第10章 概率单元测试 （含解析）

第10章 概率（单元测试）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023秋·辽宁沈阳·高一统考期末）从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算.
【详解】有三件正品（用，，表示）和一件次品（用表示）的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品，
由古典概型得，
故选：D.
2．（2023春·高一单元测试）抛掷两枚硬币，事件A表示“至少一枚正面朝上”，事件B表示“两枚正面都不朝上”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概型计算出作答.
【详解】记硬币正面向上为正，反面向上为反，抛掷两枚硬币的结果有：(正正)，(正反)，(反正)，(反反)，共4个，
事件A有：(正正)，(正反)，(反正)，共3个，事件B有：(反反)，共1个，
因此，显然选项A，C，D不满足，B满足.
故选：B
3．（2023·高一单元测试）若，，，则事件A与事件B的关系是（ ）
A．互斥但不对立 B．独立
C．对立 D．独立且互斥
【答案】B
【分析】求得，利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义及公式判断即可．
【详解】因为，所以，
又，所以事件与事件不对立，
又因为，所以事件与相互独立，但不互斥．
故选：B．
4．（2023·全国·高一专题练习）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超过5”的概率记为”，“向上的点数之和为奇数”的概率记为，“向上的点数之积为偶数”的概率记为”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用列举法结合古典概型的公式求出，，即可求解．
【详解】把随机掷两枚骰子的所有可能结果列表如下：
共有36种等可能的结果，
其中“向上的点数之和不超过5”的有10种情况，
“向上的点数之和为奇数”的有18种情况，
“向上的点数之积为偶数”的有27种情况，
所以“向上的点数之和不超过5”的概率，
“向上的点数之和为奇数”的概率，
“向上的点数之积为偶数”的概率，
因为，
所以，
故选：A．
5．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】明确随机数代表的含义，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】由题意可知经随机模拟产生的12组随机数中，这三组表示三次投篮恰有两次命中，
故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为，
故选：A
6．（2023春·高一单元测试）先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：
①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间
②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件
③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件
④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是
以上结论中，正确的个数为（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①本实验是一个古典概型，考虑正反面出现的次数及顺序有关或无关判断；②分别列举事件“至少2次正面朝上”和事件“至少2次反面朝上”判断；③列举事件“至少1次正面朝上”判断；④利用古典概型的概率求解判断.
【详解】①本实验是一个古典概型，可只考虑正反面出现的次数或既考虑次数也考虑顺序，所以可以从不同的观察角度写出不同的样本空间，故正确；
②事件“至少2次正面朝上”为2正2反，3正1反，4正，事件“至少2次反面朝上”为2反2正，3反1正，4反，不互斥，故错误；
③事件“至少1次正面朝上”为1正3反，2正2反，3正1反，4正，与事件“4次反面朝上”互为对立事件，故正确；
④样本空间为“4反，1正3反，2正2反，3正1反，4正”，共4种，事件“1次正面朝上3次反面朝上”有1种，所以事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是，故正确；
故选：C.
7．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）从高一某班（男、女生人数相同）抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（ ）
A． B．
C．事件A与事件B互斥 D．事件A与事件C对立
【答案】B
【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.
【详解】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；
两事件不可能同时发生，为互斥事件，C正确；
事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，
其对立事件为，D正确；
事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，
与事件含义相同，故，B错误；
故选：B.
8．（2023春·高一单元测试）甲、乙两队进行冰壶比赛，约定三局两胜，每局必须决出胜负，负者下一局执后手，胜者下一局执先手.已知甲队执先、后手胜乙队的概率分别为，，且，记事件E，F，G和H分别为甲以第一局执先手、第一执后手、第二局执先手和第二局执后手获胜，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用互斥事件的概率加法公式，求出各事件的概率，作差比较大小得出答案.
【详解】由题意，甲可能比赛两局获胜也可能比赛三局获胜，
其中有胜胜、负胜胜、胜负胜三种情况，根据互斥事件的概率公式，
则，
，
，
，
因为
，而，
所以，即，故A错误；
因为，
即，故BC错误；
因为所以，
因为，
所以，故D正确.
故选：D
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2023·全国·高一专题练习）某校有甲、乙、丙三名学生是新冠阳性患者的密切接触者，已知密切接触者新冠病毒检测呈阳性的概率为，记事件A为“三名学生都是阴性”，事件B为“三名学生都是阳性”，事件C为“三名学生至少有一名是阳性”，事件D为“三名学生不都是阴性”，则（ ）
A． B．事件A与事件B互斥
C． D．事件A与事件C对立
【答案】ABD
【分析】三名学生新冠病毒检测呈阳性为独立事件，由此可计算出事件A的概率；不能同时发生的事件为互斥事件,由此判断B选项；根据事件C与事件D的描述可知两个事件为同一事件，概率相同；对立事件概率相加为1.
【详解】对于A：，A正确；
对于B：事件A与事件B不能同时发生，事件A与事件B互斥，B正确；
对于C：事件C与事件D为同一事件，，C错误；
对于D：为不可能事件，为必然事件，事件A与事件C对立，D正确．
故选：ABD．
10．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以表示由甲罐中取出的球是红球 白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）
A．事件互斥 B．事件与事件相互独立
C． D．
【答案】ACD
【分析】先画出树状图，由，不可能同时发生可判断A；求得，，，的值，可判断C、D；利用可判断B．
【详解】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数，
不可能同时发生，故彼此互斥，故A正确；
，，，，故C正确，D正确；
因为，，则，则事件与事件不独立，故B错误，
故选：ACD．
11．（2023·全国·高一专题练习）下面结论正确的是（ ）
A．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
B．若事件A与B是相互独立事件，则与也是相互独立事件
C．若，，A与B相互独立，那么
D．若，，A与B相互独立，那么
【答案】BCD
【分析】由相互独立和互斥事件的定义可判断A、B；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C，D.
【详解】对于A，由互斥事件的定义可知，事件A，B互斥，
但是A与也是互斥事件不成立，故A错误；
对于B，若A与B相互独立，则A与，B与，与都是相互独立事件，故B正确；
对于C，如果A与B相互独立，则
，故C正确；
对于D，如果A与B相互独立，
则，故D正确．
故选：BCD．
12．（2023春·高一单元测试）随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件“第一次为偶数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为偶数”，则（ ）
A．A与B互斥 B． C．A与C相互独立 D．
【答案】BCD
【分析】利用古典概型的概率公式求出、，即可判断B；根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断C；根据事件表示第一次为偶数或第二次为奇数，求出此事件的对立事件的概率即可求出，即可判断D.
【详解】解：由题意可得，，
所以，故B正确；
因为事件、可以同时发生或都不发生，故两事件不是互斥事件，故A错误；
因为事件、互不影响，所以、为相互独立事件，
则，
因为事件表示第一次为偶数且第二次为偶数，
所以，
又，所以与相互独立，故C正确；
事件表示第一次为偶数或第二次为奇数，
它的对立事件为第一次奇数且第二次都是偶数，
所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在横线上.
13．（2023·高一单元测试）掷一次骰子，“点数为偶数”的对立事件为______．
【答案】点数为奇数
【分析】利用对立事件的定义直接求解．
【详解】掷一次骰子，有两种可能的结果：“点数为偶数”，“点数为奇数”，
故“点数为偶数”的对立事件为“点数为奇数”．
故答案为：点数为奇数．
14．（2023·高一单元测试）从正方形四个顶点及中心共五个点中任选三个,能确定一个平面的概率是______.
【答案】/0.8
【分析】先根据题意写出所有事件,再写出能确定一个平面的所有事件,根据古典概型的概率计算公式,计算即可.
【详解】解:由题知,记正方形四个顶点分别为,记中心为,
画图如下:
用表示五个点中任选三个的结果数,
则五个点中任选三个的所有事件为:,
,
,共10种,
其中能确定一个平面的事件有: ,
,
共8种,
所以能确定一个平面的概率.
故答案为:
15．（2023·高一单元测试）已知A、B是独立事件，，，则______.
【答案】
【分析】根据公式和，即可求出．
【详解】∵为两个独立事件，∴，
∵
∴
∴．
故答案为：．
16．（2023春·高一单元测试）如图，由甲、乙两人在5次综合测评中的成绩茎叶图可知，两人的成绩如下：甲：88，89，90，91，92，乙：83，83，87，9●，99，其中乙的一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是_________.
【答案】/0.8
【分析】设被污损的数字的个位数为，根据甲的平均成绩超过乙的平均成绩可解得，即可求得概率.
【详解】设被污损的数字的个位数为，其中为中的一个，
要使甲的平均成绩超过乙的平均成绩，
则，
解得，
则的可能取值为的自然数，共8个，
则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023春·全国·高一专题练习）从4名男同学、2名女同学中选出3人构成一组.该活动包含了多少个基本事件？
【答案】20个
【分析】设出男同学,女同学,一一列举出来即可.
【详解】4名男同学分别记为,2名女同学分别记为,选出的3人构成的一组记为,表示一个基本事件,
从4名男同学、2名女同学中选出3人的不同结果为:
,
,共20个,
所以该活动包含了20个基本事件.
18．（2023·高一单元测试）已知战士A射击的命中率为60%，战士B的命中率为65%，且两人的射击互不影响，求：
(1)两人同时击中目标的概率；
(2)目标被击中的概率．
【答案】(1)0.39
(2)0.86
【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出两人同时击中目标的概率；
（2）目标被击中的对立事件是两人都没有击中目标，利用对立事件和相互独立事件概率公式求解即可．
【详解】（1）战士A射击的命中率为60%，战士B的命中率为65%，两人的射击互相独立，
设事件表示“战士A命中”，事件B表示“战士A命中”，则，
则两人同时击中目标的概率为：.
（2）目标被击中的对立事件是两人都没有击中目标，
所以目标被击中的概率为：.
19．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
【答案】(1)派乙参赛赢得比赛的概率更大
(2)
【分析】（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，由表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”求解即可；
（2）记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”由（1）知，，由表示“两人中至少有一个赢得比赛”，且求解即可.
【详解】（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，
事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，
所以表示“甲赢得比赛”，，
表示“乙赢得比赛”，，
因为，所以派乙参赛赢得比赛的概率更大；
（2）记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”
由（1）知，，
所以表示“两人中至少有一个赢得比赛”，
所以，
所以两人至少一人赢得比赛的概率为.
20．（2023春·辽宁大连·高一阶段练习）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富完成在轨驻留半年的太空飞行任务，标志着中国空间站关键技术验证阶段圆满完成．并将进入建造阶段某地区为了激发人们对天文学的兴趣．开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，这m人按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．
①若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宜传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的平均数和方差．
【答案】(1)32.25（岁），37.5
(2)①；②据此估计这m人中年龄在35~45岁的所有人的年龄平均数为38，方差约为10．
【分析】（1）根据频率分布直方图求平均数与第80百分位数；
（2）①由列举法结合古典概型的概率公式计算即可；②由平均数、方差的计算公式求解即可.
【详解】（1）设这m人的平均年龄为，则
（岁）．
设第80百分位数为a，
∵，
故a位于第四组：内，
方法一：由，解得．
方法二：由，解得．
（2）①由题意得，第四组应抽取人，记为A，B，C，甲，第五组抽取人，记为D，乙，
对应的样本空间为：AB，AC，A甲，AD，A乙，BC，B甲，BD，B乙，C甲，CD，C乙，甲D，甲乙，D乙，共15个样本点．
设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则有A甲，A乙，B甲，B乙，C甲，C乙，甲D，甲乙，D乙，共有9个样本点．
所以．
②设第四组的宣传使者的年龄分别为，平均数分别为，方差分别为，
设第五组的宣传使者的年龄分别为，平均数分别为，方差分别为，
则，
可得，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为38，
则，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此估计这m人中年龄在35~45岁的所有人的年龄平均数为38，方差约为10．
21．（2023春·高一单元测试）某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立.
(1)求比赛进行四局结束的概率；
(2)求甲获得比赛胜利的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】列举各问中的可能事件，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解；
【详解】（1）比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局丙获胜,
第一局甲获胜，后三局丙获胜的概率,
第一局乙获胜，后三局丙获胜的概率,
故比赛进行四局结束的概率.
（2）设甲获胜为事件，乙获胜为事件，丙获胜为事件，
比赛进行三局，甲获胜的概率为,
比赛进行五局，有以下6种情况：，
甲获胜的概率为,
比赛进行七局，有一下8种情况：
甲获胜的概率为,
故甲获得比赛胜利的概率为.
22．（2023春·高一单元测试）2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，实现了两个飞行乘组首次太空“会师”.下表记录了我国已发射成功的所有神舟飞船的发射时间和飞行时长.
名称 发射时间 飞行时长
神舟一号 1999年11月20日 21小时11分
神舟二号 2001年1月10日 6天18小时22分
神舟三号 2002年3月25日 6天18小时39分
神舟四号 2002年12月30日 6天18小时36分
神舟五号 2003年10月15日 21小时28分
神舟六号 2005年10月12日 4天19小时32分
神舟七号 2008年9月25日 2天20小时30分
神舟八号 2011年11月1日 16天
神舟九号 2012年6月16日 13天
神舟十号 2013年6月11日 15天
神舟十一号 2016年10月17日 32天
神舟十二号 2021年6月17日 3个月
神舟十三号 2021年10月16日 6个月
神舟十四号 2022年6月5日 6个月
神舟十五号 2022年11月29日 预计6个月
为帮助同学们了解我国神舟飞船的发展情况，某学校“航天社团”准备通过绘画 海报 数据统计图表等形式宣传“神舟系列飞船之旅”.
(1)绘画组成员从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘进行绘画，求选中的神舟飞船的发射时间恰好是在10月份的概率；
(2)海报组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）大于30天的神舟飞船中随机选取2艘制作海报，求选中的神舟飞船的飞行时长（包括预计飞行时长）均为6个月的概率；
(3)数据统计组成员在2022年5月计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为年12月30日又计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为.试判断和的大小.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设“神舟飞船的发射时间恰好是在10月份”为事件列举出满足事件的样本点，即可算出概率；
（2）列举基本事件，根据古典概型公式求解即可
（3）比较和新加入的数，即可得到结论
【详解】（1）记名称为神舟第号飞船为，则“从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘”的样本空间为，共15个样本点.
设“神舟飞船的发射时间恰好是在10月份”为事件
则，共4个样本点，所以
（2）“从飞行时长（包括预计飞行时长）大于30天的神舟飞船中随机选取2艘”的样本空间为,共10个样本点.
设“选中的神舟飞船的飞行时长(包括预计飞行时长)均为6个月”为事件B，则，共3个样本点，
所以
（3）易得2022年5月计算神舟一号到神舟十三号的平均数小于6个月，
年12月30日又计算了一遍，新加入神舟十四号和神舟十五号的数据，一定会比要大，故会拉高平均数，所以