2024-2025学年海南省北京师大万宁附中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年海南省北京师大万宁附中高三（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的( )
A. 充要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设，，为实数，且，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则的大致图象为( )
A. B.
C. D.
5.若正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.设函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，圆锥的高，底面直径，是圆上一点，且，若与所成角为，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链数学中把这种两端固定的一条粗细与质量分布均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为怠链线如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断正确的是( )
A. 为偶函数 B. 为奇函数
C. 的最小值是 D. 的最大值是
10.给出下列命题，其中正确的是( )
A. 幂函数图象一定不过第四象限
B. 函数的图象过定点
C. 是奇函数
D.
11.对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则( )
A. B.
C. D. 在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，若，，则 ______．
13.若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是______．
14.已知定义在上的函数满足，，为的导函数，当时，，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若的角平分线交边于点，且，求边．
16.本小题分
已知函数在和处取得极值．
求，的值及的单调区间；
若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平，开展罚点球积分游戏，开始记分，罚点球一次，罚进记分，罚不进记分已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为，罚不进的概率为，每次罚球相互独立．
若该队员罚点球次，记积分为，求的分布列与数学期望；
记点球积分的概率为．
(ⅰ)求，，的值；
(ⅱ)求．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，．
求证：；
若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
求的方程；
记的右顶点为，过点作直线，与的左支交于，两点，且，，为垂足证明：存在定点，使得为定值．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：因为
所以由正弦定理可得：，
因为，所以；
可得．
又，故．
如图所示，
在中，由正弦定理有：，
所以，
结合，所以，
所以，
可得，
所以是等腰三角形，且，
所以．
16.解：函数在和处取得极值，
，
，，
联立解得：，．
，
令，解得和，
时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增．
故和是的极值点，
故函数单调递增区间为，；函数单调递减区间为．
由知，在单调递减，在单调递增，
要使得对任意，不等式恒成立，则需且，
故且，
解得或，
的取值范围是．
17.解：根据题意可知，，，，，
又，
，
的分布列为：
；
由题意得：；
(ⅱ)由题意得：要得分，必须满足以下情形：先得分，再点个球不进，此时概率为，
或先得分，再点个球进球，此时概率为，
这两种情况互斥，，，
是首项为，公比为的等比数列，
，
，
．
18.证明：设，相交于点，因为，
所以四边形是菱形，所以，且为的中点，
连接，因为，所以，
因为，平面，，所以平面，
因为平面，
所以；
解：过点作平面的垂线，
以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因为，，所以是二面角的平面角，
所以，且结合已知有，
因为在平面内，所以由已知及平面几何的性质，得，
所以，
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则，，
所以是平面的一个法向量，
所以，
，，
所以，，
设直线与平面所成的角为，
所以，．
即直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：因为双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为，
所以，
解得，，
则双曲线方程；
证明：由知，
当直线斜率存在时，
不妨设直线方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
因为，
所以，
整理得，
即，
此时，
可得，
即，
整理得，
即，
解得或，
将代入直线的方程中，此时直线的方程为，经过定点，不符合题意；
将代入直线的方程中，此时直线的方程为，经过定点，
当直线的斜率不存在时，
不妨设直线的方程为，
因为，
所以为等腰直角三角形，
可得，
所以，
整理得，
解得舍去或，
所以直线过定点，
综上可知，直线恒过定点，
因为，此时存在以为斜边的直角三角形，
所以存在定点为中点满足，此时．
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