(共17张PPT)
第1课时 随机事件
第二十五章 概率初步
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．能识别必然事件、不可能事件和随机事件，掌握判断随机事件的方法．
2．理解事件发生的可能性大小，对一些简单随机现象发生的可能性大小进行定性描述．
抽象能力 数据观念
应用意识
必然事件
(1)在一定条件下，有些事件事先能肯定它必然会发生，这些事件称为必然事件．
(2)必然事件发生的可能性为 ．
100%
1．(2023营口)下列事件是必然事件的是( )
A．四边形内角和是360°
B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
A
不可能事件
(1)在一定条件下，有些事件事先能肯定它必然
，这些事件称为不可能事件．
(2)不可能事件发生的可能性为 ．
0
不会发生
2．下列事件是不可能事件的是( )
A．买一张彩票中奖
B．抛一百个硬币，全部正面朝上
C．水在0 ℃以下结冰
D．两个正数的和为负数
D
随机事件
(1)有些事件事先无法肯定会不会发生，在一定条件下，可能发生也可能不发生，这些事件称为不确定事件或 _ 事件．
(2)随机事件发生的可能性介于 之间．
(3)事件的分类：
事件
0到1
随机
3．(1)下列事件中，是随机事件的是( )
A．水涨船高 B．冬天下雪
C．水中捞月 D．冬去春来
B
(2)(人教9上P128、北师7下P138改编)
观察下列事件，分类填空：
①通常加热到100 ℃时，水沸腾；
②宇宙飞来一块陨石，落在火车上；
③数学老师把自己抱起来；
④直角三角形的两个锐角和为90°；
⑤经过有交通信号的路口，遇到红灯；
⑥向空中抛一枚硬币，不向地面掉落．
上述事件中，必然事件有 ，不可能事件有 ，随机事件有 ．(填序号)
②⑤
③⑥
①④
4．【例1】(人教9上P127)五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序，为了抽签，我们在盒子中放5个看上去完全一样的纸团，每个纸团里面分别写着表示演讲顺序的数字1，2，3，4，5．把纸团充分搅拌后，小军先抽，他任意(随机)从盒中抽取一个纸团．请思考以下问题：
(1)抽到的数字有几种可能的结果？
答： ；
5种
小结：体会几种事件的客观存在的情况.
(2)抽到的数字会小于6吗？
答： ；
(3)抽到的数字会是0吗？
答： ；
(4)抽到的数字会是1吗？
答： ．
有可能
不可能
一定会
7．(人教9上P127改编、北师7下P136改编)投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，有下列事件：
①两枚骰子向上一面的点数之和大于1；
②两枚骰子向上一面的点数之和等于1；
③两枚骰子向上一面的点数之和大于12；
④两枚骰子向上一面的点数之和等于12．
(1)随机事件有 ；
(2)必然事件有 ；
(3)不可能事件有 ． (填序号)
②③
①
④
小结：面积的大小决定可能性的大小.（面积法）
5．【例2】(北师7下P138改编)如图是一个自由转动的转盘，转动这个转盘，当它停止转动后，指针落在下列号码上可能性最小的是( )
A．1号 B．2号
C．3号 D．4号
A
8．如图，一只蚂蚁在一块地砖上爬来爬去，停在区域机会最大的是( )
A．红色区域
B．黄色区域
C．白色区域
D．黑色区域
A
6．【例3】(人教9上P128、北师7下P138)不透明袋子中有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外其他无差别．从袋子中随机取出1个球．
(1)这个球是白球还是黑球？
(2)如果两种球都有可能被取出，那么取到黑球和取到白球的可能性一样大吗？
解：(1)可能是白球也可能是黑球．
(2)不一样大．
小结：体会随机事件可能性的大小.（数值法）
★9． 0.50 老李购买双色球福利彩票时，两次分别购买了2张和100张，均未获奖，于是他说：“购买2张和100张中奖的可能性相等．”小华说：“这两个事件都是不可能事件．”他们的说法对吗？请说明理由．
解：老李的说法错误，因为买100张中奖的可能性比买2张中奖的可能性大；小华的说法也错误，这两个事件都是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件．(共18张PPT)
第5课时 用频率估计概率
第二十五章 概率初步
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率．
2．学会设计试验来估计比较复杂的随机事件发生的概率，灵活运用概率的有关知识解决实际问题．
运算能力 数据观念
应用意识 创新意识
频率的计算公式
公式：频率＝．
1．假如抛硬币10次，有4次出现正面，6次出现反面，则：
(1)出现正面的频数是 ；
(2)出现反面的频数是 ；
(3)出现正面的频率是 ；
(4)出现反面的频率是 ．
0.6
0.4
6
4
用频率估计概率
(1)一般地，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的 性．
(2)可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的 ．
(3)在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么估计事件A发生的概率P(A)＝ ．
p
概率
稳定
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 (结果保留小数点后一位)．
2．在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
0.4
摸球试验次数 100 1 000 5 000 10 000 50 000 100 000
“摸出黑球”的次数 36 387 2 020 4 009 19 970 40 008
“摸出黑球”的频率(结果保留小数点后三位) 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400
比较 频率 概率
区别 试验值或统计值 理论值
与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关
与试验的人、试验时间、试验地点有关 与试验的人、试验时间、试验地点无关
联系 试验次数越 ，频率越趋向于概率
多
频率与概率的区别和联系
3．(2023锦州)一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为
．
15
小结：频率不一定等于概率.
4．【例1】某人随意投掷一枚均匀的骰子，投掷了n次，其中有m次掷出的点数是偶数，若掷出的点数是偶数的频率为P，则下列说法正确的是( )
A．P一定等于0.5
B．P一定不等于0.5
C．P一定大于0.5
D．投掷的次数很多时，P稳定在0.5附近
D
7．小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮的进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是( )
A．小亮明天的进球率为10%
B．小亮明天每射球10次必进球1次
C．小亮明天有可能进球
D．小亮明天肯定进球
C
(1)计算表中各场比赛的进球频率(请填在表内)；
(2)若这位运动员在下一场比赛罚球投篮一次，则进球的概率约为 ．
5．【例2】(跨学科融合)(人教9上P144、北师7下P142改编)某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下表：
0.75
投篮次数n 8 10 12 16 20
进球次数m 6 7 9 12 15
进球频率
0.7
0.75
0.75
0.75
0.75
小结：（1）频率=所求情况数与总情况数之比；
（2）必需经过大量重复的试验，才能用频率的稳定值估计概率.
(1)完成上表；
(2)“摸到红球”的概率的估计值是 (精确到0.1)；
(3)估算袋子中的红球有 个．
12
8．在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球共20个，每个球除颜色外完全相同．某学习兴趣小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的部分统计数据．
0.6
摸球次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到红球的次数m 59 96 118 290 480 601
摸到红球的频率 0.59 _ 0.59 _ 0.60 0.601
0.58
0.64
6．【例3】(跨学科融合)(人教9上P147改编、北师7下P140改编)如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1 000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．
以上三个推断中，合理的是( )
A．① B．② C．①② D．①③
B
小结：（1）试验得出的频率只是概率的估计值；（2）概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非每一次都发生.
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
★9． 0.50 在做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是( )
D(共18张PPT)
第2课时 概率
第二十五章 概率初步
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．理解事件发生的可能性大小．
2．(2022新课标)了解随机事件的概率．
3．理解概率的定义，会用概率的定义求一些简单事件的概率．
抽象能力 运算能力
数据观念 应用意识
概率的定义
(1)一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)；
(2)概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性大小．
1．(人教9上P133)(2023绍兴)在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是( )
A． B． C． D．
C
求简单事件的概率
(1)一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝；
(2)在P(A)＝中，由m和n的含义可知0≤m≤n，可得P(A)的取值范围为 ；
(3)必然事件发生的概率P(A)＝ ；
不可能事件发生的概率P(A)＝ ；
随机事件发生的概率 ．
介于0和1之间
0
1
0≤P(A)≤1
2．(人教9上P131、北师7下P148)掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数．
(1)P(点数为2)＝ ；
(2)P(点数为3)＝ ；
(3)P(点数为奇数)＝ ；
(4)P(点数不小于3)＝ ；
(5)P(点数为7)＝ ；
(6)P(点数大于2且小于5)＝ ．
0
理解事件的概率
(1)事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；
(2)事件发生的可能性越小，它的概率越接近 (但仍有发生的可能)；
(3)关系图(如图)．
0
3．(北师7下P158改编)(2024黔南州一模)某天气预报软件显示“贵阳市明天的降水概率为80%”，下列对这条信息的说法中，正确的是( )
A．贵阳市明天将有80%的时间下雨
B．贵阳市明天将有80%的地区下雨
C．贵阳市明天下雨的可能性较大
D．贵阳市明天下雨的可能性较小
C
4．【例1】(人教9上P133改编、北师7下P149改编)袋子中有1个白球和2个红球，它们只有颜色不同，从中随意摸出一个．
(1)“摸出白球”是 事件，P(摸出白球)＝ ；
(2)“摸出白球或红球”是 事件，P(摸出白球或红球)＝
；
(3)“摸出黑球”是 事件，P(摸出黑球)＝ ；
(4)“摸出红球”是 事件，P(摸出红球)＝ ．
随机
0
不可能
1
必然
随机
小结：分清事件的属性，对于随机事件要算清试验中有几种可能的结果，代入概率公式即可.
8．(人教9上P134、北师7下P148改编)一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”．掷小正方体后，观察朝上一面的数字．
(1)出现“5”是 事件，它的概率是 ；
(2)出现“6”是 事件，它的概率是 ；
(3)出现奇数是 事件，它的概率是 ；
(4)出现2的倍数是 事件，它的概率是 ．
随机
随机
0
不可能
随机
小结：概率指的是发生的可能性大小，不是指时间和地点，并且介于0~1.
5．【例2】下列说法正确的是( )
A．明天下雪的概率为10%，说明明天有10%的时间在下雪
B．明天下雪的概率为10%，说明明天有10%的地区在下雪
C．一个事件发生的概率可能为200%
D．掷一枚质地均匀的硬币，向上一面是正面的概率为50%
D
9．某彩票的中奖概率为0.01%，对此判断正确的是( )
A．买10 000张彩票一定中奖
B．买10 001张彩票一定中奖
C．买1张彩票不可能中奖
D．买1张彩票，中奖的可能性是万分之一
D
6．【例3】(人教9上P132改编、北师7下P158改编)一个转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6．若自由转动转盘，当它停止转动时，
(1)指针指向数字4的概率为 ；
(2)指针指向数字是奇数的概率为 ；
(3)指针指向数字不小于5的概率为 ．
小结：先算清楚有几种可能的结果，再代入概率公式.
10．(北师7下P151改编)(2023常州)如图，飞镖游戏板中每一块小正方形的面积相等．任意投掷飞镖1次且击中游戏板，则击中阴影部分的概率是 ．
小结：所有事件的概率之和为1.
7．【例4】要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，一辆车在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，则他遇到绿灯的概率为( )
A． B． C． D．
B
★11． 0.50 某游戏规则如下：在20张正面相同的牌子中，有5张牌子的背面注明一定金额，其余牌子的背面是一张笑脸，若翻到笑脸就不得奖；反之，则得奖．参与游戏的观众有三次翻牌的机会(翻过的牌子不能再翻)．某人前两次翻牌均获得若干奖金，则他第三次翻牌获得奖金的概率为 ． (共25张PPT)
第3课时 用列举法求概率(1)
第二十五章 概率初步
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．会用列举法求简单随机事件的概率(一步型、相互独立两步型、有放回两步型)，进一步培养随机观念．
2．(2022新课标)能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果．
运算能力 数据观念
应用意识
用简单列举法求概率(一步型)
(1)确定概率公式中的n：一次试验中有n种等可能的结果(它们发生的可能性都相等)；
(2)确定概率公式中的m：列举出事件A包含其中的m种结果；
(3)代入公式P(A)＝．
1．一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数－1，2，－3，4．摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为 ．
运用概率公式进行相关计算
(1)运用概率公式P(A)＝，直接计算概率；
(2)运用概率公式P(A)＝，列方程解决问题．
2．(2023杭州)一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球(仅有颜色不同)．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝ ．
9
用列举法求概率(相互独立型)
(1)用列表法或画树状图法求相互独立型事件的概率；
(2)求相互独立两步型事件的概率一般采用列表法比较简便．
3．(人教9上P136、北师9上P72)同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为 ．
用列举法求概率(有放回两步型)
用列表法或画树状图法求有放回型事件的概率．
4．(人教9上P138改编、北师9上P62改编)布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，然后放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是多少？
解：画树状图如图：
答案图
因此共有9种情况，其中两次都摸出白球的有4种，所以P(两次都摸出白球)＝．
5．【例1】(人教9上P137改编、北师9上P64)小明有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别写有1，2，3，4，5，6这六个数．如果掷这枚正方体骰子两次，求掷两次的点数和为奇数的概率．
解：列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
由表可知一共有36种情况，掷两次的点数和为奇数的有18种，
所以P(掷两次的点数和为奇数)＝．
小结：可能的结果较多时，列表法比较简便.
8．(北师9上P67改编)如图，转盘被分别分为3个和5个大小相同的扇形，同时转动两个转盘，转盘停止时(如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针转向某一区域为止)，两个指针所指区域的数字乘积为0的概率是多少？
解：列表如下：
积 3 4 5 6 7
1 3 4 5 6 7
2 6 8 10 12 14
0 0 0 0 0 0
共有15种等可能结果，其中乘积为0的有5种，因此两个指针所指区域的数字乘积为0的概率是．
6．【例2】(人教9上P138改编、北师9上P64改编)(2024郑州一模)在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1，6，6，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字．
(1)用画树状图或列表的方法列出所有可能结果；
(2)求两次摸到不同数字的概率．
解：(1)画树状图如图：
所有结果为(1，1)，(1，6)，(1，6)，(6，1)，(6，6)，(6，6)，(6，1)，(6，6)，(6，6)．
(2)共有9种等可能的结果，两次摸到不同数字的结果有4种，
∴P(两次摸到不同数字)＝．
小结：本题用画树状图或列表的方法均可，都比较简便；注意列出所有可能结果时，各种情况不能重复，也不能遗漏.
9．(跨学科融合)为庆祝全国两会胜利召开，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有《我爱你，中国》《歌唱祖国》《我和我的祖国》(分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲)．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八(1)班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八(2)班班长从中随机抽取一张．
(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
(2)画树状图或列表表示所有可能结果，并求八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率．
解：(2)画树状图如图：
答案图
共有9种等可能结果，其中字母不相同的有6种，因此八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率＝．
7．【例3】将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片(注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别)洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为m，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为n，组成一数对(m，n)．
(1)请写出(m，n)所有可能出现的结果；
(2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
解：(1)(m，n)所有可能出现的结果：(1，1)，(1，2)，
(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)．
(2)数字之和为奇数的概率＝，
数字之和为偶数的概率＝，
∴这个游戏不公平．
小结：（1）判断游戏是否公平，就是判断游戏双方获胜概率是否相等；（2）若概率相等，游戏是公平的；否则，游戏是不公平的.
★10． 0.50 (人教9上P140改编、北师9上P72改编)小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，搅匀后，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜；否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．
解：这个游戏对两人不公平．
理由：列表如下：
1 2 3 4
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4)
所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有(1，1)，(2，1)，(1，2)，(2，2)，(3，2)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(3，4)，(4，4)，共10种，
故小明获胜的概率为，
则小刚获胜的概率为，
∵，∴这个游戏对两人不公平．(共26张PPT)
第4课时 用列举法求概率(2)
第二十五章 概率初步
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．会用列举法求简单随机事件的概率(无放回两步型、一次性取两个型、三步型)，进一步培养随机观念．
2．感受分步分析对较复杂问题时起到的作用．
运算能力 数据观念
应用意识 创新意识
用简单列举法求概率(无放回两步型)
(1)求无放回型事件概率；
(2)求无放回型事件概率一般采用画树状图法较为简便．
1．(人教9上P140改编、北师9上P73改编)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，求两次取出的小球上数字之积等于8的概率．
解：画树状图如图：
答案图
由图可知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果，
所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为．
用列举法求概率(一次性取两个型)
(1)求一次性取两个型事件的概率；
(2)求一次性取两个型事件的概率实质就是求无放回型事件的概率，一般采用画树状图法较为简便．
2．(传统文化)(2023山西)中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中一次性随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ．
用列举法求概率(三步型)
对于求三步型的概率，一般采用画树状图法解决．
3．(北师9上P74)抛掷一枚质地均匀的硬币三次，求两次正面朝上和一次反面朝上的概率．
解：画树状图如图：
答案图
共有8种等可能情况，其中两次正面朝上和一次反面朝上的情况有3种，因此P(两正一反)＝．
4．【例1】(人教9上P140改编)如图，有5张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这5张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．
(1)从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为
；
(2)若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片都是轴对称图形的概率．
解：(2)画树状图如图：
答案图
由树状图知，共有20种等可能结果，其中两次所抽取的卡片都是轴对称图形的有6种结果，
∴两次所抽取的卡片都是轴对称图形的概率为．
小结：求不放回型事件的概率，画树状图比较简便.
8．某学校举办了“学时代榜样·立青春之志”主题社团活动，小颖喜欢的社团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团(用A，B，C，D依次表示这四个社团)，并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D的概率是 ；
(2)小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列
表法或画树状图法求出小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率．
解：(2)用列表法表示所有可能出现的结果如下：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中有一张是演讲社团C的有6种，∴小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率是．
5．【例2】有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取2张，求抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率．
解：画树状图如图：
答案图
所有等可能的情况共有20种，其中恰好是两个连续整数的有8种，则P(恰好是两个连续整数)＝．(本题也可列表求解)
小结：求一次性取两个型的概率问题，可以用画树状图法，还可以用直接枚举法或列表法（去掉对角线部分）.
9．(跨学科融合)(人教9上P153改编)(2024深圳一模)在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，求能形成闭合电路的概率．
解：画树状图如图：
答案图
∵共有6种等可能的结果，能形成闭合电路的有4种结果，
∴能形成闭合电路的概率为．
小结：三步型问题，准确画出树状图是关键.
6．【例3】(跨学科融合)随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“ ”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为( )
A． B． C． D．
B
10．现有长分别为1，2，3，4，5的木条各一根，从中任取3根，求能构成三角形的概率．
解：从长分别为1，2，3，4，5的木条中任取3根有如下10种等可能结果：
3，4，5；2，4，5；2，3，5；2，3，4；1，4，5；
1，3，5；1，3，4；1，2，5；1，2，4；1，2，3．
其中能构成三角形的有3，4，5；2，4，5；2，3，4这三种结果，
所以从这5根木条中任取3根，能构成三角形的概率是．
7．【例4】(跨学科融合)“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某大学利用“世界献血日”开展自愿献血活动，经过检测，献血者血型有“A，B，AB，O”四种，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如下统计图表：
血型 A B AB O
人数 10 5
(4)现有4名自愿献血者，2人为O型，1人为A型，1人为B型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为O型的概率．
(1)本次随机抽取的献血者人数为 人，扇形图中
m＝ ；
(2)补全表中的数据；
(3)若这次活动中该校有1 300人自愿献血，
估计有 人是A型血；
312
20
50
(2)12 23
解：(4)画树状图如图：
答案图
所以P(两人血型均为O型)＝．
小结：这是统计概率的综合题，其中的概率问题实质就是求一次性取两个型的概率问题，画树状图比较简便.
★11． 0.50 (跨学科融合)为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制出如下两幅不完整的统计图．
(1)参加这次调查的学生总人数为 人；
(2)扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角度数是
；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名作为“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
108°
40
解：(3)C类别的人数为40－(6＋12＋4)＝18(人)，补全条形统计图略．
(4)画树状图为：
答案图
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为．
