2024-2025学年安徽省合肥四中高三（上）诊断数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年安徽省合肥四中高三（上）诊断数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.函数的区间的图像大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的( )
函数的图象关于直线对称；
函数的图象关于点中心对称；
函数的周期为；
．
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.设函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设，，，则下列大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 与表示同一个函数
C. 关于的不等式的解集为，，若，则
D. 若，，则的取值范围为
10.已知，，，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 的最小值是 D. 的最小值是
11.已知，分别是函数和的零点，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的图象关于点成中心对称图形，，则实数的取值范围是______．
13.已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为 ．
14.已知函数关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共4小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的极小值为，其导函数的图象经过，两点．
求的解析式；
若曲线恰有三条过点的切线，求实数的取值范围．
16.本小题分
随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为万元，最大产能为台．每生产台，需另投入成本万元，且由市场调研知，该产品每台的售价为万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
写出年利润万元关于年产量台的函数解析式利润销售收入成本；
当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的单调区间和极值；
Ⅱ已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．证明当时，．
18.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
已知函数有两个零点，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：已知，函数定义域为，
可得，
因为，且的图象经过，两点，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则当时，函数取得极小值，极小值，
又因为，，
所以，，
联立，解得，，，
则；
不妨设切点为，
易知，
因为，
所以，
则切线方程为，
因为切线方程经过点，
所以，
若曲线恰有三条过点的切线，
此时方程有三个不同实数解，
不妨设，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，极大值，
当时，函数取得极小值，极小值，
此时需满足，
解得，
故的取值范围为．
16.解：由题意可得：当时，，
当时，，
故．
若，，
所以当时，万元，
若，，当且仅当时，即时，
故万元．
所以该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元．
17.解：求导函数，，令，解得
由，可得；由，可得
函数在上是增函数，在上是减函数
函数在时取得极大值；
证明：由题意，，
令，即，
，
当时，，，，，
函数在上是增函数
，时，
当时，．
18.解：函数的定义域为，．
当时，由可得，由可得，
此时函数的减区间为，增区间为；
当时，由可得，由可得，
此时，函数的增区间为，减区间为．
综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为．
函数的定义域为，
因为函数在上有两个零点，即有两个不同的正实数根，
即有两个不同的正实数解，
即有两个不同的正实数解，
令，则，可得，
令，其中，则，
所以函数在上单调递增，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的值域为，所以，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
且当时，；当时，，
因为函数有两个不同的零点，则直线与函数的图象有两个交点，如下图所示：
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是．
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