合题意求出b的取值范围，然后根据抛物线的性质得到：抛物线开口向上，对称轴为直线进而得到，即x1＜x2，进而即可比较y1与y2的大小；
（3）画出函数图象，即可得到点C的坐标，当b＝0时，原抛物线解析式为y＝x2﹣4，向上平移4个单位得到的新抛物线解析式为y＝x2，然后联立方程得到：，即可得到点A和点B的坐标，进而根据中点坐标公式得到点E和点F的坐标，最后运用两点间的距离公式计算即可.
1 / 1内蒙古呼和浩特市2024年中考数学试卷
1．（2024·呼和浩特）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
2．（2024·呼和浩特）如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4的度数为（ ）
A．75° B．105° C．115° D．130°
3．（2024·呼和浩特）下列运算正确的是（ ）
A．（3x）3＝9x3 B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．（﹣2ab2）2＝4a2b4 D．3a+4b＝7ab
4．（2024·呼和浩特）如图所示的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·呼和浩特）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B．x（60+x）＝864
C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864
6．（2024·呼和浩特）为了解某小区居民的家庭月平均用水量的情况，物业公司从该小区1500户家庭中随机抽取150户家庭进行调查，统计了他们的月平均用水量，将收集的数据整理成如下的统计图表：
月平均用水量x（吨） 频数
5≤x＜7 15
7≤x＜9 a
9≤x＜11 32
11≤x＜13 40
13≤x＜15 33
总计 150
根据统计图表得出以下四个结论，其中正确的是（ ）
A．本次调查的样本容量是1500
B．这150户家庭中月平均用水量为7≤x＜9的家庭所占比例是30%
C．在扇形统计图中，月平均用水量为11≤x＜13的家庭所对应圆心角的度数是95°
D．若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，则这150户家庭月平均用水量的众数是12
7．（2024·呼和浩特）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（ ）
A．26° B．27° C．28° D．30°
8．（2024·呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax﹣b（a≠0）和y（c≠0）的图象大致如图所示，则函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·呼和浩特）如图，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠A＝105°，将△ABD沿BD翻折180°得到△CBD，将线段DC绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED．若EF＝1，则△BED的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·呼和浩特）下列说法中，正确的个数有（ ）
①二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（2，1），（﹣4，1）两点，m，n是关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣k＝0（0＜k≤1）的两个实数根，且m＜n，则﹣4＜m＜n＜2恒成立．
②在半径为r的⊙O中，弦AB，CD互相垂直于点P，当OP＝m时，则AB2+CD2＝8r2﹣4m2．
③△ABC为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且∠ABC＝90°，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，5），点C是反比例函数y（k≠0）的图象上一点，则k＝±30．
④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2﹣1＝0的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024·呼和浩特）2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平，地区生产总值完成3802亿元，数据“3802亿”用科学记数法表示为 ．
12．（2024·呼和浩特）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ．
13．（2024·呼和浩特）如图是平行四边形纸片ABCD，BC＝36cm，∠A＝110°，∠BDC＝50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC＝ 度；将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
14．（2024·呼和浩特）关于x的不等式1的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x﹣1≤x+m的解大，则m的取值范围是 ．
15．（2024·呼和浩特）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
16．（2024·呼和浩特）如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE．若BF＝2，则DG＝ ．
17．（2024·呼和浩特）（1）计算：tan30°+（3﹣π）0+|1|；
（2）解方程：5．
18．（2024·呼和浩特）如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）过点B作BG⊥AE于点G，若CB＝AF，请直接写出四边形BGED的形状．
19．（2024·呼和浩特）近年来，近视的青少年越来越多且年龄越来越小．研究表明：这与学生长期不正确的阅读、书写姿势和长时间使用电子产品等有很大的关系．呼和浩特市某校为了解九年级学生右眼视力的情况，计划采用抽样调查的方式来估计该校九年级840名学生的右眼视力情况，制定以下两种抽样方案：
①从九年级的一个班级中随机抽取42名学生（九年级每个班级至少有50名学生）；
②从九年级中随机抽取42名学生．
你认为更合理的方案是 ▲ （填“①”或“②”）
该校用合理的方案抽取了42名学生进行右眼视力检查，检查结果如下：
4.5 4.8 4.9 4.4 4.5 4.2 5.0
4.0 4.2 4.3 5.0 4.2 4.4 4.9
4.2 4.4 4.5 4.6 4.8 4.9 4.1
5.0 4.9 4.8 4.7 4.5 4.8 5.0
4.9 4.5 4.3 4.9 4.3 5.0 4.9
4.8 4.9 5.0 4.1 4.9 4.3 4.2
整理上面的数据得到如下表格：
右眼视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 2 5 4 3 m 1 1 5 n 6
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）计算该样本的平均数；（结果精确到0.1，参考数据：4.0×1+4.1×2+4.2×5+4.3×4+4.4×3＝63.6）
（3）若该校九年级小明同学右眼视力为4.5，请你用调查得到的数据中位数推测他在九年级全体学生中的右眼视力状况；
（4）根据样本数据，估计该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数．
20．（2024·呼和浩特）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB＝24cm，BEAB，试管倾斜角∠ABG为12°．
（1）求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝28cm，MN＝8cm，∠ABM＝147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
21．（2024·呼和浩特）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮1000kg，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少100kg，其中“丰收1号”小麦种植在边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为（a﹣1）m的正方形试验田中．
（1）请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
（2）哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
22．（2024·呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知变量x，y2的对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 …
y2 … ﹣1 ﹣2 ﹣4 ﹣8 8 4 2 1 …
写出y2与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数y2的大致图象；
（3）一次函数y1的图象与函数y1的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数y2图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接PC，PE，CE．若△PCE的面积为15，求点P的坐标．
23．（2024·呼和浩特）如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF＝∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CDCG，BE＝3CE＝3．
①求DE的长；
②求⊙O的半径．
24．（2024·呼和浩特）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，m）．
（1）若m＝1，则b＝ ，通过配方可以将其化成顶点式为 ；
（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0且2x1+2x2≤5，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；
（3）若b＝0，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线y＝kx交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为AC中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接AF，CF．求证：CF2CE．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：-2024的相反数为2024，
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义：绝对值相等，正负号相反的两个数 互为相反数，据此即可求解.
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】先根据同位角相等，两直线平行，得到进而根据平行线的性质得到：最后根据邻补角的定义计算即可.
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意；
B、则本项不符合题意；
C、则本项符合题意；
D、和不是同类项，无法进行合并同类项，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用积的乘方计算法则即可判断A项和C项；根据完全平方公式即可计算B项；最后根据合并同类项的条件即可判断D项.
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示的几何体，其主视图为：
，
故答案为：A.
【分析】根据主视图的定义：主视图为从几何体的前面往后面观察所得到的图形，据此即可观察求解.
5．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设长为步，则宽为步，
故答案为：C.
【分析】设长为步，则宽为步，进而根据矩形的面积计算公式即可得到方程为据此即可求解.
6．【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布表；众数
【解析】【解答】解：A、本次调查的样本容量为150，则本项不符合题意；
B、
∴这150户家庭中月平均用水量为7≤x＜9的家庭所占比例是：则本项不符合题意；
C、在扇形统计图中，月平均用水量为11≤x＜13的家庭所对应圆心角的度数是：则本项不符合题意；
D、若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，11≤x＜13组的实际数据为12，这组的数量最多为40户，
∴12为这组数据的众数，
∴这150户家庭月平均用水量的众数是12，则本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据样本容量的定义即可判断A项；计算出a的值，进而用a的值除以样本容量即可得到这150户家庭中月平均用水量为7≤x＜9的家庭所占比例，即可判断B项；用月平均用水量为11≤x＜13的家庭的数量除以样本容量再乘以360°即可判断C项；根据众数的定义即可判断D项.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：连接OC、OE、OD，设CD与EF交于点N，如图，
∵正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B.
【分析】连接OC、OE、OD，设CD与EF交于点N，根据圆内接正多边形的性质可得到：进而求出再根据圆周角定理得到：结合三角形内角和定理即可求出最后根据两锐角互余即可求解.
8．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数经过一二四象限，
∴
∴
∵反比例函数经过一三象限，
∴
∴
∴二次函数的开口向下，与y轴的交点为y轴正半轴，对称轴为
故答案为：D.
【分析】根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系得到：进而结合二次函数的图象与系数的关系得到二次函数的开口向下，与y轴的交点为y轴正半轴，对称轴为进而即可求解.
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接AC与BD相交于H，连接AF、BF、FH，如图，
∵
∴
由折叠得：
∴
∴
∴为等腰直角三角形，
∴
由旋转得：
∴
∴为等边三角形，
∴
∴
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴A、B、F、H共圆，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】连接AC与BD相交于H，连接AF、BF、FH，根据三角形内角和定理求出∠ADB的度数，然后结合折叠的性质可得到：进而证明即可证明为等腰直角三角形，即进而根据旋转的性质得到：结合已知条件证明为等边三角形，即进而利用"SAS"证明则进而推出A、B、F、H共圆，则进而利用勾股定理求出BH的长度，进而得到BD的长度，最后利用三角形面积计算公式计算即可求解.
10．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①由题意画出函数图象如图，
∴
∴当时，则①错误，
②过点O作交AB于M，过点O作交CD于N，连接OA、OC，如图，
∴四边形AMPN为矩形，
∵
∴
∴
∵
∴
∴则②正确，
③如图，
∴或
∴则③错误，
④∵矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴长＋宽=长×宽=
∵矩形的周长值与面积值相等，
∴
∴或，
∴
∴对角线长为：则④正确，
综上所述，正确的说法有②④，共2个，
故答案为：B.
【分析】①根据题意画出函数图象，即可判断本项是否正确；②根据题画出图形，过点O作交AB于M，过点O作交CD于N，连接OA、OC，进而利用勾股定理得出关系式即可判断；③在坐标系中画出图形，易得到点C的坐标进而即可得到k的值；④利用韦达定理得到：长＋宽=长×宽=进而根据"矩形的周长值与面积值相等"，据此列出方程进而即可求出a的值，最后即可求出对角线的长度.
11．【答案】3.802×1011
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成的形式，其中1≤|a|<10 ， n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将四张卡片分别标记为：A、B、C、D，画出树状图如下，
∴共有16种情况，符合条件的情况有4种，
∴两次取到相同图案的卡片的概率为：
故答案为：.
【分析】将四张卡片分别标记为：A、B、C、D，画出树状图，进而根据概率的计算公式计算即可求解.
13．【答案】40；2
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∵
∴
由圆的性质得：
∴
∴
∴扇形MCN的弧长为：
∴圆锥的底面圆半径为：
故答案为：40，2.
【分析】根据平行四边形的性质得到：然后根据三角形内角和定理得到：再结合等腰三角形的性质得到再根据三角形的外角的性质即可求出∠NMC的度数，最后根据圆锥的底面圆的周长等于扇形MCN的弧长列式计算即可.
14．【答案】x＞8；m≤7
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：解不等式
∴
解不等式，则
∵这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，
∴
∴，
故答案为：.
【分析】分别解两个不等式得到进而根据题意"这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大"，则得到：据此即可求出m的取值范围.
15．【答案】55；1260
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设小号"龙辰辰"的单价为x元，则大号"龙辰辰"的单价为元，
∴，
解得：
经检验为原方程的解，且符合题意，
∴大号"龙辰辰"的单价为55元，
设该网店购进大号"龙辰辰"m个，则购进小号"龙辰辰"个，
∴
∴
∵小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%，
∴大号“龙辰辰”的售价为：元，
令该网店的利润为w，
∴
∴当时，利润有最大值为1260元，
故答案为：55，1260.
【分析】设小号"龙辰辰"的单价为x元，则大号"龙辰辰"的单价为元，根据"用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍"，据此列出分式方程，解此方程即可求解；先根据题意求出大号“龙辰辰”的售价，进而令该网店的利润为w，则最后根据一次函数的增减性即可求出其最大值.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；射影定理
【解析】【解答】解：设则
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
过点A作于点M，过点D作于点N，如图，
∴
∴为等腰直角三角形，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
由射影定理得：
∴
故答案为：.
【分析】设则过点A作于点M，过点D作于点N，先利用"SAS"证明则进而证明为等腰直角三角形，最后利用勾股定理和射影定理即可求解.
17．【答案】（1）1+（）
＝1+1
＝1；
（2）3+5（2x﹣2）＝2x，
3+10x﹣10＝2x，
10x﹣2x＝10﹣3，
8x＝7，
x，
经检验，x是原方程的解．
【知识点】解分式方程；有理数混合运算法则（含乘方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先将特殊角度的三角函数值代入，再根据非0数的零次方为1和绝对值的性质计算即可求解；
（2）等号两边同乘以去掉分母，进而根据解一元一次方程的步骤计算即可，最后进行检验即可解此方程.
18．【答案】（1）证明：∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB＝∠BAE，
∵AB∥DF．
∴∠BAE＝∠DFE，
∴∠CAB＝∠EFD，
在△CAB和△EFD中，
，
∴△CAB≌△EFD（ASA），
∴AB＝FD，又AB∥FD，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）解：四边形BGED是正方形，理由如下：
由（1）可知，BC＝DE，四边形ABDF是平行四边形，
∴BD＝AF，
∵AB平分∠CAE，BC⊥AC，BG⊥AE，
∴BC＝BG，
∵BC＝AF，
∴BD＝DE＝BG，且∠BGE＝∠GED＝90°
∵BG∥DE，BG＝DE，
∴四边形BGED是平行四边形，
∵BD＝DE，
∴四边形BGED是菱形，
∵∠BGE＝∠GED＝90°，
∴四边形BGED是正方形．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质和平行线的性质得到：进而利用"ASA"证明，则最后根据对边相等且平行的四边形为平行四边形即可求证；
（2）根据平行四边形的性质得到：然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到：进而可证明四边形BGED是平行四边形，再根据菱形的判定即可知四边形BGED是菱形，最后根据有一个内角为直角的菱形为正方形即可证明四边形BGED是正方形.
19．【答案】（1）5；9
（2）解：该样本的平均数（4.0×1+4.1×2+4.2×5+4.3×4+4.4×3+4.5×5+4.6×1+4.7×1+4.8×5+4.9×9+5.0×6）
（63.6+129.9）
193.5
≈4.6，
答：该样本的平均数约为4.6；
（3）解：∵这42个数据从小到大的顺序排列后，其中第21个数是4.6，第22个数是4.7，
∴这组数据的中位数是4.65，
∵小明同学右眼视力为4.5，
∴根据中位数推测他在九年级全体学生中的右眼视力状况偏低；
（4）解：该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数＝840420（人），
答：该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数为420人．
【知识点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）根据检查结果可知：右眼视力为4.5的人数有5人，右眼视力为4.9的人数有9人，
∴
故答案为：5，9.
【分析】（1）根据检查结果可知：右眼视力为4.5的人数有5人，右眼视力为4.9的人数有9人，进而即可得到m和n的值；
（2）根据平均数的计算法则代入数据进行计算即可求解；
（3）先将这42个数据从小到大的顺序排列，再根据中位数的定义即可得到中位数，进而即可推测小明在九年级全体学生中的右眼视力状况；
（4）用840乘以本次测试中视力在4.7及4.7以上的学生人数所占的比例即可求解.
20．【答案】（1）解：∵AB＝24cm，BEAB，
∴BE8，
∵，
∴BG＝8cos12°（cm）；
（2）解：∵sin12°，
∴EG＝8sin12°（cm），
延长GB，NM交于点H，
∴四边形DNHG是矩形，
∴NH＝DG＝DE﹣EG＝28﹣8sin12°（cm），
∴HM＝NH﹣MN＝20﹣8sin12°（cm），
∵∠ABG＝12°，∠ABM＝147°，
∴∠FBG＝135°，
∴∠MBH＝45°，
∴BH＝HM＝20﹣8sin12°（cm），
∴DN＝GH＝BG+BH＝8cos12°+20﹣8sin12°（cm）．
【知识点】矩形的判定与性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据题意求出BE的长度，然后根据余弦的定义即可得到BG的长度；
（2）根据题意得到则延长GB，NM交于点H，则四边形DNHG是矩形，进而接即可求出NH和HM的长度，再结合已知条件证明为等腰直角三角形，则，最后根据线段间的数量关系即可求出DN的长度.
21．【答案】（1）解：设种植“丰收2号”小麦的产粮量为x kg，则“丰收1号”小麦的产粮量为（1.2x﹣100）kg，根据题意得：
x+1.2x﹣100＝1000，
解得：x＝500，
∴“丰收1号”的产粮量：1000﹣500＝500（kg）．
答：种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量都为500kg；
（2）解：“丰收1号”的单位面积产量为：，
“丰收2号”的单位面积产量为：，
∵（a2﹣1）﹣（a﹣1）2＝a2﹣1﹣a2+2a﹣1＝2a﹣2＞0，
∴，
∴“丰收2号”小麦单位面积产量高，
∴
，
即高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
答：“丰收2号”小麦单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
【知识点】一元一次方程的其他应用；不等式的性质；分式的除法
【解析】【分析】（1）设种植"丰收2号"小麦的产粮量为xkg，则"丰收1号"小麦的产粮量为根据"两块试验田共产粮1000kg"，据此列出方程：解此方程即可求解；
（2）由题意可知：“丰收1号”的单位面积产量为：，“丰收2号”的单位面积产量为：，根据分数的大小比较即可知：“丰收2号”小麦单位面积产量高，进而即可求解.
22．【答案】（1）∵一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点，
，解得，
∴一次函数解析式为：y1；
（2）根据表格数据可知y2是反比例函数，k＝4，
∴y2，
函数图象如下：
（3）联立方程组，解得，，
∴C（﹣4，﹣1），
∵点C关于坐标原点的对称点为点E，
∴E（4，1），
如图，连接OP，作PM⊥x轴，EN⊥x轴，
∵△PCE的面积为15，
∴S△POE，
∵点P、E在反比例函数图象上，
∴S△POE＝S梯形PMNE，
设点P（m，），
∴．
解得m＝1或﹣16（舍去），
∴P（1，4）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；列反比例函数关系式；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出k和b的值，进而即可得到一次函数的解析式；
（2）根据表格数据可知y2是反比例函数且k＝4，则再画出其函数图象即可；
（3）联立两个函数得到点C的坐标，进而根据兑对称的性质得到点E的坐标，连接OP，作PM⊥x轴，EN⊥x轴，根据题意得到，进而可得到：S△POE＝S梯形PMNE，则据此得到方程解此方程得到m的值，进而得到点P的坐标.
23．【答案】（1）证明：连接OD，
∵∠ADF＝∠ACD，∠AOD＝2∠ACD，
∴2∠ADF＝∠AOD，
设∠ADF＝x，则∠AOD＝2x，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODF＝∠ODA+∠ADF＝90°﹣x+x＝90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：①连接BD，
∵BE＝3CE＝3，
∴CE＝1，
∵BE是切线，
∴∠ABE＝90°＝∠CBE+∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠BAC＝∠BDC，
∴∠CBE＝∠BDC，
∵∠E＝∠E，
∴△BCE∽△DBE，
∴，
∴，
∴DE＝9；
②∵DE＝9，
∵CD＝DE﹣CE＝8，
∵CDCG，
∴CG＝3，DG＝5，
∴GE＝CG+CE＝4，
在Rt△BGE中，BG，
∵∠BCG＝∠DAG，∠BGC＝∠DGA，
∴△ADG∽△CBG，
∴，
∴，
∴AG，
∴AB＝AG+BG，
∴⊙O的半径．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据题意得到：，设∠ADF＝x，则∠AOD＝2x，即可得到：进而即可求出即可求证；
（2）①连接BD，根据切线的性质和角之间的数量关系得到：进而证明则，代值计算即可求解；
②求出CD的长度，然后根据题意得到：则在Rt△BGE中利用勾股定理求出BG的长度，再证明则，代值进行计算求出进而求出AB的长度即可求解.
24．【答案】（1）2；y＝（x﹣2）2﹣8
（2）解：将（﹣1，m）代入y＝x2﹣2bx﹣4得m＝1+2b﹣4＝2b﹣3，
∵m＝2b﹣3＞0，
∴b，
∵y＝x2﹣2bx﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线xb，
∵2x1+2x2≤5，
∴，
∵x1＜x2，
∴y1＞y2；
（3）证明：如图，
∵直线y＝kx与y轴交于点C，
∴C（0，），
当b＝0时，原抛物线解析式为y＝x2﹣4，向上平移4个单位得到的新抛物线解析式为y＝x2，
与直线y＝kx联立得，
解得：，，
当A（，） 时，
∵点E为AC中点，
∴E（，），
∵EF⊥x轴，
∴F（，0），
根据两点间距离公式得CF2＝（）2+（）2，
CE，
∴CF2CE；
当A（，）时，
∵点E为AC中点，∴E（，），F（，0），
根据两点间距离公式得CF2＝（）2+（）2，
CE，
∴CF2CE．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）把点代入抛物线，则
∴
∴抛物线解析式为：
故答案为：2，y＝（x﹣2）2﹣8.
【分析】（1）把点代入抛物线，则据此求出b的值，进而即可求解；
（2）将（﹣1，m）代入y＝x2﹣2bx﹣4得：结合题意求出b的取值范围，然后根据抛物线的性质得到：抛物线开口向上，对称轴为直线进而得到，即x1＜x2，进而即可比较y1与y2的大小；
（3）画出函数图象，即可得到点C的坐标，当b＝0时，原抛物线解析式为y＝x2﹣4，向上平移4个单位得到的新抛物线解析式为y＝x2，然后联立方程得到：，即可得到点A和点B的坐标，进而根据中点坐标公式得到点E和点F的坐标，最后运用两点间的距离公式计算即可.
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