10.2事件的相互独立性 同步练习（含解析）

10.2 事件的相互独立性（分层作业）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）已知事件A、B、C满足A B，B C，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件A发生一定导致事件C发生
B．事件B发生一定导致事件C发生
C．事件发生不一定导致事件发生
D．事件发生不一定导致事件发生
【答案】D
【分析】根据事件A，B，C的包含关系逐一判断各个选项即可．
【详解】解：由已知可得A C，又因为A B，B C，如图事件A，B，C用集合表示：
则选项A，B正确，
事件，则C正确，D错误
故选：D．
2．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是，则他最终通过面试的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分为三种情况：第一次通过，第二次通过，第三次通过，结合相互独立事件概率乘法公式求解.
【详解】由题意知，小王最终通过面试的概率为.
故选：C.
3．（2023春·全国·高一专题练习）若事件与相互独立，且，则的值等于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】由相互独立事件的概率计算公式，我们易得，将代入即可得到答案.
【详解】因为事件与相互独立，由相互独立事件的概率计算公式，可得：
.
故答案选：B.
4．（2023春·高一单元测试）某射手射击一次，命中的环数可能为0，1，2，…，10共11种，设事件A：“命中环数大于8”，事件B：“命中环数大于5”，事件C：“命中环数小于4”，事件D：“命中环数小于6”，在事件A、B、C、D中，互斥事件有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【分析】根据互斥事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，
所以与、与，与，与是互斥事件，
共对.
故选：D
5．（2023春·全国·高一专题练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（ ）
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
【答案】A
【分析】根据相互独立事件的含义即可判断.
【详解】由题意可得表示第二次摸到的不是黑球,
即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,
故每次是否摸到白球互不影响,故事件与是相互独立事件，
由于与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件.
故选：A.
6．（2023春·江西赣州·高一校联考期中）若甲 乙 丙在10分钟之内独立复原魔方的概率分别为，则甲 乙 丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为（ ）
A．0.26 B．0.29 C．0.32 D．0.35
【答案】D
【分析】应用对立事件概率，结合互斥事件加法、独立事件乘法公式求甲 乙 丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率.
【详解】甲 乙 丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为.
故选：D
二、多选题
7．（2023春·河南焦作·高一统考期中）若则（ ）
A． B．事件A与B不互斥
C．事件A与B相互独立 D．事件A与B不一定相互独立
【答案】BC
【分析】根据互斥与独立事件的定义判断即可.
【详解】因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，故B正确；
，所以，故A不正确；
又，故成立，
故事件A与B相互独立，故C正确，D错误
故选：BC.
三、填空题
8．（2023·高一课时练习）根据多年气象统计资料（每天的天气状况为晴天或阴天或下雨），某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为______..
【答案】 /
【分析】由事件间的关系及概率运算即可得解.
【详解】每天的天气状况只有三种可能，即可为晴天或阴天或下雨，且互为互斥事件，故晴天的概率为，
故答案为：
9．（2023春·全国·高一专题练习）抛掷两枚硬币，事件A：至少有一个正面朝上，事件B：两个正面朝上，则事件A、B的关系是______.
【答案】
【分析】列举出事件A发生的不同结果以及事件B发生的不同结果，从而可得答案.
【详解】事件A：至少有一个正面朝上，事件A发生的不同结果是：（正，反），（反，正），（正，正）；
事件B：：两个正面朝上，事件发生的不同结果是：（正，正）；
所以，事件A、B的关系是.
故答案为：.
10．（2022·高一课时练习）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则 _______.
【答案】
【分析】利用独立事件同时发生的概率求解.
【详解】由题意得，解得.
故答案为：
四、解答题
11．（2023·高一课时练习）某同学在上学途中要经过三个红绿灯路口，每个路口是否遇到红灯是互相独立的，且每个路口遇到红灯的概率都是，求他在第三个路口第一次遇到红灯的概率．
【答案】
【分析】根据题意利用独立事件的乘法公式运算求解.
【详解】若他在第三个路口第一次遇到红灯，则前两个路口均为绿灯，则其概率为.
12．（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，（），各项目的比赛结果相互独立，甲得0分的概率是，甲得3分的概率是．
(1)求，的值；
(2)甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由．
【答案】(1)，
(2)甲，理由见解析
【分析】（1）根据独立事件的概率公式进行求解即可；
（2）根据独立事件的概率公式和概率加法公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，且，解得．
（2）甲得2分的概率，
所以甲得2分或3分的概率，那么乙得2分或3分的概率为
所以甲获得最终胜利的可能性大．
13．（2023春·辽宁沈阳·高一统考期末）足球号称世界第一大体育运动，2022卡塔尔世界杯刚刚落下帷幕．主办方为了调查球迷对本次世界杯的满意度，从来自本地（A地区）和外地（B地区）的球迷中，分别随机调查了20名球迷，得到他们对本届世界杯的满意度评分，如茎叶图所示：
(1)设表示A地区20名球迷满意度的方差，表示B地区20名球迷满意度的方差，则______（用“”或“”填空，不要求写出计算过程）；
(2)计算B地区的分位数；
(3)根据满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 1级（不满意） 2级（满意） 3级（非常满意）
从A地区和B地区分别随机抽取1名球迷，记事件C：“A地区球迷的满意度等级高于B地区球迷的满意度等级”，根据所给数据，用调查样本的频率估计地区总体概率，求C的概率．
【答案】(1)
(2)87
(3)0.44
【分析】（1）根据茎叶图的知识，发现A地区数据更集中，方差更小.
（2）根据百分位数的定义计算即可求解.
（3）利用事件的相互独立性和互斥即可求事件发生的概率.
【详解】（1）根据茎叶图发现A地区数据更集中，所以；
（2）设B地区的20个数据由小到大依次为，，…，，
由，得分位数等于．
（3）设事件分别表示抽取A地区1名球迷的满意度为i级，则两两互斥，
设事件分别表示抽取B地区1名球迷的满意度为j级，则两两互斥，且有与相互独立，由题意得，，，，，，
又有，且，，互斥，
故
．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，并利用D，E，F构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.
【详解】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，
且.
恰好能答对两道题为事件，且两两互斥，
所以
，
整理得，他三道题都答错为事件，
故.
故选：C.
2．（2023春·全国·高一专题练习）已知事件，，的概率均不为，则的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据和事件的概率公式判断A、B，根据积事件的概率公式判断C、D.
【详解】解：对于A：因为，由，
只能得到，并不能得到，故A错误；
对于B：因为，
，
由，只能得到，
由于不能确定，，是否相互独立，故无法确定，故B错误；
对于C：因为，，
又，所以，故C正确；
对于D：由于不能确定，，是否相互独立，
若，，相互独立，则，，
则由可得，
故由无法确定，故D错误；
故选：C
3．（2023春·全国·高一专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．事件A、B至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
B．事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小
C．互斥事件一定是对立事件，对立事件也是互斥事件
D．互斥事件不一定是对立事件，而对立事件一定是互斥事件
【答案】D
【分析】对于AB，利用事件的运算方法，举反例排除即可；对于CD，根据对立事件与互斥事件的概念，对选项进行分析判断即可.
【详解】对于A，因为事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生和A，B都发生；
事件A，B中恰有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生；
又当事件A，B为对立事件时，事件A，B都发生的概率为，
所以事件A、B至少有一个发生与A、B中恰有一个发生是相等事件，两者概率相等，故A错误；
对于B，若A、B是相等事件，此时A、B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，
而事件A、B同时发生的概率必然大于或等于0，故B错误；
对于CD，由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故C错误，D正确.
故选：D.
二、多选题
4．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）甲、乙两人进行篮球比赛，若甲投中的概率为0.8，乙投不中的概率为0.1，且两人投篮互不影响，若两人各投篮一次，则下列结论中正确的是（ ）
A．两人都投中的概率为0.72
B．至少一人投中的概率为0.88
C．至多一人投中的概率为0.26
D．恰好有一人投中的概率为0.26
【答案】AD
【分析】按照独立事件的概率计算公式和对立事件的概率计算公式及互斥事件和的概率，逐项分析求解即可.
【详解】设事件A为：“甲投中”，设事件B为：“乙投中”，这两个事件相互独立，
A选项：都投中的概率为，故A项对；
B选项：至少一人投中，其对立事件为：两人都未投中，
故至少一人投中的概率为，故B项不对；
C选项：至多一人投中的对立事件为：两人都投中，
至多一人投中的概率为，故C错；
D选项：恰好有一人投中的概率为，故D对.
故选：AD
5．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）下列说法正确的有（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现奇数点”，事件N＝“出现3点或4点”，则
B．袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球．从中依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是
C．甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98
D．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
【答案】AC
【分析】计算古典概率判断A；利用列举法结合古典概型计算判断B；利用对立事件及相互独立事件求出概率判断CD作答.
【详解】对于A，依题意，事件=“出现3点”，而掷骰子一次有6个不同结果，所以，A正确；
对于B，记3个白球为，2个红球为，从5个球中任取2个的不同结果有：
，共10个，
其中两球同色的结果有：，共4个，所以“两球同色”的概率是，B错误；
对于C，依题意，“至少一人中靶”的概率为，C正确；
对于D，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，即在前两个路口都没有遇到红灯，第3个路口遇到红灯，
所以到第3个路口首次遇到红灯的概率为，D错误.
故选：AC
6．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现3点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为10”，则下列说法正确的有（ ）
A．A与B不互斥且相互独立 B．A与D互斥且不相互独立
C．B与C不互斥且相互独立 D．B与D互斥且不相互独立
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，求出事件A，B，C，D的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的定义判断作答.
【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的试验结果有：，
，
，
，共36个不同结果，
事件A所含的结果有：，共6个，
事件B所含的结果有24个，事件C所含的结果有18个，事件D所含的结果有：，共3个，
因此，
对于A，事件A与B都含有，共4个结果，即事件A与B可以同时发生，
而，A与B不互斥且相互独立，A正确；
对于B，事件A与D不能同时发生，，A与D互斥且不相互独立，B正确；
对于C，事件B与C都含有，共12个结果，
即事件B与C可以同时发生，，B与C不互斥且相互独立，C正确；
对于D，事件B与D都含有，即B与D可以同时发生，，
因此B与D不互斥且不相互独立，D错误.
故选：ABC
三、填空题
7．（2023·全国·高一专题练习）已知甲、乙两人投篮投中的概率分别为和，若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为__．
【答案】
【分析】两人投中次数相等，包括两人各投中一次，和两人两次都抽中，进而根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得到答案．
【详解】甲投中一次的概率为：，甲投中两次的概率为：；
乙投中一次的概率为：，乙投中两次的概率为：；
甲乙都投中一次的概率为：，
甲乙都投中两次的概率为：，
甲乙两人两次都未投中的概率为：，
两人投中次数相等的概率，
故答案为：
8．（2023·全国·高一专题练习）4粒种子种在甲坑内，每粒种子发芽的概率为．若坑内至少有2粒种子发芽，则不需要补种；否则需要补种，则甲坑不需要补种的概率为______.
【答案】/
【分析】先计算4粒种子都不发芽与恰有一粒种子发芽的概率，再由对立事件求需要补种的概率.
【详解】每粒种子是否发芽相互独立，
故4粒种子都不发芽的概率为，
恰有1粒种子不发芽的概率为 ，
由对立事件知至少有2粒种子发芽的概率为，
所以甲坑不需要补种的概率为.
故答案为: .
9．（2023春·全国·高一专题练习）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）超过1000小时的概率都是0.5，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为____________.
【答案】/
【分析】根据题意，求出超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常和元件3正常的概率，再利用独立事件的概率公式求解即可.
【详解】因为三个电子元件的使用寿命（单位：小时）超过1000小时的概率都是0.5，即，
记事件超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常，事件超过1000小时时，元件3正常，事件该部件的使用寿命超过1000小时，
则，，
因为事件为相互独立事件，事件为同时发生的事件，
所以．
故答案为：．
10．（2023春·全国·高一专题练习）对于独立事件A、B，若，，则______.
【答案】
【分析】根据相互独立事件和对立事件的概率计算即可求解.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
因为，为独立事件，所以与相互独立，
则有，
故答案为：.
四、解答题
11．（2023秋·高一单元测试）为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，根据独立事件概率的求法计算即可得出结果；
（2）根据独立事件概率的求法分别求出有0个、1个家庭回答正确的概率，利用间接法即可求出不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则，，，
即，，
所以，．
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.
（2）有0个家庭回答正确的概率
，
有1个家庭回答正确的概率
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
12．（2023秋·辽宁沈阳·高一统考期末）足球号称世界第一大体育运动，卡塔尔世界杯刚刚落下帷幕．主办方为了调查球迷对本次世界杯的满意度，从来自本地（地区）和外地（地区）的球迷中，分别随机调查了名球迷，得到他们对本届世界杯的满意度评分，如茎叶图所示：
(1)设表示地区名球迷满意度的方差，表示地区名球迷满意度的方差，则_____；（用“”或“”填空，不要求写出计算过程）；
(2)计算地区的分位数；
(3)根据满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于分 分到分 不低于分
满意度等级 级（不满意） 级（满意） 级（非常满意）
从地区和地区分别随机抽取名球迷，记事件：“地区球迷的满意度等级高于地区球迷的满意度等级”，根据所给数据，用调查样本的频率估计地区总体概率，求的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据样本数据的集中程度可得出、的大小关系；
（2）利用百分位数的定义可计算出地区分位数；
（3）设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，可得，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值.
【详解】（1）解：因为地区的数据更集中，则地区的方差越小，则.
（2）解：设地区的个数据由小到大依次为、、、，
由，得分位数等于．
（3）解：设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，
设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，
且有与相互独立，由题意得，，，，，，
又有，且、、互斥，
故
．
13．（2023春·江西南昌·高一南昌二中校考阶段练习）如图，一个方格迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A、B两处，现以每分钟一格的速度同时出发，在每个路口只能向东、西、南、北四个方向之一行走.若甲向东、向西行走的概率均为，向南、向北行走的概率分别为和p，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q.
(1)求p和q的值；
(2)设至少经过t分钟，甲、乙两人首次相遇，试确定t的值，并求出甲乙两人首次相遇的概率.
【答案】(1)；
(2)，概率为
【分析】（1）根据概率性质可解；
（2）由图可知甲乙相遇的最少时间，然后根据相遇点分类计算即可.
【详解】（1），；
，
（2）.设甲、乙两人在三处相遇的概率分别为，
则，，，
，即所求的概率为.
14．（2023春·江西·高一江西师大附中校考阶段练习）3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，小明、小俊两人组队代表班级参赛，每一轮竞赛，小组中的两人分别答2道题，若两人回答正确的题目不少于3道，则该小组将被称为“神算小组”，已知小明每次答题正确的概率为，小俊每次答题正确的概率为，在答题过程中两人答题正确与否互不影响，且各轮结果亦互不影响．
(1)若，则在第一轮竞赛中，求小明、小俊组获得“神算小组”的概率；
(2)若，则在一轮竞赛中，求小明、小俊组获得“神算小组”概率的最大值，并求此时的值．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）分①小明答题正确1道，小俊答题正确2道；②小明答题正确2道，小俊答题正确1道；③小明答题正确2道，小俊答题正确2道，利用独立重复实验概率求解．
（2）先得到两人在某一轮竞赛中获得“神算小组”的概率为，再结合，得到，利用基本不等式，求得的范围，再利用二次函数求得p的最大值.
【详解】（1）解：由题可知，符合题意的所有可能的情况有①小明答题正确1道，小俊答题正确2道概率为；
②小明答题正确2道，小俊答题正确1道的概率为；
③小明答题正确2道，小俊答题正确2道；
所以所求概率．
（2）两人在某一轮竞赛中获得“神算小组”的概率为
，
，
因为，所以．
由基本不等式，可得，当且仅当时，取等号.
令，，，
所以当时，，即，
由，解得.
故小明、小俊组获得“神算小组”概率的最大值为，此时.
15．（2023春·高一单元测试）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙 丙 丁相互之间胜负的可能性相同.
(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
(2)求甲获得冠军的概率；
(3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）乙仅参加两场比赛且连负两场，所以1、4均负，由独立事件概率公式，即可得出答案；
（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜，1负4胜5胜6胜，1胜3负5胜6胜，由此求出甲获得冠军的概率；
（3）分成三类进行讨论，若乙的决赛对手是甲，若乙的决赛对手是丙，若乙的决赛对手是丁，从而能求出乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
【详解】（1）根据题意，乙获连负两场，所以1、4均负，
所以乙获连负两场的概率为.
（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，
所以甲获得冠军的概率为.
（3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：
甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜，
所以甲与乙在决赛相遇的概率为：，
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种：
乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜，
同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为：
，
若乙的决赛对手是丁，则其概率与乙的决赛对手是丙相同，
所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为.