2024-2025学年四川省泸州市合江县马街中学高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年四川省泸州市合江县马街中学高三（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，集合，则集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则( )
A. B. C. D.
5.，都是复数，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B.
C. D. ，则
6.已知函数在上单调递减，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小哥直播间，邀请某“网红”来现场带货在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒瓶假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年天中任何一天年共天，在远小于时，近似地，，其中如果要保证直播间至少两个人的生日在同一天的概率不小于，那么来到直播间的人数最少应该为( )
A. B. C. D.
8.函数在区间上所有零点的和等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若， D. 的最小值为
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在区间上单调递减
C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
D. 若，则
11.关于函数，，下列说法正确的是( )
A. 对任意的，
B. 对任意的，
C. 函数的最小值为
D. 若存在使得不等式成立，则实数的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数求在处的切线方程______．
13.已知函数，且，则的值为______．
14.已知二次函数，且，若不等式恒成立，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线的对称轴；
已知，，求的值．
16.本小题分
设函数，其中．
若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；
若对任意的，，都有，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和；
若，令，求数列的前项和．
18.本小题分
已知，，是自然对数的底数．
当时，求函数的极值；
若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
当时，若满足，求证：．
19.本小题分
已知正整数，集合，，，，，对于中的元素，，定义．
令．
Ⅰ直接写出的两个元素及的元素个数；
Ⅱ已知，，，，满足对任意，都有，求的最大值；
Ⅲ证明：对任意，，，，总存在，使得．
参考答案
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15.解：
，
令，，则，，
故函数的对称轴为，；
因为，
所以，，
即，
所以，
则
．
16.解：因为，
所以在区间上单调减，在区间上单调增，
且对任意的，都有，
若，则，
在区间上单调递减，在区间上单调递增．
“对任意的，都有”等价于“在区间上，”．
当，即时，，
，得，所以；
当，即时，，恒成立，故．
综上所述，，实数的取值范围为区间．
设函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以“对任意的，，都有”等价于“”．
当时，，，
由，得，因此；
当时，，，
由，得，因此 ；
当时，，，
由，得，因此；
当时，，，
由，得，因此 ．
综上所述，实数的取值范围为区间
17.解：设等差数列的公差为，由，，
可得，解得，
所以；
由知，，，
所以；
因为，，所以，
，
，
得
，
所以．
18.解：当时，，定义域为，
则，
令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以在处取到极小值，无极大值；
方程，
显然当时，方程不成立，则，，
若方程有两个不等实根，即与有个交点，
则，
当或时，，在区间和上单调递减，
并且时，，当时，，
当时，，严格增，时，当时，取得最小值，，
作出函数的图象，如下图所示：
与有个交点，
则，
即的取值范围为；
证明：，
令，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意，则，，
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，
即证，
令，
即，，
由均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以函数在上严格增，
由，可得，即，
所以，
又函数在上严格减，
所以，
即得证．
19.解：Ⅰ，，，，，，，
，
中个分量中恰有个，
的元素个数为．
Ⅱ对于的非空子集，
设，，这里是的第个分量，
定义，规定，
设，，，，令，，，，
我们先证明引理：，．
反证法：，，令，
设，，，，满足，其中，，，，
，，，，，且，，
，，这与矛盾，引理证毕，
回到原题，由引理，解得，
，，，，符合题意，
综上，当时，的最大值为．
Ⅲ证明：共有个非空子集，记为，，，，，
则在每分量得奇偶性下恰有种不同的状态，
由知，
由抽屉原理，存在两个不同的的非空子集，，
设，
，有与奇偶性相同，，，，，
令，由于，，
令，则，
且都为偶数，，，，，
不妨设，
则为偶数，
而为奇数，故，且为奇数，
故必存在一个，使得为奇数，
又由于，从而．
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