2024-2025学年湖南省常德市桃源一中高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省常德市桃源一中高三（上）月考
数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.的值是 ( )
A. B. C. D.
3.复数满足：其中是虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知离心率为的双曲线与椭圆有相同的焦点，则( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则的值可能为( )
A. B. C. D.
11.定义：为集合相对常数的“余弦方差”，若，则集合相对的“余弦方差”的取值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的图象在处的切线方程为______．
13.已知向量，，若，则 ______．
14.若函数满足在定义域内的某个集合上，对任意，都有是一个常数，则称在上具有性质设是在区间上具有性质的函数，且对于任意，，都有成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记是公差不为的等差数列的前项和，若，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ求使成立的的最小值．
16.本小题分
设函数．
求函数的最小正周期和单调递减区间；
在锐角中，内角，，的对边分别是，，，且，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在多面体中，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
如图，在四边形中，，，，．
求的大小；
求的面积的最大值；
若，求的面积．
19.本小题分
对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．
若为实数，函数，是“跃点”函数，求的取值范围；
若为非零实数，函数，是“跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“跃点”，求的值；
若为实数，函数，是“跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“跃点”，求的取值范围．
参考答案
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15.解：Ⅰ是公差不为的等差数列的前项和，若，．
根据等差数列的性质，，故，
根据可得，
整理得，可得不合题意，
故．
Ⅱ，，
，
，即，
整理可得，
当或时，成立，
因为为正整数，
故的最小正值为．
16.解：函数
，
所以函数的最小正周期为；
令，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为；
在锐角中，由，
利用正弦定理得，
所以，其中，
所以；
由，
得，
所以，
所以，
所以，
即的取值范围是．
17.证明：因为，，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为，平面，
所以，，
由正方形知，，
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以，
所以平面．
解：由得，，
设平面的法向量为，则
取，则，，所以，
由知平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：在中，由正弦定理得，
因为，，所以，
因为，所以为锐角，可得，
所以；
在中，，
由余弦定理得，
整理得，当且仅当时取等号，
所以．
当时，的面积取得最大值；
因为，所以舍负．
可得．
在中，由正弦定理得，即，解得．
所以，即的面积为．
19.解：函数的导函数，
若函数是“跃点“函数，则方程有解，
即有解，
又，
所以，
所以
函数的导函数．
若该函数是“跃点“函数，
则方程有解，
即有解，
所以有解，
当时，方程成立，
所以是方程的一个实数根，
当时，，
当时，方程有两个相等的实数根，
此时方程的根为，，，
所以函数有两个不同的“跃点“，
当时，方程无解，
此时方程的根为，则函数有一个“跃点”，
当时，方程有两个不相等的实数根，
若函数有两个不同的“跃点”，则其中一个实数根为，
则，解得，
综上所述，的值为或．
函数的导函数为，
若该函数是“跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“跃点”，
则方程，即有一个不同的实数根，
设，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在，上，单调递减，
又时，；时，，
所以当时，取得极小值，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
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