10.1.2事件的关系和运算同步练习（含解析）

10.1.2 事件的关系和运算（分层作业）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】合理设出事件，从而得到事件A，B，C三者的关系.
【详解】记事件{1枚硬币正面朝上}，{2枚硬币正面朝上}，{3枚硬币正面朝上}，则，，
显然，，，C不含于A.
故选：D
2．（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（ ）
A．EF B．EF C．E D．
【答案】B
【分析】根据并联电路可得答案.
【详解】因为甲、乙两个元件构成一并联电路，
所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，
所以表示电路故障的事件为.
故选：B
3．（2023·全国·高一专题练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，知，由此能求出实数的取值范围．
【详解】随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，
且，，
，即，
解得，即．
故选：D．
【点睛】本题考查互斥事件的概率的应用，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
4．（2023春·广东江门·高一鹤山市第一中学校考阶段练习）从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个黑球与都是黑球 B．至少有1个黑球与至少有1个红球
C．至少有1个黑球与都是红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
【答案】D
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念分析即可求解.
【详解】“至少有1个黑球与都是黑球”有公共事件：两个黑球，既不互斥也不对立；
“至少有1个黑球与至少有1个红球”有公共事件：一个红球，一个黑球，既不互斥也不对立；
“至少有1个黑球与都是红球”是互斥事件且对立事件；
“恰有1个黑球与恰有2个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，因为有可能是两个红球，
故选：.
5．（2023·全国·高一专题练习）抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（ ）
A． B．
C．表示向上的面的点数是1或2或3 D．表示向上的面的点数是1或2或3
【答案】C
【分析】由题意，得到事件，所包含的基本事件，由此分析判断即可．
【详解】解：由题意可知，，，，，
所以，，2，，
则表示向上的面的点数是1或2或3，故ABD错误，C正确．
故选：C．
6．（2023·全国·高一专题练习）某人射击一次，设事件A：“击中环数小于8”；事件B：“击中环数大于8”；事件C：“击中环数不小于8”，事件D：“击中环数不大于9”，则下列关系正确的是（ ）
A．A和B为对立事件 B．B和C为互斥事件
C．A和C为对立事件 D．B与D为互斥事件
【答案】C
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，进行判定，即可求解.
【详解】由题意可知：设事件A：“击中环数小于8”与事件B：“击中环数大于8”是互斥事件但不是对立事件，故A选项错误；
事件B：“击中环数大于8” 与事件C：“击中环数不小于8”，能同时发生，所以不是互斥事件，故B选项错误；
事件A：“击中环数小于8”与事件C：“击中环数不小于8”是对立事件，故C选项正确；
事件B：“击中环数大于8”与事件D：“击中环数不大于9”能同时发生，不是互斥事件，故D选项错误.
故选：C.
7．（2023·全国·高一专题练习）一个射手进行射击，记事件“脱靶”，“中靶”，“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ）．
A．与 B．与 C．与 D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答.
【详解】射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，
事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A错误；
事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B正确，D错误；
事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是.
故选：B
8．（2023秋·江西吉安·高一江西省遂川中学校考期末）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（ ）
A．恰有1名女生与恰有2名女生 B．至多有1名女生与全是男生
C．至多有1名男生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生
【答案】A
【分析】根据对立事件和互斥事件的概念对选项逐一分析，由此选出正确选项．
【详解】“从中任选2名同学参加演讲比赛”所包含的基本情况有：
两男、两女、一男一女．
恰有1名女生与恰有2名女生是互斥且不对立的两个事件，故A正确；
至多有1名女生与全是男生不是互斥事件，故B错误；
至多有1名男生与全是男生既互斥又对立，故C错误；
至少有1名女生与至多有1名男生不是互斥事件，故D错误．
故选：A．
9．（2023·全国·高一专题练习）在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，则下列说法正确的是（ ）
A．“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件
B．“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”是互斥事件
C．“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，也是对立事件
D．“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件
【答案】D
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，结合题意逐项检验即可求解.
【详解】“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故A错误；
“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误；
“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，不是对立事件，故C错误；
“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件，故D正确.
故选：D.
10．（2023·全国·高一专题练习）已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（ ）
A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品
C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品
【答案】D
【分析】对每个选项中事件的关系分析，选出正确选项.
【详解】对于A项，恰好有1件次品和恰好有两件次品互为互斥事件，但不是对立事件；
对于B项，至少有1件次品和全是次品可以同时发生，不是对立事件；
对于C项，至少有1件正品和至少有1件次品可以同时发生，不是对立事件；
对于D项，至少有1件次品即存在次品，与全是正品互为对立事件.
故选：D.
二、多选题
11．（2023·全国·高一专题练习）从中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个偶数和两个都是偶数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，不是对立事件的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ABD
【分析】根据对立事件得概念逐一判断.
【详解】根据题意，从中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”，“两个偶数”，
“一个奇数与一个偶数”三种情况；依次分析所给的4个事件可得，
①恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；
②至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是偶数不是对立事件；
③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件：
④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件，
故选:ABD．
三、双空题
12．（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙两人下成和棋的概率为______，乙获胜的概率为______.
【答案】 50% 20%
【分析】甲不输的概率等于甲获胜的概率与两人和棋的概率相加，由此可得和棋的概率；乙获胜的对立事件为甲不输棋，结合对立事件的概率公式即可求得乙获胜的概率.
【详解】因为甲不输的概率等于甲获胜的概率与两人和棋的概率相加，
所以甲、乙下成和棋的概率为；
因为乙获胜的对立事件为甲不输棋，
所以乙获胜的概率为.
故答案为：50%；20%.
四、填空题
13．（2023·全国·高一专题练习）已知事件、互斥，，且，则_______.
【答案】/0.8
【分析】由已知事件、互斥，且，可求，
进而根据对立事件概率公式得到答案.
【详解】解：事件、互斥，且，
解得,
.
故答案为：.
五、解答题
14．（2023秋·高一单元测试）设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
（1）三个事件都发生；
（2）三个事件至少有一个发生；
（3）A发生，B，C不发生；
（4）A，B都发生，C不发生；
（5）A，B至少有一个发生，C不发生；
（6）A，B，C中恰好有两个发生.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】由互斥事件和对立事件的定义、事件的间的关系求解即可
【详解】解：（1）三个事件都发生表示为；
（2）三个事件至少有一个发生表示为；
（3）A发生，B，C不发生表示为；
（4）A，B都发生，C不发生表示为；
（5）A，B至少有一个发生，C不发生表示为；
（6）A，B，C中恰好有两个发生表示为
15．（2023春·全国·高一专题练习）在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件={出现1点}，事件={出现2点}，事件={出现3点}，事件={出现4点}，事件={出现5点}，事件={出现6点}，事件={出现的点数不大于1}，事件={出现的点数大于3}，事件={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，请举出符合包含关系、相等关系的事件；
【答案】答案见解析
【分析】根据事件的包含关系和相等关系的概念，即可得到答案.
【详解】因为事件，，，发生，则事件必发生，
所以，，，．
所以事件包含事件，，，；
同理可得，事件E包含事件，，，，，；
事件包含事件，，；
事件F包含事件，，；
事件G包含事件，，．
因为在掷骰子的试验中，出现的点数不大于1即为出现1点，
所以事件与事件相等，即．
16．（2023春·全国·高一专题练习）抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.试判断事件A与事件B，C，E的关系；
【答案】B A，C A，E A，A=B+C+E
【分析】根据事件的关系和运算的定义即可判断.
【详解】事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”，“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个基本事件，
所以B A，C A，E A，A=B+C+E
17．（2023春·全国·高一专题练习）从装有个红球和个白球的口袋中任取两球，下列哪些事件是互斥事件？它们是不是对立事件？
①至少有一个白球，都是白球；②至少有一个白球，至少有一个红球；③恰有一个白球，恰有个白球；④至少有一个白球，都是红球．
【答案】③④是互斥事件，其中④是对立事件.
【分析】由互斥事件和对立事件的定义进行辨析即可.
【详解】把个红球标记为、，个白球标记为、，任取两球，样本空间为：
，
设“至少有一个白球”为事件，则，
设“至少有一个红球”为事件，则，
设“都是白球”为事件，则，
设“都是红球”为事件，则，
设“恰有一个白球”为事件，则
对于①，∵，∴“至少有一个白球”与“都是白球”不是互斥事件；
对于②，∵，∴“至少有一个白球”与“至少有一个红球”不是互斥事件；
对于③，由题意，“恰有个白球”即“都是白球”，∵，，
∴“恰有一个白球”与“恰有个白球”是互斥事件，但不是对立事件；
对于④，∵，，
∴“至少有一个白球”与“都是红球”是互斥事件，且为对立事件.
综上所述，③④是互斥事件，其中④是对立事件.
18．（2023春·全国·高一专题练习）以下每对事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
①将一枚均匀的硬币抛2次，记事件A：两次出现正面；事件B：只有一次出现正面．
②某人射击一次，记事件A：中靶；事件B：射中5环．
③某人射击一次，记事件A：射中环数不小于5；事件B：射中环数不超过4．（环数为整数）
【答案】①是互斥事件不是对立事件，②不是互斥事件，③是对立事件
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念求解即可.
【详解】①事件不能同时发生，故为互斥事件，但是不发生，不一定发生，故不是对立事件；
②事件A：中靶；事件B：射中5环，两事件可以同时发生，故不是互斥事件；
③一次射击中，A：射中环数不小于5；事件B：射中环数不超过4，不能同时发生，且不发生就发生，不发生就发生，故为对立事件.
19．（2023春·全国·高一专题练习）掷一个骰子，下列事件：，，，，．求：
(1)， ；
(2)，；
(3)记是事件的对立事件，求，，，．
【答案】(1)，.
(2)，．
(3)，，，．
【分析】（1）根据交事件（积事件）的概念求解即可；
（2）根据并事件（和事件）的概念求解即可；
（3）根据对立事件与交事件、并事件运算求解即可.
【详解】（1），，，
，.
（2），，，
，．
（3），，，，.
，，
，，，．
20．（2023春·全国·高一专题练习）从一箱产品中随机地抽取出一件产品，设事件A：抽到的是一等品，事件B：抽到的是二等品，事件C：抽到的是三等品，试用A，B，C表示下列事件：
(1)事件D：抽到的是一等品或二等品；
(2)事件E：抽到的是二等品或三等品．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由并事件的概念即可得出答案.
（2）由并事件的概念即可得出答案.
【详解】（1）∵事件A：抽到的是一等品，事件B：抽到的是二等品，
又∵事件D：抽到的是一等品或二等品，∴；
（2）∵事件B：抽到的是二等品，事件C：抽到的是三等品，
又∵事件E：抽到的是二等品或三等品，∴．
【能力提升】
一、多选题
1．（2023·全国·高一专题练习）设为两个互斥的事件，且，则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据互斥事件的含义可知，判断;根据题意可知，从而，判断C;根据互斥事件的概率加法公式可判断D.
【详解】∵为两个互斥事件，,
∴，即，故A正确，B选项错误，
∵ 为两个互斥事件,则，
∴ 故C选项正确，
∵为两个互斥事件，
∴，故D选项正确．
故选∶．
2．（2023·全国·高一专题练习）一个盒子中装有支圆珠笔，其中支一等品，支二等品，大小质地完全相同，若从中随机取出支，则与事件“取出支一等品和支二等品”互斥的事件有 （ ）
A．取出的支笔中，至少支一等品 B．取出的支笔中，至多支二等品
C．取出的支笔中，既有一等品也有二等品 D．取出的支笔中，没有二等品
【答案】ABD
【分析】根据互斥事件的定义逐项检验即可求解
【详解】对于A，事件“取出的支笔中，至少支一等品”包括支一等品和1支二等品，支一等品两种结果，与事件“取出支一等品和支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故A正确；
对于B，事件“取出的支笔中，至多支二等品”包括支一等品和1支二等品，支一等品两种结果，与事件“取出支一等品和支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故B正确；
对于C，事件“取出的支笔中，既有一等品也有二等品”包括支一等品和支二等品，支一等品和支二等品两种结果，与事件“取出支一等品和支二等品”可能同时发生，它们不是互斥事件，故C不正确；
对于D，事件“取出的支笔中，没有二等品”指支一等品，与事件“取出支一等品和支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故D正确；
故选：ABD.
3．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市阿城区第一中学校校考阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件
B．若A，B为两个事件，则
C．若事件A，B，C两两互斥，则
D．若事件A，B满足，则A与B相互对立
【答案】BCD
【分析】A. “A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；
B. ,所以该选项错误；
C. 举反例说明不一定成立，所以该选项错误；
D. 举反例说明A与B不对立，所以该选项错误.
【详解】解：A. 若A，B为两个事件，“A与B互斥”则“A与B不一定相互对立”； “A与B相互对立”则“A与B互斥”，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；
B. 若A，B为两个事件，则,所以该选项错误；
C. 若事件A，B，C两两互斥，则不一定成立，如：掷骰子一次，记向上的点数为1，向上的点数为2，向上的点数为3，事件A，B，C两两互斥，则.所以该选项错误；
D. 抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，所以该选项错误.
故选：BCD
4．（2022秋·山东威海·高一乳山市第一中学校考阶段练习）下列对各事件发生的概率判断正确的是（）
A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是
【答案】AC
【分析】根据每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可
【详解】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A正确；
对于B,用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,,,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B不正确；
对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则,故取到同色球的概率为,故C正确；
对于D,易得,即,
即,∴,又,
∴,∴,故D错误
故选AC
【点睛】本题考查古典概型,考查事件的积,考查独立事件,熟练掌握概率的求解公式是解题关键
二、单选题
5．（2023·全国·高一专题练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据至少有1名男生包含2名全是男生 1名男生1名女生，则，，可判断A,C; 事件B与D是互斥事件,判断B; 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示至少有一名男生，由此判断D.
【详解】至少有1名男生包含2名全是男生 1名男生1名女生，故，，
故A，C正确；
事件B与D是互斥事件，故，故B正确，
表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，
故，D错误，
故选：D.
6．（2023春·全国·高一专题练习）若干个人站成一排，其中为互斥事件的是(　　)
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
【答案】A
【分析】根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断．
【详解】根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件；
故选A．
【点睛】本题考查了互斥事件的定义．是基础题．
7．（2022春·安徽合肥·高一校考期末）在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是（ ）
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
【答案】A
【解析】概率的事件可以认为是概率为的对立事件．
【详解】事件“2张全是移动卡”的概率是，由对立事件的概率和为1，可知它的对立事件的概率是，事件为“2张不全是移动卡”，也即为“2张至多有一张是移动卡”．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查对立事件，解题关键是掌握对立事件的概率性质：即对立事件的概率和为1，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.
三、解答题
8．（2023春·全国·高一专题练习）用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件“三个圆的颜色全不相同”，事件“三个圆的颜色不全相同”，事件“其中两个圆的颜色相同”，事件“三个圆的颜色全相同”.
（1）写出试验的样本空间.
（2）用集合的形式表示事件.
（3）事件与事件有什么关系？事件和的交事件与事件有什么关系？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）事件包含事件，事件和的交事件与事件互斥.见解析
【解析】(1) 由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.再分别列出即可.
(2)根据(1)中列举的基本事件求解即可.
(3)根据(2)中的中基本事件辨析即可.
【详解】(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样本空间
{（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）,（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}.
(2){（红,黄,蓝）}
{（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}
{（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）}.
{（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）}.
(3)由(2)可知事件包含事件,事件和的交事件与事件互斥.
【点睛】本题主要考查了基本事件的列举以及互斥和独立事件以及事件间的基本关系等.属于基础题.
9．（2023春·全国·高一专题练习）如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生
（1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；
（2）用A，B，C表示下列事件：
①恰好订阅一种学习资料；
②没有订阅任何学习资料.
【答案】（1）区域1表示该生数学、语文、英语三种资料部订阅；区域4表示该生只订阅数学、语文两种资料；区域5表示该生只订阅了语文资料；区域8表示该生三种资料都未订阅. （2）①；②
【解析】(1)由图可得出1，4，5，8各区域所代表的事件；
(2)由事件的关系与运算求解即可.
【详解】(1)由图可知：
区域1表示该生数学、语文、英语三种资料部订阅；
区域4表示该生只订阅数学、语文两种资料；
区域5表示该生只订阅了语文资料；
区域8表示该生三种资料都未订阅.
(2) “恰好订阅一种学习资料”包括：只订阅数学为：；只订阅语文：；只订阅英语：，并且这三种相互互斥
所以“恰好订阅一种学习资料”用A，B，C表示为：
“没有订阅任何学习资料” 用A，B，C表示为：
【点睛】本题主要考查了事件的关系与运算，属于中档题.
10．（2022·高一课时练习），则中：
(1)恰含有两个样本点的事件有多少个？
(2)至少含有三个样本点的事件有多少个？
【答案】(1)21
(2)99
【分析】（1）解集合中的不等式共有7种不同的取值，然后再选两个样本点即可.
（2）“利用反向思维”先求出一共有多少个基本事件，减去不可能事件、基本事件、含有两个样本点的事件.
（1）
，恰含有两个样本点的事件共（个）.
（2）
所有事件一共个，其中不可能事件1个，基本事件7个，含有两个样本点的事件21个，则至少含有三个样本点的事件有（个）．