10.3.2 随机模拟 同步练习（含解析）

10.3.2 随机模拟（分层作业）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022秋·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．任何事件的概率总是在(0，1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】C
【分析】对于A，举例判断，对于B，由频率的性质判断，对于CD，根据频率与概率的关系判断.
【详解】必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，故A错；
频率是由试验的次数决定的，故B错；
概率是频率的稳定值，故C正确，D错．
故选：C．
2．（2022·全国·高一专题练习）某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6
【答案】B
【分析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有8组，即求.
【详解】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：812,832,569,683,271,989, 537,925,故8个，
故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.
故选：B.
3．（2023春·全国·高一专题练习）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281
7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436
5987 3882 0753 8935
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率.
【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8组，
所以估计四天中恰有三天下雨的概率为.
故选：B.
4．（2023春·全国·高一专题练习）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
【答案】B
【分析】已知三次投篮共有20种，再得到恰有两次命中的事件的种数，然后利用古典概型的概率公式求解.
【详解】三次投篮共有20种，
恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种
∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
故选：B
【点睛】本题主要考古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．（2023春·全国·高一专题练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】A
【分析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.
【详解】解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，
故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.
故选：A.
6．（2023·全国·高一专题练习）在这个热“晴”似火的7月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是．某人用计算机生成了20组随机数，结果如下：
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用列举法得，今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有12个，由古典概型公式可得选项.
【详解】解：今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有12个，分别为：
116, 812, 730, 452, 125, 217, 109, 361, 284, 147, 318, 027,
则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是：，
故选：A.
7．（2023·全国·高一专题练习）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（　　）.
A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75
【答案】D
【分析】根据题意分析随机数中没有1，2，3，4中的数的个数，再根据对立事件的概率求解即可
【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为
故选：D
8．（2022春·山东滨州·高一统考期中）袋子中有四张卡片，分别写有“学、习、强、国”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“学”“习”两个字都取到记为事件A，用随机模拟的方法估计事件A发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“学、习、强、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 210 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计事件A发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】18组随机数中，利用列举法求出事件发生的随机数有共6个，由此能估计事件发生的概率．
【详解】解：18组随机数中，事件发生的随机数有：
210，021，001，130，031，103，共6个，
估计事件发生的概率为．
故选：．
【点睛】本题考题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
9．（2022·全国·高一专题练习）某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的（ ）
A．概率为 B．频率为
C．频率为8 D．概率接近于8
【答案】B
【分析】根据古典概型相关的概念和概率公式计算可得出答案.
【详解】做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为，如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故为事件A的频率．事件发生的频数为8，所以CD都不对.
故选：B
【点睛】本题考查古典概型频率、概率、频数的概念，考查古典概型频率的计算公式，属于基础题.
10．（2022·高一课前预习）掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组（ ）
A．1 B．2 C．9 D．12
【答案】B
【分析】由于是掷两枚骰子，故根据两枚骰子出现点数之和为9，可得用随机模拟方法产生的整数值随机数中，每2个数字为一组，可得答案.
【详解】掷两枚骰子,设它们出现的点数分别为x,y,
则 ，由此可得用随机模拟方法产生的整数值随机数中，每2个数字为一组，
故选：B
二、多选题
11．（2022·高一单元测试）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ）
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D．小明 小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
【答案】ACD
【分析】在四个选项中分别列出小明与小华获胜的情况，由此判断两人获胜是否为等可能事件．
【详解】解：对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平
对于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正两种情况，而两枚都正面向上仅有正，正一种情况，
所以游戏不公平
对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平
对于D，小明 小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6,6），（6,8），（8,6），（8,8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．
故选：ACD．
【点睛】本题考查等可能事件的判断，考查运算求解能力，是基础题．
三、填空题
12．（2023秋·河南驻马店·高一统考期末）袋子中有四个小球，分别写有“中 华 民 族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中 华 民 族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为____________.
【答案】
【分析】利用古典概型的随机数法求解.
【详解】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数，
所以恰好抽取三次就停止的概率约为，
故答案为：
13．（2023春·全国·高一专题练习）天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：
则下个星期恰有2天涨潮的概率为___________.
【答案】.
【分析】由题意可知，恰有2天涨潮就是在这组数中，恰有两个是1或2，从这20组数找出恰有两个是1或2的个数，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】产生20组随机数相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为，
故答案为：
四、解答题
14．（2022·全国·高一专题练习）一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽取3道；从20道化学题中随机抽取3道；从12道生物题中随机抽取2道，使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47).
【答案】答案见解析
【分析】利用计算器的随机函数产生随机数对应相应的题的编号，注意重复的只能算一次，需重新产生．
【详解】利用计算器的随机函数RANDI(1，15)产生3个不同的1～15之间的整数随机数(如果有一个重复，则重新产生一个)；再利用计算器的随机函数RANDI(16，35)产生3个不同的16～35之间的整数随机数(如果有一个重复，则重新产生一个)；再用计算器的随机函数RANDI(36，47)产生2个不同的36～47之间的整数随机数(如果有一个重复，则重新产生一个)，这样就得到8道题的序号.
15．（2022·高一课时练习）一个学生在一次知识竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道历史题中随机抽出3道，从20道地理题中随机抽出3道，从12道生物题中随机抽出2道．试用抽签法确定这个学生所要回答的8道题的序号（历史题编号分别为1，2，…，15，地理题编号分别为16，17，…，35，生物题编号分别为36，37，…，47）．
【答案】答案见解析
【分析】将物理、化学、生物的号签分别放在三个不透明的容器中，搅拌均匀，再按随机抽样进行抽取即可.
【详解】第一步：将物理、化学、生物的编号，分别写到大小、形状都相同的号签上;
第二步：将物理、化学、生物的号签分别放在三个不透明的容器中，搅拌均匀;
第三步：分别从装有物理、化学、生物的容器中逐一抽取3个、2个、2个号签.
并记录所得号签的编号，这便得到所要回答的8道题的序号.
16．（2022·高一课前预习）某校高一年级共20个班，1 200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
【答案】答案见解析
【分析】利用计算机随机模拟的方法名即可完成把1200名学生分配到40个考场中去
【详解】要把1200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成.
(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机.
(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同).
(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1200名学生的考试号0001，0002，…，1200，然后0001～0030为第一考场，0031～0060为第二考场，依次类推即可完成.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·高一课时练习）抛掷一枚硬币次，若正面向上用随机数表示，反面向上用随机数表示，下面表示次抛掷恰有次正面向上的是　(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】代表正面向上，恰有次正面向上，应是由个，个组成的结果，故选C.
二、多选题
2．（2022·高一课时练习）以下命题成立的是（ ）
A．函数是偶函数，则关于直线对称
B．盒子中有5张奖券，只有一张上面写着“中奖”，其它四张上都写着“谢谢”.学生甲先抽，已知甲抽中的是“谢谢”，学生乙接着抽，则乙抽到“中奖”的概率为
C．某个红绿灯路口的红灯持续时间共为50秒钟.李先生开车到达路口时，此时信号灯显示为红灯，则他等候红灯时间不超过30秒的概率为.
D．向右平移个单位得到一奇函数.
【答案】ACD
【解析】结合奇偶函数的性质，及函数图象的平移变换规律，可知AD正确；结合古典概型、几何概型知识，计算可得B错误，C正确.
【详解】对于A，函数是偶函数，其图象关于轴对称，因为的图象向右平移1个单位后，得到的图象，所以的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，5张奖券，其中1张上面写着“中奖”，学生甲已经抽了一张，没有中奖，因为是不放回抽奖，所以还剩4张奖券，其中1张上面写着“中奖”，学生乙接着抽，则乙抽到“中奖”的概率为，故B错误；
对于C，根据几何概型的概率公式可得，等候红灯时间不超过30秒的概率为，故C正确；
对于D，，则的图象向右平移个单位得到的图象，是奇函数，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查古典概型、几何概型知识，考查函数的奇偶性，及函数图象平移变换规律，考查三角函数的恒等变换，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.
三、填空题
3．（2023春·全国·高一专题练习）假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为______．
【答案】/0.5
【分析】根据随机数以及古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】解：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一.
它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，
因此所求的概率为=0.5.
故答案为：.
4．（2022·高一课时练习）在用随机(整数)模拟求“有个男生和个女生，从中取个，求选出个男生个女生”的概率时，可让计算机产生的随机整数，并用代表男生，用代表女生.因为是选出个，所以每个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“”，则它代表的含义是___.
【答案】选出的4个人中，只有1个男生
【详解】代表男生，用代表女生，表示一男三女，即“”代表的含义是选出的个人中，只有个男生.
四、解答题
5．（2023春·全国·高一专题练习）一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球1个红球．现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取．试设计一个模拟试验，计算恰好第三次摸到红球的概率．
【答案】0.1
【详解】试题分析：分别用1到7，这几个数代表不同的球，用计算机产生1到7不同的数据，每三个作为一组数据，共产生20组；数出其中第三次代表红球的数据，有几个这样的数据，就代表满足条件的事件有几个，再除以20，就是估计的概率．
用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组．例如，产生20组随机数．
666　743　671　464　571
561　156　567　732　375
716　116　614　445　117
573　552　274　114　622
就相当于做了20次试验，在这组数中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7，就表示第一次、第二次摸的是白球，第三次恰好是红球，它们分别是567和117共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为 ＝0.1.
6．（2022·高一课时练习）某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4
保费
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4
频数 60 50 30 30 20 10
（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；
（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
【答案】（I）；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.1925a．
【分析】（I）求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P（A）的估计值；
（Ⅱ）求出B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P（B）的估计值；
（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．
【详解】解：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50＝110，该险种的200名续保，
P（A）的估计值为：；
（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数为：30+30＝60，P（B）的估计值为：；
（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为1.1925a．
【点睛】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．