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重庆市2024-2025学年八年级数学上学期
能力测评卷（人教版）
第十四章 整式的乘法与因式分解单元检测卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．把分解因式，结果是（ ）
A． B． C． D．
4．下列属于整式乘法计算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知，，则代数式的值是（ ）
A． B．6 C． D．
6．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如果是完全平方式，那么实数的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
8．若，，则的值等于（ ）
A．1 B． C． D．6
9．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
10．学习平方差公式后，小明所在的学习小组为了加强对公式的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下：第一次操作：把多项式与的平方差的结果记为，
第二次操作：把多项式与的平方差的结果记为，
第三次操作：，
第四次操作：把多项式与的平方差的结果记为，
．．．以此类推，
每到了的倍数时就把前两次的结果求和．下列说法：
（1）若为偶数，则为正整数时都是的倍数；
（2）当，时，；
（3）若是一个奇数，则必然也是一个奇数；
（4）若为奇数，且，从开始的连续个数的和记为，则，，三个数中只有一个奇数；其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．分解因式： ．
12．已知，，则 ．
13．若，则a的值为 ，b的值为 ．
14．已知 ，代数式 ，则的值是 ．
15．若二次三项式是一个完全平方式，则m的值是 ．
16．如果，那么代数式的值为 ．
17．若对于m、n定义一种新运算：，例：，则 ．
18．一个四位自然数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“珊瑚数”．对于一个“珊瑚数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N．称N为“明佳数”，规定：．如果M是最大“珊瑚数”，则是 ，对于任意四位自然数（a、b、c、d是整数且，），规定：．已知P、Q是“珊瑚数”，其中P的千位数字为m（m是整数且），十位数字为8；Q的百位数字为5，十位数字为s（s是整数且），且．若能被13整除，则的最小值是 ．
三、解答题（本题共8小题，共78分，其中第19题8分，第20-26题各10分）
19．分解因式：
(1)
(2)
20．利用因式分解计算
(1)
(2)
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是______；
A． B．
C． D．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下题：
已知：，，求的值；
23．贾老师在上代数式的化简求值这节课时，在上打出这样一道题：已知代数式，且，求该式的值，一部分同学一看题纳闷了，只给了的值的值不知道怎么求呀？一同学经过化简后立即反驳到：“此式的取值与无关”，你觉得这位同学说得对吗？请说明理由．
24．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．
甲∶(分成两组)(直接运用公式)． 乙∶(分成两组)(提公因式)．
请在他们解法的启发下，解答下列各题．
(1)因式分解∶；
(2)已知是的三条边长，且满足，请判断的形状，并说明理由．
25．已知n为正整数，且和都是完全平方数，求证：n是40的倍数．
26．阅读下列文字与例题，并解答：
将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法．
原式
．
(1)试用“分组分解法”因式分解：．
(2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立．
①当时，求的值；
②当时，用含的代数式分别表示．
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重庆市2024-2025学年八年级数学上学期
能力测评卷（人教版）
第十四章 整式的乘法与因式分解单元检测卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解，熟记运算性质是解题的关键．
【详解】解：，
故选：D．
2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式，根据运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，逐项判断即可得出答案，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【详解】解：A、，能用平方差公式计算，故不符合题意；
B、，能用平方差公式计算，故不符合题意；
C、，能用平方差公式计算，故不符合题意；
D、不能用平方差公式计算，故符合题意；
故选：D．
3．把分解因式，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式和完全平方公式分解即可，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键．
【详解】解：，
故选：D．
4．下列属于整式乘法计算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据整式的乘法运算法则计算判断即可．
本题考查了整式的乘法，平方差公式，熟练掌握公式和法则是解题的关键．
【详解】解：A. ，错误，符合题意；
B. ，正确，不符合题意；
C. ，正确，不符合题意；
D. ，正确，不符合题意；
故选A．
5．已知，，则代数式的值是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法和整体代入求值.利用因式分解把代数式变形，再代入数值计算即可.
【详解】解：∵，，
∴
.
故选：B.
6．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的意义，根据因式分解的意义即可求出答案．
【详解】解：A.，故不是因式分解，不符合题意；
B.，是整式乘法，故不是因式分解，不符合题意；
C.，故是因式分解，符合题意；
D.，故分解不完全，不符合题意；
故选：C．
7．如果是完全平方式，那么实数的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了对完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式是解此题的关键；
根据所给多项式确定两平方项，再根据完全平方式的特点即可求解．
【详解】解：，是完全平方式，
，
解得：或，
故选：D．
8．若，，则的值等于（ ）
A．1 B． C． D．6
【答案】C
【分析】本题考查同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用．根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：C．
9．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．
由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可．
【详解】解：根据题意得：
，
，
，，
，
阴影部分的面积．
故选：C．
10．学习平方差公式后，小明所在的学习小组为了加强对公式的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下：第一次操作：把多项式与的平方差的结果记为，
第二次操作：把多项式与的平方差的结果记为，
第三次操作：，
第四次操作：把多项式与的平方差的结果记为，
．．．以此类推，
每到了的倍数时就把前两次的结果求和．下列说法：
（1）若为偶数，则为正整数时都是的倍数；
（2）当，时，；
（3）若是一个奇数，则必然也是一个奇数；
（4）若为奇数，且，从开始的连续个数的和记为，则，，三个数中只有一个奇数；其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平方差公式，根据阅读材料，利用平方差公式进行计算，然后对进行分析，从而判断出结果，熟练掌握法则是解题的关键．
【详解】
，
，
，
∵，
∴
，
∴，，，
，，，
，
∴，，，
若为偶数，是的倍数，
则为正整数时，都是的倍数，
∴①正确；
当，时，，
∴正确；
∵，
∴
，
∴的倍数是偶数，
∵是的倍数，
∴必然是一个偶数，
∴错误；
若为奇数，且，从开始的连续个数的和记为，
由上可知必为偶数，，必为奇数，
当为的倍数时，为偶数，则为奇数，为偶数， 则，，三个数中只有一个奇数；
当为的倍数时，为偶数，则为奇数，为奇数， 则，，三个数中有两个奇数；
当为的倍数时，为偶数，则为奇数，为偶数， 则，，三个数中只有一个奇数；
∴错误；
以上说法中正确的个，
故选：．
填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，先提取公因式，然后利用平方差公式即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
12．已知，，则 ．
【答案】40
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：，，
故答案为：
13．若，则a的值为 ，b的值为 ．
【答案】 5
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
故答案为：5；．
14．已知 ，代数式 ，则的值是 ．
【答案】2
【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用． 先把进行平方，再根据，得到的值．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
故．
故答案为：2.
15．若二次三项式是一个完全平方式，则m的值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了完全平方式．熟练掌握完全平方公式的特征一次顶系数一半的平方等于常数项，平方数的特征．是此题解题的关键．
先根据一次顶系数一半的平方等于，再根据平方数求解m即可．
【详解】∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：3．
16．如果，那么代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查乘法公式，熟记基本的乘法公式，并准确化简以及运用整体思想是解题关键．首先根据乘法公式进行计算化简，然后整体代入求值即可．
【详解】解：
．
∵，
∴，
∴原式
．
故答案为：．
17．若对于m、n定义一种新运算：，例：，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了单项式乘多项式，理解定义的新运算是解题的关键；按照定义的新运算进行计算，即可解答.
【详解】解：由题意得：，
故答案为：.
18．一个四位自然数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“珊瑚数”．对于一个“珊瑚数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N．称N为“明佳数”，规定：．如果M是最大“珊瑚数”，则是 ，对于任意四位自然数（a、b、c、d是整数且，），规定：．已知P、Q是“珊瑚数”，其中P的千位数字为m（m是整数且），十位数字为8；Q的百位数字为5，十位数字为s（s是整数且），且．若能被13整除，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】答题空1：根据“珊瑚数”和“明佳数”的定义，以及M是最大“珊瑚数”可得M和N的值，进而可求得的值；
答题空2：根据题意可得，，进而可得，由能被13整除，可得能被13整除．结合s和m 的范围，以及s、m都是正整数，即可求出m的值．进而可得P的值及P的“明佳数”的值，再求出的值，即可得的最小值．
本题考查了新定义运算，因式分解，求二元一次方程的特殊解，理解新定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，
∵M是最大“珊瑚数”，
∴，，
．
故答案为：10．
∵P、是“珊瑚数”，且 P的千位数字为m，十位数字为8，
∴P的百位数字为，个位数字为9，
．
∵Q是“珊瑚数”，且Q的百位数字为5，十位数字为s，
∴ Q的千位数字为4，个位数字为，
．
．
∵能被13整除，且52能被13整除，
∴能被13整除，
∵，，
∴，
∴．
∵m、n都是正整数，且，
∴或．
当时，，
则P的“明佳数”为4895，
则；
当时，，
则P的“明佳数”为5896，
则．
∵，
∴的最小值是．
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共78分，其中第19题8分，第20-26题各10分）
19．分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分解因式；
（1）直接提公因式分解因式即可；
（2）直接提公因式分解因式即可．
【详解】（1）；
（2）．
20．利用因式分解计算
(1)
(2)
【答案】(1)36
(2)31.4
【分析】（1）先将变形为的形式，再利用平方差公式求解；
（2）先提取公因式，再进行计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查通过因式分解进行简化计算，解题关键是提取公因式或根据数字特点将所求式子进行变形后利用公式求解．
21．先化简，再求值：，其中．
【答案】，14
【分析】本题考査了整式的混合运算及乘法公式，可利用平方差公式计算，利用完全平方公式计算．
先算乘方和乘法，再合并同类项，最后代入求值．
【详解】解：原式
当时，
原式．
22．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是______；
A． B．
C． D．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下题：
已知：，，求的值；
【答案】(1)B
(2)．
【分析】本题考查了平方差公式在几何图形中的应用，掌握图形面积的不同求法是解题关键．
（1）根据图中阴影部分面积的不同计算方式即可求解；
（2）由（1）中所得结论即可求解．
【详解】（1）解：由左图可知：阴影部分的面积；
由右图可知：阴影部分的面积；
故可以验证的等式是B
故答案为：B
（2）解：，
由（1）知，
，
∴
23．贾老师在上代数式的化简求值这节课时，在上打出这样一道题：已知代数式，且，求该式的值，一部分同学一看题纳闷了，只给了的值的值不知道怎么求呀？一同学经过化简后立即反驳到：“此式的取值与无关”，你觉得这位同学说得对吗？请说明理由．
【答案】这位同学说的对，理由见解析
【分析】先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，最后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答
【详解】解：这位同学说的对，
=2022
此式的取值与无关，
这位同学说的对．
【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．
甲∶(分成两组)(直接运用公式)． 乙∶(分成两组)(提公因式)．
请在他们解法的启发下，解答下列各题．
(1)因式分解∶；
(2)已知是的三条边长，且满足，请判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是等腰三角形．
【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，等腰三角形的定义；
（1）把原式化为，再进一步分解因式即可；
（2）由可得，结合等腰三角形的定义可得答案；
【详解】（1）解：
；
（2）解： ，
∴，
∴，
∵是的三条边长，
∴，
，
，
是等腰三角形．
25．已知n为正整数，且和都是完全平方数，求证：n是40的倍数．
【答案】证明见解析
【分析】根据奇数是完全平方式，只能是型的数，则能被8整除，根据完全平方数以的余数为，，，得出只可能是都能被整除余1，进而即可得证．
【详解】证明：设
① a为奇数，则和都是型的数，
能被8整除；
②对于任意整数x，平方数的个位数字只能是 ， ，，，， ，
∴完全平方数以的余数为，，，
余数为2
只可能是都能被整除余1，
∴既能被整除又能被整除，
∴n是40的倍数．
【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握奇数的平方是型是解题的关键．
26．阅读下列文字与例题，并解答：
将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法．
原式
．
(1)试用“分组分解法”因式分解：．
(2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立．
①当时，求的值；
②当时，用含的代数式分别表示．
【答案】(1)；
(2)①；②，．
【分析】（）根据因式分解分组分解法分解即可；
（）根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可；
此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：①当时，得，，
∵
，
，
∴，
∴；
②∵当时,
∵，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
即，
∴，
即，
∴或，
∴或，
∵，
∴不合，舍去，
∴，
∴．
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