广东省大湾区2025届高三上学期9月统一调研考试数学试题（含答案）

广东省大湾区2025届高三上学期9月统一调研考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，在复平面内对应的点为，则( )
A. B.
C. D.
3.若，则可能取值的集合为( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
5.甲、乙等人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知函数的定义域为，且，函数的图象关于直线对称，则( )
A. B. C. D.
7.已知正棱锥的侧棱长为，则其体积可能为( )
A. B. C. D.
8.记为数列的前项和，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知样本数据，则这组数据的( )
A. 众数为 B. 平均数为 C. 上四分位数为 D. 方差为
10.若某等腰直角三角形的其中两个顶点恰为椭圆的两个焦点，另一个顶点在上，则的离心率可能为( )
A. B. C. D.
11.记函数在区间的极值点分别为，，函数的极值点分别为，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的前项和为，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ．
13.已知球是某圆锥内可放入的最大的球，其半径为该圆锥底面半径的一半，则该圆锥的体积与球的体积之比为 ．
14.设，，三点在棱长为的正方体的表面上，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记中角，，所对的边分别为，，已知．
求；
记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
求的极值；
讨论在区间上的最大值．
17.本小题分
如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．

证明：平面平面；
若二面角的正切值为，求四面体与四面体的体积之比．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，等轴双曲线和的中心均为，焦点分别在轴和轴上，焦距之比为，的右焦点到的渐近线的距离为．
求，的方程；
过的直线交于，两点，交于，两点，与的方向相同．
(ⅰ)证明：；
(ⅱ)求面积的最小值．
19.本小题分
设离散型随机变量，的取值分别为，定义关于事件“”的条件数学期望为：已知条件数学期望满足全期望公式：解决如下问题：
为了研究某药物对于微生物生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第天上午，实验人员向培养皿中加入个的个体．从第天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，的每个个体立即以相等的概率随机产生次如下的生理反应设的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立：
直接死亡；分裂为个个体．
设第天上午培养皿中的个体数量为规定，．
求；
求；
已知，证明：随着的增大而增大．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 或
14.
15.解：，
，则，
，
，解得，
；
根据正弦定理得：，
设的内心为，易知，
由，则，
由余弦定理得：，
即，当且仅当时取等号，
，
，
，
．

16.解：函数定义域为，求导得，
当或时，，当时，，
因此函数在处取得极小值，在处取得极大值，
所以函数的极小值为，极大值为．
由知，函数在上单调递减，在上单调递增，
当，即时，在上单调递减，；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
由，得，，
当时，，，；
当时，，，；
当时，在上单调递增，；
当时，在上单调递增，在上单调递减，；
当时，在上单调递减，，
所以当或时，函数的最大值为；
当时，函数的最大值为；
当时，函数的最大值为．

17.解：由题设得，，从而．
又是直角三角形，所以．
取的中点，连接、，则且，
又是正三角形，故．
则中，，又，
所以，故．
而且都在面，故面，
而面，所以平面平面．

设，，结合结论，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，易知平面的法向量为，
设，由，可得，得，
设面的法向量为，则
取，得，所以，
因为二面角的正切值为，则，
又，解得，所以，
所以到底面的距离与到底面的距离之比为，
所以四面体与四面体的体积之比．


18.解：由题设可设，这里．
易知渐近线为，焦距为， 的右焦点，
由题设可知，解得．
所以的方程为，的方程为．
设直线，
联立直线和的方程 ，得．
为使直线和均有个交点，必须有，，
解得且．
由韦达定理可得
注意到，因此线段和线段 具有相同的中点．
记上述中点为，注意到，所以．
(ⅱ)由可知和的面积相等．
记的面积为 ，的面积为，的面积为．
由与的方向相同可知．
因为，
同理
所以，
，
设
则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
因此，
当且仅当时，等号成立，
因此，面积的最小值为．

19.解：在事件发生的条件下，如果在第五天下午加入药物后，有个个体分裂，
则，，
所以，．
由可类似得到：在事件发生的条件下，如果在第天下午加入药物之后，
有个个体分裂，则的取值为．
在事件发生的条件下，令随机变量表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目，
则且．
因此．
设的取值集合为，则由全期望公式可知
．
这表明是常数列，所以．
由可知
，
这表明是公差为的等差数列．
又因为，所以，
从而．
可以看出，随着的增大而增大．

第1页，共1页