2024-2025学年江苏省扬州市宝应中学高三（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省扬州市宝应中学高三（上）期初
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则“”是“在区间上单调递增”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知为奇函数，则( )
A. B. C. D.
5.某圆锥母线长为，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为( )
A. B. C. D.
6.已知随机变量，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知角，满足，，则( )
A. B. C. D.
8.已知及其导函数的定义域均为，记，，若关于对称，是偶函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 为偶函数
D. 在区间的最小值为
11.函数是一个在生物学中常见的型函数，也称为型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数记为函数的导函数，则( )
A. B. 函数是单调减函数
C. 函数的最大值是 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ______．
13.已知正实数，满足，则的最小值是______．
14.已知的定义域为且，对于任意正数，都有，且当时，，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数是定义域为的偶函数．
求实数的值；
若对任意，都有成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，，设．
时，求函数的值域；
若，且，求的值．
17.本小题分
如图，三棱锥中，，，，是棱的中点，点在棱上．
下面有三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取并证明只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分；
平面平面；
；
．
若三棱锥的体积为，以你在所选的两个条件作为条件，求平面与平面所成二面角的大小．
18.本小题分
在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立．
若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
求甲获得第四名的概率；
求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
函数与的图像关于对称，求的解析式；
在定义域内恒成立，求的值；
求证：，．
参考答案
1.
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12.．
13.
14.
15.解：由偶函数定义知：，
即，
对成立，．
由得：；
，，
当且仅当即时等号成立，
，
，即，解得：或 ，
综上，实数的取值范围为．
16.解：因为，，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以函数的值域为；
因为，所以，
因为，所以，
所以，，
所以，
所以．
17.解：证明：选择，可证明．
因为，是线段的中点，所以．
又平面平面，平面平面，且平面；
所以平面，又平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，又平面，所以，
若选择，可证明．
因为，是线段的中点，所以．
又平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，，平面，
所以平面，又平面，所以．
选择，可证明．
因为，是线段的中点，所以，
因为，，，平面，，
所以平面，又平面，所以，
，，平面，
所以平面，又 平面，
所以平面平面；
如图，延长交的延长线于，连接，
则平面与平面．
由三棱锥的体积为，且，
，得，解得．
又由，及是线段的中点，，
在等腰直角三角形中，，，
连结，在中，，，，
在等腰直角三角形中，，，
在中，，
在中，由，所以，
又由知，平面，是在面内射影，
由三垂线逆定理得：，
则即为二面角的平面角，
，
所以面与面所成二面角的大小为．
18.解：若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
记“甲获得第四名”为事件，则；
记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量，
则的所有可能取值为，，，
连败两局：，
可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
，
，
故的分布列如下：
故数学期望，
则甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望为；
除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军，
“双败淘汰制”下，甲获胜的概率，
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为，
由，且，
所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，两种赛制甲夺冠的概率一样．
19.解：依题意，设图像上任意一点坐标为，
则其关于对称的点在图像上，
则，则，
故，；
令，，
则在在恒成立，
又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，
，，
下证当时，在恒成立，
令，，
当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
故，在上恒成立，又，
则时，恒成立，
综上，．
由可知：，
则，即，
则，
又由可知：在上恒成立，
则在上恒成立，当当且仅当时取等，
令，，则，
即，
则，
综上，，即证．
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