(共23张PPT)
第12课时 弧长的计算
第二十四章 圆
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)会计算圆的弧长．
2．会求旋转过程中点的轨迹的长．
运算能力 几何直观
模型观念 应用意识
弧长的计算公式
(1)半径为R，圆心角为n°的弧长l＝ ；
(2)公式推导：在半径为R的圆中，
∵360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长，
∴n°的圆心角所对的弧长占圆的周长的 ，
∴圆心角为n°的弧长l＝ ·2πR＝ ．
1．(人教9上P115改编、北师9下P101改编)已知圆弧的半径为1，圆心角为60°，求弧长．
解：弧长为．
弧长公式的运用
设半径为R，圆心角为n°，弧长为l．
(1)已知R，n，求l；
(2)已知R，l，求n；
(3)已知l，n，求R．
2．(2024温州一模)一个扇形的半径为8，扇形的弧长为2π，求扇形的圆心角的度数．
解：设扇形的圆心角的度数为n°，
由题意得＝2π，解得n＝45，
即扇形的圆心角的度数为45°．
求旋转过程中点的轨迹的长
(1)旋转中心→圆心；
(2)旋转角→圆心角；
(3)旋转边→圆的半径；
(4)轨迹的长→圆弧的长．
3．如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝4，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，求顶点C运动的路线长．
解：∵在Rt△ABC中，
∠ABC＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝30°．
∵AB＝4，∴BC＝ ．
∵点C运动的路线是以 为圆心， 的长为半径，圆心角为 的弧，
∴点C运动的路线长＝ ．
60°
BC
点B
2
小结：关键是求出圆心角度数.
4．【例1】(2024洛阳一模)如图，点A，B，C都在半径为3的☉O上，若∠ACB＝30°，则劣弧AB的长度为 ．
π
10．如图，已知☉O的半径为2，AB是☉O的弦．若AB＝2，则劣弧AB的长为 ．
π
小结：利用弧长公式，列方程求圆心角度数或半径.
5．【例2】如图，已知A，B是☉O上的两点，OA＝1，劣弧AB的长是，则∠AOB的度数是 ．
60°
11．(人教9上P113、北师9下P102)如图，劣弧AB的长为6π，圆心角∠AOB＝90°，求此弧所在圆的半径．
解：设此弧所在圆的半径为r，
由题意得＝6π，
解得r＝12，
即此弧所在圆的半径为12．
6．【例3】如图，已知AB是☉O的直径，C，D是☉O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
(1)求证：AE＝ED；
(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求弧AC的长．
(1)证明：∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，∴AE＝ED．
(2)解：∵OC⊥AD，∴，
∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，
∵AB＝10，∴AO＝5，
∴弧AC的长为＝2π．
小结：利用圆的性质先求半径或圆心角，再套公式求弧长.
12．(2024贵州四模)如图，△ABC内接于☉O，AD∥BC交☉O于点D，DF∥AB交BC于点E，交☉O于点F，连接AF，CF．
(1)求证：AC＝AF；
(2)若☉O的半径为3，∠CAF＝30°，
求的长(结果保留π)．
(1)证明：∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形，∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF．
(2)解：连接AO，CO，由(1)得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC＝＝75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴的长＝．
小结：弧长计算与生活情境结合，关键是转化为数学问题.
7．【例4】(跨学科融合)(北师9下P102改编)(2024湖南模拟)如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm(结果保留π)．
5π
13．(传统文化)(北师9下P107改编)某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2 m，高为2 m，则改建后门洞的圆弧长是( )
A． m B． m
C． m D．m
C
8．【例5】(人教9上P111、北师9下P100改编)制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，请计算如图所示的管道的展直长度L(π取3.14)．
解：圆弧长＝＝500π≈1 570(mm)，
故展直长度L＝2×700＋1 570＝2 970(mm)．
小结：“展直长度”即各部分的圆弧长+线段长.
14．(人教9上P115)制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．如图是一段管道，其中直管道部分AB的长为3 000 mm，弯形管道部分弧BC，弧CD的半径都是1 000 mm，∠O＝∠O'＝90°，计算图中中心虚线的长度(π取3.14)．
解：的长＝＝＝500π(mm)，
故中心虚线的长度为3 000＋500π×2
＝3 000＋1 000π≈3 000＋1 000×3.14＝6 140(mm)．
9．【例6】如图，将边长为8 cm的正方形ABCD的四边沿BC所在的直线向右滚动(不滑动)，当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是 cm．
小结：分析清楚运动的轨迹是解题关键.
(16π＋8π)
★15． 0.40 如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°．若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为 (结果用含π的式子表示)．
(4＋)π (共28张PPT)
第6课时 点和圆的位置关系
第二十四章 圆
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)探索并掌握点与圆的位置关系．
2．(2022新课标)能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆．
3．(2022新课标)了解三角形的外心．
4．(2022新课标)通过实例体会反证法的含义．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
点和圆的位置关系
设☉O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则：
(1)点P在圆外 d r；
(2)点P在圆上 d r；
(3)点P在圆内 d r．
＜
＝
＞
1．(2024扬州模拟)已知☉O的半径是6，点A是平面内一点且OA＝8，则点A与☉O的位置关系是( )
A．圆内 B．圆外
C．圆上 D．无法确定
B
外接圆、外心
(1)不在同一直线上的 个点确定一个圆；
(2)外接圆：经过三角形的 可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；
(3)外心：外接圆的圆心是三角形三条边的______________ 的交点，叫做这个三角形的外心．
垂直平分线
三个顶点
三
2．下列结论正确的是( )
A．三点确定一个圆
B．过同一直线上的三点可确定一个圆
C．三角形的外心到三角形各边距离相等
D．任意三角形一定有一个外接圆
D
外心的位置
(1)锐角三角形的外心在三角形 ；
(2)直角三角形的外心在三角形 ；
(3)钝角三角形的外心在三角形 ．
外部
斜边上
内部
3．已知直角三角形两条直角边长分别为3和4，则它的外接圆半径为( )
A．1.5 B．2
C．2.5 D．5
C
反证法
假设命题的结论 ，由此经过推理得出 ，由矛盾断定所作假设 ，从而得到原命题成立．
不成立
矛盾
不成立
4．用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是( )
A．点在圆内
B．点在圆上
C．点在圆心上
D．点在圆上或圆内
D
小结：熟记结论或数形结合解题.
5．【例1】(人教9上P101改编)已知☉O的半径为6 cm，A，B，C为射线OM上三个点，OA＝9 cm，OB＝3 cm，OC＝6 cm，则( )
A．点A在☉O内 B．点B在☉O上
C．点C在☉O外 D．点A在☉O外
D
12．(北师9下P68改编)已知☉O的半径为r，点P到圆心的距离d＝6．
(1)若r＝3，则点P在 ；
(2)若r＝ ，则点P在圆上；
(3)若r ，则点P在圆内．
＞6
6
圆外
小结：依据坐标求出点到圆心的距离.
6．【例2】(2023佛山模拟)在平面直角坐标系中，P点坐标为(3，4)，若以原点O为圆心，半径为5画圆，则点P与☉O的位置关系是( )
A．点在圆内 B．点在圆上
C．点在圆外 D．不能确定
B
13．已知☉O的圆心O的坐标为(0，0)，半径为5，点A(－6，0)，点B(4，3)，点C(0，4)，则：
(1)点A与☉O的位置关系是 ；
(2)点B与☉O的位置关系是 ；
(3)点C与☉O的位置关系是 ．
点C在☉O内
点B在☉O上
点A在☉O外
7．【例3】(人教9上P93改编、北师9下P85改编)如图，用尺规作图．
(1)已知点A，求作☉O，使它经过A点；
(2)已知线段BC，求作☉E，使它经过B，C两点．
解：(1)以任意点为圆心，这点到A的距离为半径画圆即可，图略．
(2)作线段BC的垂直平分线，以垂直平分线上的任意一点为圆心，这点到B的距离为半径画圆即可，图略．
小结：作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小.
14．(人教9上P93、北师9下P85)如图，已知三点A，B，C，用尺规作☉O，使☉O经过点A，B，C．
解：连接AB，AC，BC，作任意两条边的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，OA为半径画圆即可，图略．
8．【例4】(跨学科融合)(人教9上P95、北师9下P66)体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4 m和5.1 m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？
小明：6~7 m，
小丽：5~6 m．
小结：根据点到圆心的距离确定在哪个区域内.
15．(人教9上P95、北师9下P88)如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用多少次，就可以找到圆形工件的圆心？为什么？
最少使用2次；理由略．
9．【例5】如图，已知△ABC，∠A＝60°，BC＝6．
(1)用尺规作△ABC的外接圆☉O；
(2)∠BOC的度数为 ；
(3)☉O的半径为 ．
2
作任意两条边的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，OA为半径画圆即可，图略．
小结：作三角形任意两边的垂直平分线确定圆心和半径.
120°
作任意两条边的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，OA为半径画圆即可，图略．
16．如图，已知△ABC，∠C＝90°，BC＝16，AC＝12．
(1)用尺规作△ABC的外接圆☉O；
(2)☉O的面积为 ．
100π
小结：画出图形，注意分类讨论.
10．【例6】已知等腰三角形ABC的外接圆☉O的直径为10，若圆心O到底边BC的距离为3，则△ABC的面积为
．
8或32
17．在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，已知☉O是△ABC的外接圆，且☉O的半径为5，则AB的长为 ．
或3
11．【例7】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，CD⊥AB于点D，O为AB的中点．
(1)以C为圆心，6为半径作圆，试判断点A，D，B与☉C的位置关系；
(2)☉C的半径为 时，点O在☉C上；
(3)若以点C为圆心作圆，使A，O，B三点至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，则☉C的半径r的取值范围是什么？
5
解：(1)在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝6，∴A在☉C上，
∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，即6×8＝10CD，
∴CD＝4.8＜6，∴D在☉C内，
∵BC＝8＞6，∴B在☉C外．
(3)∵AC＝6，OC＝5，BC＝8，∴OC＜AC＜BC，
∴当5＜r＜8时，A，O，B三点至少有一点在圆内，至少有一点在圆外．
小结：点和圆位置关系的综合应用.
★18． 0.40 (创新题)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．
(1)求AF，AE的长；
(2)若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求☉A的半径r的取值范围．
解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
∴AC＝BD＝＝5，
∵BD·AF＝AB·AD，∴AF＝，
同理可得DE＝，
在Rt△ADE中，AE＝．
(2)∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，
∴若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D，C在圆外，
∴☉A的半径r的取值范围为＜r＜4．(共25张PPT)
第3课时 弧、弦、圆心角
第二十四章 圆
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)理解圆心角的概念．
2．理解弧、弦、圆心角之间的关系，并能解决相关问题．
几何直观 空间观念
推理能力 模型观念
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 也相等．
弦
1．如图，在☉O中，∠1＝∠2，则：
＝ ， CD＝ ．
AB
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的 相等．
弦
2．如图，在☉O中，，则：
∠1＝ ， CD＝ ．
AB
∠2
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的 相等．
注意：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．
弧
3．如图，在☉O中，CD＝AB，则：
∠1＝ ，
＝ ，
＝ ．
∠2
4．【例1】(人教9上P89改编)如图，在☉O中，，∠A＝36°，求∠C的度数．
小结：注意弧与弦之间的转化.
解：∵，
∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵∠A＝36°，
∴∠C＝×(180°－36°)＝72°．
10．(人教9上P89改编)如图，在☉O中，，∠B＝30°，求∠C，∠A的度数．
解：∵，
∴AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠A＝180°－∠B－∠C＝120°．
小结：结合三角形的三边关系进行判断.
5．【例2】如图，在☉O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )
A．AB＞2AM
B．AB＝2AM
C．AB＜2AM
D．AB与2AM的大小不能确定
C
11．(2024常州模拟)如图，在☉O中，＝2，则弦AB和2CD的大小关系是( )
A．AB＞2CD
B．AB＝2CD
C．AB＜2CD
D．不能确定
C
6．【例3】(人教9上P123、北师9下P104)如图，在☉O中，，点D，E分别是☉O的半径OA与OB的中点．求证：CD＝CE．
证明：如图，连接CO，
∵OA＝OB，且D，E分别是OA，OB的中点，∴OD＝OE，
又∵，∴∠COD＝∠COE，
在△COD和△COE中，，
∴△COD≌△COE(SAS)，
∴CD＝CE．
答案图
小结：注意弧与圆心角之间的转化.
12．(人教9上P90、北师9下P72)如图，A，B是☉O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点．求证：四边形AOBC是菱形．
证明：连接OC，
∵C是的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC＝OA＝OB＝BC，
∴四边形AOBC是菱形．
7．【例4】(人教9上P84改编)如图，在☉O中，∠AOB＝∠AOC＝120°．求证：．
小结：注意圆心角与弧之间的转化.
证明：∵点A，B，C都在☉O上，
∴∠AOB，∠BOC，∠AOC都是圆心角，
∵∠AOB＝∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝∠BOC，∴．
13．如图，点A，B，C，D在☉O上，AB与OC，OD分别相交于E，F，AE＝BF．求证：．
证明：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B．
在△AOE和△BOF中，，
∴△AOE≌△BOF(SAS)，
∴∠AOC＝∠BOD，∴．
小结：注意弦与圆心角之间的转化.
8．【例5】(2024杭州模拟)如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上两点，弦BC＝CD＝DA，则∠BCD＝ ．
120°
14．如图，A，B，C，D在☉O上，AB＝CD．求证：∠AOC＝∠DOB．
证明：∵AB＝CD，
∴，
∴∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB－∠BOC＝∠COD－∠BOC，
即∠AOC＝∠DOB．
9．【例6】(人教9上P85、北师9下P73)如图，在☉O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F．
(1)若∠AOB＝∠COD，求证：OE＝OF；
(2)若OE＝OF，求证：．
证明：(1)∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，
∠EOB＝∠AOB，∠FOD＝∠COD，
∵∠AOB＝∠COD，∴∠EOB＝∠FOD，
在△EOB和△FOD中，，
∴△EOB≌△FOD(AAS)，∴OE＝OF．
(2)∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，
在Rt△BEO和Rt△DFO中，，
∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL)，∴BE＝DF，
由垂径定理得AB＝2BE，CD＝2DF，
∴AB＝CD，∴．
小结：注意弧、弦、圆心角三者之间的转换.
★15． 0.50 (人教9上P85改编)如图，AB，CD是☉O的两条弦，若OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，且，求证：OE＝OF．
证明：连接OA，OC．
∵，∴，
∴，∴AB＝CD．
∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF(设为λ)，设☉O的半径为μ，
由勾股定理得OE＝，OF＝，
∴OE＝OF．(共26张PPT)
第13课时 扇形的面积
第二十四章 圆
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)会计算扇形的面积．
2．会利用平移及旋转求不规则图形的面积．
运算能力 几何直观
模型观念 应用意识
扇形的面积公式一
(1)扇形半径为R，圆心角为n°，则扇形面积S扇形＝ ；
(2)公式推导：在半径为R的圆中，
∵360°的圆心角所对的扇形面积就是圆面积S＝πR2，
∴圆心角n°的扇形面积是圆面积的 ，
∴圆心角为n°的扇形面积S扇形＝ ·πR2＝ ．
1．(人教9上P115改编、北师9下P101改编)(2022广东)扇形
的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积(结果保留π)为
．
π
扇形的面积公式二
如果扇形所对的弧长为l，扇形的半径为R，那么扇形面积
S扇形＝ ．
lR
2．如图，已知扇形OAB，半径OA＝4 cm，的长为3 cm，求扇形OAB的面积．
解：该扇形的面积为lR＝×3×4＝6(cm2)．
不规则图形面积的计算
一般不规则图形的面积采用“差值法”“割补法”等方法，转化为几个基本图形的面积和或差．
3．(2021广东)如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为 ．
4－π
小结：关键是求出圆心角的度数.
4．【例1】(2023锦州)如图，点A，B，C在☉O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若☉O的半径为3，则扇形AOC(阴影部分)的面积为( )
A．π B．π C．π D．2π
D
11．如图，在☉O中，AB＝4 ，AC是☉O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°，求阴影部分的面积．
解：∵AC⊥BD，∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，∴∠OBF＝30°，∠BOD＝120°，
∵AB＝4 ，∴BF＝2 ，
∴OB＝4，
∴S阴影＝S扇形OBD＝π．
5．【例2】若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为 ．
小结：运用公式列方程求解.
4
12．(2023永州)已知扇形的面积为6π，半径为6，则此扇形的圆心角是 度．
60
小结：利用S=lr.
6．【例3】如图，扇形OAB的面积为 ．
8π
13．已知扇形的半径为5 cm，面积为20π cm2，求扇形的弧长和圆心角的度数．
解：设扇形的弧长为l，圆心角的度数为n°，
根据题意得×5×l＝20π，解得l＝8π cm，
故8π＝，解得n＝288，
所以扇形的弧长为8π cm，圆心角的度数为288°．
7．【例4】如图，扇形OAB的半径为2，圆心角为90°，求阴影部分的面积．
小结：利用“差值法”求弓形面积.
解：S阴影部分＝S扇形OAB－S△OAB
＝×2×2＝π－2．
14．(人教9上P112、北师9下P101)如图，水平放置的圆柱形水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积(结果保留π和根号)．
提示：S＝×0.3
＝(m2)．
小结：借助平行线将不规则图形转化为扇形.
8．【例5】(2023内蒙古)如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为
．
π
15．如图，在扇形OAB中，∠BOA＝120°，OA＝2，C是的中点，D是OA上一点(不与点O，A重合)，则阴影部分的面积为 ．
9．【例6】如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝2 ，求阴影部分的面积．
小结：利用“补形法”求不规则图形的面积.
解：连接OD．∵CD⊥AB，CD＝2 ，
∴CE＝DE＝CD＝，
故S△OCE＝S△ODE，∴S阴影＝S扇形OBD，
又∵∠CDB＝30°，∴∠BOD＝60°，∴OD＝2，
故S扇形OBD＝，即阴影部分的面积为．
16．(创新题)如图，AB为☉O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF．
(1)求证：△AFO≌△CEB；
(2)若BE＝4，CD＝8 ．
①☉O的半径为 ；
②求阴影部分的面积．
8
(1)证明：∵AB为☉O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠A＝∠DCB，
∵OF⊥AC，∴∠AFO＝∠CEB，
∵OF＝BE，∴△AFO≌△CEB(AAS)．
(2)解：②连接OD．由①，知OE＝4＝OC，
∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，
∴∠COD＝120°．
∵△AFO≌△CEB，∴S△AFO＝S△CEB，
∴S阴影＝S扇形OCD－S△OCD＝×8 ×4＝
π－16 ．
10．【例7】如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，求线段AB扫过的图形(阴影部分)的面积．
解：∵△ABC绕点C旋转120°得到△A'B'C，
∴△ABC≌△A'B'C，
∴S△ABC＝S△A'B'C，∠BCB'＝∠ACA'＝120°．
∵AB扫过的图形的面积
＝S扇形ACA'＋S△ABC－S扇形BCB'－S△A'B'C，
∴AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA'－S扇形BCB'，
∴AB扫过的图形的面积＝．
小结：利用若干个规则图形面积的和与差求不规则图形面积.
★17． 0.40 (2024海南一模)如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O'处，得到扇形A'O'B'．若∠O＝90°，OA＝2，求阴影部分的面积．
答案图
解：如图，设O'A'交于点T，连接OT．
∵OT＝OB，OO'＝O'B，∴OT＝2OO'，
∵∠OO'T＝90°，
∴∠O'TO＝30°，∠TOO'＝60°，TO'＝，
∴S阴影＝S扇形O'A'B'－(S扇形OTB－S△OTO')
＝．(共24张PPT)
第11课时 正多边形和圆
第二十四章 圆
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．
2．会进行正多边形的有关计算．
3．(2022新课标)能用尺规作图：作圆的内接正方形和内接正六边形．
运算能力 几何直观
模型观念 应用意识
正多边形的有关概念
(1)正多边形：各边 、各角也 的多边形叫做正多边形；
(2)正多边形的中心：正多边形的 叫做这个正多边形的中心；
(3)正多边形的半径：正多边形的 叫做正多边形的半径；
外接圆的半径
外接圆的圆心
相等
相等
(4)正多边形的中心角：正多边形每一边所对的 _ 叫做正多边形的中心角；
(5)正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的 叫做正多边形的边心距；
(6)所有正多边形都是轴对称图形，一个正n边形，共有 _ 条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的 ；一个正n边形，如果n为偶数，则该多边形 中心对称图形，如果n为奇数，则该多边形 中心对称图形．
不是
是
中心
n
距离
圆心角
1．如图所示的正多边形中， 是这个正多边形的中心， 是这个正多边形的中心角， 的长是这个正多边形的边心距．
这个正多边形共有 条对称轴，对称轴都过该多边形的
．
该多边形是否为中心对称图形？ (填“是”或“否”)；若是中心对称图形，则对称中心是 ．
点O
是
中心
6
OP
∠AOB
点O
圆内接(外切)正多边形的有关计算
设正多边形的边数为n，半径为R，边心距为r，边长为a，则有：
(1)正多边形的每个内角的度数： ；
(2)正多边形的每个中心角的度数： ；
(3)正多边形的每个外角的度数： ；
(4)正多边形的周长：C＝ ；
(5)正多边形的面积：S＝ ＝ ．
na
nar
Cr
正多边形
度数 内角
半径 OA＝2 OA＝2 OA＝2
度数 中心角
边长
边心距
60°
90°
120°
120°
90°
60°
2
1
2．(人教9上P108、北师9下P105)填表：
圆内接正多边形的画法
(1)作圆内接正三角形；
(2)作圆内接正四边形；
(3)作圆内接正六边形．
3．(人教9上P107、北师9下P98)如图，已知☉O，求作☉O的内接正方形ABCD．
解：如图，正方形ABCD即为所求．
答案图
4．【例1】(北师9下P99)如图，☉O的半径为1，求正方形ABCD的边长．
小结：注意构造含中心角、半径、边的特征三角形.
解：连接AO，DO，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD＝＝90°，
∵☉O的半径为1，∴OA＝OD＝1，
∴AD＝，即正方形ABCD的边长为．
9．如图，已知☉O是正方形ABCD的内切圆，☉O的半径为1，则图中阴影部分的面积为 ．
4－π
5．【例2】(人教9上P108、北师9下P105)(2024泸州一模)
如图，正三角形ABC内接于☉O，AB＝2 cm，求☉O的半径．
解：如图，过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于☉O，
∴点O既是三角形的内心也是外心，
∴∠OBD＝30°，BD＝CD＝BC＝AB＝ cm，
∴OD＝OB，
∵OD2＋BD2＝OB2，∴＋()2＝OB2，
解得OB＝2，即☉O的半径为2 cm．
答案图
10．如图，正三角形ABC的外接圆☉O的半径为2，求该正三角形的边长．
答案图
解：如图，连接OB，过O作OD⊥BC于D，
∵☉O是正三角形ABC的外接圆，
∴OB平分∠ABC，∴∠OBD＝30°，
∵∠ODB＝90°，∴OD＝OB＝×2＝1，
在Rt△OBD中，由勾股定理得BD＝，
∵OD⊥BC，∴BC＝2BD＝2 ．
6．【例3】(人教9上P106改编、北师9下P97改编)(2024西安三模)如图，☉O的周长等于6π，正六边形ABCDEF内接于☉O，求边心距的长．
解：如图，连接OC，OD，作OH⊥CD于H，
∵☉O的周长等于6π，
∴半径OC＝3，
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝60°，∴∠COH＝30°，∴CH＝OC＝，
∵OH2＋CH2＝OC2，∴OH2＋＝32，解得OH＝，
∴边心距的长为．
答案图
11．如图，正六边形内接于☉O，☉O的半径为10，则阴影部分面积是 ．
100π－150
7．【例4】(人教9上P106改编、北师9下P98改编)如图，☉O的半径为4．
(1)求作它的内接正六边形ABCDEF；
(2)求正六边形ABCDEF的边长和面积．
解：(1)如图，正六边形ABCDEF就是所求作的正六边形．
(2)如图，连接OF，OE，且过点O作OH⊥EF，
由正六边形ABCDEF可得△OFE是等边三角形，
∴EF＝OF＝4，即正六边形ABCDEF的边长为4，
∴∠FOH＝30°，
∴FH＝2，根据勾股定理得OH＝2 ，
∴S△OFE＝×4×2 ＝4 (cm2)，
∴S正六边形ABCDEF＝6×4 ＝24 (cm2)．
小结：正六边形的边长与半径相等是画图的关键.
答案图
12．(北师9下P98改编)如图，☉O的半径为4．
(1)求作它的内接正三角形ABC；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)如图，△ABC即为所求作．
(2)如图，连接AO，BO，过O作OD⊥AB于D，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，
∵OB＝4，∴OD＝2，
∴BD＝2 ，∴AB＝4 ，
∴S△ABO＝AB·OD＝×4 ×2＝4 ，
∴△ABC的面积为3S△ABO＝3×4 ＝12 ．
答案图
小结：弄清内外正方形与圆的关系.
8．【例5】如图，☉O的半径为2，正方形ABCD，A'B'C'D'分别是☉O的内接正方形和外切正方形，则两正方形的面积比S内∶S外＝ ．
1∶2
★13． 0.40 (创新题)如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依次作到第n个内切圆，它的半径与R的比为 ． (共21张PPT)
第4课时 圆周角(1)
第二十四章 圆
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)理解圆周角的概念．
2．(2022新课标)探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等．了解并证明圆周角定理(圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半)及其推论．
几何直观 空间观念
推理能力 模型观念
圆周角的定义
在圆上，并且两边都与圆 的角叫做圆周角．
相交
顶点
A B C D
1．下列各圆中，∠A是圆周角的是( )
A
弧与圆周角、圆心角的对应关系
顶点在 的角叫做圆心角．
圆心
2．如图，∠BAC称为 所对的圆周角．所对的圆心角有 个，所对的圆周角有 个，在图中再画两个所对的圆周角．
无数
1
图略
圆周角定理的证明
如图，当圆心O在圆周角∠ABC边上时，
∵OA＝OB，∴∠A＝∠B．
∴∠AOC＝∠ ＋∠ ＝2∠B，
即∠B＝∠AOC．
(利用该结论，可证明另两种情况)
B
A
3．(人教9上P86、北师9下P79)如图，当圆心O分别在圆周角∠ABC内部、外部时，证明：∠ABC＝∠AOC．(选一个证明)
证明：当圆心O在圆周角∠ABC内部时，
由知识点3可得∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD，
∴∠ABD＋∠CBD＝∠AOD＋∠COD，∴∠ABC＝∠AOC．
当圆心O在圆周角∠ABC外部时，
由知识点3可得∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD，
∴∠CBD－∠ABD＝∠COD－∠AOD，∴∠ABC＝∠AOC．
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的 ．
圆心角的一半
4．(2023河南)如图，点A，B，C在☉O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为( )
A．95° B．100°
C．105° D．110°
D
圆周角定理的推论1
同弧或等弧所对的圆周角 ．
相等
5．(人教9上P89)如图，在☉O中，，∠C＝75°，则∠A＝ ．
30°
小结：本题求圆心角的解题思路：目标角→对应弧→对应圆周角.
6．【例1】(北师9下P80改编)如图，点A，B，P在☉O上，若∠PBO＝15°，PA∥OB，则∠AOB＝ ．
30°
10．(人教9上P88、北师9下P81)如图，点A，B，C为☉O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝
．
20°
小结：本题求圆周角的解题思路：目标角→对应弧→对应圆周角.
7．【例2】(人教9上P122)(2024云南模拟)如图，在☉O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，则∠B＝ ．
30°
11．如图，在☉O中，两弦AB，CD相交于点E，且AB⊥CD，若∠A＝30°，则∠B等于( )
A．30° B．50°
C．60° D．70°
C
小结：本题的关键是添辅助线，构建条件运用圆周角定理.
8．【例3】(2023宜宾)如图，已知点A，B，C在☉O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于( )
A．140° B．120°
C．110° D．70°
A
12．(2024茂名模拟)如图，AB，CD是☉O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则的度数是( )
A．30°
B．25°
C．20°
D．10°
C
9．【例4】如图，点A，B，C在圆上，AD，BD分别平分∠BAC和∠ABC，延长AD交该圆于点E，连接BE．求证：BE＝DE．
小结：巧用圆周角定理转化角相等.
证明：由图可得∠EBC＝∠EAC．
∵AD，BD分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠BAE＝∠EAC，∠DBC＝∠ABD，
∴∠EBC＝∠BAE，
∴∠EBC＋∠DBC＝∠BAE＋∠ABD．
又∵∠EBC＋∠DBC＝∠EBD，∠BAE＋∠ABD＝∠BDE，
∴∠EBD＝∠BDE，∴BE＝DE．
★13． 0.50 如图，点A，B，C在圆上，△ABC的高AD，BE相交于点H，延长AD交该圆于点G，连接BG．求证：HD＝GD．
证明：∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠C＋∠DAC＝90°，∠AHE＋∠DAC＝90°，
∴∠C＝∠AHE，
∵∠AHE＝∠BHG，∴∠BHG＝∠C，
∵∠C＝∠G，∴∠G＝∠BHG，∴BH＝BG，
又∵AD⊥BC，∴HD＝GD．(共22张PPT)
第14课时 圆锥的侧面展开图、圆锥的侧面积和全面积
第二十四章 圆
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)会计算圆的弧长、扇形的面积．
2．理解圆锥的侧面积和全面积的求法．
3．能够熟练地应用圆锥的展开图求解实际问题．
运算能力 几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
圆锥的有关概念
(1)圆锥的母线：圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥
的连线叫做圆锥的母线．
(2)圆锥的高：连接顶点与底面 的线段叫做圆锥
的高．
圆心
顶点
1．如图，已知圆锥的母线长为10 cm，底面半径为6 cm，求这个圆锥的高．
解：圆锥的高为＝8(cm)．
圆锥的侧面展开图
沿着圆锥的一条母线，把一个圆锥的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的 ，而这个扇形的半径等于圆锥的 ．
母线长
周长
2．(2023湘潭)如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为( )
A．4π B．6π C．8π D．16π
C
圆锥的侧面积和全面积的计算公式
记圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，
S侧＝·2πr·l＝ ，
S全＝S侧＋S底＝ ．
πrl＋πr2
πrl
3．(人教9上P114改编)如图，一个圆锥的底面半径为6 cm，母线长为10 cm，求这个圆锥的侧面积和全面积．
解：S侧＝πrl＝π×6×10＝60π(cm2)，
S全＝πrl＋πr2＝60π＋π×62＝96π(cm2)．
4．【例1】如图，一个圆锥的底面直径是10 cm，高为12 cm，则它的侧面展开图的面积是 cm2．
65π
10．已知一个圆锥的底面半径和高都为l，求圆锥的侧面积和全面积．
解：∵圆锥的底面半径和高都为l，
∴圆锥的母线长为l，
∴圆锥的侧面积为π×l×l＝πl2，
圆锥的全面积为πl2＋πl2．
5．【例2】(人教9上P114改编)如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，已知h1＝4 m，h2＝6 m，r＝3 m，求此蒙古包的表面积(含底圆)．
解：∵h1＝4 m，r＝3 m，
∴l＝＝5(m)，
圆锥的侧面积＝π·3·5＝15π(m2)，
圆柱的侧面积＝2π·3·6＝36π(m2)，
圆柱的底面积＝π·32＝9π(m2)，
∴此蒙古包的表面积＝15π＋36π＋9π＝60π(m2)．
11．(人教9上P116改编)一个几何体由圆锥和圆柱组成，
其尺寸如图所示，则该几何体的全面积(即表面积)为
(结果保留π)．
68π
6．【例3】(2023徐州)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为6 cm，扇形的圆心角θ为120°，求圆锥的底面圆的半径r．
小结：若圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，则2πr=.
解：由题意得l＝6 cm，θ＝120°，
2πr＝，∴r＝2 cm，
故圆锥的底面圆的半径r为2 cm．
12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2 cm，扇形的圆心角θ＝120°．
(1)求该圆锥的母线长l；
(2)求该圆锥的侧面积．
解：(1)由题意，得2πr＝，∴l＝3r＝6 cm．
(2)S侧＝＝12π(cm2)．
7．【例4】(人教9上P115改编)如图，已知扇形OAB的半径为6 cm，圆心角的度数为120°，将此扇形围成一个圆锥．
(1)围成的圆锥的侧面积为多少？
(2)该圆锥的底面半径为多少？
解：(1)圆锥的侧面积＝＝12π(cm2)．
(2)设该圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr＝，
解得r＝2，即圆锥的底面半径为2 cm．
13．(人教9上P116)(2024荆州模拟)如图，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC，将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆半径．
解：如图，连接BC，OB，作OH⊥BC于H，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，∴∠OBH＝30°，
∴OH＝OB＝，∴BH＝，
∵OH⊥BC，∴BC＝2BH＝，∴AB＝，
设圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝，
即圆锥的底面圆半径为．
答案图
8．【例5】(人教9上P115改编)如图，若△ABC为等腰直角三角形，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝5 cm，求将△ABC绕直线AC旋转一周所得到几何体的全面积．
小结：明确旋转后的图形为本题解题关键.
解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB．
∵AB＝5 cm，∴OB＝5 cm，
∴所得几何体的全面积为2S侧＝2π·OB·AB
＝2π×5×5＝50π(cm2)．
14．(人教9上P115)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．
(1)以直线BC为轴，把△ABC旋转一周，求所得圆锥的底面圆
周长；
(2)以直线AC为轴，把△ABC旋转一周，求所得圆锥的侧面积．
解：(1)圆锥的底面圆周长为2π×6＝12π．
(2)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
根据勾股定理，得AB＝10，
∴圆锥的侧面积为π×8×10＝80π．
9．【例6】如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是 ．
小结：将侧面剪开，化曲面为平面.
20
★15． 0.40 如图，圆锥的底面半径为3，母线AC的长为6，点D为AC的中点，一只蚂蚁从B点出发，沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D，则蚂蚁爬行的最短距离为
．
3(共23张PPT)
第2课时 垂直于弦的直径
第二十四章 圆
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．(取消星号)
2．理解垂径定理及其推论，体验垂径定理的推导过程．
3．能运用垂径定理及其推论解决实际问题．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
圆的对称性
(1)圆是轴对称图形，任何一条 所在直线都是圆的对称轴；
直径
(2)证明圆是轴对称图形：
证明：如图，在△OAA'中，
∵OA＝OA'，
∴△OAA'是 三角形，
又AA'⊥CD，
∴AM＝ ，
即CD是AA'的垂直平分线，
因此☉O关于直线CD对称．
A'M
等腰
1．(1)下列说法中，不正确的是( )
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
C
(2)下列图形是轴对称图形的是 ．
②
垂径定理及其推论
(1)垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；(如图)
几何语言：∵ ， ，
∴ ， ， ．
(2)推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧；(如图)
几何语言：∵ ， ，
∴ ， ， ．
AB⊥CD
CP＝DP
AB是直径
CP＝DP
AB⊥CD
AB是直径
(3)如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，则下列结论不正确的是( )
A．CP＝DP
B．OP＝BP
C．
D．
B
2．(传统文化)(人教9上P82、北师9下P76)(2023广西)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为
7 m，赵州桥主桥拱半径R约为多少(结果保留整数)？
解：由题意可知AB＝37 m，CD＝7 m，
∴OD＝OC－CD＝(R－7)m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝(m)，
在Rt△ADO中，AD2＋OD2＝OA2，
∴＋(R－7)2＝R2，解得R≈28．
答：赵州桥主桥拱半径R约为28 m．
3．【例1】如图，AB是☉O的弦，C，D是直线AB上的两点，并且AC＝BD，求证：OC＝OD．
证明：如图，过O作OE⊥AB于E，
则AE＝BE．
又∵AC＝BD，∴CE＝DE，
∴OE是CD的垂直平分线，
∴OC＝OD．
小结：圆中常用辅助线——过圆心作弦的垂线.
答案图
7．(人教9上P90、北师9下P77)如图是两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC＝BD．
证明：如图，过点O作OE⊥AB于E，
∴AE＝BE，CE＝DE，
∴AE－CE＝BE－DE，
∴AC＝BD．
答案图
小结：连半径，构造直角三角形，是处理垂径定理计算的常用方法.
4．【例2】(人教9上P122改编)如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6，BE＝1，则弦CD的长是( )
A．4 B．5
C． D．2
D
8．如图，在半径为5 cm的☉O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC＝( )
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
B
小结：直接计算遇阻时，考虑方程思想求解.
5．【例3】(人教9上P90改编、北师9下P76改编)如图，弦CD＝2 m，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交☉O于点E，EF＝3 m，则☉O的直径长是( )
A． m B． m
C． m D． m
D
9．(数学文化)(北师9下P76)(2023东营)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为☉O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 寸．
26
6．【例4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，若AC＝6，BC＝8，求AD的长．
解：如图，作CE⊥AB于E，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝10，
∵△ABC的面积＝×AC×BC＝×AB×CE，
∴6×8＝10×CE，
解得CE＝4.8，
由勾股定理，得AE＝＝3.6，
∵CE⊥AB，∴AD＝2AE＝7.2．
答案图
小结：求弦长，先构造直角三角形，再找边长，最后用勾股定理求解.
★10． 0.40 如图，DE为半圆O的直径，DE＝10，延长DE到A，使得EA＝1，直线AC与半圆交于B，C两点，且∠DAC＝30°．
(1)求弦BC的长；
(2)求△AOC的面积．
解：(1)如图，过点O作OM⊥BC于M，则BM＝CM，
∵直径DE＝10，EA＝1，∴AO＝6，
∵∠DAC＝30°，
∴OM＝AO＝3，
在Rt△COM中，OC＝5，
∴CM＝＝4，∴BC＝2CM＝8．
答案图
(2)在Rt△AOM中，AO＝6，OM＝3，
∴AM＝＝3 ，
∴AC＝AM＋CM＝3 ＋4，
∴S△AOC＝AC·OM＝×(3 ＋4)×3＝＋6．(共19张PPT)
第5课时 圆周角(2)
第二十四章 圆
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)了解并证明圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．
2．熟知圆内接多边形、多边形的外接圆的概念．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
圆周角定理的推论2
半圆(或直径)所对的圆周角是 ．
如图，∵AB是直径，
∴∠C＝90°．
直角
1．(北师9下P83改编)如图，AB是☉O的直径，∠B＝30°，则∠A的度数为 ．
60°
圆周角定理的推论3
90°的圆周角所对的弦是 ．
如图，∵∠C＝90°，
∴AB是直径．
直径
2．如图，在△ABC中，∠C为直角，AB＝2，则经过A，B，C三个点的圆的半径为 ．
1
圆内接多边形、多边形的外接圆
(1)概念：如果一个多边形的所有顶点都在 上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的
．
(2)性质：圆内接四边形的对角 ．
互补
外接圆
同一个圆
3．(人教9上P87、北师9下P81)(2024茂名一模改编)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，若∠A＝110°，求∠C和∠BOD的度数．
解：∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠A＝110°，
∴∠C＝180°－110°＝70°，
∴∠BOD＝2∠C＝140°．
4．【例1】如图，在△ABC中，以AB为直径的☉O交BC于点D，交AC于点E，．求证：AB＝AC．
证明：如图，连接AD，
∵AB为☉O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠ADC，
∵，∴∠BAD＝∠EAD，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．
小结：“见直径，想直角”是圆中常见的辅助线添加原则.
答案图
7．如图，在△ABC中，以AB为直径的☉O交BC于点D，交AC于点E，AB＝AC．求证：BD＝DC．
证明：如图，连接AD，
∵AB是☉O的直径，
∴AD⊥BC，
又AB＝AC，
∴BD＝DC．
答案图
小结：（拓展）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内
对角.
5．【例2】(人教9上P88改编)如图，四边形ABCD内接于☉O，DA＝DC，E在AB的延长线上且∠CBE＝50°，则∠DAC＝ ．
65°
8．如图，四边形ABCD内接于☉O，∠F＋∠EBC＝180°．求证：EF∥AD．
证明：∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠EBC＝180°，
∴∠D＝∠EBC．
∵∠F＋∠EBC＝180°，
∴∠F＋∠D＝180°，∴EF∥AD．
6．【例3】(人教9上P87)(2022广东改编)如图，☉O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交☉O于点D．
(1)求BC，AD，BD的长；
(2)求四边形ADBC的面积．
解：(1)连接OD．
∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AB＝10 cm，AC＝6 cm，
∴BC＝＝8(cm)，
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，∴AD＝BD，
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD＝BD＝AB＝×10＝5 (cm)．
(2)S四边形ADBC＝S△ABC＋S△ABD
＝AC·BC＋AD·BD＝24＋25＝49(cm2)．
小结：灵活运用圆周角定理及其推论.
★9． 0.40 (创新题)如图，点A，B，C在☉O上，AF是☉O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE＝CF．
(1)求证：AE是☉O的直径；
(2)若∠ABC＝∠EAC，AE＝8，求AC的长．
(1)证明：∵BE＝CF，
∴，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵AF⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴∠FAC＋∠ACD＝90°，
∵∠E＝∠ACB，
∴∠E＋∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AE是☉O的直径．
(2)解：如图，连接OC，
∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC＝∠CAE，
∴∠AOC＝2∠CAE，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO＝∠AOC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵AE＝8，∴AO＝CO＝4，∴AC＝4．
答案图(共24张PPT)
第9课时 切线的性质
第二十四章 圆
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
2．理解并掌握切线的性质定理．
3．熟练运用切线的性质定理进行证明或计算．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
切线的性质定理
(1)切线的性质定理：
圆的切线 于过切点的半径．
(2)切线的性质定理几何语言：如图，
∵ ，OA是半径，
∴ ．
AB⊥OA
AB是☉O的切线
垂直
(3)运用切线的性质定理进行几何计算与证明：
运用切线的性质，得垂直，注意构造直角三角形，并运用有关的性质进行几何计算与证明．
(4)与切线有关的辅助线在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径，以便构造直角三角形．
1．(1)如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，A为切点，若∠C＝30°，则∠B＝( )
A．70° B．60°
C．50° D．30°
B
(2)(2023黑龙江)如图，AB是☉O的直径，PA切☉O于点A，PO交☉O于点C，连接BC，若∠B＝28°，则∠P＝
°．
34
(3)(人教9上P123、北师9下P105)如图，AB与☉O相切于点C，OA＝OB，☉O的直径为8 cm，AB＝10 cm，求OA的长．
解：连接OC，
则OC＝4 cm，
∵AB与☉O相切于点C，∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，∴AC＝BC＝AB＝5 cm，
在Rt△AOC中，OA＝(cm)．
2．【例1】如图，AB是☉O的切线，切点为A，半径OA＝2，∠AOB＝60°，求∠B的度数及OB的长．
解：∵AB是☉O的切线，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠B＝30°．
∵OA＝2，∴OB＝2OA＝4．
小结：运用切线的性质，得直角三角形，再计算.
8．(2023眉山)如图，AB切☉O于点B，连接OA交☉O于点C，BD∥OA交☉O于点D，连接CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为( )
A．25° B．35°
C．40° D．45°
C
3．【例2】(人教9上P98改编)如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，A为切点，∠B＝45°，求证：AB＝AC．
证明：∵AC是☉O的切线，∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠C＝180°－90°－45°＝45°，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．
小结：运用切线的性质，得直角三角形，再证明.
9．如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的弦，过点C作☉O的切线与AB的延长线交于点D，若∠D＝30°，求证：AC＝CD．
证明：连接OC，∵CD是☉O的切线，
∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，∴∠COD＝90°－∠D＝60°，
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝∠COD＝30°，
∴∠A＝∠D，∴AC＝CD．
4．【例3】(人教9上P101)如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，求证：AC＝BC．
证明：连接OC，
∵大圆的弦AB切小圆于C，
∴OC⊥AB，∴AC＝BC．
小结：同心圆中，注意垂径定理与切线性质定理结合.
10．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，已知AB＝8，大圆半径为5，则小圆半径为( )
A．4.5 B．4
C．3 D．2
C
5．【例4】如图，AB是☉O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的☉O的切线，AD⊥EF于点D．求证：∠BAC＝∠CAD．
证明：连接OC，
∵DE为☉O的切线，∴OC⊥DE，
而AD⊥EF，∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠CAD，
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠BAC＝∠CAD．
小结：遇切线，连接圆心与切点.
11．如图，在△ABC中，∠B＝90°，☉O过点A，C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠A＝32°，求∠ADO的度数．
解：连接OC，∵∠A＝32°，
∴∠DOC＝2∠A＝64°，
∵BC与☉O相切于点C，
∴OC⊥BC，
∵∠B＝90°，∴∠B＋∠OCB＝180°，
∴AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOC＝64°．
小结：注意线段长与坐标的转化.
6．【例5】如图，☉M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交圆于P，Q两点，P点在Q点的下方，若P点坐标是(2，1)，则圆心M的坐标是 ．
(0，2.5)
12．(2024荆州模拟)如图，☉A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交☉A于M，N两点，若点M的坐标是(－4，－2)，则弦MN的长为 ．
3
7．【例6】如图，已知AB是☉O的直径，BC是☉O的切线，OC与☉O相交于点D，连接AD并延长，与BC相交于点E．
(1)若BC＝，CD＝1，求☉O的半径；
(2)取BE的中点F，连接DF，求证：DF是☉O的切线．
(1)解：设☉O的半径为r，
∵AB是☉O的直径，BC是☉O的切线，
∴AB⊥BC，
在Rt△OBC中，∵OC2＝OB2＋CB2，
∴(r＋1)2＝r2＋()2，解得r＝1，
∴☉O的半径为1．
(2)证明：如图，连接OF，
∵OA＝OB，BF＝EF，∴OF是△BAE的中位线，
∴OF∥AE，∴∠A＝∠2，
又∵∠BOD＝2∠A，∴∠1＝∠2，
在△OBF和△ODF中，，
∴△OBF≌△ODF(SAS)，
∴∠ODF＝∠OBF＝90°，即OD⊥DF，
又点D在☉O上，∴DF是☉O的切线．
小结：运用切线的性质，得直角三角形，再列方程计算.
答案图
★13． 0.30 如图，AB是☉O的直径，过点B作☉O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
(1)求证：△ACD是等边三角形；
(2)连接OE，若DE＝2，求OE的长．
(1)证明：∵AB是☉O的直径，BM是☉O的切线，∴AB⊥BE，
∵CD∥BM，∴CD⊥AB，∴，
∵，∴，
∴AD＝AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形．
(2)解：如图，连接OE，过O作ON⊥AD于N，由(1)知，△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°．
∵AD＝AC，CD⊥AB，∴∠DAB＝30°，
∴BE＝AE，ON＝AO．
设☉O的半径为r，∴ON＝r，AN＝DN＝r，
∴NE＝2＋r，BE＝AE＝．
在Rt△NEO和Rt△BEO中，OE2＝ON2＋NE2＝OB2＋BE2，
即＝r2＋，∴r＝2(负值舍去)，
∴OE2＝()2＋(2＋3)2＝28，∴OE＝2．
答案图(共17张PPT)
第1课时 圆的认识
第二十四章 圆
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)理解圆、弧、弦的概念，了解等圆、等弧的概念．
2．运用圆的定义解决四点共圆的问题．
几何直观 空间观念
推理能力 应用意识
圆的定义
(1)圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周， 所形成的图形叫做圆．以O为圆心的圆记作 ．
(2)理解：圆上各点到圆心O的距离等于半径；到定点距离等于定长的点都在同一圆上．
(3)注意：圆心决定圆的位置；半径决定圆的大小．
☉O
另一个端点A
1．(人教9上P79)如图，圆O记作 ；
该圆的圆心是点 ；
OA是该圆的 ；
若点B在圆O上，则OA OB(填“＞”“＜”或“＝”)；
若OA＝OC，则点C 圆O上(填“在”或“不在”)．
在
＝
半径
O
☉O
弦的概念
(1)连接圆上任意两点的 叫做弦，经过圆心的弦叫做 ．
(2)“直径是圆中最长的弦”的依据是
．
两点之间，线段最短
直径
线段
2．下列说法错误的是( )
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫做弦
C．过圆心的线段是直径
D．同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍
C
弧的概念
(1)圆弧： 任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作 ．
(2)半圆： 把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆．
(3)优弧： 半圆的弧叫做优弧；
劣弧： 半圆的弧叫做劣弧．
小于
大于
直径
圆上
3．如图，AB为☉O的直径，以点A为端点的优弧有 条，分别是 ；以点A为端点的劣弧有 条，分别是 ．
2
2
等圆、等弧的概念
(1)等圆： 的两个圆，叫做等圆；
(2)等弧：在同圆或等圆中， 的两条弧叫做等弧；
(3)理解：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等．
能够重合
能够重合
4．下列结论判断正确的有( )
①能够重合的两个圆叫做等圆；②长度相等的两条弧一定是等弧；③面积相等的两个圆是等圆；④同一条弦所对的两条弧一定是等弧；⑤圆上任意两点间的部分是圆的弦．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
5．【例1】如图，AB，CD为☉O的两条直径，点E，F在直径CD上，且CE＝DF．求证：AF＝BE．
小结：挖掘隐含条件：同圆的半径相等，可解决圆中诸多问题.
证明：∵AB，CD为☉O的两条直径，∴OA＝OB，OC＝OD，∵CE＝DF，∴OE＝OF，
在△AOF和△BOE中，，
∴△AOF≌△BOE(SAS)，∴AF＝BE．
8．如图，在☉O中，C，D分别是半径OA，OB的中点．求证：AD＝BC．
证明：∵OA，OB是☉O的两条半径，∴AO＝BO，
∵C，D分别是半径OA，OB的中点，∴OC＝OD，
在△ODA和△OCB中，，
∴△ODA≌△OCB(SAS)，∴AD＝BC．
6．【例2】如图，点A，B，C是☉O上的三点，BO平分∠ABC．
求证：BA＝BC．
小结：将点在圆上转化为该点到圆心O的距离等于半径.
答案图
证明：如图，连接OA，OC，
∵OA＝OB，OB＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO，∠CBO＝∠BCO，
∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，
∴∠BAO＝∠BCO，
∵OA＝OC，∴△OAB≌△OCB(AAS)，
∴BA＝BC．
9．(2024金华模拟)如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB，CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°，求∠AOC的度数．
解：如图，连接OD，
∵AB＝2DE，而AB＝2OD，
∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E＝20°，
∴∠CDO＝∠DOE＋∠E＝40°，
而OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝40°，
∴∠AOC＝∠C＋∠E＝60°．
答案图
7．【例3】(人教9上P80改编)如图，△ABC和△ABD都是直角三角形，且∠C＝∠D＝90°．求证：A，B，C，D四点在同一个圆上．
证明：如图，取AB的中点O，连接OC，OD，
∵△ABC和△ABD都是直角三角形，
且∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴DO，CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A，B，C，D四点在同一个圆上．
答案图
小结：从定义出发寻找思路，证这四点到某定点的距离等于定长.
★10． 0.50 一副斜边相等的直角三角板(∠DAC＝45°，∠BAC＝30°)，按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形．A，B，C，D四点在同一个圆上吗？请说明理由．
答案图
解：A，B，C，D四点在同一个圆上，
理由如下：如图，取AC的中点O，连接OB，OD，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴OD＝AC＝OA＝OC，OB＝AC＝OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A，B，C，D在以O为圆心，以OA为半径的圆上，
即A，B，C，D四点在同一个圆上．(共23张PPT)
第7课时 直线和圆的位置关系
第二十四章 圆
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)了解直线与圆的位置关系．
2．掌握直线和圆的位置关系的判定方法，并能灵活应用．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
直线与圆的位置关系(r为☉O的半径，d为圆心O到直线l的距离)
直线l与☉O 的位置关系 直线l与☉O 的公共点个数 d与r的 大小关系 图形
相离 图1
相切 图2
相交 图3
d＜r
d＝r
d＞r
1．根据“知识点1”中的图形填表：
0
1
2
判断直线与圆的位置关系的方法
(1)直观法：根据交点个数判断；
(2)数据分析法：比较d与r的大小．
图1 图2
2．(1)如图1，可知直线l与☉O的位置关系是 ；
(2)(北师9下P91改编)如图2，在射线OA上取一点A，使OA＝4 cm，∠BOA＝30°，以A为圆心，作一个半径为3 cm的圆，☉A与直线OB的位置关系是 ．
相交
相离
小结：d=r 相切 一个公共点.
3．【例1】若圆心O到直线l的距离等于☉O的半径，则直线l和☉O的公共点有 个．
1
10．已知☉O的半径r＝3 cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＞3，则直线l和☉O有 个公共点．
0
小结：依据数据分析法判断直线与圆的位置关系.
4．【例2】(人教9上P96)☉O的直径为13 cm，圆心O到直线l的距离为8 cm，则直线l与☉O的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
C
11．(2024甘肃一模)已知☉O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与☉O的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
A
小结：先求出圆心与直线的距离，再判断.
5．【例3】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm．
(1)若以A为圆心，r＝3 cm为半径作圆，
则直线BC与☉A的位置关系是 ；
(2)若以A为圆心，r＝4 cm为半径作圆，则直线BC与☉A的位置关系是 ；
(3)若以A为圆心，r＝5 cm为半径作圆，则直线BC与☉A的位置关系是 ．
相交
相切
相离
12．(人教9上P101、北师9下P90)如图，在Rt△ABC中，AB＝10 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm，问以点C为圆心，r为半径的☉C与直线AB有怎样的位置关系？
(1)r＝4 cm；
(2)r＝4.8 cm；
(3)r＝6 cm．
(1)相离 (2)相切 (3)相交
6．【例4】如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边AC长为1，∠C＝90°，以C为圆心作圆．
(1)当☉C与AB所在直线相切时，则☉C的半径r为 ；
(2)当☉C与AB所在直线相离时，则r的取值范围
为 ；
(3)当☉C与线段AB相交时，则r的取值范围为 ．
小结：已知位置关系，求r的取值范围.
0＜r＜
＜r≤1
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，以点C为圆心、r为半径作圆．
(1)当☉C与斜边AB有公共点时，则r的取值范围为
；
(2)当☉C与斜边AB无公共点时，则r的取值范围为
．
≤r≤12
0＜r＜或r＞12
小结：已知位置关系求d的取值范围.
7．【例5】已知☉O内最长的弦为6，直线l与☉O相离，设点O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
d＞3
14．已知☉O的半径为2，直线l与☉O有公共点，设点O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
0≤d≤2
小结：在坐标系中判断直线和圆的位置关系.
8．【例6】(2024山东模拟)在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心、3为半径的圆，一定( )
A．与x轴相切，与y轴相切
B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切
D．与x轴相交，与y轴相离
C
15．在平面直角坐标系中，圆心A的坐标为(－3，4)，以r为半径在坐标平面内作圆，填r满足的条件：
(1)当 时，☉A与坐标轴有1个交点；
(2)当 时，☉A与坐标轴有2个交点；
(3)当 时，☉A与坐标轴有3个交点；
(4)当 时，☉A与坐标轴有4个交点．
r＞4且r≠5
r＝4或5
3＜r＜4
r＝3
9．【例7】如图，已知灯塔A周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°方向，向正东航行8海里到C处后，又测得该灯塔在北偏东30°方向，渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由(参考数据：≈1.732)．
解：如图，作AD⊥BC交BC的延长线于D，
由题意，得∠BAD＝60°，∠CAD＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝8海里，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝4海里，
∴AD＝＝4 ≈6.928(海里)，
∵6.928海里＜7海里，∴有触礁危险．
小结：关键是构造直角三角形.
答案图
★16． 0.35 (人教9上P91)如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会，∠QON＝30°．公路PQ上A处距离O点240 m．如果火车行驶时，周围200 m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向以72 km/h的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为多少秒(不考虑火车长度)？
解：如图，过点A作AC⊥ON，以点A为圆心，200 m为半径画圆弧，分别交ON于点B，D两点，
∵∠QON＝30°，OA＝240 m，∴AC＝120 m，
∵AB＝AD＝200 m，
∴当火车到B点时对A处产生噪音影响，
过点D后结束噪音影响，
∴由勾股定理得BC＝160 m，CD＝160 m，即BD＝320 m，
∵火车在铁路MN上沿ON方向以72 km/h＝20 m/s的速度行驶，
∴A处受噪音影响的时间为320÷20＝16(s)．
答案图(共29张PPT)
第10课时 切线长定理
第二十四章 圆
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等．
2．了解三角形的内切圆的有关概念．
3．(2022新课标)了解三角形的内心．
4．(2022新课标)能用尺规作图：作三角形的内切圆．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
切线长定理
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的
相等，这一点和圆心的连线 两条切线的夹角．
平分
切线长
1．(人教9上P99、北师9下P94)如图，PA，PB都是☉O的
切线，
∵PA，PB是☉O的切线，
∴PA＝ ，
∠APO＝∠ ．
BPO
PB
三角形的内切圆及内心
(1)三角形的内切圆：与三角形各边都 的圆．
(2)三角形的内心是三角形 的圆心，是三角形三条 的交点，到 的距离相等．
(3)三角形的内切圆的作法：
①作任意两角的角平分线，交点为圆心；
②过交点作任一边的垂线段，即为圆的半径；
③以交点为圆心，垂线段的长为半径作圆．
三边
角平分线
内切圆
相切
2．(人教9上P99－100、北师9下P105)如图，已知△ABC，用尺规作△ABC的内切圆☉O．
图略(提示：分别作∠B和∠C的平分线，它们相交于点O，过点O作OD⊥BC于D，然后以点O为圆心，OD长为半径作☉O即可)
求三角形的内切圆半径
(人教9上P103、北师9下P95)直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c，求内切圆半径r．
解析：如图，☉O是Rt△ABC中的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b，连接OD，OE，OF，
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
易证四边形OECF是 形，
根据切线长定理，AD＝AF＝b－r，
BD＝BE＝ ，
AB＝c＝AD＋BD＝ ，
所以r＝ ．
b－r＋a－r
a－r
正方
3．(北师9下P107改编)△ABC的周长为l，面积为S，求内切圆半径r(用l，S表示)．
解析：如图，设△ABC的内心为O，连接OA，OB，OC，则△ABC被划分为三个小三角形，
∴S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA．
又∵S△OAB＝AB·r，S△OBC＝ ，S△OCA＝ ，
∴S＝S△ABC＝AB·r＋BC·r＋AC·r
＝(AB＋BC＋AC)·r＝ ，
∴r＝ ．
BC·r
AC·r
lr
小结：利用切线长定理化曲为直.
4．【例1】(北师9下P96)(2024宿迁模拟)如图，PA，PB分别与☉O相切于点A，B，☉O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA长为8，则△PEF的周长是
．
16
10．如图，PA，PB分别切☉O于点A，B，并与☉O的切线DC分别相交于点D，C．已知△PCD的周长等于14 cm，则PA的长为 ．
7 cm
5．【例2】(人教9上P100、北师9下P96)如图，△ABC的内切圆☉O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求AF，BD，CE的长．
解：根据切线长定理，设AE＝AF＝x cm，
BF＝BD＝(9－x)cm，CE＝CD＝(13－x)cm．
根据题意，得9－x＋13－x＝14，解得x＝4，
故AF＝4 cm，BD＝5 cm，CE＝9 cm．
小结：利用切线长定理列方程（组）求解.
11．如图，△ABC的内切圆☉O与AC，AB，BC分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝9，AC＝6，求AE，BF和CD的长．
解：∵△ABC的内切圆☉O与AC，AB，BC分别相切于点
D，E，F，
∴AE＝AD，BE＝BF，CF＝CD，设AE＝x，
则AD＝x，BE＝AB－AE＝5－x，CD＝AC－AD＝6－x，
∴BF＝5－x，CF＝6－x，
∴5－x＋6－x＝9，解得x＝1，
∴AE＝1，BF＝5－x＝4，CD＝6－x＝5，
即AE，BF，CD的长分别为1，4，5．
小结：利用切线长定理，结合整体思想求解.
6．【例3】(北师9下P95改编)如图，☉O内切于四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形ABCD的周长为
( )
A．32 B．34 C．36 D．38
B
12．(2024长沙模拟改编)如图，△ABC的内切圆☉O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
B
小结：求两内（外）角平分线形成的角.
7．【例4】(人教9上P100、北师9下P93)如图，☉O是△ABC的内切圆，且∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，则∠BOC的度数为 ．
110°
13．(人教9上P101改编、北师9下P96改编)
如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，CD切☉O于点E，∠APB＝60°，则∠COD的度数为 ．
60°
8．【例5】(人教9上P102改编)如图，直线AB，BC，CD分别与☉O相切于E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm．
(1)求∠BOC的度数；
(2)求BE＋CG的长；
(3)求☉O的半径．
解：(1)如图，连接OF．
根据切线长定理得BE＝BF，
CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，
∠OCF＝∠OCG．
∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴∠OBF＋∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°．
答案图
(2)由(1)知，∠BOC＝90°．
∵OB＝6 cm，OC＝8 cm，
∴由勾股定理得BC＝＝10 cm，
∴BE＋CG＝BF＋CF＝BC＝10 cm．
(3)∵OF⊥BC，∴OF＝＝4.8 cm．
小结：两切线的交点与圆心的连线平分两切线的夹角.
14．(北师9下P91)(2023泰安)为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按如图所示放置于桌面上，并量出AB＝4 cm，则这张光盘的半径是 cm．(结果保留根号)
4
9．【例6】如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆☉O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
(1)求证：DG∥CA；
(2)若DE＝4，BE＝5，AD＝6，求BI的长．
(1)证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7，
∵DG平分∠ADF，∴∠1＝∠ADF，
∵∠ADF＋∠ADC＝180°，
∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥CA．
答案图
(2)解：∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7＋∠5＝∠3＋∠6，
即∠4＝∠DAI，∴AD＝DI．
∵AD＝6，∴DI＝6，
∴BI＝DE＋BE－DI＝4＋5－6＝3．
答案图
小结：三角形的内心的综合运用.
★15． 0.30 如图，☉O为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交☉O于D，点M为△ABC的内心．
(1)求证：BC＝DM；
(2)若DM＝5 ，AB＝8，求OM的长．
(1)证明：如图，连接MC，DC，BD，
∵点M为△ABC的内心，
∴MC平分∠ACB，∴∠ACM＝∠BCM，
∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠DBC＝∠BCD＝45°，∴△BDC为等腰直角三角形，∴BC＝DC．又∵∠DMC＝∠MAC＋∠ACM＝45°＋∠ACM，而∠DCM＝∠BCD＋∠BCM＝45°＋∠BCM，∴∠DMC＝∠DCM，∴DC＝DM，∴BC＝DM．
答案图
(2)解：如图，作MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，MH⊥AB于H，∵DM＝5 ，∴BC＝DM＝10，
而AB＝8，∴AC＝＝6．
设△ABC的内切圆半径为r，
∵点M为△ABC的内心，∴MH＝ME＝MF＝r，
∴四边形AHME为正方形，∴AH＝AE＝r，
则CE＝CF＝6－r，BH＝BF＝8－r，而BF＋FC＝BC，
∴8－r＋6－r＝10，解得r＝2，∴MF＝2，CF＝6－2＝4，∵OC＝5，∴OF＝5－4＝1，
在Rt△OMF中，OM＝．
答案图(共23张PPT)
第8课时 切线的判定
第二十四章 圆
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)掌握切线的概念．
2．探索切线与过切点的半径的关系．
3．熟练运用切线的判定定理进行证明或计算．
几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
切线的判定定理
(1)经过 的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线．其中半径的外端指的是半径与圆的 ．
(2)利用判定定理证切线的特征是圆与直线已知公共点．
公共点
垂直
半径
1．(人教9上P101、北师9下P93)如图，直线AB经过☉O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：AB是☉O的切线．
证明：如图，连接OC，
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∵点C在☉O上，
∴AB是☉O的切线．
答案图
利用数量关系证明圆的切线
(1)若圆心到直线的距离(d)等于半径(r)，则这条直线是圆的切线．
(2)利用数量关系证切线的特征是圆与直线未知公共点．
2．(人教9上P123改编)如图，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，以O为圆心，3为半径作☉O．求证：AB是☉O的切线．
证明：如图，作OH⊥AB，
∵OA＝OB，AB＝8，
∴AH＝BH＝4．
在Rt△OAH中，OA＝5，
∴OH＝＝3．
又r＝3，∴OH＝r，∴AB是☉O的切线．
答案图
3．【例1】(人教9上P102改编)(2023西藏)如图，已知AB为☉O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，交☉O于点E，垂足为点D，AC平分∠BAD．求证：CD是☉O的切线．
证明：连接OC，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．
∵AC平分∠BAD，∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD．
∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，
∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD．
∵OC为☉O的半径，∴CD是☉O的切线．
小结：通过平行线证垂直.
9．(2023东营)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的☉O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．求证：DE是☉O的切线．
证明：连接OD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，∴∠ODE＝∠CED＝90°，∴DE⊥OD，
∵OD是☉O的半径，∴DE是☉O的切线．
4．【例2】(人教9上P98)如图，已知AB是☉O的直径，且AB＝AC，∠CBA＝45°．求证：AC是☉O的切线．
证明：∵AB＝AC，∠CBA＝45°，
∴∠BCA＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∴AC⊥AO，
又AB是☉O的直径，∴AC是☉O的切线．
小结：通过直接计算证垂直.
10．如图，线段AB经过圆心O，交☉O于点A，C，∠BAD＝∠B＝30°，BD交☉O于点D，连接OD．求证：BD是☉O的切线．
证明：∵∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADB＝180°－30°－30°＝120°，
∵AO＝DO，∴∠A＝∠ADO＝30°，
∴∠ODB＝120°－30°＝90°，
∵点D在☉O上，∴BD是☉O的切线．
5．【例3】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为下半圆弧BE的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC．求证：AC是☉O的切线．
证明：如图，连接OA，OD，
∵D为下半圆弧BE的中点，
∴OD⊥BE，∴∠D＋∠DFO＝90°，
∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA，
∵∠CFA＝∠DFO，∴∠CAF＝∠DFO，
而OA＝OD，∴∠OAD＝∠D，
∴∠OAD＋∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，
又点A在☉O上，∴AC是☉O的切线．
小结：利用等量代换转化证垂直.
答案图
11．如图，已知☉O是△ABC的外接圆，AD是☉O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB．求证：BE是☉O的切线．
证明：如图，连接OB，
∵BD＝BC，∴∠BAD＝∠CAB，
∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD，
∵AD是☉O的直径，
∴∠ABD＝90°，OA＝BO，
∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD＝∠ABO，
∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，
∵点B在☉O上，∴BE是☉O的切线．
答案图
6．【例4】如图，OA为☉O的半径，OA＝1，OB＝2，AB＝．求证：AB是☉O的切线．
小结：利用勾股定理的逆定理证垂直.
证明：∵OA＝1，OB＝2，AB＝，
∴OA2＋AB2＝OB2，
∴OA⊥AB，
又点A在☉O上，∴AB是☉O的切线．
12．如图，点D在☉O上，点C是☉O的直径AB延长线上的一点，连接AD，BD，CD，且有AD＝CD＝3 ，BD＝3，BO＝BC．求证：CD是☉O的切线．
证明：连接OD，∵AB是☉O的直径，
∴AD⊥BD，
∵AD＝CD＝3，BD＝3，∴AB＝6，∴OB＝OD＝3，
∵BO＝BC，∴OC＝6，∴OD2＋CD2＝OC2，
∴∠ODC＝90°．
∵点D在☉O上，∴CD是☉O的切线．
7．【例5】如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，以AB为直径作☉O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED＝EA．求证：ED是☉O的切线．
小结：通过全等证垂直.
答案图
证明：如图，连接OE．
在△EAO和△EDO中，，
∴△EAO≌△EDO(SSS)，∴∠EAO＝∠EDO，
∵∠CAB＝90°，∴∠EDO＝90°，
又点D在☉O上，∴ED是☉O的切线．
13．(2024宿迁模拟)如图，AB是☉O的直径，PA⊥AB于点A，连接OP，过点B作BD∥OP，交☉O于点D，连接PD．求证：PD是☉O的切线．
证明：连接OD，∵PA⊥AB，∴∠PAO＝90°，
∵OP∥BD，∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，
∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO，∴∠DOP＝∠AOP，
在△AOP和△DOP中，，
∴△AOP≌△DOP(SAS)，∴∠PAO＝∠PDO，
∵∠PAO＝90°，∴∠PDO＝90°，即OD⊥PD，
∵点D在☉O上，∴PD是☉O的切线．
8．【例6】如图，在△OAB中，OA＝2 ，OB＝4 ，OA⊥OB，以O为圆心，4为半径作☉O．求证：AB是☉O的切线．
小结：公共点未知问题，作垂线，证d=r.
答案图
证明：如图，作OC⊥AB于C，
∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，
在Rt△OAB中，AB＝＝＝10，
∵AB·OC＝OB·OA，∴OC＝＝4，
∵☉O的半径为4，∴OC为☉O的半径，
而OC⊥AB，∴AB是☉O的切线．
★14． 0.35 如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝m，∠D＝60°，以AB为直径作☉O．
(1)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式表示)；
(2)当m的取值为 时，CD与☉O相切．
解：(1)如图，分别过A，O两点作AE⊥CD，OF⊥CD，垂足分别为点E，点F，∴AE∥OF，OF就是圆心O到CD的距离．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AE＝OF．
∵在Rt△ADE中，∠D＝60°，∴∠DAE＝30°.
∵AD＝m，∴DE＝，∴AE＝m，
∴OF＝AE＝m，
∴圆心O到CD的距离为m．
答案图
