初中数学人教版八年级上册 12.2 全等三角形判定方法的探究及论证.教学设计
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八年级上册 12.2 全等三角形判定方法的探究及论证.教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 406.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-26 16:47:01 | ||
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文档简介
教学设计
（一）课时教学内容
全等三角形判定方法的探究及论证.
1.从单元整体的视角看，本课时是本单元的第二节课，在学习了全等三角形的概念和性质后，本课引导学生探究全等三角形的判定方法，从六个要素分别相等出发，探究更简单的判定方法，需要学生经历观察图形、分析问题，对复杂元素分类，作图、想象、推理、归纳等过程，有助于培养学生分析问题、解决问题的能力，对学生逻辑思维的培养也有积极意义.
2.从内容所属的主题看，全等三角形判定方法的知识本身不难理解，但是，本课承载了研究几何对象时提升学生思维能力的任务，如：在用全等三角形定义可以判定三角形全等的前提下，需要探寻更为简单的方法进行判定，体现数学的简捷性；经历观察图形、分析图形、画图等过程，得出判定三角形全等的三个基本事实，体现了公理化思想和几何直观的重要意义；在探究全等三角形判定方法的过程中，涉及复杂的分类问题，体现数学的严谨性；通过证明 “角角边”定理的过程，提升学生的几何推理能力.
（二）课时教学目标
目标（1）理解判定三角形全等的三个基本事实和一个定理，会用数学语言进行表述；
目标（2）在探究全等三角形判定方法的过程中，提升分类、作图、识图、几何直观能力，通过归纳、总结全等三角形的判定方法，体会思维的简捷性、严谨性和逻辑性；
目标（3）整体把握学科知识，有助于掌握学习的主动性，提升学习信心.
目标解析：
达成目标（1）的标志是：结合图形，能用符号语言对不同的判定方法进行描述；理解不同判定方法中边和角的相对位置关系，比如在“角角边”中的“边”是其中一对等角所对的边；
达成目标（2）的标志是：在探究全等三角形判定方法的过程中，能对三角形的要素按一定顺序进行正确分类；理解研究两三角形全等的问题可以转化为探究一个三角形确定的问题，能根据已知元素正确作图；能通过观察图形确定较容易辨认的对应边、对应角；能归纳除全等三角形的四种判定方法.
达成目标（3）的标志是：理解全等三角形的判定方法都满足三个要素相等，对相关知识形成整体认知，认同知识的习得过程，自信心增强.
（三）教学重点与难点
重点：全等三角形的判定方法及探究过程；
难点：全等三角形判定方法的探究过程.
研究路径分析：
（四）教学过程设计
1. 复习回顾
活动1：回顾全等三角形的概念和性质；已知△ABC≌△MNP，请写出对应边、对应角.
学生：回答全等三角形的概念和性质，按照要求完成任务.
【设计意图】回顾全等三角形的概念和性质，强调三角形的边和角是研究全等三角形问题的切入点，帮助学生认识到几何直观的重要意义.说明学习全等三角形的意义，根据全等三角形的性质，能够帮助我们求线段的长度和角的度数.
2.探究新知—环节1
活动2：已知黑板上有两个三角形磁贴，请问它们是全等三角形吗？如何验证你的结论？
师生活动：通过观察图形，学生猜想两三角形是全等的，通过移动三角形，发现两个三角形重合，得出全等的结论.
追问：如果换成画在黑板上的两个三角形呢？
师生活动：根据观察图形特征，学生猜想这对三角形也是全等的，但是，无法通过上一个活动的操作方法进行验证，在思考后，基本都能想到度量的方法进行判断，大多数学生想到分别度量三条边的长度和三个角的度数，发现两三角形的六个要素分别相等，从而判定全等.
追问：为什么通过度量的方式来判断全等呢？
预设：学生能够说出如果三条边和三个角都分别相等，两个三角形一定能重合.
追问2：只有三条边和三个角都分别相等才能重合吗？
教师总结：根据图形特点可以猜想两三角形全等，体现了几何的直观性，第一组实物图形，通过动手操作后两三角形可以重合，符合全等三角形定义要求，说明三角形全等.对于两个固定的图形，不能通过移动图形的操作方式判定全等，就要想其他的办法进行判定，当六个要素分别相等时，两三角形一定能够重合，从而判定全等.
【设计意图】通过这个活动，引出全等三角形判定方法的学习，强调根据定义可以判定三角形全等，同时，也帮助学生意识到全等三角形是从操作层面进行定义的，有一定的局限性，引发学生进一步思考从边和角的条件判定三角形全等的方法.
2.探究新知—环节2
师生活动：学生思考是否可以用更少的条件判定两个三角形全等，教师帮助学生明确问题：
学生进行独立思考与探究：
预设1：三边相等.
预设2：少一个角或少一条边.
预设3：三角相等.
……
问题1：你为何认为满足该条件，两个三角形就全等？
回答预设：两三角形可以重合…….
问题2：要素是否可以更少一些，也能判定全等？如果不可以，为什么？
回答预设：如果减少要素，三角形形状或大小不确定，不能判定全等
追问：为什么三角形的形状、大小不确定就不能判定全等，反之，三角形形状、大小确定，就能判定全等？请说明理由.
回答：当三角形形状和大小确定，三角形就被确定，所有满足条件的三角形都可以重合，反之，三角形不一定能够重合.
问题3：对于探索三角形全等的条件这个问题，你能否梳理一下完整思路？
回答预设：可以转化一个三角形是否确定的问题，按照一定顺序讨论问题，比如要素减少或者要素增加.
教师总结：先理清探究问题的思路，不能盲目行动.借助几何图形的直观性，将两个三角形问题转化为一个三角形问题，要关注要素之间的相对位置关系.
【设计意图】学生初探全等三角形判定条件的过程，通过观察、画图、想象等活动探索问题，在此过程中初步形成自己的探索思路，教师不急于给学生任何提示，也不急于帮学生明确探究思路，有助于学生形成自己的初步认知，提升学生探究问题的能力和思考问题的习惯.通过引导学生充分表达自己的观点并阐明依据，强调不管几个元素，最终都要指向定义：两个三角形能够重合，或者能说明六个要素全都相等.本环节是本课的重点，对学生来说也是难点，通过本环节，帮学生理清探究问题的思路，将两个三角形重合的问题转化为一个三角形形状和大小确定的问题.
2.探究新知—环节3
活动3：请设计探究活动基本方案，并进行探究，观察得出结论后与同学交流.
师生活动：教师引导学生要按照顺序进行分类，考虑全面，关注三角形中要素之间的相对位置关系.学生独立思考后可以交流，表达想法，并通过观察、思考、想象、作图等方式进行探究.
思路一预设：按照要素从少到多的顺序.（师生共同完成分类过程，教师重点指导三个要素的情况）
教师总结：根据条件，只要画出形状不同的三角形就说明条件不够，有反例意识.
教师总结：按照一定顺序进行分类，在确定要素时，先确定数量，再确定种类，最后确定相对位置.要抓住变化因素和不变因素，尤其不变因素是入手点.
问题1：“两角及一角对边”的情况不太容易判断，作图困难，而依据“两角及夹边”的条件能够确定三角形，它们之间有什么关系呢？是否给你一些启示？例如：在△ABC中，∠A和∠B的度数确定，边BC长度确定，根据现有条件，能否确定△ABC的形状和大小？
师生活动：因为∠A和∠B是确定的，根据三角形内角和定理，所以∠C也是确定的，根据两角和夹边确定，便可以确定三角形的形状和大小.
问题2：由“两角及夹边”可以确定三角形能推导出由“两角及一角对边”也可以确定三角形，请思考由“两边及夹角”可以确定三角形是否也能推导出由“两边及一边对角”是否也可以确定三角形呢？
师生活动：学生类比上一环节进行推导，同学之间进行交流.在教师引导下得出结论：由“两边及一边对角”无法确定三角形，因为三角形内角和为180°，两角确定就可以确定第三个角，但是三角形的三条边之间不存在类似结论，当两边确定时，无法确定第三边，因此无法类比上一环节得出结论.
教师操作：
如图，在△ABC和△ADC中，AC=AC，CB=CD，∠A=∠A，
两三角形形状不同，所以根据“两边及一边对角”不能确定三角形.
问题3：由“三个角”和“两边及一边对角”不能确定三角形，探究活动结束了吗？
师生活动：在“三个角”确定的前提下，不能增加角的条件，增加一边后，满足“两角和一边”的条件，能够确定三角形，但是显然不够简捷.在“两边及一边对角”的基础上增加一边，满足“三条边”的条件，增加一角，满足“两角一边”的条件，都能确定三角形，但是不够简捷，因此，判定三角形全等的方法有四种，分别是“两边及夹角”、“两角及夹边”、“两角及一角对边”、“三条边”对应相等的两个三角形全等.
【设计意图】本环节体现了研究问题的完整思维过程，有助于学生整体把握知识框架，不仅重视结果，更重视知识的形成过程.探究过程培养学生的理性思维，提升学生的思维逻辑性和严谨性，对学生分类能力的培养有重要意义，有助于发展学生的几何直观能力和培养学生直观想象的核心素养.探究过程和结果也充分体现了公理化思想和数学推理价值.
思路二预设：按照边、角分类思路.
思路分析：学生容易想到三条边对应相等的两个三角形全等，因此，判定三角形全等的条件从六个要素减少到三个要素，在此基础上，可以寻求更加简单的方法，因此先研究减少一边的情况，发现不能确定三角形时，要研究增加一角的情况.然后研究减少两边的情况，需要增加两个角的条件，最终探索出所有判定三角形全等的条件.
【设计意图】从学生的认知出发，在此基础上寻求最简方法，培养学生思维的严谨性和考虑问题的全面性，在此过程中，学生研究问题的能力得到提升.
4.知识小结
问题1：判定两个三角形全等的方法有哪些？
回答：（1）两边及夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS）
（2）两角及夹边分别相等的两个三角形全等.（ASA）
（3）三边分别相等的两个三角形全等.（SSS）
（4）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）
教师总结：第（1）（2）（3）条通过观察、操作等方式可以得出结论，我们称作基本事实，第（4）条可以由第（2）条推理得到，可以叫做判定定理，这四条都是判定两个三角形全等的方法.
问题2：请描述一下探索三角形全等的方法的过程，并总结其中的思想方法.
学生活动：学生从不同角度总结自己的探究过程，梳理方法.
教师总结：可以按照要素从多到少的顺序或者要素从少到多的顺序进行探索，分类要明确依据、有逻辑，关注要素之间的相对位置关系.充分利用几何的直观性，经历观察、思考、操作、作图等过程进行探究.将两个三角形全等的问题转化为一个三角形形状和大小确定的问题，这体现了转化思想和简化问题的方法；探究判定三角形全等的三个基本事实的过程体现了数学的公理化思想；由“两角及夹边分别相等的两个三角形全等”推导出“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”体现了数学推理过程.
（五）目标检测设计
如图，已知△ABC和△MNP，请添加条件，判定△ABC和△MNP全等.
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（一）课时教学内容
全等三角形判定方法的探究及论证.
1.从单元整体的视角看，本课时是本单元的第二节课，在学习了全等三角形的概念和性质后，本课引导学生探究全等三角形的判定方法，从六个要素分别相等出发，探究更简单的判定方法，需要学生经历观察图形、分析问题，对复杂元素分类，作图、想象、推理、归纳等过程，有助于培养学生分析问题、解决问题的能力，对学生逻辑思维的培养也有积极意义.
2.从内容所属的主题看，全等三角形判定方法的知识本身不难理解，但是，本课承载了研究几何对象时提升学生思维能力的任务，如：在用全等三角形定义可以判定三角形全等的前提下，需要探寻更为简单的方法进行判定，体现数学的简捷性；经历观察图形、分析图形、画图等过程，得出判定三角形全等的三个基本事实，体现了公理化思想和几何直观的重要意义；在探究全等三角形判定方法的过程中，涉及复杂的分类问题，体现数学的严谨性；通过证明 “角角边”定理的过程，提升学生的几何推理能力.
（二）课时教学目标
目标（1）理解判定三角形全等的三个基本事实和一个定理，会用数学语言进行表述；
目标（2）在探究全等三角形判定方法的过程中，提升分类、作图、识图、几何直观能力，通过归纳、总结全等三角形的判定方法，体会思维的简捷性、严谨性和逻辑性；
目标（3）整体把握学科知识，有助于掌握学习的主动性，提升学习信心.
目标解析：
达成目标（1）的标志是：结合图形，能用符号语言对不同的判定方法进行描述；理解不同判定方法中边和角的相对位置关系，比如在“角角边”中的“边”是其中一对等角所对的边；
达成目标（2）的标志是：在探究全等三角形判定方法的过程中，能对三角形的要素按一定顺序进行正确分类；理解研究两三角形全等的问题可以转化为探究一个三角形确定的问题，能根据已知元素正确作图；能通过观察图形确定较容易辨认的对应边、对应角；能归纳除全等三角形的四种判定方法.
达成目标（3）的标志是：理解全等三角形的判定方法都满足三个要素相等，对相关知识形成整体认知，认同知识的习得过程，自信心增强.
（三）教学重点与难点
重点：全等三角形的判定方法及探究过程；
难点：全等三角形判定方法的探究过程.
研究路径分析：
（四）教学过程设计
1. 复习回顾
活动1：回顾全等三角形的概念和性质；已知△ABC≌△MNP，请写出对应边、对应角.
学生：回答全等三角形的概念和性质，按照要求完成任务.
【设计意图】回顾全等三角形的概念和性质，强调三角形的边和角是研究全等三角形问题的切入点，帮助学生认识到几何直观的重要意义.说明学习全等三角形的意义，根据全等三角形的性质，能够帮助我们求线段的长度和角的度数.
2.探究新知—环节1
活动2：已知黑板上有两个三角形磁贴，请问它们是全等三角形吗？如何验证你的结论？
师生活动：通过观察图形，学生猜想两三角形是全等的，通过移动三角形，发现两个三角形重合，得出全等的结论.
追问：如果换成画在黑板上的两个三角形呢？
师生活动：根据观察图形特征，学生猜想这对三角形也是全等的，但是，无法通过上一个活动的操作方法进行验证，在思考后，基本都能想到度量的方法进行判断，大多数学生想到分别度量三条边的长度和三个角的度数，发现两三角形的六个要素分别相等，从而判定全等.
追问：为什么通过度量的方式来判断全等呢？
预设：学生能够说出如果三条边和三个角都分别相等，两个三角形一定能重合.
追问2：只有三条边和三个角都分别相等才能重合吗？
教师总结：根据图形特点可以猜想两三角形全等，体现了几何的直观性，第一组实物图形，通过动手操作后两三角形可以重合，符合全等三角形定义要求，说明三角形全等.对于两个固定的图形，不能通过移动图形的操作方式判定全等，就要想其他的办法进行判定，当六个要素分别相等时，两三角形一定能够重合，从而判定全等.
【设计意图】通过这个活动，引出全等三角形判定方法的学习，强调根据定义可以判定三角形全等，同时，也帮助学生意识到全等三角形是从操作层面进行定义的，有一定的局限性，引发学生进一步思考从边和角的条件判定三角形全等的方法.
2.探究新知—环节2
师生活动：学生思考是否可以用更少的条件判定两个三角形全等，教师帮助学生明确问题：
学生进行独立思考与探究：
预设1：三边相等.
预设2：少一个角或少一条边.
预设3：三角相等.
……
问题1：你为何认为满足该条件，两个三角形就全等？
回答预设：两三角形可以重合…….
问题2：要素是否可以更少一些，也能判定全等？如果不可以，为什么？
回答预设：如果减少要素，三角形形状或大小不确定，不能判定全等
追问：为什么三角形的形状、大小不确定就不能判定全等，反之，三角形形状、大小确定，就能判定全等？请说明理由.
回答：当三角形形状和大小确定，三角形就被确定，所有满足条件的三角形都可以重合，反之，三角形不一定能够重合.
问题3：对于探索三角形全等的条件这个问题，你能否梳理一下完整思路？
回答预设：可以转化一个三角形是否确定的问题，按照一定顺序讨论问题，比如要素减少或者要素增加.
教师总结：先理清探究问题的思路，不能盲目行动.借助几何图形的直观性，将两个三角形问题转化为一个三角形问题，要关注要素之间的相对位置关系.
【设计意图】学生初探全等三角形判定条件的过程，通过观察、画图、想象等活动探索问题，在此过程中初步形成自己的探索思路，教师不急于给学生任何提示，也不急于帮学生明确探究思路，有助于学生形成自己的初步认知，提升学生探究问题的能力和思考问题的习惯.通过引导学生充分表达自己的观点并阐明依据，强调不管几个元素，最终都要指向定义：两个三角形能够重合，或者能说明六个要素全都相等.本环节是本课的重点，对学生来说也是难点，通过本环节，帮学生理清探究问题的思路，将两个三角形重合的问题转化为一个三角形形状和大小确定的问题.
2.探究新知—环节3
活动3：请设计探究活动基本方案，并进行探究，观察得出结论后与同学交流.
师生活动：教师引导学生要按照顺序进行分类，考虑全面，关注三角形中要素之间的相对位置关系.学生独立思考后可以交流，表达想法，并通过观察、思考、想象、作图等方式进行探究.
思路一预设：按照要素从少到多的顺序.（师生共同完成分类过程，教师重点指导三个要素的情况）
教师总结：根据条件，只要画出形状不同的三角形就说明条件不够，有反例意识.
教师总结：按照一定顺序进行分类，在确定要素时，先确定数量，再确定种类，最后确定相对位置.要抓住变化因素和不变因素，尤其不变因素是入手点.
问题1：“两角及一角对边”的情况不太容易判断，作图困难，而依据“两角及夹边”的条件能够确定三角形，它们之间有什么关系呢？是否给你一些启示？例如：在△ABC中，∠A和∠B的度数确定，边BC长度确定，根据现有条件，能否确定△ABC的形状和大小？
师生活动：因为∠A和∠B是确定的，根据三角形内角和定理，所以∠C也是确定的，根据两角和夹边确定，便可以确定三角形的形状和大小.
问题2：由“两角及夹边”可以确定三角形能推导出由“两角及一角对边”也可以确定三角形，请思考由“两边及夹角”可以确定三角形是否也能推导出由“两边及一边对角”是否也可以确定三角形呢？
师生活动：学生类比上一环节进行推导，同学之间进行交流.在教师引导下得出结论：由“两边及一边对角”无法确定三角形，因为三角形内角和为180°，两角确定就可以确定第三个角，但是三角形的三条边之间不存在类似结论，当两边确定时，无法确定第三边，因此无法类比上一环节得出结论.
教师操作：
如图，在△ABC和△ADC中，AC=AC，CB=CD，∠A=∠A，
两三角形形状不同，所以根据“两边及一边对角”不能确定三角形.
问题3：由“三个角”和“两边及一边对角”不能确定三角形，探究活动结束了吗？
师生活动：在“三个角”确定的前提下，不能增加角的条件，增加一边后，满足“两角和一边”的条件，能够确定三角形，但是显然不够简捷.在“两边及一边对角”的基础上增加一边，满足“三条边”的条件，增加一角，满足“两角一边”的条件，都能确定三角形，但是不够简捷，因此，判定三角形全等的方法有四种，分别是“两边及夹角”、“两角及夹边”、“两角及一角对边”、“三条边”对应相等的两个三角形全等.
【设计意图】本环节体现了研究问题的完整思维过程，有助于学生整体把握知识框架，不仅重视结果，更重视知识的形成过程.探究过程培养学生的理性思维，提升学生的思维逻辑性和严谨性，对学生分类能力的培养有重要意义，有助于发展学生的几何直观能力和培养学生直观想象的核心素养.探究过程和结果也充分体现了公理化思想和数学推理价值.
思路二预设：按照边、角分类思路.
思路分析：学生容易想到三条边对应相等的两个三角形全等，因此，判定三角形全等的条件从六个要素减少到三个要素，在此基础上，可以寻求更加简单的方法，因此先研究减少一边的情况，发现不能确定三角形时，要研究增加一角的情况.然后研究减少两边的情况，需要增加两个角的条件，最终探索出所有判定三角形全等的条件.
【设计意图】从学生的认知出发，在此基础上寻求最简方法，培养学生思维的严谨性和考虑问题的全面性，在此过程中，学生研究问题的能力得到提升.
4.知识小结
问题1：判定两个三角形全等的方法有哪些？
回答：（1）两边及夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS）
（2）两角及夹边分别相等的两个三角形全等.（ASA）
（3）三边分别相等的两个三角形全等.（SSS）
（4）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）
教师总结：第（1）（2）（3）条通过观察、操作等方式可以得出结论，我们称作基本事实，第（4）条可以由第（2）条推理得到，可以叫做判定定理，这四条都是判定两个三角形全等的方法.
问题2：请描述一下探索三角形全等的方法的过程，并总结其中的思想方法.
学生活动：学生从不同角度总结自己的探究过程，梳理方法.
教师总结：可以按照要素从多到少的顺序或者要素从少到多的顺序进行探索，分类要明确依据、有逻辑，关注要素之间的相对位置关系.充分利用几何的直观性，经历观察、思考、操作、作图等过程进行探究.将两个三角形全等的问题转化为一个三角形形状和大小确定的问题，这体现了转化思想和简化问题的方法；探究判定三角形全等的三个基本事实的过程体现了数学的公理化思想；由“两角及夹边分别相等的两个三角形全等”推导出“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”体现了数学推理过程.
（五）目标检测设计
如图，已知△ABC和△MNP，请添加条件，判定△ABC和△MNP全等.
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