(共17张PPT)
第5课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
第二十二章 二次函数
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)能画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
2．(2022新课标)通过图象了解二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质．
3．知道二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k的联系．
4．会应用二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质解题．
几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象性质
a a＞0 a＜0
开口方向
顶点坐标
对称轴
最值 当x＝h时， y最小值＝k 当x＝h时，
y最大值＝k
增减性 当x 时，y随x的增大而增大 当x 时，y随x的增大而增大
当x 时，y随x的增大而减小 当x 时，y随x的增大而减小
＞h
＜h
直线x＝h
(h，k)
向下
＜h
＞h
直线x＝h
(h，k)
向上
画函数y＝a(x－h)2＋k的图象，研究其性质
1．(人教9上P37改编、北师9下P39)
已知抛物线y＝2(x－3)2－5，则：
(1)开口向 ；
(2)对称轴是 ；
(3)顶点坐标是 ；
(4)当x＝ 时，y的最 值是 ；
(5)当x 时，y随x的增大而增大．
＞3
－5
小
3
(3，－5)
直线x＝3
上
a决定开口方向 h，k决定平移的方向 方法提示
a＞0， 开口向___ h＞0，向 平移； k＞0，向 平移 由a，h，k的符号，画出y＝a(x－h)2＋k的大致图象，即可确定它的五要素
a＜0， 开口向____ h＜0，向 平移； k＜0，向 平移
下
左
上
右
下
上
抛物线y＝ax2 抛物线y＝a(x－h)2＋k
2．(1)(2023广西)将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线是( )
A．y＝(x－3)2＋4 B．y＝(x＋3)2＋4
C．y＝(x－3)2－4 D．y＝(x＋3)2－4
(2)(2023无锡)将二次函数y＝2(x－1)2＋2的图象向右平移2个单位长度，所得函数图象的顶点坐标为( )
A．(－1，2) B．(3，2)
C．(1，3) D．(1，－1)
B
A
3．【例1】(人教9上P35改编、北师9下P38改编)在同一个平面直角坐标系中，画出函数y＝－x2与y＝－(x－1)2＋2的图象．
列表、描点、连线：
x
y＝－x2
y＝－(x－1)2＋2
解：如图：
归纳：抛物线y＝－x2向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝－(x－1)2；再向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝－(x－1)2＋2．
2
上
1
观察图象填空：
右
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝－x2
y＝－(x－1)2＋2
(1，2)
(0，0)
直线x＝1
y轴
向下
向下
6．(人教9上P35改编、北师9下P38改编)在同一个平面直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝(x＋1)2－2的图象．
列表、描点、连线：
x
y＝x2
y＝(x＋1)2－2
解：如图：
归纳：抛物线y＝x2向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝(x＋1)2；再向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝(x＋1)2－2．
2
下
1
观察图象填空：
左
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝x2
y＝(x＋1)2－2
(－1，－2)
(0，0)
直线x＝－1
y轴
向上
向上
小结：心中有y=a（x-h）2+k（a<0或a>0）的草图，性质理解于胸，问题迎刃而解
4．【例2】已知抛物线y＝－3(x－2)2＋1．
(1)开口向 ；
(2)顶点坐标是 ；
(3)对称轴是 ；
(4)当x＝ 时，y的最大值是 ；
(5)当x 时，y随x的增大而增大．
＜2
1
2
直线x＝2
(2，1)
下
7．已知抛物线y＝3(x＋2)2－1．
(1)开口向 ；
(2)顶点坐标是 ；
(3)对称轴是 ；
(4)当x＝ 时，y的最小值是 ；
(5)当x 时，y随x的增大而减小．
＜－2
－1
－2
直线x＝－2
(－2，－1)
上
小结：左右平移的规律——左“+”右“-”；
上下平移的规律——上“+”下“-”.
5．【例3】(2024深圳模拟)将抛物线y＝－(x－1)2＋4先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )
A．y＝－(x＋1)2＋1 B．y＝－(x＋3)2＋1
C．y＝－(x－3)2＋1 D．y＝－(x＋1)2＋7
A
8．(2021广东)把抛物线y＝2x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为
．
y＝2x2＋4x
★9． 0.40 (2024成都模拟)将抛物线C1：y＝x2向左平移a(a＞0)个单位长度后，再向下平移b个单位长度，得到新的抛物线C2，若A(－a－2，y1)，B(－a＋1，y2)，C(－a＋3，y3)为抛物线C2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 (用“＜”表示)．
y2＜y1＜y3 (共19张PPT)
第8课时 求二次函数的解析式
第二十二章 二次函数
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．会用待定系数法求二次函数的解析式．
2．根据具体问题的特征，能选择不同的方法确定二次函数的解析式．
运算能力 几何直观
模型观念 应用意识
选用一般式y＝ax2＋bx＋c求二次函数的解析式
已知条件 选用二次函数的解析式
已知任意三点坐标 (不在同一直线上) 一般式
y＝ax2＋bx＋c
1．(人教9上P42改编、北师9下P42改编)已知抛物线过点A(0，3)，B(1，4)，C(2，7)，求这个抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
根据题意得，解得，
所以抛物线的解析式为y＝x2＋3．
选用顶点式y＝a(x－h)2＋k求二次函数的解析式
已知条件 选用二次函数的解析式
已知抛物线的顶点 及另一个点的坐标 顶点式
y＝a(x－h)2＋k
2．(北师9下P43改编)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标是(2，1)，且经过点(1，－2)，求这个二次函数的解析式．
解：设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋1，
把点(1，－2)代入解析式，解得a＝－3，
∴二次函数解析式为y＝－3(x－2)2＋1＝－3x2＋12x－11．
选用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)求二次函数的解析式
已知条件 选用二次函数的解析式
已知抛物线与x轴的2个交点及另一个点的坐标 交点式
y＝a(x－x1)(x－x2)
3．(人教9上P40改编、北师9下P43改编)已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(－3，0)，(1，0)，且与y轴的交点坐标为(0，－3)，求这个二次函数的解析式．
解：设二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，
把(0，－3)代入得a·3·(－1)＝－3，
解得a＝1，
所以二次函数的解析式为y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3．
4．【例1】(人教9上P42改编、北师9下P45改编)已知二次函数的图象过三个点(0，－3)，(1，0)，(2，5)，求这个二次函数的解析式．
解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
根据题意得，解得，
所以二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3．
小结：已知三个点的坐标，选用一般式y=ax2+bx+c，分别代入列方程组求解，这种方法叫做待定系数法.
7．已知二次函数的图象过三个点A(0，－1)，B(1，0)，C(－1，2)，求这个二次函数的解析式．
解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则，解得，
故这个二次函数的解析式为y＝2x2－x－1．
5．【例2】(北师9下P43改编)如图是某抛物线的图象，其中点A为顶点，点B为图象与y轴的交点，求点
A，B的坐标及该抛物线的解析式．
解：由图象得点A(2，－4)，
点B(0，4)，设抛物线的解析式为
y＝a(x－2)2－4，
把点B(0，4)代入解析式，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2(x－2)2－4＝2x2－8x＋4．
小结：由图象确定顶点和另一点的坐标，选择顶点式代入
求解.
8．已知抛物线的图象过坐标原点，且顶点坐标是(1，－2)，求这个抛物线的解析式．
解：设这个抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－2，
∵抛物线的图象过坐标原点，
∴0＝a(0－1)2－2，解得a＝2，
故这个抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x．
6．【例3】(人教9上P42改编)(2024咸阳一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，－3)，求抛物线的解析式．
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，
B(3，0)，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，
∵抛物线与y轴相交于点C(0，－3)，
∴把(0，－3)代入得a(0＋1)(0－3)＝－3，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3．
小结：已知抛物线与x轴相交，用交点式求解能使计算简单；本题也可选一般式求解.
★9． 0.50 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴相交于点C(0，2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判定△ABC的形状．
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－4)，
把(0，2)代入得a·1·(－4)＝2，解得a＝－，
∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－4)＝－x2＋x＋2．
(2)点A，B，C的坐标分别为(－1，0)，(4，0)，(0，2)，
则AC＝，BC＝2，AB＝5，
有AB2＝AC2＋BC2，
∴△ABC为直角三角形．(共15张PPT)
第12课时 实际问题与二次函数(3)
第二十二章 二次函数
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
2．能够熟练掌握利用二次函数求最大利润的问题．
运算能力 模型观念
应用意识
利润问题中的价格调整
调整价格包括涨价和降价两种情况．
(1)一般情况下，商品涨价时，销量会减少；
(2)一般情况下，商品降价时，销量会增加；
(3)销售额＝单个商品的价格×销售量．
1．(人教9上P50、北师9下P48改编)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．
(1)市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为
；
(2)(2024合肥一模)市场调查反映：如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为
．
y＝(60－x)(300＋20x)
y＝(60＋x)(300－10x)
利用二次函数求最大利润问题
(1)常用公式：
利润＝售价－进价；
总利润＝单个商品的利润×销售量．
(2)建立二次函数模型，求出二次函数的顶点坐标，将最大利润问题转化为二次函数的最大值问题．
2．(人教9上P51改编、北师9下P31改编)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．
(1)写出这段时间内所得的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)销售单价为多少元时，这段时间内的销售利润最大？
解：(1)y＝(x－20)(30－x)，
即y＝－(x－25)2＋25(20≤x≤30)．
(2)25元．
3．【例1】(2024安徽一模)某加工厂加工某海产品的成本为30元/千克．根据市场调查发现，该海产品批发价定为48元/千克的时候，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，加工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．当每千克降价多少元时，加工厂每天的利润最大？最大利润为多少元？
解：设每千克降价x元，加工厂每天的利润为y元，
则y＝(500＋50x)(48－x－30)(0＜x＜18)，
整理得y＝－50(x－4)2＋9 800，
∵－50＜0，∴当x＝4时，y有最大值9 800．
答：当每千克降价4元时，加工厂每天的利润最大，最大利润为9 800元．
5．某旅游纪念品每件进价为6元，当销售单价为8元时，每天可售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x(元)，日销量为y(件)，日销售利润为W(元)．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求日销售利润W与销售单价x的关系式；当x为何值时，日销售利润最大？求最大利润．
解：(1)y＝200－10(x－8)，即y＝－10x＋280(6≤x≤12)．
(2)W＝(x－6)(－10x＋280)＝－10(x－17)2＋1 210，
∵6≤x≤12，且当x＜17时，W随x的增大而增大，
∴当x＝12时，日销售利润最大，最大利润为960元．
4．【例2】(2023锦州)端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y(袋)与售价x(元/袋)满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销
售利润最大？最大日销售利润是多少元？
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
把x＝10，y＝280和x＝14，y＝120分别代入，
得，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－40x＋680．
(2)设这种粽子的日销售利润为w元，
则w＝(x－8)(－40x＋680)
＝－40x2＋1 000x－5 440＝－40(x－12.5)2＋810，
∵－40＜0，∴当x＝12.5时，w有最大值，最大值为810．
答：当粽子的售价定为12.5元/袋时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是810元．
★6． 0.40 (2023湖北)某商店的某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天内的日销售价与日销售量的相关信息如下表(1≤x≤60，x为整数)．设该商品的日销售利润为w元．
时间：第x(天) 1≤x≤30 31≤x≤60
日销售价(元/件) 0.5x＋35 50
日销售量(件) 124－2x
(1)直接写出w与x的函数关系式；
(2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
解：(1)w＝
(2)当1≤x≤30时，
w＝－x2＋52x＋620＝－(x－26)2＋1 296，
∵－1＜0，∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1 296；
当31≤x≤60时，w＝－40x＋2 480，
∵－40＜0，∴当x＝31时，w有最大值，最大值为－40×31＋2 480＝1 240，
∵1 296＞1 240，∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1 296元．(共17张PPT)
第3课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
第二十二章 二次函数
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)能画二次函数y＝ax2＋k的图象．
2．(2022新课标)通过图象了解二次函数y＝ax2＋k的性质．
3．知道二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的联系．
4．会应用二次函数y＝ax2＋k的性质解题．
几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
抛物线 y＝ax2＋k
开口方向 a＞0，开口向____
a＜0，开口向____
顶点坐标 ( ， )
对称轴 y轴(或直线x＝0)
函数的最值 a＞0，当x＝0时，y最小值＝k
a＜0，当x＝0时，y最大值＝k
k
0
下
上
画函数y＝ax2＋k的图象，研究其性质
1．(人教9上P33改编、北师9下P36改编)已知抛物线
y＝－3x2＋2，则：
(1)开口向 ；
(2)对称轴是 ；
(3)顶点坐标是 ；
(4)当x＝ 时，y的最 值是 ；
(5)当x 时，y随x的增大而增大．
＜0
2
大
0
(0，2)
y轴
下
a决定开口方向 k决定平移的方向 方法提示
a＞0， 开口向___ k＞0， 向 平移 由a，k的符号，画出y＝ax2＋k的大致图象，即可确定它的五要素
a＜0， 开口向____ k＜0， 向 平移
下
上
下
上
抛物线y＝ax2 抛物线y＝ax2＋k
2．(1)(2023肇庆期末)如果将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，那么所得到的抛物线的解析式是 ；
(2)抛物线y＝－3x2向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝－3x2＋2；
(3)(2024广安模拟)把抛物线y＝5x2向下平移2个单位长度后，其顶点坐标为( )
A．(0，－2) B．(－2，0)
C．(2，0) D．(0，2)
A
2
上
y＝x2＋2
3．【例1】(人教9上P32改编、北师9下P35改编)在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．
列表、描点、连线：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝x2 … 4 1 0 1 4 …
y＝x2＋1 … …
y＝x2－1 … …
解：如图：
归纳：(1)抛物线y＝x2向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝x2＋1；
(2)抛物线y＝x2向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝x2－1
1
下
1
观察图象填空：
上
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝x2
y＝x2＋1
y＝x2－1
(0，－1)
(0，1)
(0，0)
y轴
y轴
y轴
向上
向上
向上
6．(人教9上P32改编、北师9下P36改编)在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2，y＝－x2＋2的图象．
列表、描点、连线：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝－x2 … －4 －1 0 －1 －4 …
y＝－x2＋2 … …
解：如图：
归纳：(1)抛物线y＝－x2向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为 ；
(2)抛物线y＝－x2向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为 ．
y＝－x2－2
观察图象填空：
y＝－x2＋2
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝－x2
y＝－x2＋2
(0，2)
(0，0)
y轴
y轴
向下
向下
小结：心中有y=ax2+k（a<0或a>0）的草图，性质理解于胸，问题迎刃而解.
4．【例2】抛物线y＝－x2＋5的开口向 ，
对称轴是 ，顶点坐标是 ．
当x 时，y随x的增大而增大；
当x 时，y随x的增大而减小．
＞0
＜0
(0，5)
y轴
下
7．(人教9上P32改编、北师9下P36改编)抛物线y＝－3x2－1的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是
．当x 时，y随x的增大而增大；
当x 时，y随x的增大而减小．
＞0
＜0
(0，－1)
y轴
下
小结：这类问题通常把符合条件的坐标值代入相应的解析式，列出方程或方程组求解.
5．【例3】已知抛物线y＝ax2＋b过点(－2，－3)和点(1，6)．
(1)这个函数的解析式为 ；
(2)当x 时，函数y随x的增大而增大
＜0
y＝－3x2＋9
★8． 已知直线y＝3x和抛物线y＝ax2＋5相交于点A(2，b)和点B(O为原点)．
(1)a的值为 ，b的值为 ；
(2)当x 时，二次函数y随x的增大而减小；
(3)若顶点为M，则△OBM的面积为 ．
25
＜0
6
0.50(共15张PPT)
第6课时 用配方法将y＝ax2＋bx＋c化成
y＝a(x－h)2＋k的形式
第二十二章 二次函数
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能得到图象的顶点坐标、开口方向、对称轴．
2．(2022新课标)能画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
3．(2022新课标)会求二次函数的最大值或最小值．
运算能力 几何直观
空间观念 模型观念
将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y＝a(x－h)2＋k，研究其性质
(1)开口方向：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下．
(2)顶点坐标：(h，k)．
(3)对称轴：直线x＝h．
1．(人教9上P47改编)用配方法将抛物线y＝x2－4x＋3化成顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出开口方向、顶点坐标和对称轴．
y＝(x－2)2－1
开口向上
顶点坐标为(2，－1)
对称轴为直线x＝2
画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的步骤：
(1)将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y＝a(x－h)2＋k；
(2)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)以顶点为中心，在对称轴左右两边对称取点，然后列表、描点、连线．
2．(人教9上P47)画出二次函数y＝x2－4x＋3的图象．
x … …
y＝x2－4x＋3 … …
解：填表略，
如图：
求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值
求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值的步骤：
(1)用配方法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y＝a(x－h)2＋k；
(2)确定最值：
若a＞0，当x＝h时，y最小值＝k；
若a＜0，当x＝h时，y最大值＝k．
3．求二次函数y＝x2＋2x－1的最小值．
解：y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
当x＝－1时，最小值为－2．
4．【例1】将下列二次函数的解析式用配方法化成顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，并指出其开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝－x2＋x；(人教9上P39改编)
y＝－(x－1)2＋ 开口向下
对称轴为直线x＝1 顶点坐标为
(2)y＝2x2－6x＋2．(北师9下P41改编)
y＝2 开口向上 对称轴为直线x＝ 顶点坐标为
小结：a≠1时，提取二次项系数a，将二次项系数转化为1，再配方.注意添括号与去括号的正确应用.
6．将下列二次函数的解析式用配方法化成顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，并指出其开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝－2x2＋12x－8；(人教9上P39改编、北师9下P40改编)
y＝－2(x－3)2＋10
开口向下 对称轴为直线x＝3 顶点坐标为(3，10)
(2)y＝x2－x－1．(人教9上P39改编)
y＝
开口向上 对称轴为直线x＝ 顶点坐标为
小结：先把一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a（x-h）2+k，再进行平移，问题得解.
5．【例2】(北师9下P41改编)二次函数y＝2x2＋4x－1的图象可由抛物线y＝2x2怎样平移得到？并求其最小值．
解：配方得y＝2(x＋1)2－3，
将抛物线y＝2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到(或先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到)．
当x＝－1时，y的最小值为－3．
7．(人教9上P35改编)二次函数y＝－x2－x－1的图象可由抛物线y＝－x2怎样平移得到？并求其最大值．
解：配方得y＝－(x＋1)2－，
将抛物线y＝－x2先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度得到
．
当x＝－1时，y的最大值为－．
★8． (2023大连)已知二次函数y＝x2－2x－1，当0≤x≤3时，函数的最大值为( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
D
0.50(共21张PPT)
第2课时 二次函数y＝ax2的图象和性质
第二十二章 二次函数
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．知道二次函数的图象是一条抛物线．
2．(2022新课标)能画二次函数y＝ax2的图象．
3．(2022新课标)通过图象了解二次函数y＝ax2的性质
运算能力 几何直观
模型观念 应用意识
画函数图象的步骤(温故知新)
(1)列表；
(2)描点；
(3)连线．
1．画出一次函数y＝x＋1的图象．
x
y＝x＋1
解：如图：
画二次函数y＝ax2的图象
(1)为了图象能正确反映其性质特征，自变量x的值一般取关于原点对称的正负值，含0在内至少取5个点；
(2)二次函数y＝ax2的图象是一条 ．
抛物线
2．(人教9上P30、北师9下P32)在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2与y＝－x2的图象．
x
y＝x2
y＝－x2
解：如图：
函数 y＝ax2(a＞0) y＝ax2(a＜0)
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
y轴
(0，0)
向下
y轴
(0，0)
向上
二次函数y＝ax2的图象和性质
函数 y＝ax2(a＞0) y＝ax2(a＜0)
函数的 变化 当x＞0时，y随x增大而
； 当x＜0时，y随x增大而
． 当x＞0时，y随x增大而
；
当x＜0时，y随x增大而
．
最大 (小)值 当x＝ 时，
y最小值＝ ． 当x＝ 时，
y最大值＝ ．
0
0
增大
减小
0
0
减小
增大
续表
3．二次函数y＝ax2的图象如图所示，则：
(1)a 0；
(2)开口向 ；
(3)对称轴是 ；
(4)顶点坐标是 ；
(5)当x＝ 时，y的最小值是 ；
(6)当x＞0时，y随x的增大而 ．
增大
0
0
(0，0)
y轴
上
＞
4．【例1】(人教9上P30、北师9下P35)在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝x2的图象．
x
y＝2x2
y＝x2
解：如图：
小结：（1）这里画y=ax2（a>0）的图象时，x轴可以靠下方网格一些，自变量x的值一般取关于原点对称的正负值，含0在内至少取5个点；（2）越大，抛物线的开口越小.
7．(人教9上P31、北师9下P36)在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝－2x2与y＝－x2的图象．
x
y＝－2x2
y＝－x2
解：如图：
小结：用数形结合法解题，会更快捷形象.
5．【例2】(人教9上P31－32、北师9下P36改编)
已知点(x1，y1)与(x2，y2)在抛物线y＝－2x2上，
若x1＜x2＜0，则y1 y2．
＜
8．(人教9上P32、北师9下P36改编)若点(x1，y1)和(x2，y2)在函数y＝x2的图象上，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系为
．
y1＞y2
6．【例3】(2023潮州月考)如图，二次函数y＝ax2(a≠0)与一次函数y＝kx－2的图象相交于A，B两点，其中A(－1，－1)，G为一次函数与y轴的交点，求△OAB的面积．
解：将(－1，－1)分别代入y＝ax2和y＝kx－2，
可得a＝－1，k＝－1，
故y＝－x2，y＝－x－2，
联立得－x2＝－x－2，
解得x＝－1或2，故B(2，－4)．
∵y＝－x－2，∴G(0，－2)，
∴S△OAB＝S△OAG＋S△OBG＝×2×1＋×2×2＝3．
小结：将底边和高均不与坐标轴平行的三角形分割为横平竖直的三角形，或者采用补形作差法求面积.
★9． 已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线
y＝x－3交于点M(1，m)与N，顶点为原点O．
(1)求a，m，n的值；
(2)当x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？
(3)求△OMN的面积．
0.50
解：(1)∵二次函数y＝ax2与直线y＝x－3交于点M(1，m)，N，
∴m＝1－3＝－2，n＝－－3＝－，
∴－2＝a×12，a＝－2，
即a，m，n的值分别为－2，－2，－．
(2)由(1)知a＝－2，则二次函数的解析式为y＝－2x2，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大．
(3)∵点M(1，－2)，N，O(0，0)，
∴△OMN的面积为
×2×1－．(共17张PPT)
第11课时 实际问题与二次函数(2)
第二十二章 二次函数
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
2．会根据实际问题建立适当的直角坐标系，求出二次函数解决实际问题．
运算能力 几何直观
模型观念 应用意识
建立适当的坐标系，求出二次函数关系式解决实际问题
(1)建立适当的直角坐标系，求出二次函数关系式；
(2)运用二次函数性质以及根据具体问题转化成相应的方程解决实际问题．
1．(人教9上P51、北师9下P61)(2024泰安)如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m时，水面宽4 m，当水面下降1 m时，水面的宽度是多少？
解：设抛物线的解析式为y＝ax2(a≠0)，
根据题意，把点(2，－2)代入得－2＝a×22，
解得a＝－，∴y＝－x2，当水面下降1 m时，
即y＝－3时，－3＝－x2，
解得x1＝－，x2＝，
∴－(－)＝2．
答：当水面下降1 m时，水面的宽度为2 m．
二次函数与动点产生的阴影部分面积问题
(1)要根据题意列出函数关系式．
(2)熟练掌握二次函数的图象与性质．
(3)解题步骤：
①用字母表示出相关线段的长；
②利用面积公式列出函数关系式：
③根据函数关系式判断函数图象；
④注意关键点和自变量的取值范围．
A B C D
2．(2024遵义模拟)如图，在Rt△AOB 中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得阴影部
分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象
为下列选项中的( )
D
3．【例1】(北师9下P60改编)如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20 cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2 cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y cm2与时间t s之间的函数关系式．
解：由题意得AN＝2t，重叠部分为等腰直角
三角形，
∴AM＝HM＝20－2t，
∴y＝AM·HM＝(20－2t)2＝2t2－40t＋200(0≤t≤10)．
小结：关键是利用代数式表示出变化过程中的变量.
5．(人教9上P41、北师9上P53改编)如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝8 cm，AB＝6 cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，
B两点同时出发，在运动过程中，当运动
多少秒时，△PBQ的面积最大？(若一点
到达终点时，另一点也随之停止运动)
解：设运动t秒时，△PBQ的面积为S cm2，则
S＝BQ·PB＝·2t·(6－t)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9(0≤t≤4)，因此当运动时间为3秒时，△PBQ的面积最大．
4．【例2】(人教9上P36、北师9下P60改编)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管
应多长？
解：以池中心为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系(图略)．
依题意设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋3，
∵抛物线过点(3，0)，
∴0＝a×(3－1)2＋3，解得a＝－，
∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋3，
当x＝0时，y＝，因此水管的长应为 m．
小结：为解题简便，可选取特殊点为原点建立直角坐标系.
★6． 0.40 (2023威海)城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置OA的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内．当水流在与喷头的水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩．防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处，另一端与路面的垂直高度NC为1.8米，且与
喷泉水流的水平距离ND为0.3米．点C
到水池外壁的水平距离CE＝0.6米，则
步行通道的宽OE为 米．
(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41)
3.2
提示：以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立直角坐标系，求出抛物线的解析式，再将点D的纵坐标代入解析式求出横坐标的值，即可得出OE的长度．(共20张PPT)
第4课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
第二十二章 二次函数
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)能画二次函数y＝a(x－h)2的图象．
2．(2022新课标)通过图象了解二次函数y＝a(x－h)2的性质．
3．知道二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2的联系．
4．会应用二次函数y＝a(x－h)2的性质解题．
几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
抛物线 y＝a(x－h)2
开口方向 a＞0，开口向____
a＜0，开口向____
顶点坐标 ( ， )
对称轴 直线x＝h
函数的最值 a＞0，当x＝h时，y最小值＝0
a＜0，当x＝h时，y最大值＝0
0
h
下
上
画函数y＝a(x－h)2的图象，研究其性质
1．(人教9上P33改编、北师9下P37改编)已知抛物线y＝2(x－3)2，则：
(1)开口向 ；
(2)对称轴是 ；
(3)顶点坐标是 ；
(4)当x＝ 时，y的最 值是 ；
(5)当x 时，y随x的增大而增大．
＞3
0
小
3
(3，0)
直线x＝3
上
a决定开口方向 h决定平移的方向 方法提示
a＞0， 开口向___ h＞0， 向 平移 由a，h的符号，画出y＝a(x－h)2的大致图象，即可确定它的五要素
a＜0， 开口向___ h＜0， 向 平移
左
右
下
上
抛物线y＝ax2 抛物线y＝a(x－h)2
2．(1)(人教9上P34改编、北师9下P39改编)将抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是( )
A．y＝3x2－2
B．y＝3x2＋2
C．y＝3(x－2)2
D．y＝3(x＋2)2
(2)(2024哈尔滨模拟)把抛物线y＝2x2向右平移1个单位长度，所得抛物线的函数解析式为 ．
y＝2(x－1)2
D
3．【例1】抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为 ．
y＝x2＋3
7．抛物线y＝－x2向 平移 个单位长度，可得到抛物线y＝－x2－3．
3
下
4．【例2】(人教9上P34改编、北师9下P37改编)在同一个平面直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝(x＋1)2的图象．
列表、描点、连线：
x
y＝x2
y＝(x＋1)2
解：如图：
归纳：抛物线y＝x2向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝(x＋1)2．
1
观察图象填空：
左
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝x2
y＝(x＋1)2
(－1，0)
(0，0)
直线x＝－1
y轴
向上
向上
8．(人教9上P34改编、北师9下P37改编)在同一个平面直角坐标系中，画出函数y＝－x2与y＝－(x－1)2的图象．
列表、描点、连线：
x
y＝－x2
y＝－(x－1)2
解：如图：
归纳：抛物线y＝－x2向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝－(x－1)2．
1
观察图象填空：
右
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝－x2
y＝－(x－1)2
(1，0)
(0，0)
直线x＝1
y轴
向下
向下
小结：左右平移的规律——左“+”右“-”.
5．【例3】抛物线y＝3(x－h)2向右平移3个单位长度后，得抛物线y＝3(x＋2)2，则h＝ ．
－5
9．抛物线y＝m(x＋n)2向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式是y＝－4(x－4)2，则m＝ ，n＝ ．
－6
－4
6．【例4】(创新题)如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度后，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形，求a的值．
解：平移后的抛物线的解析式为y＝(x－a)2＝x2－2ax＋a2，则点A(a，0)，
令x＝0，则y＝a2，∴B(0，a2)．
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴a＝a2，解得a＝1或a＝0(舍去)．
故a的值为1．
小结：用字母表示出关键点的坐标，列方程求解.
★10． 0.40 已知抛物线y＝2(x－1)2的顶点为A，且与y轴交于点B．
(1)A的坐标为 ，B的坐标为 ；
(2)点P在抛物线上且在第一象限，S△PAB＝2，求点P的坐标．
(0，2)
(1，0)
解：(2)设点P(a，2a2－4a＋2)，
如图，过点P作PC⊥x轴于点C，
则S△PAB
＝S梯形PBOC－S△ABO－S△PAC
＝×(2＋2a2－4a＋2)·a－×1×2－×(2a2－4a＋2)·(a－1)
＝a2－a，
∵S△PAB＝2，∴a2－a＝2，解得a＝－1(舍去)或a＝2，
则点P的坐标为(2，2)．
答案图(共16张PPT)
第1课时 二次函数的相关概念
第二十二章 二次函数
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．理解二次函数的概念：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
2．(2022新课标)通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
抽象能力 运算能力
模型观念 应用意识
二次函数的相关概念
(1)一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数．
(2)比较
函数 一次函数 二次函数
解析式 y＝kx＋b(k≠0) y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
实例 y＝x＋2； y＝－2x y＝2x2＋4x＋1；
y＝x2
1．(人教9上P28改编、北师9下P30改编)下列是二次函数的是 (填序号)．
①y＝6x2； ②y＝ax2＋bx＋c；
③y＝x2－； ④y＝x(x＋2)－x2；
⑤y＝20(1＋x)2； ⑥y＝22＋2x．
①⑤
2．已知函数y＝(m－2)x2－4x＋3．
(1)当m 时，它是二次函数；
(2)当m＝ 时，它是一次函数．
≠2
2
函数自变量的取值范围
(1)函数关系式是整式，自变量的取值范围是 ；
(2)函数关系式是分式，自变量的取值应使得分母
；
(3)函数关系式是二次根式，自变量的取值应使得被开方数为
；
(4)实际问题的函数关系，自变量的取值还要符合实际意义．
非负数
不等于0
全体实数
x≥
3．(1)函数y＝x2－5x的自变量x的取值范围是 ；
(2)(2023泰州)函数y＝中，自变量x的取值范围是
；
(3)(2024永州模拟)函数y＝中，自变量x的取值范围是
．
x≠2
全体实数
根据实际问题写出二次函数的解析式及自变量的取值范围
4．(人教9上P29改编、北师9下P30改编)圆的面积S(cm2)与圆的半径r(cm)的函数关系式为 ，其中自变量r的取值范围是______.
r＞0
S＝πr2
5．【例1】(1)已知y＝xm＋x－3是二次函数，则实数m＝
；
(2)已知y＝(m＋1)x2＋2x－1是二次函数，则实数m的取值范围是 ．
m≠－1
2
小结：识别二次函数的关键是自变量的最高次数为2，且二次项系数不为零.
8．(1)已知y＝(m－2)x|m|＋2x－3是二次函数，则实数
m＝ ；
(2)已知y＝(m＋2)x2＋x－3是一次函数，则m＝ ．
－2
－ 2
6．【例2】(人教9上P21改编)一个直角三角形的两直角边长的
和为14 cm，其中一直角边长为x(cm)，三角形的面积为y(cm2)．
(1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当x＝3时，求y的值．
解：(1)其中一直角边长为x cm，则另一直角边长为(14－x)cm，可得y＝x(14－x)＝－x2＋7x(0＜x＜14)．
(2)当x＝3时，y＝－×32＋7×3＝16.5．
小结：利用公式求函数关系式，根据实际意义列出不等式或不等式组求出自变量的取值范围.
9．(人教9上P4改编、北师9上P35改编)矩形的长比宽长2 cm，设它的宽为x(cm)，它的面积为y(cm2)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x＝3时，求y的值．
解：(1)宽为x cm，则长为(x＋2)cm，
依题意，得y＝x(x＋2)＝x2＋2x(x＞0)．
(2)当x＝3时，y＝32＋2×3＝15．
7．【例3】(人教9上P57、北师9下P47)(2024天津模拟改编)如图，要用总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙(墙长18 m)，围成一个矩形的花圃，若设AB的长为x(m)，求矩形的面积y(m2)与x(m)的函数关系式(要求写出自变量x的取值范围)．
解：∵AB的长为x m，铁栏杆总长为20 m，
∴BC＝(20－2x)m，
∵x＞0，0＜20－2x≤18，∴1≤x＜10，
∴y＝x(20－2x)＝－2x2＋20x(1≤x＜10)．
小结：根据实际问题及限定条件列不等式（组）求取值范围.
★10． (人教9上P41、北师9上P53改编)
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 mm，BC＝24 mm．动点P从点A开始沿边AC向点C以2 mm/s的速度移动；动点Q从点C开始沿边CB向点B以4 mm/s的速度移动．如果P，Q两点同时出发，那么△PCQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．
解：由题意得AP＝2t mm，CQ＝4t mm，
则PC＝(12－2t)mm，
∴S＝(12－2t)·4t，
即S＝－4t2＋24t(0≤t≤6)．
0.50(共18张PPT)
第10课时 实际问题与二次函数(1)
第二十二章 二次函数
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
2．(2022新课标)会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题．
运算能力 几何直观
模型观念 应用意识
已知实际问题中二次函数的解析式，求最值问题
(1)解题关键：找出抛物线的顶点坐标．
(2)理解顶点坐标在实际问题中的意义．
1．(人教9上P49、北师9下P41改编)(2024梅州一模)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(米)与运动时间t(秒)之间的关系式是h＝－5t2＋30t(0≤t≤6)，则小球到达最高高度时，运动的时间是( )
A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒
C
已知实际问题中二次函数的解析式，利用抛物线性质及与坐标轴的交点解决实际问题
(1)解题关键：找出抛物线与坐标轴的交点坐标．
(2)理解抛物线与坐标轴的交点坐标在实际问题中的意义．
2．(人教9上P47改编)(2024辽宁一模)如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－(x－10)(x＋4)，则铅球推出的距离OA＝ m．
10
利用二次函数求图形面积的最值问题
(1)根据实际问题求出二次函数关系式；
(2)利用抛物线性质求函数的最大(小)值；
(3)在求二次函数何时达到最大(小)值时要注意顶点横坐标是否在实际问题中x的取值范围内．
3．(人教9上P49改编、北师9下P47改编)有一根长为20 cm的铁丝，把它弯成一个矩形ABCD，其中AB＝x cm，矩形面积为y cm2．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少？
解：(1)∵AB＝x，∴BC＝10－x．
∴y＝AB·BC＝x(10－x)＝－x2＋10x，
其中0＜x＜10．
(2)y＝－x2＋10x＝－(x－5)2＋25．
∴当x＝5时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为25 cm2．
4．【例1】(跨学科融合)(人教9上P43改编、北师9下P52改编)如图，一个小球在地面O点被击出，球的飞行路线是抛物线y＝－x2＋x，其中y(m)是飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离．
(1)求球飞行过程中的最大高度；
(2)求球飞行过程中的最远水平距离．
小结：（1）求最大高度的关键是求抛物线的顶点坐标；
（2）求最远水平距离的关键是求抛物线与x轴的交点坐标.
解：(1)球飞行过程中的最大高度就是抛物线y＝－x2＋x的顶点的纵坐标，由y＝－x2＋x＝－(x－4)2＋，知顶点坐标为，∴球飞行过程中的最大高度是 m．
(2)y＝0时，即－x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝8．
∴球飞行过程中的最远水平距离是8 m．
6．(跨学科融合)(2023襄阳改编)如图，一位篮球运动员投篮时，球从A点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度y(m)与篮球距离出手点的水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋x＋．
(1)求篮球出手点距离地面的高度；
(2)求篮球行进过程中距离地面的最大高度．
解：(1)令x＝0，则y＝，
故篮球出手点距离地面的高度为 m．
(2)∵y＝－x2＋x＋＝－，∴其顶点坐标为，故篮球行进过程中距离地面的最大高度为 m．
5．【例2】(人教9上P57、北师9下P47)如图，用30 m长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18 m，设矩形的宽AB为x m．
(1)用含x的代数式表示矩形的长BC；
(2)设矩形的面积为y m2，用含x的代数
式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围；
(3)这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？
解：(1)∵AB＝CD＝x m，∴BC＝(30－2x)m．
(2)由题意得y＝x(30－2x)＝－2x2＋30x．
由x＞0且0＜30－2x≤18，解得6≤x＜15．
(3)y＝－2x2＋30x＝－2(x－7.5)2＋112.5，
∴当x＝7.5时，y有最大值，y最大＝112.5，
此时这个矩形的长为15 m、宽为7.5 m．
答：这个矩形菜园的长为15 m、宽为7.5 m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5 m2．
小结：根据矩形的面积公式求出函数关系式（二次函数），再确定顶点坐标，是解决这类问题常用的方法.
★7． 0.45 (北师9下P60改编)某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m．
(1)当x为何值时，矩形花园的面积最大？最大面积为多少？
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分
别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含
边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最
大值．
解：(1)S＝x(28－x)＝－(x－14)2＋196(0＜x＜28)，
∵a＝－1＜0，
∴S有最大值，
当x＝14时，S最大值＝196(m2)．
(2)依题意有，解得6≤x≤13，在对称轴的左侧，S随x的增大而增大，因此当x＝13时，S最大值＝195(m2)．(共19张PPT)
第9课时 二次函数与一元二次方程
第二十二章 二次函数
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)知道二次函数和一元二次方程之间的关系．
2．灵活运用根的判别式处理二次函数图象与x轴的交点问题．
3．解决有关二次函数取值以及两个函数值的大小比较问题．
抽象能力 运算能力
几何直观 模型观念
抛物线与坐标轴的交点坐标
(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点的横坐标x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；
(2)求函数图象与x轴的交点：令y＝0；
求函数图象与y轴的交点：令x＝0．
1．(1)直线y＝2x－6与x轴的交点A的坐标为 ，与y轴的交点B的坐标为 ；
(2)抛物线y＝x2－5x＋6与x轴的交点坐标为
．
(2，0)，(3，0)
(0，－6)
(3，0)
(2)与y轴的交点：抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有
个交点( ， )．
c
0
抛物线与坐标轴的交点个数的判别
(1)与x轴的交点：
1
Δ＝b2－4ac 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
Δ＞0 有两个 的实数根 与x轴有 个交点
Δ＝0 有 的实数根 与x轴有 个交点
Δ＜0 实数根 与x轴有 个交点
0
1
2
没有
两个相等
不相等
2．(人教9上P44改编、北师9下P51改编)
(1)方程x2－2x－3＝0有 的实数根，抛物线y＝
x2－2x－3与x轴有 个交点，分别是( ， )和
( ， )；
(2)方程x2－4x＋4＝0有 的实数根，抛物线y＝x2－4x＋4与x轴有 个交点，与y轴的交点坐标是 ；
(3)方程x2－2x＋4＝0 实数根，抛物线y＝x2－2x＋4与x轴有 个交点，与y轴的交点坐标是 ．
(0，4)
0
没有
(0，4)
一
两个相等
0
3
0
－1
两
两个不相等
抛物线的对称性
若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则其对称轴为直线x＝．
3．如图，抛物线的对称轴是直线x＝3，与x轴交于A，B两点，若B点的坐标是(5，0)，则A点的坐标是 ．
(1，0)
数形结合解决有关二次函数取值及函数值比较问题
(1)对于抛物线y＝ax2＋bx＋c：
y＞0，是指函数图象在x轴 的部分；
y＝0，是指函数图象与 ；
y＜0，是指函数图象在 的部分；
(2)对于两个函数y1，y2：y1＞y2，是指y1比y2图象高的部分；y1＝y2，是指y1与y2图象 的部分；y1＜y2，是指
的部分．
y1比y2图象低
相交
x轴下方
x轴的交点
上方
4．(人教9上P47)如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
(1)当x＝ 时，y＝0；
(2)当－1＜x＜3时，y 0；
(3)当x＜－1或x＞3时，y 0；
(4)设抛物线为y1，过点A，C的一次函数为y2，当y2＞y1时，x的取值范围是 ．
－1＜x＜0
＞
＜
－1或 3
小结：抛物线与x轴的交点的横坐标x1，x2对应一元二次方程的根.
5．【例1】(人教9上P45改编、北师9下P59改编)(2024鞍山模拟)二次函数y＝ax2－bx－5的图象与x轴交于(1，0)，(－3，0)两点，则关于x的方程ax2－bx－5＝0的根为( )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－5
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝－3
D
9．(人教9上P45改编、北师9下P59改编)若方程ax2＋bx＝0的根为x1＝0，x2＝2，则抛物线y＝ax2＋bx与x轴的交点为
．
(0，0)，(2，0)
6．【例2】(2024天津模拟)若二次函数y＝－x2＋x＋k(k为常数)的图象与x轴有2个公共点，求k的取值范围．
解：∵二次函数y＝－x2＋x＋k的图象与x轴有2个公共点，
∴b2－4ac＝12－4×(－1)×k＞0，
解得k＞－．
小结：熟记抛物线与x轴的交点个数的判别规律，问题迎刃而解.
10．(北师9下P53改编)(2024内蒙古模拟)若抛物线y＝x2＋2x＋k－1与x轴有交点，求k的取值范围．
解：Δ＝b2－4ac＝4－4×1×(k－1)＝8－4k，
∵抛物线y＝x2＋2x＋k－1与x轴有交点，
∴Δ＝8－4k≥0，解得k≤2．
7．【例3】如图，直线y1＝x＋m和抛物线y2＝x2＋bx＋c都经过点A(2，0)和B(6，4)，
根据图象填空：
(1)当 时，y1＝y2；
(2)当 时，y1＞y2；
(3)当 时，x＋m＜x2＋bx＋c．
x＜2或x＞6
2＜x＜6
x＝2或6
小结：结合图象不难看出：y1=y2，是指y1与y2图象相交的部分；y1>y2，是指y1比y2图象高的部分；y111．如图，抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝mx＋n交于A(0，1)，B(3，0)．
(1)当x＝ 时，
y1＝y2；
(2)当 时，
y1 ＞ y2；
(3)当 时，
ax2＋bx＋c＜mx＋n．
x＜0或x＞3
0＜x＜3
0或3
小结：（1）利用抛物线的对称性，代入公式x=可直接求出对称轴方程；（2）y>0，是指函数图象在x轴上方的部分，结合图象知xx2；（3）y<0，是指图象在x轴下方的部分，结合图象知x18．【例4】(人教9上P47改编)已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于(－1，0)，(－5，0)，则：
(1)对称轴是 ；
(2)当 时，y＞0；
(3)当 时，x2＋bx＋c＜0．
－5＜x＜－1
x＜－5或x＞－1
直线x＝－3
★12． 0.50 已知抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴的一个交点为(－1，0)，对称轴是直线x＝1．
(1)抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ；
(2)当 时，y＜0；
(3)当 时，y随x的增大而减小；
(4)直线y＝nx＋m与抛物线的交点的个数为 ．
2
x＞1
x＜－1或x＞3
(3，0) (共17张PPT)
第7课时 用公式法求y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标及对称轴
第二十二章 二次函数
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．会推导二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式，并能熟练地运用公式求顶点坐标和对称轴，解决相关问题．
2．(2022新课标)知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系．
运算能力 几何直观
推理能力 模型观念
求抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标及对称轴的公式，研究其性质
通过配方得y＝ax2＋bx＋c＝a．
形式 顶点式 一般式
解析式 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c
开口方向 a＞0，向上；a＜0，向下
顶点坐标 (h，k)
对称轴 直线x＝h 直线x＝－
最值 当x＝h时，y＝k 当x＝－时，y＝
1．(人教9上P47改编)写出抛物线y＝x2－4x＋3中a，b，c的值，并求下列各式的值．
a＝ ，b＝ ，c＝ ．
(1)－； (2)．
(1)2 (2)－1
3
－4
1
运用公式求抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标及对称轴
方法：(1)直接用公式求抛物线顶点的横坐标与纵坐标；
(2)先用x＝－求出顶点的横坐标，再将横坐标值代入解析式求出纵坐标值．
2．(北师9下P41改编)求抛物线y＝－2x2＋4x－1的对称轴及顶点坐标．
对称轴为直线x＝1 顶点坐标为(1，1)
a，b，c与y＝ax2＋bx＋c图象的关系
a的符号
b的符号
c的符号
必过点：(0，c)，(1，a＋b＋c)，(－1，a－b＋c)，…
3．(2023贵州改编)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．a＜0 B．b＞0
C．c＞0 D．－＞0
D
4．【例1】求抛物线y＝－x2＋x＋1的对称轴及顶点坐标．
对称轴为直线x＝ 顶点坐标为
小结：先用x=-求出顶点的横坐标，再将横坐标值代入解析式求出纵坐标值，这样计算更简单.
7．(人教9上P41改编)求抛物线y＝－x2－2x＋3的对称轴及顶点坐标．
对称轴为直线x＝－2 顶点坐标为(－2，5)
小结：利用顶点横坐标公式列方程求出m的值.
5．【例2】抛物线y＝x2＋mx＋m－5的对称轴为直线x＝2，求m的值及顶点坐标．
解：依题意，得－＝2，则m＝－4，
∴抛物线为y＝x2－4x－9，
当x＝2时，y＝22－4×2－9＝－13，
∴顶点坐标为(2，－13)．
8．抛物线y＝2x2＋mx＋n的顶点坐标为(1，1)，求m＋n的值．
解：依题意得－＝1，解得m＝－4，
∴抛物线为y＝2x2－4x＋n，
将(1，1)代入，得2－4＋n＝1，解得n＝3，
∴m＋n＝－4＋3＝－1．
6．【例3】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于(－1，0)，(3，0)，确定下列各式的符号：
(1)a 0； (2)b 0；
(3)c 0； (4)－ 0；
(5)a＋b＋c 0； (6)a－b＋c 0；
(7)4a＋2b＋c 0； (8)4a－2b＋c 0；
(9)2a＋b 0．
＝
＜
＞
＝
＞
＞
＞
＞
＜
小结：（1）b的符号由对称轴与a决定：对称轴是y轴，则b=0；对称轴在y轴的左侧，则a，b同号；对称轴在y轴的右侧，则a，b异号（简称“左同右异”）.（2）注意x=±1，±2时，函数值y的特征
★9． (2024绍兴模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，以下结论正确的个数为( )
①abc＜0；
②c＋2a＜0；
③9a－3b＋c＝0；
④am2－a＋bm＋b＞0(m为任意实数)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
0.40(共21张PPT)
第13课时 《二次函数》单元复习
第二十二章 二次函数
03
精典范例
02
对点训练
01
知识要点
04
变式练习
二次函数的相关概念
(1)二次函数的概念；
(2)函数自变量的取值范围．
1．(1)下列函数中，属于二次函数的是( )
A．y＝ B．y＝ C．y＝－x D．y＝x2
(2)(2023达州)函数y＝的自变量x的取值范围是
．
x＞1
D
二次函数的图象与性质
(1)抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)用配方法将抛物线的一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y＝a(x－h)2＋k；
(3)抛物线的平移；
(4)二次函数图象的画法；
(5)用公式法求抛物线的对称轴与顶点坐标．
2．(1)已知抛物线y＝3(x＋2)2＋1，①开口方向为 ；②顶点坐标为 ；③对称轴为 ；
(2)(2023广州)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝x2－3上，且0＜x1＜x2，则y1 y2；(填“＜”“＞”或“＝”)
(3)(2024咸阳一模)在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2－2x＋3的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为 ．
y＝x2
＜
直线x＝－2
(－2，1)
向上
求抛物线的解析式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)．
3．已知抛物线的顶点坐标为(3，2)，点(0，3)也在该抛物线上，求这个抛物线的解析式．
解：设这个抛物线的解析式为y＝a(x－3)2＋2，
∵点(0，3)也在该抛物线上，∴3＝a(0－3)2＋2，解得a＝，∴这个抛物线的解析式为y＝(x－3)2＋2．
二次函数与一元二次方程
(1)抛物线与x轴的交点个数的判别；
(2)求抛物线与坐标轴的交点坐标；
(3)根据图象确定x取何值时，y＞0或y＝0或y＜0．
4．已知抛物线y＝x2－5x－6．
(1)与x轴的交点坐标为 ；
(2)与y轴的交点坐标为 ；
(3)对称轴为 ；
(4)当x满足 时，y＜0．
－1＜x＜6
(0，－6)
(－1，0)，(6，0)
直线x＝
二次函数与实际问题
(1)二次函数的最值问题；
(2)建立二次函数模型解决抛物线问题；
(3)数形结合解决抛物线中的几何问题．
5．(1)(跨学科融合)(2024南通一模)某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S(米)关于滑行的时间t(秒)的函数解析式是S＝－0.25t2＋10t，无人机着陆后滑行 秒才能停下来；
(2)(2023沈阳)如图，王叔叔想用长为60 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB＝ m时，羊圈的面积最大．
15
20
小结：以交点为界分析问题，此题解集的实质就是求抛物线在直线上方部分对应的自变量x的取值范围.
6．【例1】(2024扬州模拟)如图，已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图
象相交于A(－1，2)，B(4，1)两点，则关
于x的不等式ax2＋(b－k)x＋c－m＞0的解
集为 ．
x＜－1或x＞4
8．(2023东莞模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分如图所示，有以下结论：①abc＞0；②当x＝－1时，函数有最大值；③方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝1，x2＝－2；④2a＋b＝0．其中正确的是 (填序号)．
①②
7．【例2】如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上
的一点，且以点A，B，P，F为顶点的四边形
为平行四边形，直接写出点P的坐标；
(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
解：(1)由交点式函数表达式得y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3，∴二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3．
(2)点P的坐标为(4，3)或(0，3)或(2，－1)．
(3)易得直线BC的解析式为y＝－x＋3，
如图， 设点E的坐标为(x，x2－4x＋3)，
则点D(x，－x＋3)，
∴S四边形AEBD＝AB(yD－yE)
＝×2(－x＋3－x2＋4x－3)＝－x2＋3x，
∵－1＜0，∴四边形AEBD的面积有最大值，
当x＝时，面积有最大值，最大值为，此时点E的坐标为．
答案图
小结：数形结合解决动点问题，关键是用代数式表示其中的量.
★9． 0.30 (2024河北模拟)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD
的周长最小时，点D的坐标为 ；
(3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标．
解：(1)∵OA＝2，OC＝6，
∴A(－2，0)，C(0，－6)．
∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点A，C，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2－x－6．
(2)
(3)易求得点B(3，0)，直线BC的解析式为y＝2x－6．
如图，过点E作x轴的垂线，交BC于点F，
设点E的坐标为(x，x2－x－6)，则点F(x，2x－6)，
∴S△BCE＝EF·xB＝(2x－6－x2＋x＋6)×3
＝－，
∵－＜0，∴当x＝时，△BCE的面积有最大值，最大值为，此时点E的坐标为．
答案图
