2024-2025学年江西省宜春市丰城市拖船中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省宜春市丰城市拖船中学高三（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知下列四个关系：
；
；
，；
．
其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.给出下列五个导数式：
；
；
；
；
．
其中正确的导数式共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.假设“物理好数学就好”是真命题，那么下列命题正确的是( )
A. 物理好数学不一定好 B. 数学好物理不一定好
C. 数学不好物理一定不好 D. 物理不好数学一定不好
10.若正实数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 有最大值为 B. 有最小值为
C. 有最小值为 D. 有最大值为
11.已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 若不等式的解集为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则 ______．
13.对于任意的，，函数满足，函数满足若，，则 ______．
14.对于函数和，及区间，存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上优于若在区间上优于，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知关于的不等式的解集为．
求，的值；
若，，且，求的最小值．
16.本小题分
已知函数，．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求的单调区间．
17.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求的值及方程的解；
当时，求函数的最大值与最小值．
18.本小题分
已知点，点为平面上的动点，过点作直线：的垂线，垂足为，且．
求动点的轨迹的方程；
过点的直线与轨迹交于点，两点，在，处分别作轨迹的切线交于点，求证：为定值．
19.本小题分
设函数，
证明：有两个零点；
记是的导数，，为的两个零点，证明：．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.解：因为解集为，
所以，解得；
由知，，，
所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
综上，最小值．
16.解：Ⅰ的定义域为，．
当时，，，
所以曲线在点处的切线方程为分
Ⅱ．
当时，，
所以当时，；当时，．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，令，得，．
当，即时，，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当，即时，
当时，；当或时，．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当，即时，
当时，；当或时，．
所以的单调递减区间为，
单调递增区间为，分
17.解：函数是定义在上的奇函数，
则对任意恒成立，即，
且
，得．
，
由，得，
，即，解得：；
，，
令，
则，．
其对称轴方程为，
，，，
函数的最大值为，最小值为．
18.解：设，则，有，
从而由题意．
得动点的轨迹的方程分
证明：设点为轨迹上一点，
直线：为轨迹的切线，有，消去得，，
其判别式，解得，有
设，，：，联立有，
消去得，，有，
根据式有，，解得，
从而，为定值．分
19.证明：由，得，即，
令，函数有两个零点，等价于有两个零点，
对求导数，可得，
因为当时，；当时，，
所以在上递减，在上递增．
结合，
知使得，使得，
所以函数存在两个零点，即函数有两个零点．
由可知函数的零点、满足：．
对求导数，可得，
欲证，即证，等价于，
令，
求导数得，
所以在上单调递减，结合，可知当时，．
而，由，得，且在上单调递增，
由此可得，即，命题得证．
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