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重庆市2024-2025学年八年级数学上学期
能力测评卷（人教版）
轴对称单元检测卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．2024年金华“5·18国际博物馆日”系列活动开幕式在金华市博物馆举办，下面四幅图是我市一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，掌握把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形成为解题的关键．
根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点关于y轴的对称点的坐标是，即点P的坐标为关于y轴对称的点的坐标．
【详解】点 关于y轴的对称点的坐标是，
故选C．
3．满足下列条件的三角形，不一定是等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是的三角形
B．有两边相等且是轴对称图形的三角形
C．有一个内角是且是轴对称图形的三角形
D．三边都相等的三角形
【答案】B
【分析】本题考查的是等边三角形的判定，根据等边三角形的判定方法是解本题的关键．
【详解】解：有两个内角是的三角形是等边三角形，故A正确；
有两边相等且是轴对称图形的三角形不一定是等边三角形；故B错误；符合题意；
有一个内角是且是轴对称图形的三角形是等边三角形．故C正确；
三边都相等的三角形是等边三角形，故D正确；
故选 B
4．如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
延长至点，使，连接，证明，再运用全等三角形的性质可得，，然后运用等腰三角形的性质可得，进而求解即可
【详解】解：如图，延长至点，使，连接．
因为，，
所以．
所以，．
因为，
所以．
又因为，
所以，
所以．
所以．
故选B．
5．如图，中，，垂直的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点设交于点O，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，最大面积为．
【详解】解：延长交于点H设交于点．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
当时，的面积最大，最大面积为．
图中两个阴影部分面积之差的最大值为，
故选：C．
6．已知点和关于轴对称，则值为（ ）
A．0 B． C．1 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据点和关于轴对称，可得，，求出和的值，进一步计算即可．
【详解】解：点和关于轴对称，
，，
解得，，
，
故选：B
7．等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟知以上知识是解题的关键．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：
当腰为时，，所以不能构成三角形；
当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：B．
8．如图，内一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，则的周长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由与关于对称，得到为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，同理可得，由，等量代换可求得三角形的周长．此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键．
【详解】解：与关于对称，
为线段的垂直平分线，
，
同理，与关于对称，
为线段的垂直平分线，
，
，
则的周长为．
故选：C．
9．如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质和平行线的性质，先由等边对等角和三角形内角和定理求出，再由平行线的性质得到，则可由折叠的性质得，再根据平角的定义即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
故选：C．
10．如图，在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点，下列五个结论：①；②；③；④；⑤连接，若，则，其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角两锐角互余，等腰三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识，证明，可得，故①正确；由，可得，再证明为等腰三角形，从而得到，进而得到，易知，故②正确；结合可得，进而证明，故③正确；根据题意无法确定的大小关系，则无法得到，故④错误；结合三角形中线的性质可得，，进而可得，故⑤正确；熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴ ，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
根据题意无法确定的大小的大小关系，
无法得到，故④错误；
∵，
∴，，
∴，
即，
又∵，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有①②③⑤，
故选：．
填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ．
【答案】
【分析】本题考查钟表的镜面对称问题，属于左右对称，数字的镜面对称数字是，据此即可求解．
【详解】解：此刻的实际时间应该是，
故答案为：
12．中，，则 ° ．
【答案】50
【分析】本题主要考查了等腰三角形的各角之间的关系，确定等腰三角形的顶角，再结合计算即可．
【详解】∵，
∴．
故答案为：50．
13．在直角坐标系中，点和点关于轴对称，若点的坐标是，则点的坐标是 .
【答案】
【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据两个点关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】因为点M点N关于x轴对称，点M的坐标是，
所以点N的坐标是．
故答案为：．
14．如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出．
求出，由线段垂直平分线的性质推出．
【详解】解：，，
，
在的垂直平分线上，
．
故答案为：3．
15．如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质．根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，然后根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，从而得到．
【详解】解：是的平分线，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
．
故答案为：4．
16．如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】过P作交于点F．
∵是等边三角形，
∴．
又∵，
∴．
∴是等边三角形．
∴．
又∵，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
17．如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵在中，，平分，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小，
∵，
∴，
解得，
∴的最小值为，
故答案为：．
18．已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，三角形的内角和等知识，综合性强．作点B关于的对称点H，连接．可以得到，，即可得到当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时，进而得到．求出，根据和关于对称，求出，进而求出，，根据即可求出．
【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接．
则，，
此时，
∴当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时，
∵当的最大值是时，
∴．
∵，，
∴，
由题意得和关于对称，
∴，，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：90
三、解答题（本题共8小题，共78分，其中第19题8分，第20-26题各10分）
19．如图，在中，点在上，且，，求的度数．
【答案】．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据等边对等角结合三角形的内角和定理，以及外角定理即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
20．已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，如图所示，过点A作于F，由三线合一定理得到，，再由线段的和差关系即可证明．
【详解】证明：如图所示，过点A作于F，
∵（已知），
∴，
又∵（已知），
∴，
∴，即（等式的性质）．
21．林林自主探究时发现：三角形一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形，他通过证明三角形全等得到结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规，作的角平分线交于D．（保留作图痕迹）
(2)已知：在中，是的角平分线，．
求证：．
证明：∵是的角平分线，
∴①______．
∵，
∴，
在和中
∴，
∴③______．
林林进一步研究发现，若在上图中已知是的角平分线，，同样可以通过证明三角形全等得到．因此，林林归纳出另外一个结论：三角形一个角的④______重合时，这个三角形是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)， ，，角平分线与中线．
【分析】本题考查了作图基本作图，等腰三角形三线合一的性质，证明是解题的关键．
（1）根据角平分线的基本作法作出图形即可；
（2）根据证明即可得出结论．
【详解】（1）如图所示；
（2）证明：∵是的角平分线，
∴ ．
∵，
∴，
在和中
∴，
∴．
林林归纳出另外一个结论：三角形一个角的角平分线与中线重合时，这个三角形是等腰三角形．
故答案为：， ，，角平分线与中线．
22．如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点都在格点上．
(1)求的面积；
(2)在图中画出关于直线对称的；
(3)在直线上画出点，使得的周长最小．
【答案】(1)
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）利用割补法间接表示，代值求解三角形的面积即可；
（2）根据轴对称的性质作图即可得到答案；
（3）在（2）的基础上，连接，交直线于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图所示：
的面积为．
（2）解：如图所示：
即为所求；
（3）解：连接，交直线于点，连接，如图所示：
此时，为最小值，则的值最小，即的周长最小，
点即为所求．
23．已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等．
（1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得；
（2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
，
平分，
，
，
，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
，
平分，
，
，
，
∵，，
∴的周长为：
．
24．如图，在中，，于D，点E为上一点，且，，垂足为F，连接．
(1)求证：；
(2)点G为上一点，连接，若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三线合一：
（1）证明，即可得证；
（2）取的中点，连接，证明，进而得到，，推出，，进而得到，得到两点重合，得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：取的中点，连接，则：，
∵，，
∴，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
又∵，
∴，
∴，，
∴，即：，
∴，
∵，且都在上，
∴点重合，
∴，
∴．
25．如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于．
(1)当时，求的长；
(2)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果发生改变，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不变，
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，的直角三角形的性质，以及平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）证得，证是含的直角三角形，得，再利用即可求解；
（2）过作，证明，得，再证，利用即可求解．
【详解】（1）解：是等边三角形，
，
∵，
，，
∴，，
，
、同时出发，速度相同，即，
，
；
（2）解：如图，过作，交于点，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是等边三角形，，
，
为定值，即的长不变．
26．如图1， 在等腰 中， ，，，
(1)求证 ；
(2)如图2， 过点A作于点G， 交于点F， 过F作 交于点P， 交于点H．
①猜想 与 的数量关系，并证明；
②探究线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)① ，见解析； ② ，见解析
【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，垂直定义，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法并找出全等的条件是解题的关键．
（1）根据题干条件即可直接证得，从而证得；
（2）①由（1）可知，从而可得，结合，，可知，从而可得；
②过点作交的延长线于点，延长交于点，先证，可得，，从而可证，可得，，从而可得，，即可推出．
【详解】（1）证明：由题可得：
在与中，
，
，
；
（2）解：① ，
证明：，
，
由（1）可知：，
，
，，
，
；
②，
证明：如图，过点作交的延长线于点，延长交于点，
，
，
，
，
，
即，
，，
，
，，
，，，
，
，，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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能力测评卷（人教版）
轴对称单元检测卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．2024年金华“5·18国际博物馆日”系列活动开幕式在金华市博物馆举办，下面四幅图是我市一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．满足下列条件的三角形，不一定是等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是的三角形
B．有两边相等且是轴对称图形的三角形
C．有一个内角是且是轴对称图形的三角形
D．三边都相等的三角形
4．如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，，垂直的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点和关于轴对称，则值为（ ）
A．0 B． C．1 D．无法确定
7．等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ）
A． B． C． D．或
8．如图，内一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，则的周长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点，下列五个结论：①；②；③；④；⑤连接，若，则，其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ．
12．中，，则 ° ．
13．在直角坐标系中，点和点关于轴对称，若点的坐标是，则点的坐标是 .
14．如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ．
15．如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ．
16．如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ．
17．如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ．
18．已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度．
三、解答题（本题共8小题，共78分，其中第19题8分，第20-26题各10分）
19．如图，在中，点在上，且，，求的度数．
20．已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：．
21．林林自主探究时发现：三角形一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形，他通过证明三角形全等得到结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规，作的角平分线交于D．（保留作图痕迹）
(2)已知：在中，是的角平分线，．
求证：．
证明：∵是的角平分线，
∴①______．
∵，
∴，
在和中
∴，
∴③______．
林林进一步研究发现，若在上图中已知是的角平分线，，同样可以通过证明三角形全等得到．因此，林林归纳出另外一个结论：三角形一个角的④______重合时，这个三角形是等腰三角形．
22．如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点都在格点上．
(1)求的面积；
(2)在图中画出关于直线对称的；
(3)在直线上画出点，使得的周长最小．
23．已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的周长．
24．如图，在中，，于D，点E为上一点，且，，垂足为F，连接．
(1)求证：；
(2)点G为上一点，连接，若，求证：．
25．如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于．
(1)当时，求的长；
(2)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果发生改变，请说明理由．
26．如图1， 在等腰 中， ，，，
(1)求证 ；
(2)如图2， 过点A作于点G， 交于点F， 过F作 交于点P， 交于点H．
①猜想 与 的数量关系，并证明；
②探究线段，，之间的数量关系，并证明．
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