2024-2025学年广西柳州六中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西柳州六中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则是的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件
3.已知个数，，的平均数为，方差为，则数，，的平均数和方差分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.某学生参与一种答题游戏，需要从，，三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得奖品．若该学生选择，，的概率分别为，，，答对，，的概率分别为，，，则其获得奖品的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，令，则下列说法正确的是( )
A. 函数的增区间为
B. 当有个零点时，
C. 当时，的所有零点之和为
D. 当时，有个零点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为
C. 若，则 D. 若，则与的夹角为
10.已知直线是函数图象的一条对称轴，则( )
A. B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减
11.已知一个正八面体如图所示，，则( )
A. 平面
B. 点到平面的距离为
C. 异面直线与所成的角为
D. 四棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设、均为正数，且，则的最小值为______．
13.函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象则函数的解析式为______．
14.世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式其中，，，分别为的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高，我们也称为“万能求积公式”例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，点在线段上，且，延长到，使设．
用表示向量；
若向量与共线，求的值．
16.本小题分
已知．
若角的终边过点，求；
若，求的值．
17.本小题分
某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这人根据其满意度评分值百分制按照，，，分成组，制成如图所示频率分直方图．
求图中的值；
求这组数据的平均数和中位数；
已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为：，若在满意度评分值为的人中随机抽取人进行座谈，求人均为男生的概率．
18.本小题分
已知的角，，的对边分别为，，，，，满足．
求；
若的面积为，且，点为边的中点，求的长．
19.本小题分
如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面．
求证：平面；
求与平面所成的角；
在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：，
为的中点，
，
可得，
而．
由，得，
与共线，
设，
即，
根据平面向量基本定理，得，
解得．
16.解：
，
若角的终边过点，则，
所以．
若，则，
所以．
17.解：由，解得．
这组数据的平均数为．
中位数设为，则，解得．
满意度评分值在内有人，其中男生人，女生人．记为，，，，，
记“满意度评分值为的人中随机抽取人进行座谈，恰有名女生”为事件，
从人中抽取人有：，，，，，，，，，
所以总基本事件个数为个，包含的基本事件个数为个，
所以 ．
18.解：的角，，的对边分别为，，，，，且，
所以，
可得，
由正弦定理可得，整理得到，
所以，
又，
故A；
因为，
因为，，
所以，可得，
又，
所以，，
所以的面积为，解得，
在中，由余弦定理可得．
19.证明：，是的中点，，
故四边形是菱形，从而，
沿着翻折成后，，，
又，
平面，
由题意，易知，，
四边形是平行四边形，故AE，
平面；
解：平面，
与平面所成的角为，
由已知条件，可知，，
是正三角形，，
与平面所成的角为；
假设线段上是存在点，使得平面，
过点作交于，连结，，如下图：
，，，， 四点共面，
又平面，，
四边形为平行四边形，故，
为中点，
故在线段上存在点，使得平面，且．
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