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重庆市2024-2025学年八年级数学上学期
能力测评卷（人教版）
第十二章 全等三角形单元检测卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等图形的概念，形状和大小完全相同的图形是全等图形，据此即可求解．
【详解】解：根据全等图形的概念，只有B选项中的两个图形形状和大小完全相同，是全等图形，
故选：B．
2．已知图中的两个三角形全等，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等，得出即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
3．如图所示，，则的对应角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等解答，掌握全等三角形的对应边相等、 全等三角形的对应角相等是解题的关键 ．
【详解】解：，
的对应角为，
故选：A．
4．如图，已知，则不一定能使的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形全等的判定，熟记三角形全等的判定方法是关键．根据全等三角形的判定定理、、、分别进行分析即可．
【详解】解：A、由，，，可利用定理判定，故此选项不合题意；
B、，，是边边角，则与不一定全等，故此选项符合题意；
C、由，，，可利用定理判定，故此选项不合题意；
D、由，，，可利用定理判定，故此选项不合题意；
故选：B．
5．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的对应角相等是正确解答本题的关键．
由作法易得，，，依据定理得到≌，由全等三角形的对应角相等得到．
【详解】解：由作法易得，，，
在与中，
，
≌，
全等三角形的对应角相等．
故选：D．
6．如图，是的平分线，是上一点，于点，，则点 到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
过点P作于E，根据角平分线的性质定理解答即可．
【详解】解：过点P作于E．
是的平分线，，
，
故选：A．
7．如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据已知条件结合全等三角形的判定方法，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即：，
∵，
∴，
∵，
∴，
综上，共有4对全等三角形；
故选D．
8．如图，在中，平分交于点 D，，垂足为点E，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，能求出和是解题的关键．
根据角平分线定义和性质得出，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，求出，再求出的周长即可解答．
【详解】解：∵、平分交于点 D，
∴，
在和中，
,
∴，
∴，
∵，
∴，
∵,
∴的周长为．
故选：D．
9．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键．
在上取一点E，使，连接，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，
又由垂线段最短得：当时，取得最小值，
，
，
解得，
即的最小值为5，
故选：C
10．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点，、交于点F．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③；④．
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理：
①根据三角形内角和定理可得，然后根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断；
②当是的中线时，，进而可以进行判断；
③作的平分线交于点，可得，证明，，可得，，进而可以判断；
④过作，于点，，由③知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，，进而可以进行判断．
【详解】解：①在中，，
，
平分，平分，
，，
，故①正确；
②只有当是的中线时，，故②错误；
③如图，作的平分线交于点，
由①得，
，
，
，
，，，，
∴，，
，，
，故③正确；
④过作，于点，，
由③知，为的角平分线，
，
，
，，
，故④正确．
综上所述：正确的有①③④，共3个，
故选：B.
填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，，则 ．
【答案】/105度
【分析】本题考查了全等三角形的性质：对应角相等，可得，最后根据三角形内角和即可求解；
【详解】解：∵，
∴
∴
故答案为：
12．“两个锐角对应相等” （填“能”或“不能”）判别两个直角三角形全等．
【答案】不能
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，即可解答．
【详解】解：“两个锐角对应相等”，AAA不能判别两个三角形全等．
故答案为：不能．
13．如图，在中，，，是过A点的一条直线，且点B，C在两侧，于点D，于点E，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得出，，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：∵于点D，于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．如图，在中，，，点D在边上，，点E，F在线段上，，若的面积为1.4，的面积为18，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质和三角形的面积求法．先证，得出，由的面积为18，，得出，，据此求解即可．
【详解】∵，，，
，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵的面积为18，，
∴，，
∵的面积为1.4，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，当点运动结束时，点随之结束运动，当点运动到某处时有与全等，则的运动速度是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，由与全等，分两种情况：，，，，建立方程组求得答案即可，熟练掌握知识点的应用及分情况分析是解题的关键．
【详解】设它们运动的时间为，点的运动速度为，则，，，
若，
则，，可得：，，
解得：，；
若，
则，，可得：，，
解得：，；
综上：的运动速度为或，
故答案为：或．
16．如图，在四边形中，平分，，，垂足为点E，的面积为38，的面积为50，则的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形全等的判定与性质．
过点D作交的延长线于点F，由角平分线的性质得出，利用“”证明和，再根据题意得出方程，解方程即可得出的面积．
【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点F，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∴
设，
∴，
解得：，
∴的面积为6．
故答案为：6
17．如图，在中，，，将沿过点B的直线折叠，使点C落在点处，折痕是，延长交边于点M，若是的中点，则图中的的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠性质，全等三角形的性质与判定，先由三角形内角和定理求出，再由折叠的性质可得由折叠的性质可得，，证明，即可得到．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∵是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．如图，，，，、分别为、上的两个动点，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】由“”可证 ，可得，，由，可得当点，点，点，点A共线时，有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
，，，
，
，
同理可得：，
，
当点，点，点，点共线时，有最小值，即最小值为的长度，
有最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，全等三角形的判定和性质，证明，是本题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共78分，其中第19题8分，第20-26题各10分）
19．如图，已知，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，根据，得到，证明，即可证明结论．
【详解】证明：，
，即．
在和中，
，
．
20．如图，，经过点D．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．
（1）利用证明，即可；
（2）根据全等的性质，推出四边形的面积等于的面积，进行求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
．
21．如图，在中，．
(1)尺规作图：在上有一点，连接，并在 的延长线上取点，使，连接，作的平分线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（）的条件下，求证：．
【答案】(1)作图见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）以点为圆心，以长为半径画弧与的延长线的交点即为点，根据角平分线的作法，作出，最后连接即可；
（）由，可得，由角平分线的定义可得，再利用“边角边”证明即可求证；
本题考查了全等三角形的判断与性质，角平分线的作法和性质，正确画出图形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，点和射线、线段即为所求；
（2）证明：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
22．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分．
(1)求证：平分；
(2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和．
【答案】(1)见解析
(2)20
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键．
（1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答；
（2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答．
【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E．
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴．
∴，
∴平分；
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
即．
∴，
故线段与的长度之和为20．
23．如图甲，已知在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)说明．
(2)说明．
(3)已知条件不变，将直线绕点C旋转到图乙的位置时，若、，则_____．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由垂线的定义得出，再由同角的余角相等得出，最后利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，，即可得证；
（3）由垂线的定义得出，再由同角的余角相等得出，最后利用证明，得出，，即可得解．
【详解】（1）证明：∵于D，于E．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∴；
（3）证明：∵于D，于E．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：2．
24．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，，，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)10
【分析】（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数；
（2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，，
，
（2）证明：过点E作交于点G，交于点H，
∵，，
∴，
由（1）可知，，
平分，
，，
，
平分，，，
，
，
，，
平分；
（3）解：，
，，，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
25．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半；
(2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度．
【答案】(1)秒或秒
(2)cm/s或cm/s
【分析】本题主要考查了直角三角形综合，画出相应图形，熟练掌握直角三角形性质，三角形中位线性质，全等三角形的的性质，分类讨论，是正确解答的关键．
（1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为秒；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为秒；
（2）分两种情况，当点P在上， ，Q的移动速度；②当点P在上， ，，点P移动的距离为32cm，点Q移动的距离为31cm，∴点Q移动的速度为 ．
【详解】（1）当点P在上时，如图①﹣1，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
∴点P移动的距离为，
∴移动的时间为：秒；
当点P在上时，如图①﹣2
∵的面积等于面积的一半；
∴，
∴点P移动的距离为，
∴移动的时间为：秒；
故答案为：秒或秒；
（2）∵，
∴对应顶点为A与D，P与E，Q与F；
当点P在上，如图②﹣1所示，
∵，
∴点Q移动的速度为；
当点P在上，如图②﹣2所示：
∵，，
∴点P移动的距离为，点Q移动的距离为，
∴点Q移动的速度为；
故P、Q两点运动过程中的某一时刻，恰好时，点Q的运动速度为或．
26．已知：在中，，点D在上，连接AD，且
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点E为的中点，过点E作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点F，G，H，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E分别作于点M，于点N，若，求的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】本题考查三角形综合应用，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形面积及线段和差等知识，解题的关键是掌握并能熟练应用全等三角形判定定理．
（1）由知因所以 ，可得， 而，即得；
（2）过B作交于M，由，可证，得，从而又，点E为的中点，可证，得，即得；
（3）连接，由，得，而，即得，有，故 ，结合已知得即得
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）证明： 过B作交于M，如图：
由已知得：，
由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，如图：
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
．
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能力测评卷（人教版）
第十二章 全等三角形单元检测卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知图中的两个三角形全等，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，，则的对应角为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，则不一定能使的条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的平分线，是上一点，于点，，则点 到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．如图，在中，平分交于点 D，，垂足为点E，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．6
10．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点，、交于点F．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③；④．
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，，则 ．
12．“两个锐角对应相等” （填“能”或“不能”）判别两个直角三角形全等．
13．如图，在中，，，是过A点的一条直线，且点B，C在两侧，于点D，于点E，，，则 ．
14．如图，在中，，，点D在边上，，点E，F在线段上，，若的面积为1.4，的面积为18，则的面积为 ．
15．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，当点运动结束时，点随之结束运动，当点运动到某处时有与全等，则的运动速度是 ．
16．如图，在四边形中，平分，，，垂足为点E，的面积为38，的面积为50，则的面积为 ．
17．如图，在中，，，将沿过点B的直线折叠，使点C落在点处，折痕是，延长交边于点M，若是的中点，则图中的的度数为 ．
18．如图，，，，、分别为、上的两个动点，则的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共78分，其中第19题8分，第20-26题各10分）
19．如图，已知，，．求证：．
20．如图，，经过点D．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
21．如图，在中，．
(1)尺规作图：在上有一点，连接，并在 的延长线上取点，使，连接，作的平分线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（）的条件下，求证：．
22．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分．
(1)求证：平分；
(2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和．
23．如图甲，已知在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)说明．
(2)说明．
(3)已知条件不变，将直线绕点C旋转到图乙的位置时，若、，则_____．
24．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，，，且，求的面积．
25．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半；
(2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度．
26．已知：在中，，点D在上，连接AD，且
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点E为的中点，过点E作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点F，G，H，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E分别作于点M，于点N，若，求的面积．
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