(共18张PPT)
第5课时 一元二次方程的解法(4)
——因式分解法
第二十一章 一元二次方程
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．了解因式分解法的概念．
2．掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，体会“降次”的数学思想方法．
3．(2022新课标)能用因式分解法解数字系数的一元二次方程．
抽象能力 运算能力
模型观念
(1)提公因式法
ma＋mb＝ ；
(a＋b)m＋(a＋b)n＝ ．
(2)公式法
完全平方公式：a2±2ab＋b2＝ ；
平方差公式：a2－b2＝ ．
(a＋b)(a－b)
(a±b)2
(a＋b)(m＋n)
回顾因式分解的概念
m(a＋b)
1．把下列各式进行因式分解：
(1)x2－2x＝ ；
(2)(x－2)2＋3(x－2)＝ ；
(3)x2－4＝ ；
(4)x2－6x＋9＝ ．
(x－3)2
(x＋2)(x－2)
(x－2)(x＋1)
x(x－2)
因式分解法的概念
(1)因式分解法：先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法．
(2)因式分解法主要依据：如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0．
2．填空与选择：
(1)解方程：(x＋1)(x－2)＝0．
解：(x＋1)(x－2)＝0，
则有 ＝0或 ＝0，
x1＝ ，x2＝ ．
(2)方程x(x－1)＝0的解是( )
A．x＝1 B．x＝0
C．x1＝1，x2＝0 D．没有实数根
C
2
－1
x－2
x＋1
用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)把方程右边整理为0；
(2)把方程左边进行因式分解；
(3)解两个一元一次方程．
3．填空与选择：
(1)(2024柳州一模)解方程：x2－4x＝0．
解：因式分解，得 ＝0，
则有 ＝0或 ＝0，
x1＝ ，x2＝ ．
(2)方程x2＝－5x的适当解法是( )
A．直接开平方法 B．配方法
C．因式分解法 D．公式法
(3)(2023常州模拟)方程x(x－1)＝x的解是 ．
x1＝0，x2＝2
C
4
0
x－4
x
x(x－4)
小结：解没有常数项的一元二次方程，首选因式分解法.
4．【例1】(人教9上P14改编)解方程：5x2－2x＝0．
解：x(5x－2)＝0，所以x1＝0，x2＝．
8．(北师9上P47)解方程：5x2＝4x．
x1＝0，x2＝
5．【例2】(人教9上P14、北师9上P47改编)解方程：
(1)x(x－2)＋x－2＝0；
解：(1)(x－2)(x＋1)＝0，
所以x1＝2，x2＝－1．
(2)(x＋3)2＝3(x＋3)．
解：(2)(x＋3)(x＋3－3)＝0，即x(x＋3)＝0，
所以x1＝0，x2＝－3．
小结：公因式也可以是一个多项式，注意符号.
9．(人教9上P14改编、北师9上P47改编)解方程：
(1)(2x－3)2－2x＋3＝0；
(1)x1＝2，x2＝
(2)4(2x－1)2＝8x－4．
(2)x1＝1，x2＝
6．【例3】解方程：(拓展)
(1)x2＋3x－4＝0；
解：(1)(x＋4)(x－1)＝0，
所以x1＝－4，x2＝1．
(2)(北师9上P48)(x－2)(x－3)＝12．
解：(2)x2－5x＋6＝12，即x2－5x－6＝0，
(x－6)(x＋1)＝0，所以x1＝6，x2＝－1．
小结：解形如x2+（a+b）x+ab=0的一元二次方程，可将其左边因式分解，化为（x+a）（x+b）=0的形式.
10．解方程：(拓展)
(1)(2023广州)x2－6x＋5＝0；
(1)x1＝1，x2＝5
(2)(2x－1)2－2(2x－1)－3＝0．
(2)x1＝0，x2＝2
小结：方程的根和三角形边长相结合的时候注意分类讨论，并验证是否符合题意.
7．【例4】三角形的两边长分别为3和6，第三边长为方程x2－7x＋10＝0的一个根，求这个三角形的周长．
解：方程x2－7x＋10＝0，
可化为(x－2)(x－5)＝0，解得x＝2或5，
∴第三边长为2或5．
∵边长为2，3，6不能构成三角形，
而3，5，6能构成三角形，
∴三角形的周长为3＋5＋6＝14．
★11． 0.55 方程x2－mx＋m＋1＝0的一个根为x＝2．
(1)求m的值及另一根；
(2)若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长．
解：(1)∵方程x2－mx＋m＋1＝0的一个根为x＝2，
∴22－2m＋m＋1＝0，∴m＝5，
∴一元二次方程为x2－5x＋6＝0，
解得x＝2或x＝3，
∴m＝5，方程的另一根为x＝3．
(2)当等腰三角形的三边长为2，2，3时，周长为7；
当等腰三角形的三边长为2，3，3时，周长为8．(共21张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第6课时 一元二次方程的解法综合及根的判别式
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
抽象能力 运算能力
推理能力 应用意识
1．能根据方程的特征，体会方程的不同解法．
2．(2022新课标)能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．
3．(2022新课标)会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等．
(1)直接开平方法；
(2)配方法；
(3)公式法；
(4)因式分解法．
基本思路：将二次方程化为一次方程，即降次．
一元二次方程的解法小结
1．解方程2(3x－1)2＝4(3x－1)最适当的方法是( )
A．直接开平方法
B．配方法
C．因式分解法
D．公式法
C
根的判别式：一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，用“Δ”表示．
一元二次方程根的判别式
2．(2023吉林)一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判别式的值是( )
A．33 B．23
C．17 D．
C
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为x＝．
(1)当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
注意：用判别式判断方程根的情况不需要解方程．
用Δ＝b2－4ac判别根的情况
3．填空与选择：
(1)判别方程x2－4x＋1＝0的根的情况．
解：a＝ ，b＝ ，c＝ ，
b2－4ac＝ ＞0，
方程 ；
(2)方程x2－2x＝5的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．有一个实数根
A
有两个不相等的实数根
12
1
－4
1
根据给出的实数根的情况，列出含字母参数的不等式或方程，求解即可．
利用根的判别式求字母参数的取值范围
4．(2023北京)若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为( )
A．－9 B．－
C． D．9
C
(2)3x(2x＋3)－2(2x＋3)＝0；(因式分解法)
解：(2)(3x－2)(2x＋3)＝0，所以x1＝，x2＝－．
5．【例1】(人教9上P16－17改编、北师9上P56改编)按题目要求的方法解下列方程：
(1)(x－1)2－4＝0；(直接开平方法)
解：(1)(x－1)2＝4，所以x－1＝±2，
所以x1＝3，x2＝－1．
(3)x2＋4x－3＝0．(配方法)
解：(3)x2＋4x＝3，
所以(x＋2)2＝7，x＋2＝±，
所以x1＝－2，x2＝－－2．
小结：解一元二次方程时，要根据方程特点选择简便方法：先考虑能否用直接开平方法、因式分解法，再考虑用配方法、公式法.配方法、公式法适用于所有的一元二次方程.
9．用适当的方法解下列方程：
(1)x2－5x＋4＝0；
(1)x1＝1，x2＝4
(2)(2x－1)2＝(3－x)2；
(2)x1＝，x2＝－2
(3)3x2－4x－1＝0．
(3)x＝
小结：先求b2-4ac的值，再判别根的情况.
6．【例2】(人教9上P17改编、北师9上P42)一元二次方程4x2＋1＝4x的根的情况是( )
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根
B
10．(2024柳州一模)方程x2＋x＋3＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无法判断
D．无实数根
D
小结：求b2-4ac的同时，别忘了a≠0.
7．【例3】若关于x的一元二次方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
a＞－1且a≠0
k≤且k≠0
11．(2023锦州)若关于x的一元二次方程kx2－2x＋3＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
解：(1)由题意，得a＝1，b＝m，c＝m－2，
∵Δ＝b2－4ac＝m2－4×1×(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4＞0，
∴方程x2＋mx＋m－2＝0有两个不相等的实数根．
(2)∵x2＋mx＋m－2＝0有一个根是1，
∴12＋m×1＋m－2＝0，解得m＝．
8．【例4】已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0．
(1)不解方程，判断方程的根的情况；
(2)若方程有一个根为1，求m的值．
小结：根据判别式列出含字母参数的多项式，常需通过配方等方法判断它与0的大小关系，从而判断根的情况.
(1)证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：∵x＝0是此方程的一个根，
∴把x＝0代入方程中得到m(m＋1)＝0，
即m2＋m＝0，
∴m2＋m－5＝－5．
★12． 0.50 (人教9上P17改编)关于x的方程x2＋(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根为0，求m2＋m－5的值．(共20张PPT)
第3课时 一元二次方程的解法(2)
——配方法
第二十一章 一元二次方程
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方程．
2．掌握运用配方法解一元二次方程的步骤，体会转化的数学思想．
抽象能力 运算能力
模型观念
a2±2ab＋ ＝(a± )2．
关键：添加适当的项，把一个二次三项式配成一个完全平方式．
b
配方的概念
b2
1．(人教9上P9改编、北师9上P36改编)填空：
(1)x2－2x＋1＝(x－ )2；
(2)x2＋6x＋ ＝(x＋ )2；
(3)x2－x＋ ＝(x－ )2．
3
9
1
用配方法解一元二次方程
解方程：x2＋6x－16＝0．
步骤：
(1)移项：把“常数项”移到等号的右边：
x2＋6x＝16；
(2)配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方，使等号左边成为一个完全平方式：
x2＋6x＋ ＝16＋ ，
即(x＋ )2＝ ；
(3)开方：用直接开平方法解方程：
x＋ ＝ ，
∴方程的解是x1＝ ，x2＝ ．
－8
2
±5
3
25
3
9
9
小结：
（1）像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法；
（2）配方的目的：把一元二次方程转化为（mx+n）2=p（m，n，p为已知数，其中m≠0）的形式，利用直接开平方法转化为一元一次方程.
2．用配方法解方程：
(1)(2023无锡)x2－2x－4＝0；
x＝1±
(2)(人教9上P6)x2＋6x＋4＝0；
x＝－3±
(3)x2－x－1＝0．
x＝
小结：配方法的关键是化成（mx+n）2=p的形式.
3．【例1】(2024深圳模拟)用配方法解方程x2＋2x＝3时，配方后正确的是( )
A．(x＋2)2＝7 B．(x＋2)2＝5
C．(x＋1)2＝4 D．(x＋1)2＝2
C
7．(2023新疆)用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是( )
A．(x＋6)2＝28 B．(x－6)2＝28
C．(x＋3)2＝1 D．(x－3)2＝1
D
小结：配方时，先把常数项移到等号的右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方.
4．【例2】将一元二次方程x2－4x＋3＝0配方为(x－2)2＝k的形式，则k的值是 ．
1
8．将一元二次方程x2－10x＋10＝0化成(x－a)2＝b的形式，则ab＝ ．
75
5．【例3】(人教9上P9、北师9上P37改编)用配方法解一元二次方程：
(1)x2＋10x＋9＝0； (2)x(x＋8)＝16．
解：(1)x2＋10x＋25＝－9＋25，
所以(x＋5)2＝16，
x＋5＝±4，所以x1＝－1，x2＝－9．
(2)x2＋8x＝16，x2＋8x＋16＝16＋16，
所以(x＋4)2＝32，x＋4＝±4 ，
所以x1＝4 －4，x2＝－4 －4．
小结：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，先把方程化成x2+bx=-c的形式.
9．用配方法解一元二次方程：
(1)x2－2x－2＝0； (2)(x－1)(x－2)＝8．
(1)x1＝1＋，x2＝1－
(2)x1＝，x2＝
6．【例4】(人教9上P9改编、北师9上P38)用配方法解一元二次方程：
(1)2x2＋4x－10＝0； (2)3x2＋8x－3＝0．
解：(1)x2＋2x－5＝0，x2＋2x＋1＝5＋1，
所以(x＋1)2＝6，x＋1＝±，
所以x1＝－1，x2＝－－1．
(2)x2＋x＝1，x2＋x＋＝1＋，
所以，x＋＝±，
所以x1＝，x2＝－3．
小结：（1）二次项系数不是1的时候，先将系数化为1；（2）配方法的一般步骤可简化为：一移，二化，三配，四开.
10．(人教9上P9、北师9上P39改编)用配方法解一元二次方程：
(1)3x2＋6x－4＝0； (2)4x2－6x－3＝0．
(1)x1＝－1＋，x2＝－1－
(2)x1＝，x2＝
★11． 0.45 已知a，b，c满足a2－2c＝－17，
b2－6a＝－1，c2＋2b＝7，则a＋b＋c＝ ．
3 (共16张PPT)
第9课时 实际问题与一元二次方程(2)
第二十一章 一元二次方程
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)能针对具体问题(数字问题、握手问题)列出一元二次方程并求解．
2．体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．
3．(2022新课标)能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．
4．进一步巩固一元二次方程在实际问题中的运用：建立数学模型、找相等关系、列方程．
抽象能力 运算能力
模型观念 应用意识
数字问题
(1)两个连续的整数：x，x＋1；
(2)两个连续的奇(偶)数：x，x＋2；
(3)两位数：十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数为10a＋b．
1．填空：
(1)(人教9上P21改编、北师9上P56改编)两个连续的整数之积为56，则这两个整数为 ；
(2)一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，设十位上的数字为x，则这个两位数可用含x的式子表示为
．
9x＋5
7和8或－7和－8
握手问题、送贺卡问题
(1)握手问题：
握手问题是“单循环问题”，每2人相互握手时，只记为1次即可，而不是记为2次．
(2)送贺卡问题：
送贺卡问题是“双循环问题”，每2人相互送贺卡时，要记为2次，而不是记为1次．
2．填空：
(1)10位同学聚会，每两人握一次手，共握手 次；
(2)n位同学聚会，每两人握一次手，共握手 次；
(3)九年级某班的每位同学都将自己的贺卡向全班其他同学各赠送一张作为祝福，如果全班有50名学生，那么共送出
张贺卡；
(4)九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，如果全班有x名学生，那么共送出
张相片．
x(x－1)
2 450
45
小结：解此类数字问题的关键是用代数式表示这个数，常用间接设未知数的方法.如本题的关键是用10a+b的形式表示两位数.
3．【例1】已知一个两位数的十位数字比个位数字大2，十位数字与个位数字的积比这个两位数小34，求这个两位数．
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为x＋2，根据题意，得
10(x＋2)＋x－x(x＋2)＝34，
解得x＝2或x＝7，
所以这个两位数为42或97．
7．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．
解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x－4，
由题意得x2＋(x－4)2＝10x＋(x－4)－4，
解得x1＝8，x2＝1.5(不合题意，舍去)，
∴x－4＝4，∴10x＋(x－4)＝84，
∴这个两位数为84．
小结：问题中若两个人进行了2次活动（双循环），则x人进行了x（x-1）次活动.
4．【例2】(人教9上P22改编)某班在一次图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书给其他同学赠送一本，全班共互赠了1 260本书．设全班共有x名同学，依题意，可列出方程为( )
A．x(x－1)＝1 260 B．x(x＋1)＝1 260
C．2x(x－1)＝1 260 D．x(x－1)＝1 260
A
8．(2024中山模拟)某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )
A．＝930 B．＝930
C．x(x＋1)＝930 D．x(x－1)＝930
D
小结：问题中若两个人进行了1次活动（单循环），则x人进行了x（x-1）次活动.
5．【例3】(人教9上P4、北师9上P58)参加一次聚会的每两人都握一次手，所有人共握手10次，则有 人参加聚会．
5
9．某旅游团旅游结束时，其中一位游客建议大家互相握手道别，细心的小明发现，每两位参加旅游的人互握一次手，共握了28次手，则这个旅游团共有 位游客．
8
6．【例4】(人教9上P25)(2024福州一模)为庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了45场比赛，这次有多少支球队参加比赛？
解：设这次有x支球队参加比赛，由题意得
＝45，解得x1＝10，x2＝－9(不合题意，舍去)．
答：这次有10支球队参加比赛．
★10． 0.40 在一次象棋比赛中，实行单循环赛制(每个选手都与其他选手比赛一局)，每局赢者记2分，输者记0分，如果平局，两个选手各记1分．今有3位同学统计了比赛中全部选手的得分总和，结果分别为2 025分、2 070分、2 058分，经核实只有一位同学统计无误，这次比赛中共有多少名选手参赛？
解：设共有x名选手参赛，则共有x(x－1)局比赛，总得分为x(x－1)分，
∵相邻的两个整数的积是偶数，且个位数字只能是0，2，6，∴只有2 070分是正确的统计结果，根据题意得x(x－1)＝
2 070，解得x＝46或－45(舍去)．
答：共有46名选手参赛．(共18张PPT)
第4课时 一元二次方程的解法(3)
——公式法
第二十一章 一元二次方程
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．
2．熟练应用公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方程化为一般形式．
3．(2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程．
抽象能力 运算能力
推理能力 模型观念
利用配方法推导一元二次方程求根公式
(人教9上P9、北师9上P41)推导ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．
解：移项(把“常数项”移到等号的右边)，得
ax2＋bx＝－c，
二次项系数化为1，得x2＋x＝－，
配方，得x2＋x＋ ＝－＋ ，
即(x＋ )2＝ ．
若b2－4ac≥0，则
x＋＝±，
即x＝．
1．用公式法解下列一元二次方程：
(1)x2－x－2＝0．
解：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
b2－4ac＝ ＝ ＞0．
x＝＝ ＝ ，
即x1＝ ，x2＝ ．
－1
2
9
(-1)2 －4×1×(－2)
－2
－1
1
(2)2x2－4x＋2＝0．
解：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
b2－4ac＝ ＝ ．
x＝＝ ，
即x1＝x2＝ ．
1
0
(－4) 2 －4×2×2
2
－4
2
(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：
x＝(b2－4ac≥0)．
(2)求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的结果．
(3)解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入
，可以避免配方过程而直接求出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．
用公式法解一元二次方程
求根公式
2．用公式法解下列一元二次方程：
(1)(2024重庆模拟)x2－5x＋1＝0；
解：(1)a＝1，b＝－5，c＝1，
b2－4ac＝(－5)2－4×1×1＝21＞0，
x＝，
即x1＝，x2＝．
(2)x2－3x＋4＝0．
解：(2)a＝1，b＝－3，c＝4，
b2－4ac＝(－3)2－4×1×4＝2＞0，
x＝，
即x1＝2，x2＝．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝，
所以x1＝，x2＝．
7．(人教9上P12、北师9上P56改编)用公式法解方程：x2－x－＝0．
x＝
小结：确定各项系数a，b，c的值时，不要漏掉前面的符号.
4．【例2】(北师9上P43)(2024鞍山模拟)用公式法解方程：2x2－4x－1＝0．
解：a＝2，b＝－4，c＝－1，b2－4ac＝24＞0，
x＝，
所以x1＝，x2＝．
8．(人教9上P25)用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
小结：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值；（2）求出b2-4ac的值；（3）若b2-4ac≥0，用求根公式求解.
5．【例3】用公式法解方程：(x－2)2＝x－3．
解：整理，得 ．
a＝ ，b＝ ，c＝ ．
b2－4ac＝ ＝ ＜0．
故方程 实数根．
无
－3
(－5)2－4×1×7
7
－5
1
x2－5x＋7＝0
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
6．【例4】(创新题)某数学小组对关于x的方程(m＋1)＋(m－2)x－1＝0提出了问题：若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
解：存在．若使方程为一元二次方程，则m＋1≠0，即m≠－1，且m2＋2＝2，即m2＝0，m＝0，∴m＝0，当m＝0时，方程变为x2－2x－1＝0，
∵a＝1，b＝－2，c＝－1，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，
∴x＝＝1±，∴x1＝1＋，x2＝1－．
因此，该方程是一元二次方程时，m＝0，两根为x1＝1＋，x2＝1－．
★10． 若a2＋5ab－b2＝0(ab≠0)，求的值．
解：∵a2＋5ab－b2＝0，∴－1＝0，
令t＝，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝，
∴的值为．
0.50(共18张PPT)
第8课时 实际问题与一元二次方程(1)
第二十一章 一元二次方程
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)能针对具体问题(传播问题、增长率)列出一元二次方程并求解．
2．体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．
3．(2022新课标)能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．
4．熟练掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤．
抽象能力 运算能力
模型观念 应用意识
初始感染病毒1人，经过反复传播，每一轮平均传播x人，则：
第一轮传播后共有(1＋x)人感染；
第二轮传播后共有 人感染．
与传播问题有关的计算
［1＋x＋(1＋x)x］
1．填空：
有1人患了流感，第一轮传染给了10个人，
则第一轮传播后共有 人感染了流感；
第二轮传染中，平均每人又传染了10个人，
则第二轮后共有 人感染了流感．
121
11
与增长(降低)率有关的计算
若初始值为a，平均增长(降低)率为x，则：
第一次增长(降低)后的值为a(1±x)；
第二次继续增长(降低)后的值为a(1±x)2．
2．某厂去年利润为100万元，若每年利润增长率为20%，则：
(1)今年利润为 万元；
(2)明年利润为 万元．
144
120
3．【例1】(人教9上P19改编)有一人感染了病毒，经过两轮传染后，共有144人受感染．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，三轮传染后，感染病毒的有多少人？
解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得1＋x＋x(1＋x)＝144，
解得x1＝11，x2＝－13(不合题意，舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染了11个人．
(2)144＋144×11＝1 728(人)．
答：三轮传染后，感染病毒的有1 728人．
小结：注意验根，把不符合题意的根舍去.
8．假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．
(1)每轮传染中平均每头患病猪传染了几头健康猪？
(2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的猪会不会超过500头？
解：(1)设每轮传染中平均每头患病猪传染了x头健康猪，
依题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64，
解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．
答：每轮传染中平均每头患病猪传染了7头健康猪．
(2)64＋64×7＝512(头)，512＞500．
答：三轮传染后，患病的猪会超过500头．
4．【例2】(人教9上P22)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
解：设每个支干长出x个小分支，则主干上长出了x个支干，
根据题意得x2＋x＋1＝91．
解得x1＝－10(不合题意，舍去)，x2＝9．
答：每个支干长出9个小分支．
9．班长小明收到学校的一条短信通知，转发给若干个小组长，小组长又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有157人，小明给多少个小组长发了短信？
解：设小明给x个小组长发了短信，
依题意，得1＋x＋x2＝157，
解得x1＝－13(不合题意，舍去)，x2＝12．
答：小明给12个小组长发了短信．
5．【例3】(2023牡丹江)张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5 000元，5月份盈利达到7 200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，求每月盈利的平均增长率．
解：设每月盈利的平均增长率是x，
根据题意得5 000(1＋x)2＝7 200，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)，
答：每月盈利的平均增长率是20%．
小结：增长率问题的关键公式：a(1±x)2=b，其中a为初始值，b为两次增长(降低)后的值.
10．(人教9上P19改编)某品牌相机，原售价每台4 000元，经连续两次降价后，现售价每台3 240元，已知两次降价的百分率一样．
(1)求每次降价的百分率；
(2)如果按这个百分率再降价一次，求第三次降价后的售价．
解：(1)设每次降价的百分率为x，
由题意，得4 000(1－x)2＝3 240，
解得x1＝1.9(不合题意，舍去)，x2＝0.1＝10%．
答：每次降价的百分率为10%．
(2)依题意，得3 240×(1－10%)＝2 916(元)．
答：第三次降价后的售价为2 916元．
小结：题中涉及“累计”，不能只认为是最后一天的.
6．【例4】(北师9上P55改编)某电影一上映就受到观众热捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为( )
A．3(1＋x)＝10
B．3(1＋x)2＝10
C．3＋3(1＋x)2＝10
D．3＋3(1＋x)＋3(1＋x)2＝10
D
11．某学校对毕业班同学三年来参加各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后两年逐年增加，到九年级毕业时累计共有228人次获奖．求这两年中获奖人次的年平均增长率．
解：设这两年中获奖人次的年平均增长率为x，根据题意，得48＋48(1＋x)＋48(1＋x)2＝228，解得x1＝＝50%，x2＝－(不合题意，舍去)．
答：这两年中获奖人次的年平均增长率为50%．
小结：解决这类问题时，如果没有给出初始值，通常设初始值为1.
7．【例5】(人教9上P26改编、北师9上P55改编)某电器企业计划用两年的时间把某型号电冰箱的成本降低36%，若每年下降的百分数相同，则这个百分数为 ．
20%
0.55
★12． (2023山东一模)已知华为某型号手机经过两次降价后的价格是两次降价前价格的，则每次降价的百分比是 ．
20% (共18张PPT)
第2课时 一元二次方程的解法(1)——直接开平方法
第二十一章 一元二次方程
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．理解解一元二次方程“降次”──转化的数学思想．
2．会用直接开平方法解形如x2＝p或(x＋n)2＝p或(mx＋n)2＝p的一元二次方程．
抽象能力 运算能力
模型观念
形如x2＝p(p为已知数)的一元二次方程的解法
(1)当p＞0时，x1＝，x2＝－；
(2)当p＝0时，x1＝x2＝0；
(3)当p＜0时，方程无实数根．
1．解方程：
(1)x2＝9； (2)4x2＝8．
(1)x＝±3
(2)x＝±
形如(x＋n)2＝p(n，p为已知数)的一元二次方程的解法
(1)当p＞0时，x＋n＝ ，则有x1＝ ，x2＝ ；
(2)当p＝0时，x1＝x2＝－n；
(3)当p＜0时，方程无实数根．
(直接开平方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解)
±
－n＋
－n－
(3)(x－1)2－25＝0．
2．解方程：
(1)(x＋1)2＝16； (2)(x－2)2＝3；
(3) x1＝－4， x2 ＝6
(1) x1＝3， x2 ＝－5
(2)x1＝2＋，x2＝2－
形如(mx＋n)2＝p(m，n，p为已知数，其中m≠0)的一元二次方程的解法
(1)当p＞0时，mx＋n＝±，
则有x1＝ ，x2＝ ；
(2)当p＝0时，x1＝x2＝－；
(3)当p＜0时，方程无实数根
3．解方程：(2x＋3)2＝25．
x1＝1，x2＝－4
小结：将方程化为x2=p（p≥0）的形式，直接开平方.
4．【例1】(人教9上P5)解方程：
(1)x2＝25； (2)x2－7＝0．
解：(1)x2＝25，所以x1＝5，x2＝－5．
(2)x2＝7，所以x1＝，x2＝－．
8．解方程：
(1)x2＝36； (2)x2－8＝0．
(2)x＝±2
(1)x＝±6
小结：通过移项、系数化为1，化为x2=p（p≥0）的形式求解.
5．【例2】(人教9上P6)解方程：
(1)9x2＝4； (2)(2024柳州一模)2x2－8＝0．
解：(1)x2＝，所以x1＝，x2＝－．
(2)2x2＝8，x2＝4，所以x1＝2，x2＝－2．
9．解方程：
(1)4x2－20＝0； (2)x2－18＝0．
(2)x＝±6
(1)x＝±
小结：将方程化为（x+n）2=p（p≥0）的形式，直接开平方.
6．【例3】(人教9上P6、北师9上P36改编)解方程：
(1)(x－2)2＝4； (2)(x＋6)2－9＝0．
解：(1)(x－2)2＝4，所以x－2＝±2，
所以x1＝4，x2＝0．
(2)(x＋6)2＝9，所以x＋6＝±3，
所以x1＝－3，x2＝－9．
10．(人教9上P6)解方程：
(1)(2－x)2＝8； (2)3(x－1)2－6＝0．
(1)x1＝2－2 ，x2＝2＋2
(2)x1＝1＋，x2＝1－
小结：（1）中化为（mx+n）2=p（p≥0）的形式；（2）中这类等号两边均为含平方的多项式的形式，直接开平方后，不要随意去括号.
7．【例4】解方程：
(1)(2x－3)2－9＝0； (2)(2x－1)2＝(x－3)2．
解：(1)(2x－3)2＝9，所以2x－3＝±3，
所以x1＝3，x2＝0．
(2)2x－1＝±(x－3)，所以x1＝－2，x2＝．
11．解方程：
(1)2(2x－1)2－50＝0；(2)(2x＋3)2＝(3x＋2)2．
解：(1)2(2x－1)2＝50，(2x－1)2＝25，
2x－1＝5或2x－1＝－5，
解得x1＝3，x2＝－2．
(2)开方得2x＋3＝3x＋2或2x＋3＝－3x－2，解得x1＝1，x2＝－1．
★12． 0.50 (2023杭州一模改编)已知一元二次方程(x－2)2＝3的两根为a，b，则2a＋b的值为
．
6＋或6－(共17张PPT)
第11课时 实际问题与一元二次方程(4)
第二十一章 一元二次方程
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)能针对具体问题(销售利润问题)列出一元二次方程并求解．
2．体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．
3．(2022新课标)能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．
4．进一步巩固一元二次方程在实际问题中的运用：建立数学模型、找相等关系、列方程．
抽象能力 运算能力
模型观念 应用意识
利润问题
(1)每件商品的利润＝售价－进价；
(2)总利润＝每件商品的利润×销售总量．
1．某公司销售一种进价为20元/个的水杯，如果售价为25元/个，那么每天可卖出250个．
(1)卖1个水杯的利润为 元；
(2)每天的总利润为 元；
(3)每个水杯售价每涨价1元，每天要少卖出10个，当每个水杯售价涨了3元后，每个水杯的利润是 元，每天的销售量为 个，每天的总利润为 元．
1 760
220
8
1 250
5
2．【例1】(北师9上P54－55改编)一款衬衫每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了扩大销售量，增加利润，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件．
(1)设每件衬衫降价x元时，每天可销售 件，每件赢利 元；
(2)当每件衬衫降价多少元时，平均每天赢利1 200元？
(40－x )
(20＋2x)
小结：此类题可用列表法，将各个量列在一个表格中，从而理顺它们之间的关系，以便从中找出相等关系，列出方程.
解：(2)根据题意，
得(20＋2x)(40－x)＝1 200，
解得x1＝20，x2＝10，
∵为了扩大销售量，增加利润，
∴x＝20．
答：当每件衬衫降价20元时，平均每天赢利1 200元．
5．(北师9上P54改编)某网店销售一款童装，每件售价60元时每周可卖300件，为避免产品积压，最大限度地减少库存，该店决定降价销售，经市场调查发现，每降价1元每周可多卖30件．已知该款童装每件成本价为40元．若总利润要达到6 480元，问每件童装的售价应定为多少元？
解：设每件童装应降价x元销售，则每周可售出(300＋30x)件童装，
依题意，得(60－40－x)(300＋30x)＝6 480，
整理，得x2－10x＋16＝0，
解得x1＝2，x2＝8．
∵为避免产品积压，最大限度地减少库存，
∴x＝8，
∴60－x＝52．
答：每件童装的售价应定为52元．
3．【例2】(2024深圳模拟)某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每本降低2元时，那么平均每天就多售出20本．设这种画册每本降价x元．
(1)平均每天的销售量为 本(用含x的代数式表示)；
(2)商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2 240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元．
(100＋10x)
解：(2)由题意得(60－40－x)(100＋10x)＝2 240，
整理得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6，
∵要求每本售价不低于55元，∴x＝4．
答：每本画册应降价4元．
小结：每本降2元就多售20本，则每本降x元就多售x本.
6．(传统文化)(2024佛山一模)香云纱作为广东省佛山市特产和中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”．在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元，为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，若每件降价20元，则每月可多售出30件，如果每月要盈利2.88万元，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，则每件的销售利润为(200－x)元，
根据题意得(200－x)＝28 800，
整理得x2－120x＋3 200＝0，
解得x1＝40，x2＝80，
∵要尽快减少库存，∴x＝80．
答：每件应降价80元．
4．【例3】(创新题)某旅游景点的年游客量y(万人)是门票价格x(元)的一次函数，其函数图象如图．
(1)直接写出y关于x的函数解析式；
(2)经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元，那么要想获得年利润11 500万元，
且门票价格不得高于230元，该年的门票价
格应该定为多少元？
小结：先利用待定系数法求函数解析式，再依据年利润建立方程求解.
解：(1)y关于x的函数解析式为y＝－x＋300．
(2)依题意，得(x－20)(－x＋300)＝11 500，
整理，得x2－320x＋17 500＝0，
解得x1＝70，x2＝250(不合题意，舍去)．
答：门票价格应该定为70元．
★7． 0.50 (2024常州模拟)某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售．为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜的销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x＜20)间满足一次函数关系，其图象如图．
(1)y与x的函数关系式为 ；
(2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
(3)若超市想获利2 400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
y＝20x＋60
解：(2)(60－4－40)×(20×4＋60)＝2 240(元)．
答：当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利2 240元．
(3)根据题意得(60－x－40)(20x＋60)＝2 400，
整理得x2－17x＋60＝0，
解得x1＝5，x2＝12，
∵要让顾客获得更大实惠，∴x＝12．
答：这种菠萝蜜每千克应降价12元．(共18张PPT)
第10课时 实际问题与一元二次方程(3)
第二十一章 一元二次方程
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)能针对具体问题(几何图形面积问题)列出一元二次方程并求解．
2．体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．
3．(2022新课标)能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．
4．能较熟练地运用一元二次方程解决实际问题．
抽象能力 运算能力
模型观念 应用意识
与面积有关的计算
(1)长方形面积：长×宽；
(2)三角形面积：×底×高；
(3)平行四边形面积：底×高；
(4)菱形面积：底×高或对角线乘积的一半；
(5)梯形面积：×(上底＋下底)×高．
1．用含x的代数式填空：
(1)某直角三角形两直角边长的和为14，设一直角边长为x，则另一直角边长为 ，这个直角三角形的面积为 ；
(2)某菱形两条对角线长的差为5，设较长的对角线长为x，则菱形的
面积为 ；
(3)某长方形的长为x，宽是长的一半，则这个长方形的面积为 ．
14－x
x2
小结：运用面积公式列方程求解，注意把不符合题意的根舍去.
2．【例1】(人教9上P4)一个直角三角形的两条直角边长相差3 cm，面积是9 cm2，较长的直角边长是 cm．
6
6．(人教9上P17改编、北师9上P35改编)一个矩形的周长是22 cm，面积是30 cm2，矩形的长是 cm，宽是 cm．
5
6
3．【例2】(人教9上P25、北师9上P53－54改编)一个梯形的下底比上底长2 cm，高比上底短1 cm，梯形的面积是8 cm2，求梯形上底和下底的长．
解：设梯形的上底长为x cm，则下底长为(x＋2)cm，高为(x－1)cm，
由题意，得(x＋x＋2)(x－1)＝8，
解得x1＝3，x2＝－3(不合题意，舍去)，
当x＝3时，x＋2＝5，
故梯形的上底长为3 cm，下底长为5 cm．
小结：此类题涉及多个未知变量，找出最适合的变量设为基准变量是关键.
7．(人教9上P22)一个菱形两条对角线长的和是10 cm，面积是12 cm2，求菱形的周长．
解：设菱形较短的对角线长为x cm，则另一条对角线长为(10－x)cm，
则x(10－x)＝12，整理得x2－10x＋24＝0，
解得x＝4或x＝6，即较短的对角线长为4 cm，
∴菱形的边长为＝(cm)，
∴菱形的周长为4 cm．
4．【例3】(人教9上P2、北师9上P57改编)如图是一张长12 dm，宽6 dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为x dm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒．
(1)无盖的长方体纸盒盒底的长为 dm，
宽为 dm(用含x的式子表示)；
(2)若要制作一个底面积是40 dm2的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长．
(6－2x)
(12－2x)
小结：解这类图形问题的关键是先将不规则图形分割或组合成规则图形，找出各部分面积或周长之间的关系.
解：(2)根据题意，
得＝40，
解得x＝1或x＝8(不合题意，舍去)．
答：剪去的正方形的边长为1 dm．
8．(人教9上P22改编、北师9上P57)如图，某小区规划在一个长30 m、宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植草皮，要使草地总面积为468 m2，那么通道的宽应设计成多少？
解：设通道的宽应设计成x m，由题意，得
(30－2x)(20－x)＝468，
解得x＝2或x＝33(不合题意，舍去)．
答：通道的宽应设计成2 m．
5．【例4】(人教9上P25、北师9上P45)某兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为30 m的篱笆围成．如图，墙长为20 m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m．
(1)若苗圃园的面积为108 m2，求x的值；
(2)苗圃园的面积能达到120 m2吗？若能，
求出x的值；若不能，说明理由．
解：(1)由题意可知(30－2x)x＝108，
解得x＝6或x＝9，
由于0＜30－2x≤20，
解得5≤x＜15，∴x＝6或x＝9．
答：若苗圃园的面积为108 m2，x的值为6或9．
(2)不能，理由如下：
由题意可知(30－2x)x＝120，
∴x2－15x＋60＝0，
∴Δ＝152－4×60＝－15＜0，
∴此方程无解．
答：苗圃园的面积不能达到120 m2．
小结：（1）关键在于表示出另一边长，注意检验x的取值范围；（2）通过判别式进行判断.
★9． 0.50 (2023东营)如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
解：设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m．
(1)根据题意，得x(72－2x)＝640，
解得x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40(m)，
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32(m)．
答：当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈．
(2)不能，理由如下：
由题意，得x(72－2x)＝650，
化简，得x2－36x＋325＝0，
∵Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
答：羊圈的面积不能达到650 m2．(共20张PPT)
第1课时 一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．了解一元二次方程的概念．
2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及其有关的概念．
3．(2022新课标)能针对具体问题列出方程．
抽象能力 运算能力
模型观念 应用意识
(1)只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 的整式方程，叫做一元二次方程．
(2)例如：方程x2＋4x－12＝0就是一元二次方程．
一元二次方程的定义
2
1．下列方程是一元二次方程的是( )
A．x2－3x＝x2＋2
B．ax2＋bx＋c＝0
C．3x2－＋2＝0
D．2x2＝1
D
(1)一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
其中ax2是二次项， 是二次项系数；
bx是 ， 是一次项系数；
c是常数项．
(2)注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号；二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．
b
一次项
一元二次方程的一般形式
a
2．将一元二次方程x(x＋4)＝8x＋12化为一般形式，正确的是( )
A．x2＋4x＋12＝0 B．x2＋4x－12＝0
C．x2－4x－12＝0 D．x2－4x＋12＝0
C
3．(人教9上P4)将关于x的一元二次方程5x2－1＝4x化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项的值分别是( )
A．5，4，1 B．5，4，－1
C．5，－4，1 D．5，－4，－1
D
一元二次方程的根
(1)一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解．
(2)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
4．(人教9上P4)下列哪些数是一元二次方程x2＋x－12＝0的根？为什么？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
解：当x＝－4时，有x2＋x－12＝(－4)2＋(－4)－12＝0；
当x＝3时，有x2＋x－12＝32＋3－12＝0．
故方程x2＋x－12＝0的根为－4或3．
5．(2024深圳模拟)已知x＝1是关于x的一元二次方程x2＋kx－6＝0的一个根，则k的值为 ．
5
小结：一元二次方程必须同时满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2.注意整理后的二次项系数a≠0.
6．【例1】(人教9上P3改编、北师9上P32改编)下列是一元二次方程的是 (填序号)．
①4－7x2＝0；②ax2＋bx＋c＝0；
③(2x－2)(x－1)＝2x2；④3x2－＝0．
①
11．填空：
(1)关于x的方程(k－1)x2－3x＋2＝0是一元二次方程，则k的取值范围是 ；
(2)要使xk＋1＋x＋2＝0是关于x的一元二次方程，则k＝
．
1
k≠1
小结：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），等式的右边为0，等式的左边的各项系数都带符号.
7．【例2】(人教9上P3、北师9上P32改编)把方程3x(x－1)＝5(x＋2)化为一般形式，得 ；其中二次项系数是 ，一次项是 ，常数项是 ．
－10
－8x
3
3x2 －8x－10＝0
方程 一般形式 a b c
3x2－5x＝1
(x＋2)(x－1)＝6
1
3
－8
－1
－5
1
x2＋x－8＝0
3x2－5x－1＝0
12．(人教9上P4改编、北师9上P32)把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数a、一次项系数b和常数项c：
8．【例3】(核心教材母题：人教9上P4、北师9上P35)根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x．
解：根据题意，得x(x－2)＝100，
化为一般形式，得x2－2x－100＝0．
核心教材母题：教材是新中考命题的依据，近年来广东省中考题中有很多道题的素材来源于人教版和北师大版教材.本书将两个版本重合的教材母题进行汇总，并作为课堂例习题呈现.
13．(核心教材母题：人教9上P4、北师9上P35)根据下列问题列方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：有一根1 m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.06 m2的矩形？
解：设围成矩形的长为x m，则宽为(0.5－x)m，
根据题意，得x(0.5－x)＝0.06，
化为一般形式，得x2－0.5x＋0.06＝0．
小结：代入后使方程左右两边相等的值即为方程的根.
9．【例4】方程x2－3x－4＝0的根是( )
A．0，3 B．1，－4
C．－1，4 D．－2，3
C
14．(2023晋城模拟)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝2，x2＝－4，则关于y的一元二次方程a(y＋1)2＋b(y＋1)＋c＝0的解是( )
A．y1＝2，y2＝－4 B．y1＝－1，y2＝－5
C．y1＝3，y2＝－3 D．y1＝1，y2＝－5
D
小结：（1）先将根代回到方程中，得到一个关于所求字母的方程，再求解这个方程即可；（2）不宜直接求字母的值时，注意用整体代入法.
10．【例5】(1)(人教9上P4改编)(2024泸州一模)已知x＝1是方程x2－3x＋c＝0的一个根，则实数c的值是 ；
(2)(2024宿迁一模)若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2 024－6a＋2b的值为 ．
2 020
2
★15． 0.45 已知m为方程x2＋3x－10＝0的根，求m3＋2m2－13m＋10的值．
解：∵m为方程x2＋3x－10＝0的根，
∴m2＋3m－10＝0，∴m2＋3m＝10，
∴原式＝m3＋3m2－m2－3m－10m＋10
＝m(m2＋3m)－(m2＋3m)－10m＋10
＝10m－10－10m＋10＝0．
备注：每课时带★的题目为提高题.（难度系数越小，题目越难）(共21张PPT)
第7课时 一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章 一元二次方程
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1．(2022新课标)了解一元二次方程的根与系数的关系．(取消星号)
2．会用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题．
抽象能力 运算能力
推理能力 应用意识
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为
x1＝，
x2＝，
则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ．
根与系数的关系
1．(1)若x1，x2是关于x的一元二次方程2x2－6x－1＝0的两个实数根，则
a＝ ，b＝ ，c＝ ．
x1＋x2＝－＝ ；
x1·x2＝ ＝ ．
3
－1
－6
2
－
(3)(2024江西模拟)设x1，x2是关于x的方程x2－12x＋1＝0的两个根，则x1＋x2－x1x2＝ ．
(2)(2023天津)若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则( )
A．x1＋x2＝6 B．x1＋x2＝－6
C．x1x2＝ D．x1x2＝7
11
A
根与系数的关系的应用
运用根与系数的关系求出方程的一个根与方程中的未知系数，或能求出与两个根有关的一些代数式的值．
答：k的值为 ，方程的另一个根为 ．
－3
解得
2
2．已知关于x的方程x2＋kx－3＝0，若该方程的一个根为1，求k的值及方程的另一个根．
解：设方程的另一个根为x2，则
3．【例1】(人教9上P15改编)如果关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么
x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ．
请根据这一结论，解决下列问题：
(1)若x1，x2是方程x2－2x－3＝0的两个实数根，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ；
(2)若2和3是方程x2＋px＋q＝0的两根，则
p＝ ，q＝ ．
6
－5
－3
2
q
小结：直接运用公式，注意符号的正确性.
－p
8．(1)(人教9上P16、北师9上P50改编)已知关于x的一元二次方程x2－3x＝15的两实数根为x1，x2，则x1＋x2＝( )
A．3 B．－3 C．1 D．－1
A
(2)若方程x2－x－4＝0的两个实数根为α，β，则α＋β＝
，α·β＝ ，
(α＋1)(β＋1)＝ ；
(3)若3和5是方程x2＋px＋q＝0的两根，则p＝ ，
q＝ ．
15
－8
－2
－4
1
4．【例2】若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为4和5，则这个方程为 ．
x2－9x＋20＝0
9．若某一元二次方程的两根为－3和6，写出一个满足题意的方程为 ．
x2－3x－18＝0(答案不唯一)
5．【例3】若一元二次方程x2＋x－2＝0的解为x1，x2，则
的值是 ．
小结：对所求式子变形，使其与x1+x2，x1x2有关.
10．若方程x2－x－3＝0的两个实数根为α，β，则α2＋β2＝
．
7
小结：解决这类问题有两种方法：（1）把已知的根代入方程求出字母的值，得到一元二次方程，解这个方程；（2）设方程的另一个根，根据根与系数的关系列出方程组求解.
6．【例4】(北师9上P51改编)关于x的一元二次方程2x2＋ax－4＝0的一个根是1，则a的值为 ，该方程的另一个根为 ．
－2
2
11．关于x的一元二次方程3x2－2x＋m＝0有两根，其中一根为x＝1，则m的值为 ，这两根的积为 ，该方程的另一个根为 ．
－
－1
－
7．【例5】(2023襄阳)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ＋3k，求k的值．
解：(1)Δ＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k＞0，解得k＞2．
(2)∵方程的两个根为α，β，
∴αβ＝3－k，∴k2＝3－k＋3k，
解得k1＝3，k2＝－1(不合题意，舍去)，
∴k的值为3．
小结：先求出αβ，再代入已知关系式，解方程求字母的值，特别要注意字母k的取值范围.
★12． 0.50 (2024泸州一模)已知关于x的方程x2－(m＋3)x＋3m＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若两根x1，x2满足－x1x2＝19，求m的值．
(1)证明：∵Δ＝［－(m＋3)］2－4×3m
＝m2－6m＋9＝(m－3)2，
∵(m－3)2≥0，∴Δ≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根．
(2)解：∵x1＋x2＝m＋3，x1·x2＝3m，－x1x2＝19，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝19，
∴(m＋3)2－3×3m＝19，
整理得m2－3m－10＝0，解得m＝5或m＝－2．
