(共17张PPT)
第3课时 中心对称
第二十三章 旋转
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)了解中心对称的概念．
2．了解对称中心、关于对称中心的对称点的概念．
3．(2022新课标)探索中心对称的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．
几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
中心对称的概念
(1)把一个图形绕某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做 (简称中心)；
(2)这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点．
对称中心
重合
180
1．如图，已知四边形ABCD绕点O旋转180°与四边形A'B'C'D'重合，则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'关于点O
，点O叫做 ．
对称中心
对称
中心对称的性质
(1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心所 ，对应线段平行(或在同一直线上)且相等；
(2)中心对称的两个图形是 图形．
全等
平分
对称中心
(1)AO＝ ， BO＝ ，
CO＝ ；
(2)点A，O与 三点在同一直线上；
(3)AA'，BB'，CC'的中点都是点 ；
(4)AB∥ ，BC∥ ，
AC∥ ；
(5)AB＝ ，AC＝ ．
A'C'
A'B'
A'C'
B'C'
A'B'
O
A'
C'O
B'O
2．(人教9上P66改编、北师8下P81改编)如图，△A'B'C'与△ABC关于点O成中心对称，则：
A'O
中心对称的作图步骤
(1)作出已知图形各顶点关于中心的对称点；
(2)把各对称点按照已知图形的连接顺序依次连接起来．
3．如图，请画出△ABC关于原点中心对称的图形△A'B'C'．
解：如图：
4．【例1】(2024保定模拟)如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的，则下列结论不成立的是( )
A．点A与点D是对应点
B．BO＝EO
C．∠ACB＝∠FED
D．AB∥DE
C
小结：掌握中心对称的性质.
BD∥ ，
且BD＝ ．
连接A，F的线段经过点 ，且被点C ，△ABD≌ ．
△FGE
平分
C
EG
8．如图，若四边形ABCD与四边形FGCE成中心对称，则它们的对称中心是点 ，
点A的对称点是点 ，
点E的对称点是点 ．
EG
D
F
C
5．【例2】(人教9上P66)如图，画出△ABC关于点O对称的△DEF．
小结：中心对称作图的关键是对应点和对称中心三点共线，并且对应点到对称中心的距离相等.
解：如图：
9．(北师8下P82改编)如图，已知四边形ABCD和点P，画四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点P成中心对称．
略
6．【例3】(人教9上P66改编)如图，△ABC和△A'B'C'是成中心对称的两个三角形，请找出它们的对称中心．
小结：两组对应点所连的线段都经过对称中心，则这两条线段的交点即为对称中心.
解：如图：
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A'B'C'，则对称中心的坐标为 ．
(－1，0)
(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，则点A1的坐标为 ；
(2)作出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，则线段C1C2的长为 ．
(2，－1)
7．【例4】如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求作图并填空：
图略
图略
★11． 0.40 (2024成都一模)如图，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B20A21B21的顶点A21的坐标是 ．
(41，) (共18张PPT)
第5课时 关于原点对称的点的坐标
第二十三章 旋转
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．掌握两个点关于原点对称时的坐标特征，能写出关于原点对称的点的坐标．
2．能画出已知图形关于原点对称的图形．
几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
关于原点对称的点的坐标特征
(1)两个点关于原点对称时，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等；
(2)两个点关于原点对称时，坐标符号相反，即P(x，y)关于原点的对称点为P'(－x，－y)．
(3)你发现点P(x，y)关于原点的对称点为P' ．
1．(人教9上P68)如图，A(3，2)，B(－3，2)，C(3，0)．
(－x，－y)
(1)在平面直角坐标系中，画出点A，B，C关于原点的对称点A'，B'，C'；
(2)点A(3，2)关于原点的对称点为A’
，点B(－3，2)关于原点的对称点为B’ ，点C(3，0)关于原点的对称点为C’ ；
(－3，0)
(3，－2)
(－3，－2)
略
在平面直角坐标系中画出已知图形关于原点对称的图形
关键：
利用P(x，y)关于原点O的对称点为P'(－x，－y)的特征；
步骤：
(1)写出原图形各顶点的坐标；
(2)写出各顶点关于原点对称的点的坐标；
(3)根据原点对称点的坐标描点、连线．
2．(人教9上P68、北师8下P88)如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标．
解：如图，
A1(2，－2)，B1(3，0)，C1(1，1).
关于原点中心对称与关于坐标轴对称的点的坐标特征的区别
(1)P(x，y)关于原点O对称的点为PO(－x，－y)；
(2)P(x，y)关于x轴对称的点为Px(x，－y)；
(3)P(x，y)关于y轴对称的点为Py(－x，y)．
3．点A(－1，－3)关于x轴对称的点的坐标是 ，关于y轴对称的点的坐标是 ，关于原点对称的点的坐标是 ．
(1，3)
(1，－3)
(－1，3)
小结：关于原点对称的两个点的横坐标、纵坐标都互为相反数.
4．【例1】(人教9上P69)(2023泸州)在平面直角坐标系中，若点P(2，－1)与点Q(－2，m)关于原点对称，则m的值是
．
1
8．(2024长沙模拟)已知点A(－2，b)与点B(a，3)关于原点对称，则a＋b＝ ．
－1
5．【例2】若点P(1－2a，a－1)关于原点对称的点是第一象限的点，则a的取值范围是 ．
小结：第一象限和第三象限的对应点成中心对称，第二象限和第四象限的对应点成中心对称.
＜a＜1
9．若点P(x，y)在第四象限内，且|x|＝3，|y|＝5，则点P关于原点对称的点的坐标是( )
A．(－3，－5) B．(5，－3)
C．(－5，3) D．(－3，5)
D
小结：熟练利用网格结构是解题关键.
A．(－3，1) B．(3，－1)
C．(－1，2) D．(1，－2)
6．【例3】如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△A'B'O关于原点对称，已知A(－3，1)，则点B'的坐标为( )
D
(1)分别写出△ABC各个顶点的坐标：
A( ， )，B( ， )，
C( ， )；
(2)顶点A关于x轴对称的点A'的坐标为( ， )，顶点C关于原点对称的点C'的坐标为( ， )；
(3)△ABC的面积为 ．
10
－5
2
－3
－4
5
－2
0
3
3
10．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图．
－4
7．【例4】(人教9上P69改编)如图，AB∥CD∥x轴，且AB＝CD＝3，已知A(－1，1)，C(1，－1)．
(1)写出B，D的坐标；
(2)你发现A，B，C，D的坐标之间有何特征？
解：(1)B(2，1)，D(－2，－1)．
(2)A和C，B和D的横、纵坐标互为相反数．
小结：本题考查平行于x轴的直线的特点及关于原点成中心对称的点的坐标，运用数形结合是关键.
★11． 0.50 如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A，B两点，A，B两点关于原点对称的点分别是A1，B1．
(1)在图中画出点A1，B1，并写出A1，B1的坐标；
(2)求直线A1B1的函数解析式；
(3)判断直线AB和A1B1的位置关系．
解：(1)图略，A1(1，0)，B1(0，－2)．
(2)设直线A1B1的函数解析式为y＝kx＋b，
将A1(1，0)，B1(0，－2)分别代入，得
，解得，
所以直线A1B1的函数解析式为y＝2x－2．
(3)观察图象得，
直线AB和直线A1B1的位置关系为平行．(共16张PPT)
第2课时 图形的旋转(2)
第二十三章 旋转
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制出旋转后的几何图形．
2．继续利用旋转的性质解决相关问题．
几何直观 空间观念
模型观念 创新意识
旋转的性质的应用
一个图形旋转后得到一个新图形．
(1)新旧图形的大小和形状完全 ，只是 发生改变；
(2)对应线段 ，对应角 ，对应边的夹角为旋转角；
(3)利用以上性质，可以进行相关计算或证明．
相等
相等
位置
相同
1．(人教9上P60改编、北师8下P75改编)如图，将Rt△ABC绕点O顺时针旋转60°后得到Rt△A'B'C'，则∠COC'的度数为 ．
60°
旋转作图的方法
(1)确定旋转中心、旋转方向、旋转 ；
(2)作出关键点经旋转后的对应点；
(3)按照原图形的顺序连接这些对应点．
角
2．(人教9上P62改编、北师8下P78改编)(1)以点O为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转180°，得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1；
解：如图：
(2)如图是边长为1的小正方形组成的方格纸，△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫做格点)，请画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A1B1C1．
解：如图：
3．【例1】(人教9上P63改编)如图，在△ABC中，AB＝6 cm，∠BAC＝45°，以点A为旋转中心将△ABC按顺时针方向旋转90°到△ADE的位置，则BD的长是 cm．
小结：旋转角度为90°时，往往会出现等腰直角三角形.
6
6．(2024河南模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝15°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，点B的对应点B'在边AC上(不与点A，C重合)，则∠AA'B'的度数为 ．
30°
4．【例2】(人教9上P62改编)如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，3)，B(－6，0)，C(－1，0)．分别画出△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°和180°得到的△A1B1C1和△A2B2C2，并写出点A1，A2的坐标．
图略，A1(－3，－2)，A2(2，－3)
小结：对于网格中画图的问题，要充分利用网格的特殊性找对应点，再通过数网格找准坐标，不需要测量.
7．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC在方格纸中的位置如图所示．
(1)请在图中建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为A(2，－1)，B(1，－4)，并写出C点的坐标；
(2)在图中作出△ABC绕坐标原点旋转180°后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标．
(1)图略，C(3，－3)
(2)图略，
A1(－2，1)，B1(－1，4)，C1(－3，3)
5．【例3】(人教9上P63改编、北师8下P77改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得到△DBE(A，D两点为对应点)，点E恰好在AB上．
(1)画出旋转后的图形；
(2)连接AD，求∠ADE的度数．
解：(1)如图，△DBE为所作．
答案图
(2)根据题意，得∠BED＝∠C＝90°，
∠DBE＝∠ABC＝30°，BD＝BA，
∴∠ADB＝∠DAB＝×(180°－30°)＝75°．
∵∠AED＝∠BED＝90°，
∴∠ADE＝90°－∠DAE＝90°－75°＝15°．
小结：旋转变换是将已知图形绕某一点旋转，构造出新的图形，可以等量转移图形的相关量，从而将一些分散的条件集中.
★8． 0.45 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
(1)判断△ABC的形状为 ；
(2)若AD＝2，CD＝3，请求出四边形ABCD的对角线BD的长．
等腰直角三角形
解：(2)连接DE，由旋转的性质可知∠DCE＝∠ACB＝90°，CD＝CE＝3，BD＝AE，
∴DE＝3 ，
∠CDE＝∠CED＝45°．
∵∠ADC＝45°，∴∠ADE＝45°＋45°＝90°．
∴AE＝．
∴BD＝AE＝．(共17张PPT)
第1课时 图形的旋转(1)
第二十三章 旋转
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．了解旋转的概念，理解旋转中心、旋转方向和旋转角．
2．(2022新课标)通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转．探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等．
几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
旋转的概念
(1)把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．
如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．
(2)旋转的决定因素(三要素)是旋转中心、旋转方向与
．
旋转角
(1)旋转中心是点 ；
(2)旋转角是 ；
(3)旋转方向是 ；
(4)经过旋转，点A，B变动到什么位置？ ．
点E，F
顺时针
∠AOE(或∠BOF)
1．如图，如果把钟表的指针看作△OAB，它绕点O按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：
O
(1)线段OA的对应线段是 ，线段 的对应线段是OF；
(2)∠A的对应角是 ， ∠AOB的对应角是 ．
∠EOF
∠E
OB
旋转的对应边和角
如图，如果把钟表的指针看作△OAB，它绕点O按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：
OE
(1)旋转中心是点 ；
(2)旋转方向是 ；
(3)旋转的度数是 ；
(4)线段AE的对应线段是 ，
线段 的对应线段是BC；
(5) 的对应角是∠DEA．
∠C
DE
AC
45°
逆时针
2．(北师8下P77改编)如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么：
A
旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离 ；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形 ．
全等
相等
3．如图，△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△EDC，∠A＝75°，∠ACB＝60°，AC＝3 cm，AB＝7 cm，BC＝8 cm，则：
(1)△ABC △EDC；
(2)CE＝ cm，CD＝ cm，
DE＝ cm；
(3)∠E＝ °，∠D＝ °．
45
75
7
8
3
≌
小结：了解旋转的概念.
4．【例1】(人教9上P59改编、北师8下P75改编)下列事件中，不属于旋转运动的是( )
A．钟表的指针在不停地转动
B．电梯从1楼上到29楼
C．风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动
D．吊扇正常运转时叶片的转动
B
7．(人教9上P59改编)(2024抚顺一模)正常运行的钟表，分针从“9”第一次走到“12”，分针就( )
A．沿顺时针方向旋转了45°
B．沿逆时针方向旋转了45°
C．沿顺时针方向旋转了90°
D．沿逆时针方向旋转了90°
C
(1)旋转中心是点 ；
(2)点A，B，C的对应点依次分别是点
， ， ；
(3)∠BAC，∠ABC，∠C的对应角依次分别是 ， ， ；
(4)线段AC，BC，AB的对应线段依次分别是 ， ， ；
(5)旋转角是 ．
∠BAB'或∠CAC'
AB'
B'C'
AC'
∠C'
∠B'
∠B'AC'
C'
B'
A
5．【例2】如图，把△ABC绕某点顺时针旋转得到△AB'C'．
A
小结：从定义出发寻找正确答案.注意旋转角不唯一.
(1)旋转中心是点 ；
(2)点A，B，C的对应点依次分别是点
， ， ；
(3)∠ACB的对应角是 ；
(4)线段AC，BC，AB的对应线段依次分别是 ， ， ；
(5)旋转角是 ．
∠BAD或∠CAE
AD
DE
AE
∠E
E
D
A
8．(北师8下P89改编)如图，△ADE可以看成是△ABC绕某一点旋转后的图形．
A
6．【例3】(人教9上P60改编)如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP'重合，已知AB＝3 cm，DP＝1 cm．
(1)旋转中心是点 ；
(2)旋转了 °；
(3)∠ABP'＝ °；
(4)BP'＝ cm，CP'＝ cm，AP’＝ cm；
(5)判断△APP'的形状，并说明理由．
4
1
90
90
A
小结：以图形某端点为旋转中心，对应点连接的线段和对应线段往往构成等腰三角形.
解：(5)△APP'是等腰直角三角形．理由如下：
由旋转的性质，得△APD≌△AP'B，
∴∠PAD＝∠P'AB，AP＝AP'．
又∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°．
∴∠BAP＋∠PAD＝90°．
∴∠BAP＋∠P'AB＝90°，即∠P'AP＝90°．
∴△APP'是等腰直角三角形．
★9． 0.50 (创新题)如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6 cm，PB＝8 cm，PC＝10 cm，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB．
(1)BP'＝ cm，AP'＝ cm；
(2)∠PAP'＝ °；
(3)连接PP'，判断△APP'和△BPP'的形状，并求∠APB的度数．
60
6
10
解：(3)由旋转的性质，
得△PAC≌△P'AB，
∴AP＝AP'，P'B＝PC＝10 cm．
由(2)，得∠PAP'＝60°，
∴△APP'是等边三角形．
∴PP'＝PA＝6 cm．
∵PB2＋PP'2＝P'B2，∴∠BPP'＝90°．
∴△BPP'是直角三角形．
∴∠APB＝∠P'PA＋∠BPP'＝150°．(共18张PPT)
第4课时 中心对称图形
第二十三章 旋转
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)了解中心对称图形的概念．
2．(2022新课标)认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形．
3．(2022新课标)探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质．
4．准确判断某图形是否为中心对称图形．
几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
中心对称图形的概念
把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的 ．
对称中心
重合
180
A B C D
1．(传统文化)(人教9上P67改编)(2024昆明模拟)剪纸艺术是中国优秀的传统文化．在下列剪纸图案中，是中心对称图形的是( )
D
中心对称图形的性质
中心对称图形上的每一对对称点所连成的线段都被对称中心
．
平分
2．(人教9上P66改编)平行四边形是中心对称图形．如图， ABCD以点 为旋转中心，按顺时针方向旋转 _ 度后，与原来的图形能够互相重合，其中OA＝ ．
OC
180
O
名称 中心对称 中心对称图形
区别 (1)是指两个图形的关系； (2)对称点在两个图形上； (3)对称中心在两个图形之间 (1)是指具有某种性质的一个图形；
(2)对称点在一个图形上；
(3)对称中心在图形上
联系 (1)都是通过把图形旋转 °重合来定义的； (2)若把中心对称图形的两部分分别看做两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则为中心对称图形
180
中心对称与中心对称图形的联系与区别
3．(1)下列说法正确的是( )
A．全等的两个图形成中心对称
B．成中心对称的两个图形可以看成一个中心对称图形
C．旋转后能重合的两个图形成中心对称
D．成中心对称的两个图形不一定全等
(2)如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，则矩形ABCD是 图形，与△AOB成中心对称的图形是
，与△ABC成中心对称的图形是 ．
△CDA
△COD
中心对称
B
小结：判断此类组合图形时，每个部分都要满足条件.
A B C D
4．【例1】(数学文化)(2023广西)下列数学经典图形中，是中心对称图形的是( )
A
A B C D
8．(跨学科融合)(2023自贡)下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
B
小结：线段、平行四边形、正多边形（偶数边）和圆等都是中心对称图形.
5．【例2】(人教9上P66改编)如图所示的图形是中心对称图形，点O是它的对称中心，写出一组关于点O的对称点是
，且OB＝ ．
OD
A和C(或B和D)
9．(北师8下P84改编)有下列图形：①平行四边形；②正方形；③等边三角形；④等腰梯形；⑤菱形；⑥圆；⑦正八边形．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
(填序号)．
②⑤⑥⑦
6．【例3】如图是4×4的正方形网格，请在其中选取一个白色的正方形涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．
小结：补全成中心对称图形依据三点：（1）围绕某点旋转；（2）旋转180°；（3）与自身完全重合.
略
10．如图是5个全等的小正方形组成的图案，请用两种不同的方法分别在两幅图中各添加1个正方形，使整个图案成为中心对称图形．
略
7．【例4】下图都是中心对称图形，请找到它们的对称中心．
(1)
(2)
小结：连接两组对称点，所得的两条线段的交点即为对称中心.
解：如图：
★11． 0.45 背景：过中心对称图形的对称中心的任一直线将其分成全等的两部分．
(1)如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC(填“＞”“＜”或“＝”)；
＝
(2)如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
(3)如图③，八个大小相同的正方形如图所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割)．
解：(2)如图②． (3)如图③．
