2024-2025学年浙江省杭州十三中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州十三中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知二次根式，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，关于的二次函数是( )
A. B.
C. D.
3.下列年巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.某篮球队名场上队员的身高单位：分别是：，，，，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，换人后场上队员的身高( )
A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大
C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大
5.四张相同的卡片，每张的正面分别写着，，，，将卡片正面朝下扣在桌上，随机抽出一张，这张卡片上写的不是最简二次根式的概率是( )
A. B. C. D.
6.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. 且 B. C. 且 D.
7.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，平行四边形的对角线相交于点，尺规作图操作步骤如下：以点为圆心，长为半径画弧；以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点，连结，则下列说法一定正确的是( )
A. 若，则四边形是矩形
B. 若，则四边形是菱形
C. 若，则四边形是矩形
D. 若，则四边形是菱形
9.在反比例函数图象上有三个点、、，若，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.在矩形中，点为边的中点，连结，将沿直线翻折，使得点与点重合，的延长线交线段于点，的延长线交线段于点，，若点为线段的中点，则的值为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为______．
12.某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分含边界时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为______．
13.若二次函数的图象与轴交于，则的值是______．
14.小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：，这组数据的众数是______．
15.如图，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴
上，点，点在轴上，与轴交于点，若，则的值为 ．
16.如图，在正方形中，，为上一动点，交于点，过作，交于点，连结、，与交于点下列结论：，，的周长为，，其中正确的结论有______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点．
求二次函数的表达式
求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
四、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
计算
19.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：不论为何值，该方程总有两个实数根；
若该方程的两个实数根，满足，求的值．
20.本小题分
王老师将个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球有放回，下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数
摸到黑球的次数
摸到黑球的频率 ______
补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是______；
估计袋中白球的个数；
在的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．
21.本小题分
如图，在中，点、分别是，的中点，，延长到点，使得，连结．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．
22.本小题分
如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
连结，，求的面积．
抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标．
23.本小题分
综合实践：如何用最少的材料设计花园？
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园，其中一边靠墙，墙长为米，现可用的篱笆总长为米，设的长为米．
【项目解决】
目标：确定面积与边长关系．
当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为平方米时，求的长．
目标：探究最少的材料方案．
现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为米．
若米，能成功围成吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
若要成功围成，则的最小值为______米，此时， ______米
24.本小题分
综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现在矩形纸片中，，．
【数学思考】如图，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作求证：≌；
【解决问题】如图，连结，求线段的长．
【拓展研究】从图开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，求的面积．
参考答案
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17.解：抛物线经过点和点．
，解得，
这条抛物线所对应的二次函数的表达式为；
，
抛物线顶点坐标为，
对称轴为．
18.解：原式
；
原式
．
19.证明：，
不论为何值，该方程总有两个实数根；
解：根据题意得：，，
，
，
．
解得．
20.
21.证明：、分别是、的中点，
是的中位线，
，，
又，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
解：由得：四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，
菱形的面积．
22.解：二次函数的图象过点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
令，
解得：或，
即点，则，
则的面积；
抛物线解析式为，如图：
该抛物线的对称轴为直线，
点为抛物线的对称轴上的一动点，点和点关于直线对称，
点到点的距离等于点到点的距离，
两点之间线段最短，
连接点和点与直线的交点就是使得最小时的点，
设过点和点的直线解析式为，代入得：
，
解得，
直线的函数解析式为，
当时，，
即点的坐标为．
23.

24.【数学思考】证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，
，，
，
，
，
，
，
≌；
【解决问题】解：≌，
，
矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，
，，
，
，
，
，
过点作，交的延长线于点，
，
，
，
，
；
【拓展研究】解：当线段与交于点时，作于，
是的中点，
，
，，
≌，
，，
，
，，
，
，
当的延长线交于点时，由上知，
，
，
综上所述，的面积是或．
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